人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册期末测试卷（较易）（含答案解析）

人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册期末测试卷

考试范围：选择性必修一全册；考试时间：120分钟；总分150分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 设直线 的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于(    )

A.  B.  C.  D.

3. 圆和圆交于，两点，则的垂直平分线的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 在平面直角坐标系中，下列四个结论中，正确的个数为(    )

每一条直线都有点斜式和斜截式方程

倾斜角是钝角的直线，斜率为负数

方程与方程可表示一条直线

直线过点，倾斜角为，则其方程为．

A.  B.  C.  D.

5. 若椭圆和双曲线有相同的焦点，，是两曲线的一个交点，那么的值等于  (    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限的公共点．若，则的离心率是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知是，的等比中项，则圆锥曲线的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 设圆上的动点到直线的距离为，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 已知空间中三点，，，则下列说法不正确的是(    )

A. 与是共线向量
B. 与同向的单位向量是
C. 与夹角的余弦值是
D. 平面的一个法向量是

10. 以下命题正确的是(    )

A. 直线的方向向量为，直线的方向向量，则
B. 直线的方向向量，平面的法向量，则；
C. 平面的法向量分别为，，则；
D. 平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则．

11. 下列说法不正确的是(    )

A. 经过定点的直线都可以用方程表示
B. 在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程来表示
C. 经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示
D. 经过点，两点的直线方程为

12. 已知曲线：(    )

A. 若，则是椭圆，其焦点在轴上
B. 若，则是圆，其半径为
C. 若，则是双曲线，其渐近线方程为
D. 若，，则是两条直线

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 以下五个关于圆锥曲线的命题中：

双曲线与椭圆有相同的焦点；

方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

设、为两个定点，为常数，若，则动点的轨迹为双曲线；

过抛物线的焦点作直线与抛物线相交于、两点，则使它们的横坐标之和等于的直线有且只有两条；

过定圆上一点作圆的动弦，为原点，若，则动点的轨迹为椭圆．

其中真命题的序号为__________写出所有真命题的序号．

14. 过点的直线将圆分成两段圆弧，要使这两段弧长之差最大，则该直线的方程为_______
15. 已知空间向量，空间向量满足且，则          ．
16. 下列关于空间向量的说法中，正确的有________

若向量与空间任意向量都不能构成基底，则   

若非零向量满足，，，则有

是共线的充分不必要条件

  若共线，则

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，是等腰三角形，，是的一个三等分点靠近点，与的延长线交于点，连接．
     

求异面直线与所成角的余弦值；

求二面角的正切值．

18. 已知向量，，若向量同时满足下列三个条件：；；与垂直．

求向量的坐标；

若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值．

19. 已知的三顶点是，，，直线平行于，交，分别于，，且、分别是、的中点．求：
    
    直线边上的高所在直线的方程．
    直线所在直线的方程．
20. 求经过直线：与直线：的交点，且满足下列条件的直线方程．

与直线平行；

与直线垂直．

21. 椭圆的左右焦点分别为，，点为椭圆上动点，且的内切圆面积最大值为．

求椭圆的标准方程；

若直线与椭圆交于点，且，求的面积的最小值 

22. 求与椭圆有共同焦点且过点的双曲线的标准方程；已知抛物线的焦点在轴上，抛物线上的点到焦点的距离等于，求抛物线的标准方程和的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线的方向向量和平面法向量的运用，属于基础题．
因为直线与平面平行，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直，即有，计算即可．

【解答】

解：直线平面，
直线的方向向量与平面的法向量垂直，
即有，
，解得．
故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的夹角公式，涉及模长的求解，属于基础题．
由向量坐标可得向量的数量积和向量的模长，代入夹角公式计算可得．

【解答】

解：设，所成的角为，
则，．
故答案为： ．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查两圆相交弦的有关综合问题，解题关键是由平面几何知识知的垂直平分线就是连心线，属于基础题．
由题可知，两圆的圆心分别为，，由平面几何知识知的垂直平分线就是连心线，所以连心线的斜率为，利用点斜式即可得到答案．

【解答】

解：整理两圆的方程可得，，
两圆的圆心分别为，，
由平面几何知识知的垂直平分线就是圆心连线，
连心线的斜率为，
直线方程为，整理得，
故选C．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线方程的性质，属于基础题．
根据直线方程的性质，即可得到答案．

【解答】

解：对于，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故错；
对于，由倾斜角与斜率的关系知，倾斜角是钝角的直线，斜率为负数，正确；
对于，方程与方程不表示同一直线，故错；
对于，直线过点，倾斜角为，则其方程为，正确；
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：由题意，不妨设在双曲线的右支上，  则，，，，故选A．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确运用椭圆、双曲线的几何性质是关键．
利用双曲线的定义，可求出，，进而有，由此可求的离心率．

