吉林省长春市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题

这是一份吉林省长春市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题，共58页。试卷主要包含了，其中a＝﹣4，，其中a＝+4，，其中a＝，之间的函数关系如图所示等内容，欢迎下载使用。

吉林省长春市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题
一．整式的混合运算—化简求值（共3小题）
1．（2022•长春）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝﹣4．
2．（2021•长春）先化简，再求值：（a+2）（a﹣2）+a（1﹣a），其中a＝+4．
3．（2020•长春）先化简，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a＝．
二．一元二次方程的应用（共1小题）
4．（2022•长春）党的十八大以来，我国把科技自立自强作为国家发展的战略支撑，科技事业发生了历史性、整体性、格局性变化，成功跨入创新型国家的行列，专利项目多项指数显著攀升．如图是长春市2016年到2020年专利授权情况的统计图．

根据以上信息回答下列问题：
（1）长春市从2016年到2020年，专利授权量最多的是 　 　年；
（2）长春市从2016年到2020年，专利授权量年增长率的中位数是 　 　；
（3）与2019年相比，2020年长春市专利授权量增加了 　 　件，专利授权量年增长率提高了 　 　个百分点；（注：1%为1个百分点）
（4）根据统计图提供的信息，有下列说法，正确的画“√”，错误的画“×”．
①因为2019年的专利授权量年增长率最低，所以2019年的专利授权量的增长量就最小． 　 　
②与2018年相比，2019年的专利授权量年增长率虽然下降，但专利授权量仍然上升．这是因为专利授权量年增长率＝×100%，所以只要专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加． 　 　
③通过统计数据，可以看出长春市区域科技创新力呈上升趋势，为国家科技自立自强贡献吉林力量． 　 　

三．分式方程的应用（共3小题）
5．（2022•长春）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？
6．（2021•长春）为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米的售价仅比普通大米多2元，用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同．求每千克有机大米的售价为多少元？
7．（2020•长春）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？
四．一次函数的应用（共3小题）
8．（2022•长春）已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；
（3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．

9．（2021•长春）《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：
【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表：
供水时间x（小时）
0
2
4
6
8
箭尺读数y（厘米）
6
18
30
42
54
【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x．纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点．
②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
①供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？
②如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）

10．（2020•长春）已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）甲车的速度为　 　千米/时，a的值为　 　．
（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．
（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．

五．二次函数综合题（共3小题）
11．（2022•长春）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx（b是常数）经过点（2，0）．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（m≠0）．以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ＝2|m|，且PQ⊥x轴．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结BC．当BC＝4时，求点B的坐标；
（3）若m＞0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围；
（4）当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值．
12．（2021•长春）在平面直角坐标系中，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m（m为常数）的顶点为A．
（1）当m＝时，点A的坐标是 　 　，抛物线与y轴交点的坐标是 　 　；
（2）若点A在第一象限，且OA＝，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；
（3）当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+2m的最小值为3，求m的值；
（4）分别过点P（4，2）、Q（4，2﹣2m）作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m的值．

13．（2020•长春）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标．
（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．
（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．
（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．

六．平行四边形的性质（共1小题）
14．（2020•长春）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：OE＝OF．
（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．

七．四边形综合题（共4小题）
15．（2022•长春）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形ABCD为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD＝AB．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想△ADG≌△AFG．

【问题解决】小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．
由折叠可知，∠BAF＝∠BAD＝45°，∠BFA＝∠EFA．
∴∠EFA＝∠BFA＝45°．
∴AF＝AB＝AD
请你补全余下的证明过程．
【结论应用】
（1）∠DAG的度数为 　 　度，的值为 　 　；
（2）在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP＝AB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图②．设AB＝a，则FQ+PQ的最小值为 　 　．（用含a的代数式表示）

16．（2022•长春）如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝BD＝，点M为边AB的中点．动点P从点A出发，沿折线AD﹣DB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，连结PM．作点A关于直线PM的对称点A'，连结A'P、A'M．设点P的运动时间为t秒，
（1）点D到边AB的距离为 　 　；
（2）用含t的代数式表示线段DP的长；
（3）连结AD，当线段A'D最短时，求△DPA'的面积；
（4）当M、A'、C三点共线时，直接写出t的值．

17．（2021•长春）实践与探究
操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF＝　 　度．
操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则∠AEF＝　 　度．
在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：
（1）设AM与NF的交点为点P．求证：△ANP≌△FNE；
（2）若AB＝，则线段AP的长为 　 　．

18．（2020•长春）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．
1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？
【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．
【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．
【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则＝　 　．


八．作图—应用与设计作图（共3小题）
19．（2022•长春）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）网格中△ABC的形状是 　 　；
（2）在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；
（3）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；
（4）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．


20．（2021•长春）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：
（1）在图①中，连结MA、MB，使MA＝MB；
（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使MA＝MB＝MC；
（3）在图③中，连结MA、MC，使∠AMC＝2∠ABC．

21．（2020•长春）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．
要求：
（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；
（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；
（3）点C在格点上．

