2021-2022学年广西贺州市高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年广西贺州市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 已知集合，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若复数满足是虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 如图，在中，为的中点，点在上，且，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

4. 某学校老年教师，中年教师，青年教师的比例为：：，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本进行调查，其中青年教师人数为，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知随机事件和互斥，且，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. ，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知向量，，则在上的投影向量为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知的三个顶点都在球上，，，且三棱锥，则球的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 以下选项中，能使成立的条件有(    )

A.  B. 或
C.  D. 与都是单位向量

10. 甲、乙两人在相同的条件下各打靶次，每次打靶的情况如图所示，则以下说法正确的是(    )

A. 甲、乙两人打靶的平均环数相等 B. 甲的环数的中位数比乙的大
C. 甲的环数的众数比乙的大 D. 甲打靶的成绩比乙的更稳定

11. 已知直线、和平面、，下列命题为真命题的是(    )

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

12. 在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的有(    )

A. 直线与互相垂直
B. 直线平面
C. 异面直线与所成角的取值范围是
D. 三棱锥体积为定值

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 求值： ______ ．
14. 两个人射击，互相独立．已知甲射击一次中靶概率是，乙射击一次中靶概率是，现在两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目标，则完成目标的概率为______．
15. 已知向量，其中，且，则向量与的夹角为______．
16. 已知是定义在上的奇函数，对任意，，，都有，且对于任意的，都有恒成立，则实数的取值范围是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知向量，．
    当实数为何值时，向量与垂直；
    若，，且、、三点共线，求实数的值．
18. 已知函数，且．
    求的值；
    判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断．
19. 如图，已知正四棱锥中，为底面对角线的交点．
    求证：平面；
    求证：平面．

20. 第届冬奥会于年月在北京举行，志愿者的服务工作是冬奥会成功举办的重要保障．某高校承办了北京冬奥会志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同．
    求，的值；
    估计这名候选者面试成绩的平均数；
    在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法，从中抽取人，然后再从这人中选出人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．

21. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知．
    求角的大小；
    若，求的取值范围．
22. 如图所示，四边形为菱形，，二面角为直二面角，点是棱的中点．
    Ⅰ求证：；
    Ⅱ若，当二面角的正切值为时，求直线与平面所成的角．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
则，
故选：．
求出集合的等价条件，根据集合交集的定义进行计算即可．
本题主要考查集合的基本运算，根据集合交集的定义进行求解是解决本题的关键，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
的共轭复数在复平面内对应的点为位于第三象限，
故选：．
利用复数的四则运算求出，再求出共轭复数，最后利用复数的几何意义求解即可．
本题考查了复数的四则运算以及几何意义，共轭复数的求法，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：在中，为的中点，
，
又，
，
．
故选：．
根据已知条件，结合平面向量线性运算法则，即可求解．
本题主要考查平面向量线性运算法则，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：青年教师人数在样本中的占比为，
则样本容量为．
故选：．
利用抽样比去求样本容量的值即可．
本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例公式是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：随机事件和互斥，且，，
，
则．
故选：．
由随机事件和互斥，求出，再由对立事件定义能求出
本题考查互斥事件概率加法公式、对立事件的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
则．
故选：．
由已知求得，再由二倍角的余弦求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为向量，，
所以在上的投影向量为，
故选：．
根据投影向量的定义计算即可．
本题考查了投影向量的定义与计算问题，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：中，，，则，
取中点，连接，则点为所在小圆圆心，平面，

则，解得，
则球的半径，
则球的体积为，
故选：．
先求得球的半径，再利用球体体积公式即可求得球的体积．
本题考查了几何体外接球体积的计算，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于选项，模长相等，而向量平行是指方向相同或相反，故A错，
对于选项，或，说明与至少有一个为零向量，而零向量与任意向量都平行．故B正确，
对于选项，不论是否为零向量都成立，C正确，
对于选项，与都是单位向量，但方向不确定，故D错，
故选：．
利用平面向量知识逐项判断平行与方向和模长的关系．
本题考查了平面向量平行的相关知识，属于简单题．
 

10.【答案】 

【解析】解：甲的平均数为，乙的平均数为，二人平均数相等，A正确；
甲的中位数是，乙的中位数是，两人中位数相等，B正确；
甲的众数是，乙的众数是，甲的众数比乙小，C错误；
甲的数据与乙比较更集中些，更稳定些，D正确．
故选：．
根据图中数据，计算二人的平均数、中位数、众数和方差即可．
本题考查了平均数，方差，中位数，众数的问题，属于基础题，记住公式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：直线、和平面、，
对于，若，，则与平行或异面，故A错误；
对于，若，，则由面面平行的性质得，故B正确；
对于，若，，则与相交、平行或，故C错误；
对于，若，，则由线面垂直的性质得，故D正确．
故选：．
对于，与平行或异面；对于，由面面平行的性质得；对于，与相交、平行或；对于，由线面垂直有性质得．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：

