2021-2022学年山东省淄博市高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年山东省淄博市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1. 若复数，则的虚部是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知一组数据，，，，，，且若该组数据的众数是中位数的倍，则该组数据的平均数为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在中，点在边上，且设，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 在空间四边形中，，，，分别是，，，的中点．若，且与所成的角为，则的长为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

7. 已知函数是奇函数，为了得到函数的图象，可把函数的图象(    )

A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

8. 如图，某城市有一条公路从正西方沿通过市中心后转到北偏东的上，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在，上分别设置两个出口，若要求市中心与的距离为千米，则线段最短为(    )

A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 某次辩论赛有位评委进行评分，首先位评委各给出某选手一个原始分数，评定该选手成绩时从个原始分数中去掉一个最高分、去掉一个最低分，得到个有效评分．则这个有效评分与个原始评分相比，数字特征可能不同的是(    )

A. 极差 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差

10. 下列说法正确是(    )

A.
B. 若是复数，则
C. 空间中垂直同一条直线的两条直线平行
D. 若，则

11. 已知函数，下列结论正确的是(    )

A. 是周期函数
B. 的图象关于原点对称
C. 的值域为
D. 的单调递减区间为，

12. 如图，棱长为的正方体的内切球为球，、分别是棱和棱的中点，在棱上移动，则下列结论成立的有(    )

A. 存在点，使垂直于平面
B. 对于任意点，平面
C. 直线的被球截得的弦长为
D. 过直线的平面截球所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为
 

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知为虚数单位．若复数为纯虚数，则实数______．
14. 已知向量，不共线．若与共线，则实数______．
15. 如图，矩形是水平放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图，其中，，则原图形面积是______．

16. 在直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，角的终边交单位圆于点，且记，若，且，那么______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 设函数，．
    求函数的单调递增区间；
    内角，，的对边分别为，，若，，且，求的值．
18. 已知在圆锥中，底面的直径，的面积为．
    求圆锥的表面积；
    若球内切于圆锥，用一个与圆锥的底面平行且与球相切切点的平面截圆锥得圆台，求球的体积和圆台的体积之比．

19. 某校有高一学生人，其中男女生比例为：，为获得该校高一学生的身高单位：信息，采用分层随机抽样方法抽取了样本量为的样本，其中男女生样本量均为，计算得到男生样本的均值为，标准差为，女生样本的均值为，标准差为．
    计算总样本均值，并估计该校高一全体学生的平均身高；
    计算总样本方差．
20. 如图，已知正方体的棱长为，，分别为棱，的中点．
    证明：直线平面；
    设平面与平面的交线为，求点到直线的距离及二面角的余弦值．

21. 将某市到岁的居民按年龄分组为，，，，，，并制作频率分布直方图如下：
    根据频率分布直方图，估计该市到岁居民年龄的第百分位数；
    为了解该市居民参与“健步走”活动的实际情况，从该市到岁的居民中随机抽取若干人作问卷调查．我们把年龄段的居民参与“健步走”活动的人数与该年龄段居民数之比称为年龄段居民“健步走”活动参与指数简称健参指数，用表示．被调查居民各年龄段的健参指数如下：

假若该市到岁的常住居民有万人，利用样本估计总体的思想，解决下面的问题：
估算该市到岁的居民中“健步走”活动的参与人数；
据权威部门对全国“健步走”活动参与人群调查发现，如果排除岁以下和岁以上的居民，岁以下的人比岁及以上的人更喜爱“健步走”活动．通过计算与的值，判断本次调查所得结果是否与权威部门给出的结论相符？若不相符，请你从统计学的角度分析产生差异的原因结论开放，写出其中一条原因即可．

22. 已知中，以为一边向外做等边三角形如图所示，且．
    当时，求的值；
    当时，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
则，
故的虚部是．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意知，该组数据从小到大排序如下，，，，，，；
故该组数据的众数是，中位数是，
故，故，
故选：．
先将该组数据从小到大排序，求众数与中位数，再从而列方程求解．
本题考查了众数与中位数的应用，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：设，，
，
故选：．
利用平面向量的线性运算，平面向量基本定理求解即可．
本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用两角和差的余弦公式进行转化求解是解决本题的关键，属于基础题．
利用两角和差的余弦公式进行转化求解即可．

【解答】

解：，，
，，
则

，
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：若，
则，
，，，
，
故选：．
利用向量的数量积运算求出，再利用向量的求模公式求解即可．
本题考查向量的数量积运算，向量的求模公式，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接，，