九．几何变换综合题（共2小题）
22．（2021•长春）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，点D为边AC的中点．动点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合时，连结PD．作点A关于直线PD的对称点A′，连结A′D、A′A．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段AD的长为 　 　；
（2）用含t的代数式表示线段BP的长；
（3）当点A′在△ABC内部时，求t的取值范围；
（4）当∠AA′D与∠B相等时，直接写出t的值．

23．（2020•长春）如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连接PQ交AC于点E，连接DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．
（1）当点P与点B重合时，求t的值．
（2）用含t的代数式表示线段CE的长．
（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．
（4）如图②，取PD的中点M，连接QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．

一十．相似三角形的判定与性质（共1小题）
24．（2021•长春）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点E在边AD上，AE＝AD，连结BE交AC于点M．
（1）求AM的长．
（2）tan∠MBO的值为 　 　．

一十一．解直角三角形（共1小题）
25．（2022•长春）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若＝，则tan∠BCF的值为 　 　．

一十二．条形统计图（共1小题）
26．（2021•长春）稳定的粮食产量是人民幸福生活的基本保障，为了解粮食产量情况，小明查阅相关资料得到如下信息：长春市2020年的粮食总产量达到960万吨，比上年增长约9%．其中玉米产量增长约12%，水稻产量下降约2%，其他农作物产量下降约10%．

根据以上信息回答下列问题：
（1）2020年玉米产量比2019年玉米产量多 　 　万吨．
（2）扇形统计图中n的值为 　 　．
（3）计算2020年水稻的产量．
（4）小明发现如果这样计算2020年粮食总产量的年增长率：＝0，就与2020年粮食总产量比上年增长约9%不符，请说明原因．
一十三．折线统计图（共1小题）
27．（2020•长春）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．
2014﹣2019年长春市空气质量级别天数统计表
空气质量级别
天数
年份
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
2014
30
215
73
28
13
6
2015
43
193
87
19
15
8
2016
51
237
58
15
5
0
2017
65
211
62
16
9
2
2018
123
202
39
0
1
0
2019
126
180
38
16
5
0
根据上面的统计图表回答下列问题：
（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是　 　年．
（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为　 　天，平均数为　 　天．
（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是　 　年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为　 　（精确到1%）．
（空气质量为“优”的天数的增长率＝×100%）
（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．

一十四．列表法与树状图法（共3小题）
28．（2022•长春）抛掷一枚质地均匀的普通硬币，仅有两种可能的结果：“出现正面”或“出现反面”，正面朝上记2分，反面朝上记1分．小明抛掷这枚硬币两次，用画树状图（或列表）的方法，求两次分数之和不大于3的概率．
29．（2021•长春）在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字1、2、3，每个小球除数字不同外其余均相同．小明和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜，摸到相同数字记为平局．小明从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小亮再从口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小明获胜的概率．
30．（2020•长春）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B）


参考答案与试题解析
一．整式的混合运算—化简求值（共3小题）
1．（2022•长春）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中a＝﹣4．
【解答】解：（2+a）（2﹣a）+a（a+1）
＝4﹣a2+a2+a
＝4+a，
当a＝﹣4时，原式＝4+﹣4
＝．
2．（2021•长春）先化简，再求值：（a+2）（a﹣2）+a（1﹣a），其中a＝+4．
【解答】解：原式＝a2﹣4+a﹣a2
＝a﹣4，
当a＝+4时，原式＝+4﹣4＝．
3．（2020•长春）先化简，再求值：（a﹣3）2+2（3a﹣1），其中a＝．
【解答】解：原式＝a2﹣6a+9+6a﹣2
＝a2+7．
当a＝时，原式＝（）2+7＝9．
二．一元二次方程的应用（共1小题）
4．（2022•长春）党的十八大以来，我国把科技自立自强作为国家发展的战略支撑，科技事业发生了历史性、整体性、格局性变化，成功跨入创新型国家的行列，专利项目多项指数显著攀升．如图是长春市2016年到2020年专利授权情况的统计图．

根据以上信息回答下列问题：
（1）长春市从2016年到2020年，专利授权量最多的是 　2020　年；
（2）长春市从2016年到2020年，专利授权量年增长率的中位数是 　18.1%　；
（3）与2019年相比，2020年长春市专利授权量增加了 　5479　件，专利授权量年增长率提高了 　30.2　个百分点；（注：1%为1个百分点）
（4）根据统计图提供的信息，有下列说法，正确的画“√”，错误的画“×”．
①因为2019年的专利授权量年增长率最低，所以2019年的专利授权量的增长量就最小． 　×　
②与2018年相比，2019年的专利授权量年增长率虽然下降，但专利授权量仍然上升．这是因为专利授权量年增长率＝×100%，所以只要专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加． 　√　
③通过统计数据，可以看出长春市区域科技创新力呈上升趋势，为国家科技自立自强贡献吉林力量． 　√　

