2021-2022学年山东省淄博市高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年山东省淄博市高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 函数的递增区间是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知随机变量的方差为，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知是函数的极小值点，则的极大值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 若，则取得最大值时，(    )

A.  B.  C.  D. 或

5. 函数的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 的展开式中，项的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 设，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 实施乡村振兴战略是决胜全面建成小康社会的重大历史任务，是新时代做好“三农”工作的总抓手．某市聘请名农业专家安排到三个乡镇作指导，每个乡镇至少一人，其中专家不能去甲镇，则不同的安排方案的种数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9. 在的展开式中，下列说法正确的是(    )

A. 常数项是 B. 二项式系数之和为
C. 各项系数之和为 D. 项的系数最大的项是第项

10. 数列是递增的等差数列，前项和为，满足，则下列选项正确的是(    )

A.  B.
C.  D. 时，的最小值为

11. 下列说法正确的是(    )

A. 若，则事件，相互独立
B. 随机变量服从两点分布，则
C. 在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好
D. 在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数的值越大，说明拟合的效果越好

12. 已知函数及其导函数的定义域均为，记若，均为偶函数，则(    )

A.  B.
C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知随机变量服从正态分布，若，则______．
14. 若，则______．
15. 已知等比数列的前项和为，若，则的值为______．
16. 已知函数，若对于定义域内任意不相等的实数，，都有，则实数的取值范围是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知数列的前项和为，，．
    证明：为等比数列，并写出它的通项公式；
    若正整数满足不等式，求的最大值．
18. 某部门有职工人，其中睡眠不足者人，睡眠充足者人．现从人中随机抽取人做调查．
    用表示人中睡眠不足职工的人数，求随机变量的分布列和数学期望；
    求事件“人中既有睡眠充足职工，也有睡眠不足职工”发生的概率．
19. 随机选取变量和变量的对观测数据，选取的第对观测数据记为，其数值对应如下表所示：

计算得：，，，，．
求变量和变量的样本相关系数小数点后保留位，判断这两个变量是正相关还是负相关，并推断它们的线性相关程度；
假设变量关于的一元线性回归模型为．
(ⅰ)求关于的经验回归方程，并预测当时的值；
(ⅱ)设为时该回归模型的残差，求，，，，的方差．
参考公式：，，．

20. 记等差数列的公差为，前项和为已知，，且，，成等比数列．
    求数列的通项公式；
    若，数列的前项和为，求．
21. 对某品牌机电产品进行质量调查，共有“擦伤、凹痕、外观”三类质量投诉问题．其中保质期内的投诉数据如下：

保质期后的投诉数据如下：

若项投诉中，保质期内项，保质期后项．依据小概率值的独立性检验，能否认为凹痕质量投诉与保质期有关联？
若投诉中，保质期内占，保质期后占设事件：投诉原因是产品外观，事件：投诉发生在保质期内．
(ⅰ)计算，并判断事件，是独立事件吗？
(ⅱ)“若该品牌机电产品收到一个产品外观问题的投诉，该投诉发生在保质期内的概率大”，这种说法是否成立？并给出理由．

，．

22. 已知函数，，其中为自然对数的底数，．
    求曲线在点处的切线方程；
    证明：函数有唯一零点；
    判断方程实数根的个数．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，令，解得．
函数的递增区间是．
故选：．
利用导数的运算法则及令，解得即可．
本题考查函数导数的应用，熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：随机变量的方差为，
．
故选：．
根据已知条件，结合方差的线性公式，即可求解．
本题主要考查方差的线性公式，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：因为，
由题意可得，，
故，，
当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故当时，函数取得极大值．
故选：．
先对函数求导，然后结合极值存在条件可求，进而可求函数的极大值．
本题主要考查了函数极值存在条件的应用，属于基础试题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
由组合数的性质可知，当时，最大，此时取得最大值．
故选：．
求得的表达式，结合组合数的性质求得正确答案．
本题考查了二项分布与次独立重复试验，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据，
有，函数为偶函数，排除，
在区间上，，，函数图象在轴上方，排除，
又由，，有，排除，
故选：．
根据题意，用排除法求解，由奇偶性排除，由函数值的符号排除，利用单调性排除，即可得答案．
本题考查了由函数的解析式确定函数的图象，涉及函数的奇偶性、单调性，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据二项展开式，所以的项的系数为；
同理二项展开式，所以的项的系数为；
，
，，，，；
故．
故选：．
直接利用二项展开式和组合数的应用求出结果．
本题考查的知识要点：二项展开式，组合数的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：在上为增函数，且，
，
，，，
令，，得，
在上单调递增，
，，
令，则，即，即，
．
故选：．
利用指数函数的性质比较可知，的大小，构造函数，利用导数判断函数的单调性，再利用其单调性可比较，，由此能判断三个数的大小．
本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数的单调性、构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意，先不考虑专家不能去甲镇的情况，将名农业专家分组，
所有可能的情况有，，三种情况．
其中分组数有种，
分组数有种，
分组数有种．
再将名农业专家分配到甲乙丙三个镇上共种情况．
上述分析中，专家去甲镇，去乙镇和去丙镇的情况数相等，
故专家不去甲镇的情况有种情况．
故选：．
先不考虑专家不能去甲镇的情况，将名农业专家分组，再分配到三个镇上去的总情况数，再根据专家去甲镇所占的比例数求解即可．
本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，的展开式中的通项公式为，
令，则，常数项为，A错误，
，二项式系数之和为，B正确，
，令，则，C错误，
，由通项公式知，第项，第项，第项，第项，第项为负数，
第项的系数为，第项的系数为，第项的系数为，
第项的系数为，第项的系数为，
项的系数最大的项是第项，D正确，
故选：．
利用二项展开式的通项公式判断，利用赋值法判断，利用二项式系数之和公式判断．
本题考查二项展开式的通项公式，赋值法的应用，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：设等差数列的公差为，则，
，，
解得，故A正确；
，故B错误；
，，故C正确；
，
，，
当时，的最小值为，故D错误．
故选：．
设等差数列的公差为，则，由，得到，的等量关系，可判断；利用作差法可判断；解不等式可判断．
本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，若，则，，不能说明，相互独立，A错误；
对于，服从两点分布，则，，B正确；
对于，在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，说明预测值与实际值越接近，其模型的拟合效果越好，C正确；
对于，，决定系数的值越大，残差平方和越小，拟合的效果越好，D正确．
故选：．
由条件概率的公式及独立事件即可判断；由两点分布及方差公式即可判断；由残差图及决定系数的意义即可判断、．
本题考查条件概率、相互独立事件及相关系数的定义，是基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，令，，定义域为，则，，
又，则，显然也满足题设，即上下平移均满足题设，显然的值不确定，错误；
对于，则，即，，令可得，则，B正确；
对于，由即，则，令，
显然满足要求，则关于对称，又可得关于对称，则，C错误；
对于，由可得关于对称，则；由可得关于对称，
则，D正确．
故选：．
由上下平移均满足题设即可判断选项；由得即可判断选项；由函数的轴对称以及中心对称即可判断、选项．
本题考查函数以及其导数的对称性，涉及函数奇偶性的性质，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由正态分布的定义可知，
．
故答案为：．
根据正态分布的定义可知，利用正态分布曲线的对称性计算即可．
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：若，则，
解得：，或，或，
，．
故答案为：．
根据排列数组合数公式列式计算即可．
本题考查了排列数组合数公式的应用问题，是基础题目．
 