在中，，分别是，的中点，，，
在中，，分别是，的中点，，且，
与所成的角为，或，
当时，是等边三角形，，
当时，由余弦定理得：
．
的长为或．
故选：．
连接，，可得或，解三角形能求出结果．
本题考查中位线定理、异面直线所成角、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：是奇函数，
，，
得，，
，当时，，
则，
，
为了得到函数的图象，可把函数的图象向右平移个单位长度，即可，
故选：．
根据函数奇偶性的性质求出的值，根据三角函数图象关系
本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式，利用三角函数的图象变换关系进行判断是解决本题的关键，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，作垂直，垂足为，则，

由题意，，．
在中，由正弦定理得，即．
在中，，
．
因为，所以当时有的最小值．
此时，．
故选：．
作垂直，垂足为，则，由题意，在中，利用正弦定理表示出，在中，表示出，最后利用正弦定理求得根据的范围确定的最小值．
本题主要考查了正弦定理的实际应用．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力，属中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：若原始评分为，，，，，，，则个原始评分的极差为，
个有效评分的极差为，故极差可能不同，故选项A正确；
个原始评分的中位数为从小到大排序后的第个数，
个有效评分的中位数为从小到大排序后的第个数，
故中位数一定相同，故选项B错误；
若原始评分为，，，，，，，
则个原始评分的平均数为，
个有效评分的平均数为，
故平均数可能不同，故选项C正确；
若原始评分为，，，，，，，
则个原始评分的方差为，
个有效评分的方差为，故方差可能不同，故选项D正确；
故选：．
对于选项A，举例原始评分为，，，，，，可判断；
对于选项B，个原始评分的中位数为从小到大排序后的第个数，个有效评分的中位数为从小到大排序后的第个数，从而判断；
对于选项C，举例原始评分为，，，，，，可判断；
对于选项D，举例原始评分为，，，，，，可判断．
本题考查了样本数字特征的应用，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对：，故A错误；
对：设，则，
所以，故B正确；
对：空间中垂直于同一条之间的两直线平行、相交或异面，故C错误；
对：若，则，即，故D正确；
故选：．
利用平面向量数量积的定义可判断；
利用复数的运算可判断；
利用已知条件判断线线位置关系，即可判断；
利用平面向量模的性质可判断．
本题考查命题真假的判断，涉及向量的数量积运算性质，共轭复数以及复数模公式的应用，空间线线关系以及向量模公式的应用，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于选项，因为，故函数为周期函数，A正确；
对于选项，，为偶函数，B错误；
对于选项，由选项可知，函数是周期函数，且周期为，不妨考虑函数在上的值域即可，
当时，则，，
因为函数为偶函数，故函数在上的值域也为，因此，函数的值域为，C正确；
对于选项，考虑函数在上单调递减区间，
当时，，且，
由，可得，由，可得，由，可得，
所以，函数在上的递减区间为，递增区间为，，
由于函数为偶函数，故函数在上的减区间为，，，
因此，函数的单调递减区间为，，，，D错误．
故选：．
利用函数周期的定义可判断选项；利用函数的奇偶性可判断选项；考查函数在上的值域，可判断选项；求出函数的单调递减区间，可判断选项．
本题主要考查三角函数的周期，奇偶性，值域，单调区间，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】

取为的中点判断A正确；当与重合时，判断B错误；求出球心到的距离，进一步求得直线被球截得的弦长判断；由球与截面圆的关系求解最小圆的半径，得到半径最小圆的面积判断．
本题考查空间中直线与平面间的位置关系，考查正方体的内切球，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是难题．

【解答】

解：正方体的内切球的球心即正方体的中心，，
对于，当为的中点时，，，
，、平面，
平面，而平面，则，
同理，平面，可得，
，、平面，
平面，即垂直于平面，故A正确；
对于，当与重合时，平面，平面，
与平面相交，此时平面不成立，故B错误；
对于，，取的中点，
由对称性可知，，，
，，即到的距离为，
直线被球截得的弦长为，故C正确；
对于，设截面圆的半径为，到平面的距离为，则，
当到平面的距离最大时，截面圆的半径最小，
到平面的距离小于等于到的距离，
当时，，
半径最小的圆的面积为，故D正确．
故选：．

13.【答案】或 

【解析】解：为纯虚数，
，解得或．
故答案为：或．
根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，不共线，且与共线，
存在使得，
，解得．
故答案为：．
由已知利用向量共线定理列关于的方程，求解得答案．
本题考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：把矩形的直观图还原为原平面图形，如图所示；

由，，得出，
所以，，
所以原图形的面积是：
．
故答案为：．
把矩形的直观图还原为原平面图形，再根据斜二测画法得出对应边长与高，求出原图形的面积．
本题考查了斜二测画法与应用问题，也考查了平面图形面积计算问题，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，
由，
则，
则，其中，，，
又，，
即，
即，
即，
则，
故答案为：．
由任意角的三角函数的定义可得，，然后由平面向量数量积运算及三角恒等变换的辅助角公式可得，然后求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角恒等变换的辅助角公式，属中档题．
 

