人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》单元测试卷（较易）（含答案解析）

人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》单元测试卷

考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分150分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 椭圆的左右焦点分别是，，过作倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若垂直于轴，则椭圆的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴长，焦距为，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知，是双曲线的左右焦点，过的直线与曲线的右支交于两点，则的周长的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 直线：与双曲线：的左右两支各有一个交点，则的取值范围为(    )

A. 或 B.
C.  D.

5. 已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，离心率为，则该双曲线的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图所示，已知抛物线过点，圆，过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 已知抛物线上的点到其准线的距离为，直线交抛物线于，两点，且的中点为，则到直线的距离为(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

8. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，如果，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 已知椭圆：的左、右焦点为，，为坐标原点，直线过交于，两点，若的周长为，则(    )

A. 椭圆焦距为 B. 椭圆方程为
C. 弦长 D.

10. 多选已知椭圆，则下列结论正确的是(    )

A. 若，则的离心率为
B. 若的离心率为，则
C. 若，为的两个焦点，直线过点且与交于点，，则的周长为
D. 若，分别为的左、右顶点，为上异于点，的任意一点，则，的斜率之积为

11. 已知双曲线，则(    )

A. 的焦距为
B. 的虚轴长是实轴长的倍
C. 双曲线与的渐近线相同
D. 直线上存在一点在上

12. 已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，若，则(    )

A.  B.
C.  D. 的坐标为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知椭圆的右顶点为，右焦点为，以为圆心，为半径的圆与椭圆相交于，两点．若直线过点，则的值为________．
14. 设为双曲线上一点，，两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限．若，则的面积为________．
15. 已知抛物线，过焦点作直线与抛物线交于点，两点，若，则点的坐标为          ．
16. 已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点．若以线段的中点为圆心，作半径为的圆恰好与抛物线的准线相切，则直线的方程为________．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.  已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为．

求椭圆的方程；

若直线与椭圆相交于不同两点、，求．

18. 已知椭圆的中心在原点，其中一个焦点与抛物线的焦点重合，点在椭圆上．
    Ⅰ求椭圆的标准方程；
    Ⅱ若直线：与椭圆交于不同的两点，，且线段的垂直平分线过定点，求实数的取值范围．
19. 已知椭圆的长轴长为，且短轴长是长轴长的一半．

求椭圆的方程；

经过点作直线，交椭圆于、两点．如果恰好是线段的中点，求直线的方程．

20. 已知双曲线 的渐近线方程为，且双曲线 过点．求双曲线 的方程；
    若直线 与双曲线 只有一个公共点，求实数 的值．
21. 已知双曲线：的离心率为，虚轴长为，

求双曲线的标准方程；

若过点，倾斜角为的直线与双曲线交于，两点，为坐标原点，求的面积．

22. 如图，抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点，，均在抛物线上．
    
    求抛物线的方程；
    若的平分线垂直于轴，证明直线的斜率为定值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直角三角形中的边角关系，椭圆的简单性质，属于基础题．
在中，建立关于、的方程，即可得到的值．

【解答】

解：如图所示，

在中，，，
，，
又，则，
故本题选A．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了椭圆的定义，属于基础题．
利用椭圆的定义，的周长为，即可求解，得到答案．

【解答】

解：由题意，椭圆的半长轴为，
所以的周长为，
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了双曲线的概念及标准方程，双曲线的性质及几何意义，直线与双曲线的位置关系的应用，属基础题．

根据双曲线的定义和性质，当弦垂直于轴时，即可求出三角形的周长的最小值．

【解答】

解：由双曲线可知：，

，

的周长为．

当轴时，的周长最小值为．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，属于基础题．
直线：与双曲线：的渐近线平行时，，与双曲线的右支只有一个交点，结合题意，即可得出结论．

【解答】

解：直线：与双曲线：的渐近线平行时，，与双曲线的右支只有一个交点，
直线：与双曲线：的左右两支各有一个交点，
的取值范围为，
故选D．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了双曲线标准方程与简单性质，考查了双曲线的基础知识的掌握，属于基础题．
根据焦距求得，利用离心率求得，则可求得，即可求得双曲线的方程．