【解答】解：（1）根据题意得：从2016年到2020年，专利授权量最多的是2020年，
故答案为：2020；
（2）把专利授权量年增长率从小到大排列为：15.8%，16.0%，18.1%，25.4%，46.0%，
位于正中间的是18.1%，
∴专利授权量年增长率的中位数是18.1%，
故答案为：18.1%；
（3）与2019年相比，2020年长春市专利授权量增加了17373﹣11894＝5479件；
专利授权量年增长率提高了46.0%﹣15.8%＝30.2%，
专利授权量年增长率提高了30.2个百分点，
故答案为：5479，30.2；
（4）①因为2017年的专利授权量的增长量为8190﹣7062＝1128件，
2019年的专利授权量的增长量11894﹣10268＝1626件，
所以2019年的专利授权量的增长量高于2017年的专利授权量的增长量，故①错误，
故答案为：×；
②因为专利授权量年增长率＝×100%，
所以只要专利授权量年增长率大于零，当年专利授权量就一定增加，故②正确，
故答案为：√；
根据题意得：从2016年到2020年，每年的专利授权量都有所增加，
所以长春市区域科技创新力呈上升趋势，故③正确，
故答案为：√．
三．分式方程的应用（共3小题）
5．（2022•长春）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？
【解答】解：设乙班平均每小时挖x千克土豆，
根据题意，得，
解得x＝400，
经检验，x＝400是原方程的根，且符合题意；
答：乙班平均每小时挖400千克土豆．
6．（2021•长春）为助力乡村发展，某购物平台推出有机大米促销活动，其中每千克有机大米的售价仅比普通大米多2元，用420元购买的有机大米与用300元购买的普通大米的重量相同．求每千克有机大米的售价为多少元？
【解答】解：设每千克有机大米的售价为x元，则每千克普通大米的售价为（x﹣2）元，
依题意得：＝，
解得：x＝7，
经检验，x＝7是原方程的解，且符合题意．
答：每千克有机大米的售价为7元．
7．（2020•长春）在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企的黑木耳在市场上更有竞争力，今年每斤黑木耳的售价比去年增加了20元．预计今年的销量是去年的3倍，年销售额为360万元．已知去年的年销售额为80万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？
【解答】解：设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤，则今年黑木耳的年销量为3x万斤，
依题意，得：﹣＝20，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意．
答：该村企去年黑木耳的年销量为2万斤．
四．一次函数的应用（共3小题）
8．（2022•长春）已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止，两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）m＝　2　，n＝　6　；
（2）求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；
（3）当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．

【解答】解：（1）由题意知：m＝200÷100＝2，
n＝m+4＝2+4＝6，
故答案为：2，6；
（2）设y＝kx+b，将（2，200），（6，440）代入得：
，
解得，
∴y＝60x+80，（2≤x≤6）；
（3）乙车的速度为（440﹣200）÷2＝120（千米/小时），
∴乙车到达A地所需时间为440÷120＝（小时），
当x＝时，y＝60×+80＝300，
∴甲车距A地的路程为300千米．
9．（2021•长春）《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：
【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表：
供水时间x（小时）
0
2
4
6
8
箭尺读数y（厘米）
6
18
30
42
54
【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x．纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点．
②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
①供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？
②如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）

【解答】解：【探索发现】①如图②，

②观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，
设这条直线所对应的函数表达式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴y＝6x+6；
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
①x＝12时，y＝6×12+6＝78，
∴供水时间达到12小时时，箭尺的读数为78厘米；
②y＝90时，6x+6＝90，解得：x＝14，
∴供水时间为14小时，
∵本次实验记录的开始时间是上午8：00，8+14＝22，
∴当箭尺读数为90厘米时是22点钟．
10．（2020•长春）已知A、B两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小时后，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时间x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）甲车的速度为　40　千米/时，a的值为　480　．
（2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式．
（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．

【解答】解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2＝40（千米/时）；
a＝40×6×2＝480，
故答案为：40；480；

（2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
由图可知，函数图象经过（2，80），（6，480），
∴，解得，
∴y与x之间的函数关系式为y＝100x﹣120（2≤x≤6）；

（3）两车相遇前：80+100（x﹣2）＝240﹣100，解得x＝；
两车相遇后：80+100（x﹣2）＝240+100，解得x＝，
答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是小时或小时．
五．二次函数综合题（共3小题）
11．（2022•长春）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx（b是常数）经过点（2，0）．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（m≠0）．以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ＝2|m|，且PQ⊥x轴．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结BC．当BC＝4时，求点B的坐标；
（3）若m＞0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围；
（4）当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值．
【解答】解：（1）把（2，0）代入y＝x2﹣bx，得到b＝2，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x；

（2）如图1中，

∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线的顶点为（1，﹣1），对称轴为直线x＝1，
∵BC∥x，
∴B，C故对称轴x＝1对称，BC＝4，
∴点B的横坐标为﹣1，
∴B（﹣1，3）；

（3）如图2中，

∵点A的横坐标为m，PQ＝2|m|，m＞0，
∴PQ＝PQM＝MN＝2m，
∴正方形的边MN在y轴上，
当点M与O重合时，
由，
解得或，
∴A（3，3），
观察图象可知，当m≥3时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大．
如图3中，当PQ落在抛物线的对称轴上时，m＝，观察图象可知，当0＜m≤时，抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小．

