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    2021-2022学年山东省东营市高一(下)期末数学试卷(Word解析版)

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    这是一份2021-2022学年山东省东营市高一(下)期末数学试卷(Word解析版),共15页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2021-2022学年山东省东营市高一(下)期末数学试卷

     

    题号

    总分

    得分

     

     

     

     

     

     

     

    一、单选题(本大题共8小题,共40分)

    1. 在复平面内,复数对应的点在(    )

    A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

    1. 的值为(    )

    A.  B.  C.  D.

    1. 一个棱长为的正方体的个顶点都在同一个球面上,则该球的表面积和体积之比值为(    )

    A.  B.  C.  D.

    1. 若向量满足,则(    )

    A.  B.  C.  D.

    1. 中,,则角(    )

    A.  B.  C.  D.

    1. 如图,在直角梯形中,,现在以所在直线为轴旋转一周,其他各边旋转形成的平面围成的几何体的体积为(    )


     

    A.  B.  C.  D.

    1. 若向量,则上的投影为(    )

    A.  B.  C.  D.

    1. 在平面直角坐标系中,角的终边经过点,则(    )

    A.  B.  C.  D.

     

    二、多选题(本大题共4小题,共20分)

    1. 下列结论正确的有(    )

    A. 侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱
    B. 等底面积、等高的两个柱体,体积相等
    C. 有两个面是平行的相似多边形,其余各面都是梯形的几何体是棱台
    D. 用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时,菱形的直观图还是菱形

    1. 中,下列命题正确的是(    )

    A. ,则是等腰三角形
    B. ,则是直角三角形
    C. ,则是钝角三角形
    D. ,则是等边三角形

    1. 已知函数,则(    )

    A.  B.  在区间上只有个零点
    C.  的最小正周期为 D. 图象的一条对称轴

    1. 在平行四边形中,,点的三边上的任意一点,设则下列结论正确的是(    )


     

    A.
    B. 当点中点时,
    C. 的最大值为
    D. 满足的点有且只有一个

     

    三、填空题(本大题共4小题,共20分)

    1. 的值是          
    2. 若复数满足,其中为虚数单位,则______
    3. 已知在平面内,向量,则的最大值为______的最小值为______
    4. 已知圆心角为的扇形的半径为弧上一点,作矩形,如图所示.这个矩形的面积最大值为______


     

     

     

    四、解答题(本大题共6小题,共70分)

    1. 已知复数为虚数单位.
      是纯虚数,求实数的值;
      ,求的值.
    2. 已知
      的值;
      的值.
    3. 中,角的对边分别为,向量,且
      求角
      ,求的面积.
    4. 如图,正四棱锥中,是这个正四棱锥的高,是斜高,且
      求这个四棱锥的全面积;
      分别求出该几何体外接球与内切球的半径.


    1. 如图,一条巡逻船由南向北行驶,在处测得山顶在北偏东方向上,匀速向北航行分钟到达处,测得山顶位于北偏东方向上,此时测得山顶的仰角已知山高为
      求船的航行速度
      若该船继续航行分钟到达处,问此时山顶位于处的南偏东什么方向?


    1. 对于函数,任意,都有是一个三角形的三边长,则称函数上的完美三角形函数
      ,若函数上的完美三角形函数,求实数的取值范围;
      在满足的条件下,令函数,若对任意的,总存在,使得成立,求实数的取值范围.

    答案和解析

     

    1.【答案】 

    【解析】解:
    复数对应的点的坐标为,在第一象限.
    故选:
    利用复数代数形式的乘除运算化简,求出的坐标得答案.
    本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.
     

    2.【答案】 

    【解析】解:因为


    故选:
    直接利用两角和的余弦公式代入即可求出结论.
    本题主要考查两角和与差的余弦公式的应用.在应用两角和与差的余弦公式时,一定要注意公式中的符号的写法,避免出错.
     

    3.【答案】 

    【解析】解:由题意知正方体外接球的直径为

    故选:
    根据正方体外接球的表面积和体积公式计算.
    本题考查了正方体外接球的表面积和体积公式,属于基础题.
     