【解答】

解：由题意知，，
，
，
，
，
的离心率是．
故选B．

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查圆锥曲线的离心率的求解，属于中档题．
根据题意，由等比数列的性质计算可得，分种情况讨论：当时，圆锥曲线表示椭圆，当时，圆锥曲线表示双曲线，分别求出此时的离心率，综合可得答案．
【解答】
解：根据题意，是两个正数，的等比中项，则有，
解可得，
当时，圆锥曲线表示椭圆，
其中，，
则，
其离心率；
当时，圆锥曲线表示双曲线，
其中，，
则，
其离心率；
则其离心率为或．
故选B．  

8.【答案】 

【解析】解：把圆化为标准式，
则：圆心到直线的距离，
所以：直线和圆相离．
所以圆上的动点到直线的距离的最大值为，
圆上的动点到直线的距离的最小值为．
故：，
即的取值范围是：
故选：．
首先把圆的一般式转换为标准式，进一步确定直线和圆的位置关系，最后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据圆中最值问题的解法求出结果．
本题考查的知识要点：圆的一般式和标准式的转换，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系的应用，圆中最值问题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的坐标表示，空间向量共线的坐标表示，空间向量数量积，平面法向量的求法，属于中档题．
分别表示出向量，，，即可以判断与是否共线，与同向的单位向量，与夹角大小，以及平面的法向量．

【解答】

解：根据题意两个向量的坐标表示，
可得，，
则为常数，所以与不是共线向量，
所以A错误；
B.结合题意可得：向量的模长等于，
但是为常数，所以B错误；
C.，，
所以，
所以C错误
D.设平面的一个法向量是，
利用，即
取，得，，
则平面的一个法向量是，所以 D正确．
故选ABC．

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查利用平面的法向量判断线面关系、面面关系，属于基础题．
根据直线、的方向向量与垂直，得出；根据直线的方向向量与平面的法向量垂直，不能得出；根据平面、的法向量与不共线，不能得出；求出向量与的坐标表示，再利用平面的法向量，列出方程组求出的值．
【解答】
解：，，
，
，
直线与垂直，A正确；
，，
，
，
或，B错误；
，，
不共线，所以与不平行，故C错误；
点，，，
，向量是平面的法向量，
，即，则，D正确．
故选AD．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查直线的形式，是基础题型．
结合题意，根据选项即可判断．

【解答】

解：若经过定点的直线斜率不存在，
则直线方程不可以用方程表示，故选项A错误：
在坐标轴上截距相等的直线若经过原点，则该直线方程不可以用方程来表示，故选项B错误
方程表示经过任意两个不同的点，的直线，
但需要满足条件，，故选项C错误：
经过点，两点的直线方程为，故D正确．
故选ABC．

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查圆锥曲线的相关概念，考查逻辑推理能力，属于基础题．
结合选项，依次判断即可．
【解答】

解：对于，若，则可化为，
因为，所以，
即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对于，若，则可化为，
此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；
对于，若，则可化为，
此时曲线表示双曲线，
由可得，
则其渐近线方程为，故C正确；
对于，若，则可化为，
，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选ACD．

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查命题的真假判断与应用，综合考查椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程、几何性质的应用，考查圆的参数方程的应用，属于难题．
根据椭圆和双曲线的是否相同即可判断．
根据椭圆和双曲线离心率的范围进行判断．
根据双曲线的定义进行判断．
根据抛物线的定义和性质进行判断．
根据圆锥曲线的方程进行判断．
【解答】
解：由得，，则，即，
由椭圆得，，则，即，
则双曲线和椭圆有相同的焦点，故正确；
方程的两根分别为和，不能分别作为椭圆和双曲线的离心率，故不正确；
平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线，
当时是双曲线的一支，当时，表示射线，故不正确；
过抛物线的焦点作直线与抛物线相交于、两点，
当直线的斜率不存在时，横坐标之和等于，不合题意，
当直线的斜率为时，只有一个交点，不合题意，
设直线的斜率为，则直线为，
代入抛物线得，，
、两点的横坐标之和等于，
，解得，
这样的直线有且仅有两条，故正确；
设定圆的方程为，其上定点，设，，
由得，消掉参数，得：，即动点的轨迹为圆，故错误．
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查直线和圆的位置关系和性质，属于基础题．
由题意和圆的知识得出直线过点，且垂直于过点的直径，由直线的知识易得答案．
【解答】
解：由题意可知要使这两段弧长之差最大，
需使直线过点，且垂直于过点的直径，
由题意可得过点的直径的斜率为，
故所求直线的斜率为，
故所求直线的方程为，
化为一般式可得．
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了共线向量定理，空间向量的数乘运算，空间向量的数量积及运算律和空间向量的正交分解及其坐标表示，属于基础题．
利用共线向量定理得，，再利用空间向量的数量积，再利用再利用空间向量的数量积的坐标运算得，最后利用空间向量数乘运算的坐标运算得结论．
【解答】
解：因为，所以可设，，
因此由得．
又因为，所以，
因此，解得，
所以  