选项A：正方体中，平面，平面，
则直线与互相垂直，判断正确；
选项B：正方体中，，，，则平面，
又平面，则，
同理，，，则平面，
又平面，则，
又，则直线平面，判断正确；
选项C：连接，，

正方体中，，为等边三角形，
则直线与所成角范围是，
则异面直线与所成角的取值范围是，判断错误；
选项D：正方体中，，
又平面，平面，则平面，
又点在线段上运动，则点到平面的距离为定值，
则三棱锥体积为定值．判断正确．
故选：．
利用线面垂直的性质定理即可得到直线与互相垂直，从而选项A正确；利用线面垂直判定定理即可证明直线平面，从而选项B正确；求得异面直线与所成角的取值范围判断选项C；求得动点到平面的距离不变，进而得到三棱锥体积为定值，从而选项D正确．
本题考查了空间中的垂直关系，三棱锥体积的计算以及异面直线所成角的范围问题，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用对数的运算性质即可得出．
本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：甲射击一次中靶概率是，乙射击一次中靶概率是，
两人均没有射中的概率为，
完成目标的概率．
故答案为：．
先计算射击两次，靶均不被击中的概率，再利用对立事件概率之和等于，即可求解．
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，，
，
故答案为：．
利用平面向量的数量积运算和向量夹角公式求解即可．
本题考查平面向量的数量积运算，考查向量夹角公式，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：不妨设，则
，


为上减函数，
又是定义在上的奇函数，
故可变形为，
即，
根据函数在上为减函数可得，
，
在为減函数，为增函数，
所以在为增函数，为减函数，
所以在恒成立
当时，有最小值，
所以．
故答案为：．
由，可判断函数为减函数，将变形为，再将函数转化成恒成立问题即可求解．
本题考查函数的恒成立问题，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：，，
与垂直，
，
解得；
、、三点共线，
，
存在实数，
使得，
又与不共线，
，
． 

【解析】由已知结合向量数量积的坐标表示即可求解；
由已知结合点共线与向量共线的相互转化，再结合向量共线定理可求．
本题主要考查了向量数量积的性质的坐标表示，向量共线定理的应用，属于基础题．
 

18.【答案】解：因为，
所以，
所以；
在上单调递减，证明如下：
设，
则

，
又，，
所以
所以，
所以在区间上单调递减． 

【解析】本题主要考查了求解函数解析式，还考查了函数单调性定义在单调性判断中的应用，属于基础题．
由直接代入即可求解；
先设，然后利用作差法比较与的大小即可判断．
 

19.【答案】证明：正四棱锥，四边形是正方形，
，平面，平面，
平面；
正四棱锥中，，
又四边形是正方形，为，的中点，
，，
又，，平面，
平面． 

【解析】由已知可得，进而可得平面；
由已知可得，，可证平面．
本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，属基础题．
 

20.【答案】解：，解得，
所以，；
，
故估计这名候选者面试成绩的平均数为；
第四、第五两组志愿者的频率比为：，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为，分别设为，，，，第五组志愿者人数为，设为，
这人中选出人，所有情况有，，，，，，，，，共有种情况，
其中选出的两人来自不同组的有，，，共种情况，
故选出的两人来自不同组的概率为． 

【解析】根据频率之和为，及第三、四、五组的频率之和为列出方程组，求出，的值；
中间值作代表估计出平均数，利用百分位数求解方法进行求解；
先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型的概率即可．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数的估计，同时考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
 

21.【答案】解：由已知，可得，
整理得：，所以，
因为，，；
由余弦定理可得，
当且仅当时取等号，故，
由三角形三边关系定理可得，
所以的取值范围为． 

【解析】利用三角恒等变换得到，可求；
运用余弦定理以及基本不等式可得，结合三角形三边关系定理可求的取值范围．
本题考查三角恒等变换，以及余弦定理的应用，属中档题．
 

22.【答案】解：Ⅰ证明：如图，设点是棱的中点，连接，，，
由，是的中点，得，
又二面角是直二面角，，
四边形是菱形，，
是的中位线，，，
，且平面，平面，
平面，
平面，．
Ⅱ设点是与的交点，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
设，，则，，，
则，，
设平面的法向量，
则，取，得，
平面的一个法向量为，
二面角的正切值为，
，解得，
，，，
则，
，直线与平面所成角为． 

【解析】Ⅰ设点是棱的中点，连接，，，证明，推导出平面，进而得到，结合，证明出平面，由此能．
Ⅱ设点是与的交点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成的角．
本题考查线线垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．