综上所述，满足条件的m的值为0＜m≤或m≥3；

（4）如图4﹣1中，当点N（0，）时，满足条件，

此时直线NQ的解析式为y＝﹣x+，
由，解得，或，
∵点A在第四象限，
∴A（，﹣），
∴m＝．
如图4﹣2中，当点N（0，﹣），满足条件，

此时直线NQ是解析式为y＝﹣x﹣，
由，解得，
∴A（，﹣），
∴m＝．
如图4﹣3中，当正方形PQMN的边长为时，满足条件，此时m＝﹣，

综上所述，满足条件的m的值为或或﹣．
12．（2021•长春）在平面直角坐标系中，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m（m为常数）的顶点为A．
（1）当m＝时，点A的坐标是 　（，1）　，抛物线与y轴交点的坐标是 　（0，）　；
（2）若点A在第一象限，且OA＝，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；
（3）当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+2m的最小值为3，求m的值；
（4）分别过点P（4，2）、Q（4，2﹣2m）作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m的值．

【解答】解：（1）当m＝时，y＝2（x﹣）2+1，
∴顶点A（，1），
令x＝0，得y＝，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，），
故答案为：（，1），（0，）；
（2）∵点A（m，2m）在第一象限，且OA＝，
∴m2+（2m）2＝（）2，且m＞0，
解得：m＝1，
∴抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）2+2，当x≤1时，函数值y随x的增大而减小；
（3）∵当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+2m的最小值为3，
∴分两种情况：2m＜m，即m＜0时，或2m＞m，即m＞0时，
①当m＜0时，2（2m﹣m）2+2m＝3，
解得：m＝（舍）或m＝﹣，
②当m＞0时，2（m﹣m）2+2m＝3，
解得：m＝，
综上所述，m的值为或﹣；
（4）P（4，2）、Q（4，2﹣2m），抛物线y＝2（x﹣m）2+2m，
①当m＞1时，如图1，

∵2m＞2，2﹣2m＜0，
∴抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边没有交点；
②当m＝1时，如图2，

∵2m＝2，2﹣2m＝0，
∴抛物线y＝2（x﹣m）2+2m的顶点在边PM边上，
即抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边只有一个交点；
③当≤m＜1时，如图3，

∵1≤2m＜2，0＜2﹣2m≤1，P（4，2）、Q（4，2﹣2m），
∴M（m，2），N（m，2﹣2m），
抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点，若点B在PM边上，点C在MN边上，
∴令y＝2，则2＝2（x﹣m）2+2m，
∴x＝m+ 或 x＝m﹣（不合题意，应舍去），
∴B（m+，2），C（m，2m），
根据题意，得2m＝m+，
解得：m＝或m＝（不合题意，应舍去）；
④当0≤m＜时，如图4，

∴点B在PM边上，点C在NQ边上，
∴B（m+，2），C（m+，2﹣2m），
则2﹣2m＝m+，
解得：m＝，
∵0≤m＜，
∴m＝，
⑤当m＜0时，如图5，

∵2m＜0，2﹣2m＞2，
∴点B在NQ边上，点C在PM边上，
B（m+，2﹣2m），C（m+，2）
则|m+|＝2，
当m+＝2时，得m2﹣2m+3＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，
∴该方程无解；
当m+＝﹣2时，得m2+6m+3＝0，
解得：m＝﹣3﹣或m＝﹣3+，
当m＝﹣3+时，
|m+|＝|﹣3++|＝2﹣4≠2，
不符合题意，舍去，
综上所述，m的值为或或﹣3﹣．
13．（2020•长春）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标．
（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．
（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．
（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．

【解答】解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣2ax﹣1＝﹣1，
∴点A的坐标为：（0，﹣1）；
（2）将点（1，2）代入y＝x2﹣2ax﹣1，
得：2＝1﹣2a﹣1，
解得：a＝﹣1，
∴函数的表达式为：y＝x2+2x﹣1，
∵y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，
∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝﹣1，如图1所示：
∴当x≥﹣1时，y随x的增大而增大；
（3）抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，顶点坐标为：（a，﹣a2﹣1），
当a＞0时，对称轴在y轴右侧，如图2所示：
∵x≤0，
∴最低点就是A（0，﹣1），
∵图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，
∴2a﹣（﹣1）＝2，
解得：a＝；
当a＜0，对称轴在y轴左侧，顶点（a，﹣a2﹣1）就是最低点，
如图3所示：
∴2a﹣（﹣a2﹣1）＝2，
整理得：（a+1）2＝2，
解得：a1＝﹣1﹣，a2＝﹣1+（不合题意舍去）；
综上所述，a的值为或﹣1﹣；
（4）∵a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1），
∴直角边为EF与FG，
∵抛物线y＝x2﹣2ax﹣1＝（x﹣a）2﹣a2﹣1的对称轴为：x＝a，A（0，﹣1），
∴AA′＝﹣2a，
当点P在EF边上时，如图4所示：
则xp＝﹣1，
∵EA＝OA＝1，
∴点P在对称轴x＝a的左侧，
∴PP′＝2（a+1），
∵AA′＝2PP′，
∴﹣2a＝2×2（a+1），
解得：a＝﹣；
当点P在FG边上时，如图5所示：
则yp＝a﹣1，
∴x2﹣2ax﹣1＝a﹣1，
解得：x1＝a+，x2＝a﹣，
∴PP′＝a+﹣（a﹣）＝2，
∵AA′＝2PP′，
∴﹣2a＝4，
解得：a1＝﹣，a2＝0（不合题意舍去）；
综上所述，a的值为﹣或﹣．





