2021-2022学年广西桂林市高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年广西桂林市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. (    )

A.  B.  C.  D.

2. (    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知角的终边经过点，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知是以为周期的函数，且，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 函数的单调增区间为(    )

A. ， B. ，
C.  D.

8. 已知正方体，则与平面所成的角为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知单位向量，的夹角为，向量，，则，的夹角等于(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知函数一个周期的图象如图所示，则该函数可以是(    )

A.  B.
C.  D.

11. 设为所在平面内一点，，则(    )

A.  B.
C.  D.

12. 已知四面体的棱长都等于，那么它的外接球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共3小题，共12.0分。在每小题有多项符合题目要求）

13. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是(    )

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

14. 已知向量，，和实数，下列说法正确的是(    )

A. 若，则或
B. 若且，则当时，一定有与共线
C. 若
D. 若且，则

15. 要得到函数到的图象，只需将函数的图象(    )

A. 向左平移单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的
B. 向右平移单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的
C. 每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移单位长度
D. 每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移单位长度

三、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

16. 已知复数，则______．
17. 函数的最小正周期______．
18. 若一个圆锥的母线长为，母线与旋转轴的夹角为，则圆锥的高为______．
19. 已知的三个顶点是，，，则的面积为______．
20. 十月一日是国庆节，也是小明爸爸的生日，小明到商店买了一个生日蛋糕和家人一起庆祝．卖蛋糕的售货员说，商店有图和图两种捆扎方式供你选择，但捆扎用的彩带要根据带子的长度另外付费．你选择哪种捆扎方式？小明经过计算，很快作出了自己的选择．售货员听后直夸小明聪明．说，你选择的捆扎方式比另一种所用的彩带短，所需的费用少，那么，小明选择的捆扎方式是______注：填图或图．

四、解答题（本大题共7小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21. 已知向量，．
    求与的坐标；
    求向量，的夹角的余弦值．
22. 如图，在中，，是边上的一点，，，．
    求的大小；
    求的长．

23. 已知正方形的边长为，分别取边、的中点、，连接、、，以、、为折痕，折叠使点、、重合于一点．
    求证：；
    求证：平面平面；
    求异面直线和的距离．

24. 已知．
    求；
    求．
25. 如图，多面体中，已知面是边长为的正方形，，平面平面，中边上的高．
    求证：；
    求该多面体的体积．

26. 在中，角，，所对的边为，，，且．
    求角的大小；
    设向量，，试求的最小值．
27. 某港口的水深单位：是时间：，单位：的函数，下面是该港口的水深数据：

一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于时就是安全的．
若有以下几个函数模型：，，，你认为哪个模型可以更好地刻画与之间的对应关系？请你求出该拟合模型的函数解析式；
如果船的吃水深度船底与水面的距离为，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求解．
本题考查了诱导公式及特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
利用复数的四则运算法则计算即可．
本题考查复数的运算，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：角的终边经过点，且，
，
故选：．
由题意，利用任意角的三角函数的定义，得出结论．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
故选B．
原式利用诱导公式化简，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，是以为周期的函数，则，
又由，，则，
故；
故选：．
根据题意，由函数的周期性可得，结合函数的解析式计算可得答案．
本题考查函数的周期性，涉及函数值的计算，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，
则．
故选：．
由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．
本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由，，得，，
即函数的单调递增区间为，，
故选：．
根据余弦函数的单调性建立不等式进行求解即可．
本题主要考查三角函数的单调性，利用三角函数的单调性建立不等式进行求解是解决本题的关键，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：依题意，如图所示，
根据正方体的性质可知，平面，
即为直线与平面所成的角，
又，，
为等腰直角三角形，
，
故选：．
根据正方体的性质可知即为直线与平面所成的角，从而求出结果．
本题主要考查了直线与平面所成的角，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：单位向量，的夹角为，
，
，，
，，
，，
，
故选：．
运用向量的平方即为模的平方求出，，再利用数量积运算求出，再由向量的夹角公式计算即可．
本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量夹角公式及计算，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象知，函数的周期，得，
此时，
由五点对应法得，得，
则，
故选：．
根据条件求出，和的值即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出，和的值是解决本题的关键，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：；
；
．
故选：．
根据向量减法的几何意义便有，，而根据向量的数乘运算便可求出向量，从而找出正确选项．
考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，正四面体棱长为，平面于，则是中心，

，平面，平面，则，
设外接球球心为，则在，则为外接半径，
由得，解得，
所以其外接球的表面积为，
故选：．
求出外接球半径后可得表面积．
本题考查了正四面体的外接球的表面积的计算，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，
对于，若，则存在过直线的平面，使得，，
，，，故A正确；
对于，，，由线面垂直的性质得，故B正确；
对于，，，则由线面垂直的性质得，故C正确；
对于，当，，，且时，满足，，
若，，则与相交或平行，故D错误．
故选：．
利用线面平行的性质、线面垂直的性质判断，，，举例说明判断．
本题考查命题真假的判断，考查线面平行、线面垂直、面面平行的判定与性质等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：对于选项，若，则，错，
对于选项，根据共线定理，若且，则当且仅当有唯一实数，使得时，一定有与共线，
对于选项，由等式结合数量积定义可得，的夹角为或，故，
对于选项，数量积运算不等同于数乘运算，等式两边不能同时约分．错．
故选：．
利用平面向量共线定理、运算性质可排除向量的数量积运算以及两向量垂直可排除．
本题考查了平面向量的共线定理，以及数乘运算，属于简单题．
 