    4.【答案】 

    【解析】解:由,可得
    所以
    故选:
    运用向量模的公式直接求解.
    本题考查向量模的计算,是基础题.
     

    5.【答案】 

    【解析】解:由,根据正弦定理得
    所以,所以
    所以,所以
    故选:
    由正弦定理可得,利用两角和公式可得,可求
    本题考查了利用正弦定理解三角形,属基础题.
     

    6.【答案】 

    【解析】解:在直角梯形中,
    现在以所在直线为轴旋转一周,形成的几何体是圆台,
    圆台的上底圆半径为,下底圆半径为,高为
    旋转形成的平面围成的几何体的体积为:

    故选:
    旋转一周,形成的几何体是圆台,圆台的上底圆半径为,下底圆半径为,高为,由此能求出旋转形成的平面围成的几何体的体积.
    本题考查旋转体性质、台体的结构特征和体积公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
     

    7.【答案】 

    【解析】解:因为
    所以根据数量积公式和模长公式可得:
    根据投影公式可得:
    故选:
    根据向量投影的定义计算上的投影即可.
    本题考查了向量在向量方向上的投影向量的运算,属于基础题.
     

    8.【答案】 

    【解析】解:由题意知

    故选:
    先利用任意角的三角函数的定义求出,再利用两角和与差的三角函数公式即可求出的值.
    本题主要考查了任意角的三角函数的定义,以及两角和与差的三角函数公式,是基础题.
     

    9.【答案】 

    【解析】解:由直棱柱的定义和性质可知A正确;
    由柱体体积公式得B正确;
    如果侧棱延长线不共顶点,也可能不是棱台,C错误;
    菱形的直观图一定是邻边不等的平行四边形,也可能是矩形,D错误.
    故选:
    利用棱柱、棱台的定义,分别进行判断,即可得出结论.
    本题考查简单多面体棱柱、棱台及其结构特征,考查学生对概念的理解,属于基础题.
     

    10.【答案】 

    【解析】解:选项,若,则
    所以,即是等腰三角形或直角三角形,故A错误;
    选项,满足不是直角三角形,故B错误;
    选项,若,则有且仅有一个为负,
    不妨设,即是钝角三角形,故C正确;
    选项,若

    是等边三角形,故D正确;
    故选:
    根据正弦函数性质确定角关系,进而判断三角形形状;根据诱导公式确定角关系,进而判断三角形形状;根据三角函数符号确定角大小,进而判断三角形形状;根据余弦值有界性确定角关系,进而判断三角形形状.
    本题考查判断三角形形状、三角函数性质,考查基本分析求解判断能力,属基础题.
     

    11.【答案】 

    【解析】

    【分析】

    本题考查二倍角公式、辅助角公式和三角函数的性质,属于中档题.
    利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简,再利用三角函数的性质对每一个选项进行判断即可.

    【解答】

    解:已知函数

    则对于正确,
    对于,当,即 在区间上只有个零点,故B错误.
    对于 的最小正周期为,正确.
    对于,当时,函数
    所以图象的一条对称轴,正确.
    故选:

      

    12.【答案】 

    【解析】解:根据题意可知,建立如图空间直角坐标系:
    可得各点坐标:
    可以设点坐标为
    由图像可知:
    对于选项:由题干可知:,故得到:,所以A正确.
    对于选项:当点作为中点时,,解得:,所以B正确.
    对于选项:由题中信息可知:
    又因为,故当时,可以取得最大值,并且最大值为,故C正确.
    对于选项:因为,并且,故令
    可知点不唯一,故D错误.
    故选:
    建立空间直角坐标系,求出个点坐标,再利用题干构建方程,依次判断即可.
    本题考查了平面向量的坐标运算及应用,属于中档题.
     

    13.【答案】 

    【解析】

    【分析】

    本题考查两角和的正弦函数,三角函数的化简求值,考查计算能力.
    方法一:利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可.
    方法二:利用两角和与差的三角函数公式化简求解即可.

