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    第12章 全等三角形复习与小结八年级数学上学期同步精品课件(人教版)
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    数学八年级上册第十二章 全等三角形12.1 全等三角形复习ppt课件

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    这是一份数学八年级上册第十二章 全等三角形12.1 全等三角形复习ppt课件,共26页。PPT课件主要包含了全等三角形,全等三角形的定义,三角形全等的判定,角的平分线,全等三角形的性质,符号语言表示等内容,欢迎下载使用。

    2.全等三角形的表示方法和有关概念
    3.全等三角形的性质及实际应用
    1.三边对应相等(SSS)
    2.两边及其夹角对应相等(SAS)
    3.两角及其夹边对应相等(ASA)
    4.两角及其中一角的对边对应相等(AAS)
    5.斜边和一条直角边对应相等(HL)
    1.性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等
    2.判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
    知识点一 全等三角形
    能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.重合的点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角.
    2、全等三角形的表示方法
    全等用符号“≌”表示,记作“△ABC≌△DEF”.
    ①对应边相等; ②对应角相等; ③周长相等; ④面积相等;⑤对应边上的高相等;⑥对应角的平分线相等;⑦对应边上的中线相等.
    ∵△ABC≌△BAD且点A和点B,点C和点D是对应顶点,∴ AB=BA,AC=BD,BC=AD.∵AD=9cm, ∴BC=9cm.
    1、△ABC≌△BAD,若点A和点B,点C和点D是对应顶点,如果AB=4cm,BD=6cm,AD=9cm,,那么BC的长是( ) A.4cm B.6cm C.9cm D.不能确定
    解:∵∠A=100°,∠B=30°.∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-100°-30°=50°.∵△ABC≌△DEF,∴∠C=∠F,AB=DE.∵∠C=50°,DE=9cm, ∴∠F=50°,AB=9cm.
    2、如图,△ABC≌△DEF,∠A=100°,∠B=30°,DE=9cm.求∠F的度数和边AB的长度.
    3、在△ABC中,∠A:∠ABC:∠ACB=3:5:10,△MNC≌△BAC,则∠BCN= ( ) A.10° B.20° C.50° D.80°
    解:设 ∠A为3x,∠ABC为5x,∠ACB 为10x.由三角形内角和得:3x+5x+10x=180°,解得x=10°.则 ∠A=30°,∠ABC=50°,∠ACB =100°.∵△MNC≌△BAC, ∴∠M=∠ABC =50°,∠N=∠A =30°,∠ACN=∠M+∠N =80°,∠BCN=∠ACB-∠ACN=20° .
    知识点二 三角形全等的判定
    在△ABC和△A′B′C′中, AB=A′B′, AC=A′C′, BC=B′C′,∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).
    1、三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或者“SSS”).
    在△ABC和△A′B′C′中, AB=A′B′, ∠B=∠B′, BC=B′C′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
    2、两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或者“SAS”).
    3、两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或者“ASA”).
    在△ABC和△A′B′C′中, ∠B=∠B′, BC=∠B′C′, ∠C=∠C′, ∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).
    4、两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或者“AAS”).
    在△ABC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′, ∠B=∠B′, BC=B′C′, ∴△ABC≌△A′B′C′(AAS).
    在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中, AC=A′C′, BC=B′C′, ∴△ABC≌△A′B′C′(HL).
    5、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或者“HL”) .
    证明两个三角形全等的基本类型
    找这条边的另外一个邻角“ASA”
    1、如图,已知点D在AB上,点E在AC上,BE和CD相交于点O,AB=AC,∠B=∠C.求证:BD=CE.
    证明:在△ADC和△AEB中, ∠A=∠A, AC=AB, ∠C=∠B, ∴△ADC≌△AEB(ASA). ∴AD=AE. ∵AB=AC, ∴AB-AD=AC-AE,即BD=CE.
    2、如图,已知AC//BD,AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,求证:AB=AC+BD.
    证明:方法一:在线段AB上截取AF=AC,连接EF. ∵AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA, ∴∠1=∠2,∠3=∠4. 在△ACE和△AFE中, AC=AF, ∠1=∠2, AE=AE, ∴△ACE≌△AFE(SAS). ∴∠5=∠C.
    (1)截长法,即在长线段上截取一段,使其等于其中一短线段,然后证明剩下的线段等于另一短线段;(2)补短法,即延长短线段,使其延长部分等于另一短线段,再证明延长后的线段等于长线段,或者延长短线段,使其等于长线段,然后证明延长的部分等于另一短线段.
    “倍长中线法”构造全等三角形解决问题:
    知识点三 角的平分线
    1、作已知角的平分线?
    作法:(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧线,交OA于点N,交OB于点M.(2)分别以M、N为圆心,大于 MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部相交于点C.(3)画射线OC,射线OC即为所求.
    2、角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
    ∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE.
    3、角的平分线的判定:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
    ∵PD⊥OA,PE⊥OB,且PD=PE. ∴点P在∠AOB的平分线OC上.
    1、如图,在△ABC中,AD是它的角平分线.求证:S△ABD:S△ACD=AB:AC.
    证明:过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.∵AD是△ABC的角平分线,∴DE=DF.又∵S△ABD= AB∙DE,S△ACD= AC∙DF,∴S△ABD:S△ACD=AB:AC.
    2、如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D,E,F是OC上的另一点,连接DF,EF.求证:DF=EF.
    证明:∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠POD=∠POE,DP=EP. ∴∠DPF=∠POD+∠ODP,∠EPF=∠POE+∠OEP. ∴∠DPF=∠EPF. 在△DPF和△EPF中, DP=EP, ∠DPF=∠EPF, PF=PF, ∴△DPF≌△EPF(SAS). ∴DF=EF.
    3、如图,点C在线段AB上,AD//EB,AC=BE,AD=BC,CF平分∠DCE.试探索CF和DE的位置关系,并说明理由.
    解:CF⊥DE,证明如下: ∵AD//EB, ∴∠A=∠B. 在△ACD和△BEC中, AD=BC, ∠A=∠B, AC=BE, ∴△ACD≌△BEC(SAS). ∴CD=EC.
    ∵CF平分∠DCE, ∴∠DCF=∠ECF. 在△DCF和△ECF中, CD=CE, ∠DCF=∠ECF, CF=CF, ∴△DCF≌△ECF(SAS). ∴∠CFD=∠CFE. ∵∠CFD+∠CFE=180°, ∴∠CFD=∠CFE=90°. ∴CF⊥DE.
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