15.【答案】 

【解析】解：要想得到函数到的图象，可以通过两种方法：
，
，
即将函数的图象向左平移单位长度，得到，
再将每个点的横坐标缩短为原来的，得到，故A正确，B错误，
若将函数的图象每个点的横坐标缩短为原来的，得到，
再向左平移单位长度，得到，故D正确，C错误，
故选：．
根据三角函数的图象变换关系进行判断即可．
本题主要考查三角函数的图象和变换，根据三角函数的图象变换关系进行判断是解决本题的关键，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
利用模的计算公式即可得出．
本题考查了复数模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

17.【答案】 

【解析】解：函数，
由周期公式可得最小正周期：．
故答案为：．
由周期公式结合题意可得最小正周期，即可得答案．
本题考查三角函数的周期公式，属基础题．
 

18.【答案】 

【解析】解：圆锥的母线与旋转轴的夹角为，且该圆锥的母线长为，
该圆锥的高为．
故答案为：．
根据给定条件，结合圆锥的结构特征直接列式计算作答．
本题考查圆锥的结构特征、圆锥的母线和、圆锥的高等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

19.【答案】 

【解析】解：根据题意，，，，则，
，则直线的方程为，即，
点到直线的距离，
故的面积；
故答案为：．
根据题意，利用两点间的距离公式求得的长度，然后根据，的坐标求得直线的方程，进而利用点到直线的求得到直线的距离，即三角形的高，最后利用面积公式求得答案．
本题考查直线的一般方程和点到直线的距离，涉及三角形面积的计算，属于基础题．
 

20.【答案】图 

【解析】解：由给定的几何体及生活实际知，蛋糕盒是正四棱柱，设其底面正方形边长为，高为，图所用彩带总长为，对于图，令彩带与包装盒的棱的部分公共点如图，
 
过作交于，由图的几何体及对称性知，，则彩带总长为，
显然，
于是得，
所以图所用彩带总长比图所用彩带总长短，所需的费用少．
故答案为：图
根据给定几何体，设出其相应的棱长，表示出两种捆扎方式所用彩带长度，比较大小作答．
本题考查了实际生活中的几何体，联系生活并了解相应几何体的结构特征求解，属于中档题．
 

21.【答案】解：向量，，
，．
向量，，
，，，
，． 

【解析】利用平面向量的线性运算求解即可．
利用平面向量的数量积运算，向量夹角公式求解即可．
本题考查平面向量的数量积运算和线性运算，考查向量夹角公式，属于基础题．
 

22.【答案】解：，，，

                      分
在中，，，
由正弦定理：，得 分 

【解析】利用余弦定理，可求求的大小；
在中，利用正弦定理，可求的长．
本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
 

23.【答案】证明：如图，，
，平面．
平面，．
证明：，
，平面又平面，
平面平面．
解：在面中，作，垂足为，
与面垂直，平面，
，，是与的公垂线．
在等腰中，，，． 

【解析】这是一个“折叠问题”，需抓住不变的线线垂直关系、长度关系．比如：，，所以平面．
又因为平面，所以．
由长度关系易得：，且，，所以平面又平面，所以平面平面．
求异面直线的距离是立体几何的一个难点，其主要原因是公垂线段较难找，本题可以采用“线面距离法”：即选择异面直线中的一条，过它作另一条直线的平行平面，则此直线与平面的距离即为所求异面直线间的距离．在面中，作，垂足为，
则是与的公垂线．在等腰中，进一步可以求得的长度．
本小题考查空间中的线面关系及面面关系，异面直线的距离、解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力．
 

24.【答案】解：因为，
所以，
所以．
因为，，
故由，可得，
因为、，，
所以由，可得，
所以． 

【解析】根据二倍角的余弦公式以及诱导公式即可求解．
根据两角差的正弦公式即可求解．
本题考查了二倍角的余弦公式以及诱导公式，两角差的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

25.【答案】证明：面是正方形，，
又，；
解：如图，连接，，正方形的边长为，

因平面平面，平面平面，
又平面，，于是得平面，
又，平面，平面，平面，
因此，点到平面的距离为，而正方形的面积，
从而得四棱锥的体积，
显然，，，，平面，
于是得平面，则平面，
又，三棱锥的体积，
而几何体是四棱锥与三棱锥构成的组合体，
所以几何体的体积． 

【解析】根据面是正方形，得到，又，即可得证；
根据给定条件，连接，，求出四棱锥与三棱锥的体积即可得解．
本题考查了线线平行的证明和多面体的体积计算，属于中档题．
 

26.【答案】解：根据正弦定理，，，，代入．
得：，
，
，
，
；
，
，
，
，，
当时，取最小值． 

【解析】根据正弦定理便可由得，，从而得出，这便得出；
先得出，从而得出，计算可求的最小值．
考查正弦定理，以及两角和差的正余弦公式，二倍角的余弦公式，三角形的内角和为．
 

27.【答案】解：我认为函数可以更好地刻画与之间的对应关系，
根据数据可得：，
，，
又，
，
；
由题意，水深，
即，
，
，，，
或，
所以，该船在：至：或：至：能安全进港，若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过个小时． 

【解析】函数可以更好地刻画与之间的对应关系，根据的最大值与最小值可求出，的值，再根据周期可求的值，从而得到函数的解析式；
由题意，水深，即，从而求出或．
本题以表格数据为载体，考查了三角函数模型的构建，考查解三角不等式，同时考查学生分析解决问题的能力，是中档题．