    【解答】

    解:方法一:


    方法二:原式


    故答案为

      

    14.【答案】 

    【解析】解:设
    ,得,即



    故答案为:
    ,代入,利用复数相等的条件求得,则可求.
    本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题.
     

    15.【答案】   

    【解析】解:因为
    所以可以设
    可以得到,并且

    根据圆的性质,可以得出如图两种情况:

    如果四点都在圆上,即如上左图所示,则可知是直径时,故可以得到取得最大值,最大值为
    如果三点在圆上,是次元的圆心时,即如上右图所示,此时半径为,故可以得到取得最小值为
    故答案为:
    可以设,则根据圆的性质可以得到两种情况,分情况去讨论求值,即可求出最大值和最小值.
    本题考查了向量的长度的最值问题,属于中档题.
     

    16.【答案】 

    【解析】解:设,扇形的半径为,圆心角为






    ,即时,
    取得最大值,最大值为
    故答案为:
    ,扇形的半径为,圆心角为,则,再结合矩形的面积公式,以及三角函数的恒等变换,即可求解.
    本题考查解三角在平面几何的应用,属于中档题.
     

    17.【答案】解:

    是纯虚数,
    ,解得

    ,解得

     

    【解析】结合复数的四则运算,以及纯虚数的定义,即可求解.
    结合实数的定义,以及复数的四则运算,即可求解.
    本题主要考查复数的四则运算,以及纯虚数和实数的定义,属于基础题.
     

    18.【答案】解:,解得
    因为,所以,又
    解得,又因为,所以

    所以 

    【解析】利用两角和的正切公式可求,再利用同角三角函数间的关系可求的值;
    ,可求值.
    本题考查两角和的正切公式、余弦公式的应用,同角三角函数关系的应用,属中档题.
     

    19.【答案】解:因为向量,且
    所以,由正弦定理得
    又因为所以,因为
    所以
    由余弦定理得,因为
    所以,即因为,所以
    的面积为 

    【解析】由向量平行得出关系式后,再由正弦定理化边为角可求解;
    由余弦定理得,代入后,求得,代入三角形面积公式即可求解.
    本题考查利用正、余弦定理解三角形,三角形面积公式的运用,考查向量的数学运算,属于基础题.
     

    20.【答案】解:如图所示:

    正四棱锥中,是这个正四棱锥的高,是斜高,且
    所以,故AB
    所以
    设外接球的半径为,设球心所在的位置为所在的直线,
    所以,解得
    设内切球的半径为
    利用等体积转换法:
    解得 

    【解析】直接利用锥体的性质求出锥体的表面积;
    利用勾股定理的应用建立,进一步求出外接球的半径,进一步利用等体积转换法的应用求出球的内切球的半径.
    本题考查的知识要点:正四棱锥的性质,锥体的体积公式,锥体的外接求和内切球,等体积转换法,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于中档题.
     

    21.【答案】解:中,,解得
    中,
    所以
    所以
    船的航行速度是每小时千米.
    中,
    由余弦定理可得,解得

    中,由正弦定理可得
    所以,所以
    所以山顶位于处的南偏东方向. 

    【解析】中,结合三角形的性质,求出的值,再结合正弦定理,即可求解.
    中,运用余弦定理,先求出,再结合正弦定理,即可求解.
    本题主要考查解三角形,考查转化能力,属于中档题.
     

    22.【答案】解:根据题干可知:
    则可以得到的解析式为:
    由题意可知,为完美三角形函数,所以,则
    故得到如下三种情况:
    时,所以,则由题意可得:,解得
    时,所以,则由题意可得,解得
    时,所以,满足要求.
    综上所述:

    则可以设,故,其中
    可以得到:
    由题意可知:对于所有的,都要有,使成立.
    则只需满足:,即
    所以 

    【解析】用数量积公式求出的解析式,由辅助角公式化简,分类讨论求出范围.
    展开并换元,由已知条件转化为求最值.
    本题主要考查三角恒等变换,三角函数的图像与性质,平面向量的坐标运算,不等式的存在性问题,属于较难题.
     

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