六．平行四边形的性质（共1小题）
14．（2020•长春）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：OE＝OF．
（2）若BE＝5，OF＝2，求tan∠OBE的值．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠OEB＝∠OFD＝90°，
在△OEB和△OFD中，，
∴△OEB≌△OFD（AAS），
∴OE＝OF；
（2）解：由（1）得：OE＝OF，
∵OF＝2，
∴OE＝2，
∵BE⊥AC，
∴∠OEB＝90°，
在Rt△OEB中，tan∠OBE＝＝．
七．四边形综合题（共4小题）
15．（2022•长春）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形ABCD为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD＝AB．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想△ADG≌△AFG．

【问题解决】小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．
由折叠可知，∠BAF＝∠BAD＝45°，∠BFA＝∠EFA．
∴∠EFA＝∠BFA＝45°．
∴AF＝AB＝AD
请你补全余下的证明过程．
【结论应用】
（1）∠DAG的度数为 　22.5　度，的值为 　﹣1　；
（2）在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP＝AB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图②．设AB＝a，则FQ+PQ的最小值为 　a　．（用含a的代数式表示）

【解答】【问题解决】证明：四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
由折叠可知，∠BAF＝∠BAD＝45°，∠BFA＝∠EFA．
∴∠EFA＝∠BFA＝45°，
∴AF＝AB＝AD．
由折叠得，∠CFG＝∠GFH＝45°，
∴∠AFG＝∠AFE+∠GFE＝45°+45°＝90°，
∴∠AFG＝∠D＝90°，
又AD＝AF，AG＝AG，
∴△ADG≌△AFG（HL）．
【结论应用】
（1）由折叠得，∠BAF＝∠EAF，
又∠BAF+∠EAF＝90°，
∴∠EAF＝∠BAE＝×90°＝45°，
由△ADG≌△AFG得，∠DAG＝∠FAG＝∠FAD＝×45°＝22.5°，
∠AFG＝∠ADG＝90°，
又∠AFB＝45°，
∴∠GFC＝45°．
∴∠FGC＝45°．
∴GC＝FC．
设AB＝x，则BF＝x，AF＝x＝AD＝BC，
∴FC＝BC﹣BF＝x﹣x＝（﹣1）x，
∴GF＝FC＝（2﹣）x．
∴＝＝﹣1．
故答案为：22.5；﹣1．
（2）如图，连接FD，

∵DG＝FG，
∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称，
连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长；
过点P作PR⊥AD交AD于点R，
∵∠DAF＝∠BAF＝45°，
∴∠APR＝45°，
∴AR＝PR，
又AR2+PR2＝AP2＝（）2＝，
∴AR＝PR＝a，
∴DR＝AD﹣AR＝a﹣a＝a．
在Rt△DPR中，AR2+PR2＝DP2，
∴DP＝a．
∴PQ+FQ的最小值为a．
故答案为：a．
16．（2022•长春）如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝BD＝，点M为边AB的中点．动点P从点A出发，沿折线AD﹣DB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，连结PM．作点A关于直线PM的对称点A'，连结A'P、A'M．设点P的运动时间为t秒，
（1）点D到边AB的距离为 　3　；
（2）用含t的代数式表示线段DP的长；
（3）连结AD，当线段A'D最短时，求△DPA'的面积；
（4）当M、A'、C三点共线时，直接写出t的值．

【解答】解：（1）连接DM，

∵DA＝DB，点M是AB的中点，
∴DM⊥AB，AM＝2，
在Rt△ADM中，由勾股定理得，
DM＝＝，
故答案为：3．
（2）当点P在AD上时，即0≤t＜1时，PD＝AD﹣AP＝﹣t，
当点P在BD上时，即1≤t≤2时，PD＝t﹣，
∴PD＝；
（3）∵A'M＝2，DM＝3，
∴A'D≥1，
∴当点D、A'、M共线时，DA'最短，

∴∠AMP＝∠DMP，
∴，
∴S△APM＝＝＝，
∴S△PDA'＝S△ADM﹣2S△AMP＝3﹣2×＝；
（4）当点A'在CM上时，如图，作CH⊥AB，交AB的延长线于H，作MQ平分∠CMH，交CH于Q，作QG⊥MC于G，