17.【答案】解：，
令，，解得，，
所以函数的单调递增区间为，．
，即，
因为，所以，则可得，
因为，所以，即，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，由，所以，
由正弦定理，可得． 

【解析】先利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用正弦函数的单调性即可求出；
先由解得，再由正弦定理化角为边，由余弦定理求得，再由正弦定理即可求得．
本题主要考查三角恒等变换，正弦型函数的单调性，正余弦定理在解三角形中的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：设圆锥的母线长为，底面的直径为，
所以，
因为的面积为，所以，
解得，由勾股定理有：，
由圆锥的表面积公式有：；
作圆锥的轴截面，如图，

因为球内切于圆锥，所以，所以∽，
设球的半径为，则，即，解得，
所以球的体积为，
由题知，，所以，即，解得，
所以圆的面积，
又圆的面积，圆台的高记为，所以，
由圆台的体积公式有，
所以球的体积和圆台的体积之比为． 

【解析】利用圆锥的表面积公式求解即可．
利用几何体的轴截面进行处理，分别求出球和圆台的体积．
本题考查了圆锥的表面积以及球和圆台体积的计算，主要考查了学生的运算能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：把男生样本记为，，，，平均数记为，方差记为，
把女生样本记为，，，，平均数记为，方差记为，
把样本数据的平均数记为，方差记为，高一全体学生的身高记为，
根据平均数的定义，总样本均值为：
，
高一全体学生身高的均值为：
．
根据方差的定义，总样本方差为：

，
由，得，
同理，，



．
总的样本方差为． 

【解析】根据男女生的样本均值计算总样本均值；根据男女生的平均身高得到全校所有学生的身高总和，由此能求出该校高一全体学生的平均身高；
根据男女生的样本均值和方差，直接计算样本总体的方差即可．
本题考查平均数、极差的定义、计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

20.【答案】证明：取的中点，连接、、，
在正方体中，且，
、分别为、的中点，则且，
故四边形为平行四边形，则且，
又因为且，则且，
故四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面，
因为且，故四边形为平行四边形，则，
、分别为、的中点，则，则，
平面，平面，平面，
、平面，所以，平面平面，
平面，平面．
解：延长、交与点，连接，则直线即为直线，
因为且，为的中点，则，
故点为的中点，为的中点，
在中，，
由余弦定理可得，则，
，
则，
过点在平面内作直线，垂足为点，连接，
，
所以，，
因为平面，平面，所以，
因为，，，平面，所以平面，
因为平面，所以，故二面角的平面角为，
且，故点到直线的距离为，
，
因此，二面角的平面角的余弦值为． 

【解析】取的中点，连接、、，证明出平面平面，利用面面平行的性质定理可证得结论成立；
延长、交与点，连接，则直线即为直线，然后过点在平面内作直线，垂足为点，连接，推导出点为的中点，二面角的平面角为，计算出F、，即可得解．
本题考查了线面平行的证明以及点到直线的距离和二面角的计算，属于中档题．
 

21.【答案】解：前组的频率和为：，
前组的频率和为：，
第分位数在第组，设为，则，
解得．
估计该市到岁居民年龄的第百分位数为．
由频率分布直方图得：
年龄在的人数为万人，
年龄在的人数为万人，
年龄在的人数为万人，
年龄在的人数为万人，
年龄在的人数为万人，
年龄在的人数为万人，
参数“健步走”活动的人数为万人，
参数“健步走”活动的人数为万人，
参数“健步走”活动的人数为万人，
参数“健步走”活动的人数为万人，
参数“健步走”活动的人数为万人，
参数“健步走”活动的人数为万人，
该市到岁的居民中“健步走”活动的参与人数为：
万人．

，

由调查结果可知岁以上的人比岁以下的人更喜爱“健步走”活动，
本次调查所得结果与权威部门给出的结论不相符，
产生差异的主要原因是调查的样本不一定具有代表性，
或一次取样不能客观反映总体或样本容量过小． 

【解析】根据面分位数的定义求解即可．
根据频率分布直方图求出各年龄段的人数，再求出各年龄段参与“健步走”活动的人数，能求出结果．
通过计算的数据，计算与的值，进行比较．
本题考查百分位线、频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

22.【答案】解：解：取的中点，连接，则，则．

．
因此，．
因此，．
设，设，则．
在中，，在中，．
所以，，故．
由已知，则，所以，．
若，则
可得，不合乎题意；
若，则
可得，则，此时，所以，，．
因此，． 

【解析】取的中点，连接，可得出，将用表示，即可得解；
设，设，则，利用正弦定理、诱导公式可求得角的值，可得出，求出、的值，即可得解．
本题主要考查正弦定理和诱导公式，属于中档题．