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查空间向量的平行与垂直的判断与运用，涉及空间向量的基底、充分不必要条件等，属于基础题．
根据空间向量的基底的概念、向量平行的概念、向量的数量积逐个分析或举反例解答．
【解答】
解：由于向量与空间任意向量都不能构成基底，所以向量共线，故，正确；
如正方体中，，错误；
，，共线，反过来，若，满足向量共线但未必成立，正确；
若，，，在一条线上满足共线，但，不平行，错误．
故答案为：  

17.【答案】解：分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系．

因为是的一个三等分点靠近点，
所以，．
因为是等腰三角形，且，
所以．
不妨设，
则，，，．
又由平行线分线段成比例，
得，
所以．
所以点，，，，
则，．
设异面直线与所成角为，
则．
所以异面直线与所成角的余弦值为．
建系，求点的坐标同，
则，．
设平面的法向量为，
则得
令，得平面的一个法向量为；
又易知平面的一个法向量为．
设二面角的大小为，由题意得为锐角，
所以，
则．
所以二面角的正切值为． 

【解析】本题考查异面直线所成角与二面角的平面角问题，解题的关键在于建立空间直角坐标系．
建立空间直角坐标系，读出相应点的坐标，借助向量夹角公式求解即可；
分别求出两个半平面的法向量是解决本题的关键，然后借助法向量的夹角向二面角的平面角转化即可．
 

18.【答案】解  设，则由题意可知解得，或或．
向量与向量共线，，
又，，，，
，且，，
与夹角的余弦值为． 

【解析】本题考查空间向量的概念、运算以及求向量的模，夹角，属于中档题．
 设根据条件建立方程组，即可解得结果．
向量与向量共线，，再根据向量夹角的余弦公式求解．
 

19.【答案】解：，与直线垂直的直线斜率为：，
直线边上的高所在直线的方程为：，化为．
线段的中点，即．
，直线所在直线的方程为：，即． 

【解析】本题考查了平行线及两直线垂直与斜率的关系、点斜式、斜率计算公式、中点坐标公式、三角形中位线定理，属于较易题．
利用斜率计算公式可得，可得与直线垂直的直线斜率为：，利用点斜式即可得出．
线段的中点，根据，可得，即可得出直线所在直线的方程．
 

20.【答案】解：联立
解得，可得交点．
若直线平行于直线，则斜率为，
故可得方程为，即；
若直线垂直于直线，则斜率为，
故可得方程为，即． 

【解析】本题考查了直线的交点、相互平行垂直的直线与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
先联立，解得交点．
由平行关系可得直线的斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可；
由垂直关系可得直线的斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可．
 

21.【答案】解：由题意可知：椭圆的焦点在轴， 
由条件可知， 
设内切圆半径为， 
由的面积为丨丨丨丨丨丨 
当最大，则最大， 
当为椭圆上下顶点时，的面积最大，其内切圆面积取得最大值， 
，解得：， 
的面积最大值， 
整理得：， 
由，则，， 
椭圆的标准方程为：；
 由椭圆的对称性可知点和点关于原点对称，
由题意可知，所以：，
设，，
由，消去得，
则，所以，
同理可得，，
所以，
则当 则，
又，则，取得最小值． 

【解析】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式合理运用，属于难题．
由题意可知由的面积为丨丨丨丨丨丨，当最大，则最大，而，解方程即可； 
由椭圆的对称性可知点和点关于原点对称，由题意可知，所以，设，，，利用根与系数的关系结合弦长公式得，表示出三角形的面积，，利用二次函数求最值．
 

22.【答案】解：椭圆的焦点为，，
设双曲线的标准方程为：，则，，
解得，，
所求双曲线的标准方程为．
设抛物线方程为，则焦点，准线方程为，
根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于，也就是点到准线的距离为，则，，
因此，抛物线方程为，
又点在抛物线上，于是，． 

【解析】本题考查了椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质，属于基础题．
本题主要考查椭圆和双曲线的简单性质，根据椭圆的方程求出椭圆的焦点坐标，利用双曲线的性质即可求解；
设抛物线方程为，根据抛物线的定义即可求解．