∵AD＝BC，∠DAM＝∠CBH，∠DMA＝∠CHB，
∴△AMD≌△BHC（AAS），
∴BH＝AM＝2，CH＝DM＝3，
∵MQ平分∠CMB，
∴∠GMQ＝∠QMH，
∵∠QGM＝∠QHM，MQ＝MQ，
∴△MQG≌△MQH（AAS），
∴MG＝AH＝4，QH＝QG，
∴CG＝1，
∴tan∠MCH＝，
∴，
∴QG＝，
∴，
∵AP＝，
∴AN＝2t，PN＝3t，
∵∠AMP＝∠A'MP，∠CMQ＝∠QMH，
∴∠PMQ＝90°，
∴∠QMH＝∠MPN，
∴MN＝t，
∴2t+t＝2，
∴t＝；
当A'在CM的延长线上时，作PT⊥AB于T，

由题意知BP＝2﹣t，
同理得，PT＝6﹣3t，BT＝4﹣2t，MT＝18﹣9t，
∴18﹣9t+4﹣2t＝2，
∴t＝，
综上：t＝或．
17．（2021•长春）实践与探究
操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF＝　45　度．
操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则∠AEF＝　60　度．
在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：
（1）设AM与NF的交点为点P．求证：△ANP≌△FNE；
（2）若AB＝，则线段AP的长为 　2﹣2　．

【解答】操作一：
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝∠BAD＝90°，
由折叠的性质得：∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，
∴∠MAE+∠MAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD＝45°，
即∠EAF＝45°，
故答案为：45；
操作二：
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
由折叠的性质得：∠NFE＝∠CFE，∠ENF＝∠C＝90°，∠AFD＝∠AFM，
∴∠ANF＝180°﹣90°＝90°，
由操作一得：∠EAF＝45°，
∴△ANF是等腰直角三角形，
∴∠AFN＝45°，
∴∠AFD＝∠AFM＝45°+∠NFE，
∴2（45°+∠NFE）+∠CFE＝180°，
∴∠NFE＝∠CFE＝30°，
∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，
故答案为：60；
（1）证明：∵△ANF是等腰直角三角形，
∴AN＝FN，
∵∠AMF＝∠ANF＝90°，∠APN＝∠FPM，
∴∠NAP＝∠NFE＝30°，
在△ANP和△FNE中，
，
∴△ANP≌△FNE（ASA）；
（2）由（1）得：△ANP≌△FNE，
∴AP＝FE，PN＝EN，
∵∠NFE＝∠CFE＝30°，∠ENF＝∠C＝90°，
∴∠NEF＝∠CEF＝60°，
∴∠AEB＝60°，
∵∠B＝90°，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝AB＝1，
∴AE＝2BE＝2，
设PN＝EN＝a，
∵∠ANP＝90°，∠NAP＝30°，
∴AN＝PN＝a，AP＝2PN＝2a，
∵AN+EN＝AE，
∴a+a＝2，
解得：a＝﹣1，
∴AP＝2a＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
18．（2020•长春）【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．
1．把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？
【问题解决】如图①，已知矩形纸片ABCD（AB＞AD），将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边DC上，点A的对应点为A′，折痕为DE，点E在AB上．求证：四边形AEA′D是正方形．
【规律探索】由【问题解决】可知，图①中的△A′DE为等腰三角形．现将图①中的点A′沿DC向右平移至点Q处（点Q在点C的左侧），如图②，折痕为PF，点F在DC上，点P在AB上，那么△PQF还是等腰三角形吗？请说明理由．
【结论应用】在图②中，当QC＝QP时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点C与点P重合，折痕为QG，点G在AB上．要使四边形PGQF为菱形，则＝　　．


【解答】（1）证明：如图①中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADA′＝90°，
由翻折可知，∠DA′E＝∠A＝90°，
∴∠A＝∠ADA′＝∠DA′E＝90°，
∴四边形AEA′D是矩形，
∵DA＝DA′，
∴四边形AEA′D是正方形．

（2）解：结论：△PQF是等腰三角形．
理由：如图②中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠QFP＝∠APF，
由翻折可知，∠APF＝∠FPQ，
∴∠QFP＝∠FPQ，
∴QF＝QP，
∴△PFQ是等腰三角形．

（3）如图③中，

∵四边形PGQF是菱形，
∴PG＝GQ＝FQ＝PF，
∵QF＝QP，
∴△PFQ，△PGQ都是等边三角形，设QF＝m，
∵∠FQP＝60°，∠PQD′＝90°，
∴∠DQD′＝30°，
∵∠D′＝90°，
∴FD′＝DF＝FQ＝m，QD′＝D′F＝m，
由翻折可知，AD＝QD′＝m，PQ＝CQ＝FQ＝m，
∴AB＝CD＝DF+FQ+CQ＝m，
∴＝＝．
故答案为．
八．作图—应用与设计作图（共3小题）
19．（2022•长春）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）网格中△ABC的形状是 　直角三角形　；
（2）在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；
（3）在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；
（4）在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．