15.【答案】 

【解析】解：等比数列的前项和为，，
，
，
，
，，成等比数列，
，即，
解得．
故答案为：．
分别求出，，，再由，，成等比数列，列方程能求出．
本题考查等比数列的运算，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为对于定义域内任意不相等的实数，，都有，
所以函数单调递减，
所以对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
令，，
，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
所以，
所以的取值范围为，
故答案为：．
根据题意可得函数单调递减，即对任意恒成立，则对任意恒成立，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
 

17.【答案】证明：由，得，即；
当时，，
可得，即，．
是首项为，公比为的等比数列，
其通项公式；
解：，则，
由，得，即，
为正整数，，得，则正整数的最大值为． 

【解析】由已知数列递推式求得首项，且得到，，即可说明为等比数列，并求其通项公式；
写出，代入，求解指数不等式得答案．
本题考查数列递推式，考查等比数列的通项公式与前项和，考查指数不等式的解法，是中档题．
 

18.【答案】解：由题意可知，随机变量可能取值为，，，，
，
，
，
，
故随机变量的分布列为：

故E．
事件“人中既有睡眠充足职工，也有睡眠不足职工”发生的概率为． 

【解析】由题意可知，随机变量可能取值为，，，，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
事件“人中既有睡眠充足职工，也有睡眠不足职工”发生的概率为，即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
 

19.【答案】解：
，
所以，这两个变量负相关，且具有较强的线性相关性；
解：，则，
所以，关于的经验回归方程为，
当时，则，
所以，当时，的预测值为；
由，计算得该回归模型的残差如下表所示：

所以，残差的方差为． 

【解析】将数据代入相关系数公式，求出的值，判断可得出结论；
将参考数据代入最小二乘法公式，求出的值，可得出关于的经验回归方程，然后将代入经验回归方程，可得出的预测值；
计算出，利用方差公式可求得结果．
本题考查了相关系数公式和回归方程的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：由于等差数列的公差为，前项和为已知，，且，，成等比数列．
所以，
解得：；
故；
由得：，故数列的周期为；每个周期的值为；
所以． 

【解析】直接利用等差数列的性质的应用求出数列的通项公式；
利用数列的周期关系式和数列的求和公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，数列的周期，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：零假设：凹痕质量投诉与保质期无关联，
根据题意可得列联表：

则可得：，
，
不成立，
即在犯错概率不大于的前提下，认为凹痕质量投诉与保质期有关联；
由据题意可得：，
，
，则事件，不是独立事件，
由题意可得：
“该品牌机电产品收到一个产品外观问题的投诉，该投诉发生在保质期内”的概率，
“该品牌机电产品收到一个产品外观问题的投诉，该投诉发生在保质期后”的概率，
，则“若该品牌机电产品收到一个产品外观问题的投诉，该投诉发生在保质期内的概率大”，这种说法成立． 

【解析】根据题意可得列联表，代入的公式运算求解，并于比较大小，理解分析；
运用全概率公式运算求解，根据条件概率公式求，井根据“若事件，是独立事件，则”，运算判断事件，是否独立事件；
根据条件概率公式分别求，比较大小，理解分析．
本题考查独立性检验，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：，则，
又，
所求切线方程为；
证明：函数的定义域为，，
当时，，，且的增长速度远远大于的增长速度，则此时，；
当时，，则在上单调递增，
又，，
由零点存在性定理可知，存在唯一的，使得，即得证；
由可知，在上恒小于零，在上恒大于零，
设函数，
当时，，
，
，则在上单调递增，
又，，
函数在上存在唯一零点，即方程在上有唯一的根；
当时，由于，，则，
，即方程在上无零点；
综上，方程实数根的个数为个． 

【解析】求导，求出，再由点斜式即可得到所求切线方程；
当时，，当时，求导可知单调递增，再利用零点存在性定理即可得证；
将函数表示为分段函数的形式，分及讨论求解即可．
本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性及零点，考查推理论证能力和运算求解能力，属于中档题．