【解答】

解：由题意可设双曲线的标准方程为，
因为双曲线的焦距为，则，所以，
又双曲线的离心率为，所以，
则，
所以双曲线的标准方程为．
故本题选B．

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦的性质及基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题．设抛物线的标准方程，将点代入抛物线方程，求得抛物线方程，由抛物线的焦点弦性质，求得，于是，根据基本不等式，即可求得结果．
【解答】
解：设抛物线的方程：，则，则，
抛物线的标准方程：，焦点坐标，
由直线过抛物线的焦点，则，
圆：圆心为，半径，
所以
，
的最小值为．
故选D．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了抛物线的几何性质与标准方程，考查了点到直线的距离公式，考查了利用点差法求斜率，属于基础题．
首先求出直线的方程与点的坐标，然后由点到直线的距离求解即可．

【解答】

解：到准线的距离为，

点的坐标为或，

设、，

，，

两式相减可得，

即，

直线的方程为：，

，

故选B．

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查抛物线的定义及标准方程．
根据抛物线的标准方程求出焦点及准线，再利用定义即可求解．
【解答】
解：抛物线的焦点为，准线方程为．
根据题意可得，．
故选B．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆定义的应用，直线与椭圆位置关系，椭圆中的弦长及面积问题，属基础题．
依题意，，可判断，根据椭圆定义得，，进而求得，判断，
联立，根据弦长公式求得，可判断，求出到直线的距离，计算三角形的面积，可判断．

【解答】

解：直线过，得，即，椭圆焦距为，故A错误；
的周长为，根据椭圆定义得的周长为，所以，得，
所以，所以椭圆方程为，故B正确；
设
联立得，
易得，
，
所以，故C正确；
到直线的距离，
所以故D错误．
故选BC．

10.【答案】 

【解析】【解析】选项A，离心率，若，则，所以不正确选项B，离心率，则，所以B正确选项C，根据椭圆的定义可知C正确选项D，设

，则，由椭圆方程可知， ，所以 ，所以D正确故选BCD．

11.【答案】 

【解析】解：因为，，所以，，焦距为，A错误
由，，得，B正确
双曲线与的渐近线均为，C正确
由，得，即，此方程无解，
所以直线上不存在点在上，D错误．
故选BC．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查抛物线的概念及标准方程、抛物线的性质及几何意义，属于基础题．
根据题意对各选项逐项判定，即可求出结果 
【解答】
解：抛物线：，
所以，
所以抛物线的焦点坐标为，所以不正确；
点在抛物线上，
所以，所以，所以A正确；
将代入抛物线方程，可得，所以不正确；
，所以C正确．
故选AC．
  

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查椭圆的标准方程和简单性质，考查了圆锥曲线中的对称性问题和直线与椭圆的位置关系，属于基础题．
利用椭圆的标准方程，结合椭圆的几何性质可得到右顶点和右焦点的坐标，再根据圆和椭圆均关于轴对称，得到，两点关于轴对称，故BC垂直轴，从而得到直线的方程，直线和椭圆联立，求出其中一个交点即可得到．
【解答】
解：依题意，椭圆的右顶点的坐标为，右焦点坐标为，
以为圆心的圆关于轴对称，椭圆也关于轴对称，
故圆与椭圆的交点，两点必然关于轴对称，
因为直线过点，故BC过焦点且与轴垂直，
故直线的方程为，
由
不妨设点在轴上方，则点坐标为，
圆半径，
故答案是．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系．设，，根据得点的坐标代入双曲线方程化简整理，与的关系式，设，进而根据直线的斜率求得，进而求得，进而表示出，得到的面积的表达式，求得面积即可．
【解答】
解：双曲线的渐近线方程为，设，，其中，，
由得点的坐标为，
将点的坐标代入，整理得．
设，，．
又，，
．
故答案为．  