【解答】解：（1）∵AC＝＝，AB＝＝2，BC＝5，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
故答案为：直角三角形；
（2）如图①中，点D，点D′，点D″即为所求；
（3）如图②中，点E即为所求；
（4）如图③，点P，点Q即为所求．

20．（2021•长春）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：
（1）在图①中，连结MA、MB，使MA＝MB；
（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使MA＝MB＝MC；
（3）在图③中，连结MA、MC，使∠AMC＝2∠ABC．

【解答】解：如图，

21．（2020•长春）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画△ABC．
要求：
（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；
（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；
（3）点C在格点上．

【解答】解：如图所示：即为符合条件的三角形．

九．几何变换综合题（共2小题）
22．（2021•长春）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，点D为边AC的中点．动点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合时，连结PD．作点A关于直线PD的对称点A′，连结A′D、A′A．设点P的运动时间为t秒．
（1）线段AD的长为 　2　；
（2）用含t的代数式表示线段BP的长；
（3）当点A′在△ABC内部时，求t的取值范围；
（4）当∠AA′D与∠B相等时，直接写出t的值．

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC＝＝4，
∴AD＝AC＝2．
故答案为：2．
（2）当0＜t≤5时，点P在线段AB上运动，PB＝AB﹣AP＝5﹣t，
当5＜t＜8时，点P在BC上运动，PB＝t﹣5．
综上所述，PB＝．
（3）如图，当点A'落在AB上时，DP⊥AB，

∵AP＝t，AD＝2，cosA＝，
∴在Rt△APD中，cosA＝＝＝，
∴t＝．
如图，当点A'落在BC边上时，DP⊥AC，

∵AP＝t，AD＝2，cosA＝，
∴在Rt△APD中，cosA＝＝＝，
∴t＝．
如图，点A'运动轨迹为以D为圆心，AD长为半径的圆上，

∴＜t＜时，点A'在△ABC内部．
（4）如图，过点P作PE⊥AD于点E，
当0＜t＜5时，

∵∠AA'D＝∠B＝∠A'AD，
∠ADP+∠A'AD＝∠BAC+∠B＝90°，
∴∠ADP＝∠BAC，
∴AE＝AD＝1，
∵cosA＝＝＝，
∴t＝．
如图，当5＜t＜8时，

∵∠AA'D＝∠B＝∠A'AD，
∠BAC+∠B＝90°，
∴∠BAC+∠A'AD＝90°，
∴PE∥BA，
∴∠DPC＝∠B，
∵在Rt△PCD中，CD＝＝2，CP＝8﹣t，tan∠DPC＝，
∴tan∠DPC＝＝＝，
∴t＝．
综上所述，t＝或．
23．（2020•长春）如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连接PQ交AC于点E，连接DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．
（1）当点P与点B重合时，求t的值．
（2）用含t的代数式表示线段CE的长．
（3）当△PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围．
（4）如图②，取PD的中点M，连接QM．当直线QM与△ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值．

【解答】解：（1）当点P与B重合时，5t＝4，解得t＝．
（2）在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴AC＝＝＝5，
∴sinA＝，cosA＝，
如图①中，当点P在线段AB上时，在Rt△APE中，AE＝AP•cosA＝4t，
∴EC＝5﹣4t．


如图③中，当点P在线段BC上时，在Rt△PEC中，PC＝7﹣5t，cosC＝，
∴EC＝PC•cosC＝（7﹣5t）＝﹣3t．

（3）当△PDQ是等腰直角三角形时，则PE＝DE，
如图④中，当点P在线段AB上时，

在Rt△APE中，PE＝PA•sinA＝3t，
∵DE＝AC﹣AE﹣CD＝5﹣4t﹣2t＝5﹣6t，
∵PE＝DE，
∴3t＝5﹣6t，
∴t＝．
如图⑤中，当点P在线段BC上时，

在Rt△PCE中，PE＝PC•sinC＝（7﹣5t）＝﹣4t，
∵DE＝CD﹣CE＝2t﹣（7﹣5t）＝5t﹣，
∴﹣4t＝5t﹣，
解得t＝．
∵△PDQ是锐角三角形，
∴观察图象可知满足条件的t的值为0＜t＜或＜t＜．

（4）如图⑥中，当点P在线段AB上，QM∥AB时，

过点Q作QG⊥AB于G，延长QM交BC于N，过点D作DH⊥BC于H．
∵PB∥MN∥DH，PM＝DM，
∴BN＝NH，
在Rt△PQG中，PQ＝2PE＝6t，
∴QG＝PQ＝t，
在Rt△DCH中，HC＝DC＝t，
∵BC＝BH+CH＝t+t+t＝3，
解得t＝．

如图⑦中，当点P在线段BC上，QM∥BC时，

过点D作DH⊥BC于H，过点P作PK⊥QM于K．
∵QM∥BC，DM＝PM，
∴DH＝2PK，
在Rt△PQK中，PQ＝2PE＝（7﹣5t），
∴PK＝PQ＝（7﹣5t），
在Rt△DCH中，DH＝DC＝t，
∵DH＝2PK，
∴t＝2×（7﹣5t），
解得t＝，
综上所述，满足条件的t的值为或．
一十．相似三角形的判定与性质（共1小题）
24．（2021•长春）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点E在边AD上，AE＝AD，连结BE交AC于点M．
（1）求AM的长．
（2）tan∠MBO的值为 　　．

【解答】解：（1）在菱形ABCD中，
AD∥BC，AD＝BC，
∴△AEM∽△CBM，
∴＝，
∵AE＝AD，
∴AE＝BC，
∴＝＝，
∴AM＝CM＝AC＝1．
（2）∵AO＝AC＝2，BO＝BD＝4，AC⊥BD，
∴∠BOM＝90°，AM＝OM＝AO＝1，
∴tan∠MBO＝＝．
故答案为：．
一十一．解直角三角形（共1小题）
25．（2022•长春）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若＝，则tan∠BCF的值为 　　．

【解答】（1）证明：∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD，
∵DF＝DE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵DE⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：∵＝，
∴CE＝4BE，
设BE＝a，则CE＝4a，
由（1）可知，四边形AECF是菱形，
∴AE＝CE＝4a，AE∥CF，
∴∠BEA＝∠BCF，
∵∠ABC＝90°，
∴AB＝＝＝a，
∴tan∠BCF＝tan∠BEA＝＝＝，
故答案为：．
一十二．条形统计图（共1小题）
26．（2021•长春）稳定的粮食产量是人民幸福生活的基本保障，为了解粮食产量情况，小明查阅相关资料得到如下信息：长春市2020年的粮食总产量达到960万吨，比上年增长约9%．其中玉米产量增长约12%，水稻产量下降约2%，其他农作物产量下降约10%．

根据以上信息回答下列问题：
（1）2020年玉米产量比2019年玉米产量多 　85　万吨．
（2）扇形统计图中n的值为 　15　．
（3）计算2020年水稻的产量．
（4）小明发现如果这样计算2020年粮食总产量的年增长率：＝0，就与2020年粮食总产量比上年增长约9%不符，请说明原因．
【解答】解：（1）792﹣707＝85（万吨），
故答案为：85；
（2）1﹣82.5%﹣2.5%＝15%，
∴n＝15，
故答案为：15；
（3）960×15%＝144（万吨），
答：2020年水稻的产量为144万吨；
（4）正确的计算方法为：（792+144+24﹣707﹣147﹣27）÷（707+147+27）×100%≈9%，
因为题中式子中的几个百分数基数不同，所以不能这样计算．
一十三．折线统计图（共1小题）
27．（2020•长春）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污染、五级重度污染、六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．
2014﹣2019年长春市空气质量级别天数统计表
空气质量级别
天数
年份
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
2014
30
215
73
28
13
6
2015
43
193
87
19
15
8
2016
51
237
58
15
5
0
2017
65
211
62
16
9
2
2018
123
202
39
0
1
0
2019
126
180
38
16
5
0
根据上面的统计图表回答下列问题：
（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是　2018　年．
（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为　7　天，平均数为　8　天．
（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是　2018　年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为　89%　（精确到1%）．
（空气质量为“优”的天数的增长率＝×100%）
（4）你认为长春市从2014年到2019年哪一年的空气质量好？请说明理由．

【解答】解：（1）从折线统计图中“达标”天数的折线的最高点，相应的年份为2018年，
故答案为：2018；
（2）将这6年的“重度污染”的天数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝7，因此中位数是7天，
这6年的“重度污染”的天数的平均数为＝8天，
故答案为：7，8；
（3）前一年相比，空气质量为“优”的天数增加量为：
2015年，43﹣30＝13天；
2016年，51﹣43＝8天；
2017年，65﹣51＝14天；
2018年，123﹣65＝58天；
2019年，126﹣123＝3天，
因此空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，增长率为≈89%，
故答案为：2018，89%；
（4）从统计表中数据可知，2018年空气质量好，2018年“达标天数”最多，重度污染、中度污染、严重污染的天数最少．
一十四．列表法与树状图法（共3小题）
28．（2022•长春）抛掷一枚质地均匀的普通硬币，仅有两种可能的结果：“出现正面”或“出现反面”，正面朝上记2分，反面朝上记1分．小明抛掷这枚硬币两次，用画树状图（或列表）的方法，求两次分数之和不大于3的概率．
【解答】解：画树状图如下：

共有4种等可能的结果，其中两次分数之和不大于3的结果有3种，
∴两次分数之和不大于3的概率为．
29．（2021•长春）在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字1、2、3，每个小球除数字不同外其余均相同．小明和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜，摸到相同数字记为平局．小明从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小亮再从口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小明获胜的概率．
【解答】解：画树状图如图：

共有9种等可能的结果，小明获胜的结果有3种，
∴小明获胜的概率为＝．
30．（2020•长春）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率．（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为A1、A2，图案为“保卫和平”的卡片记为B）

【解答】解：根据题意画图如下：

共有9种等可能的情况数，其中两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的有1种，
则两次抽出的卡片上的图案都是“保卫和平”的概率是．