15.【答案】或 

【解析】解：如图所示，．
，，解得．
代入抛物线方程可得，或，
点的坐标为或
故答案为：或
由抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，由焦半径公式求得的横坐标，代入抛物线方程即可求得点的坐标．
本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线焦半径公式的应用，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
设，，直线的倾斜角为，则可得，
由此解得直线的斜率，进而求出答案．
【解答】
解：如图，
设，，
设直线的倾斜角为，过点，作准线的垂线，垂足分别为，，
过作的垂线，垂足为，
则根据抛物线的性质得：，
所以，同理得
则．
又因为，所以，所以，所以直线的方程为．
故答案为．  

17.【答案】解：根据题意，椭圆的短轴一个端点到右焦点的距离为，则有，
又由椭圆的离心率为，则有，
则有，
则，
则椭圆的标准方程为：
设．
由可得：椭圆的标准方程为：，
直线的方程为：，
联立，消去得，
则有，
． 

【解析】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的标准方程，属基础题．
根据题意，由椭圆的几何性质可得且，解可得的值，
进而计算可得的值，将、的值代入椭圆的标准方程，即可得答案；
联立直线与椭圆的方程，可得方程，结合根与系数的关系由弦长公式计算可得答案．
 

18.【答案】解：抛物线的焦点为，故为椭圆的右焦点，
设椭圆方程为，则
解得或舍去
，，
椭圆的标准方程为．
线段的垂直平分线方程为：，
设，，
联立方程组，消去得：，
，即．
由根与系数的关系可得：，，
设线段的中点为，则，
代入得：，即，
，即，
解得或．
的取值范围是． 

【解析】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
求出抛物线的焦点，利用待定系数法列方程得出，的值即可得出椭圆方程；
根据根与系数的关系求出的中点坐标，代入的中垂线方程得出，的关系，再根据判别式解出的范围．
 

19.【答案】解：根据题意，椭圆的长轴长为，且短轴长是长轴长的一半．即，则，，则，因此，椭圆的方程为；
由得椭圆的方程为，
设点、，由于点为线段的中点，
则，得．
由于点、在椭圆上，则
两个等式相减得，
即，
即，
所以，直线的斜率为．
因此，直线的方程为，即． 

【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆的标准方程，属于综合题．
根据题意，由椭圆的几何性质分析可得、的值，将、的值代入椭圆方程即可得答案；
设点、，再代入椭圆的方程后，利用作差法可解得直线的斜率，故可得直线的方程．
 

20.【答案】解：由题意得，解得
双曲线的方程为；
由，得．
当，即时，直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点；
当，即时，由题意得，
．
综上所述，实数的取值范围为． 

【解析】本题主要考查双曲线方程的求法，考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力．

由题意得，解方程组即得双曲线的方程；
由，得，对与的关系分类讨论，当时，可知直线与双曲线的渐近线平行，满足条件；当时，结合判别式即可求得实数的值．

21.【答案】解：依题意可得 ，

解得， 

双曲线的标准方程为；

直线的方程为，

设、，

由，可得，

由韦达定理可得，，

即，

原点到直线的距离为， 

于是，

的面积为．

【解析】本题考查双曲线的方程、双曲线的简单几何性质及直线与双曲线的位置关系，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．

根据已知条件及可得关于的方程组，从而可求得；

由点斜式可得直线方程，与双曲线联立消去可得关于的一元二次方程可得两根之和，两根之积由弦长公式可得 ，根据点到面的距离公式可得原点到直线的距离，从而可求得的面积．

22.【答案】解：由题意可设抛物线的标准方程为， 
把点代入抛物线方程可得，解得， 
抛物线的方程为；
证明：若的平分线垂直于轴，则，
，
，
．
直线的斜率
，
则直线的斜率为定值． 

【解析】本题考查抛物线的标准方程及其性质、斜率计算公式，考查推理能力与计算能力，属于较难题．
由图与题意可设抛物线的标准方程为把点代入抛物线方程解得即可得出；
若的平分线垂直于轴，则化简可得，再计算直线的斜率，结论成立．