2021-2022学年北京市通州区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年北京市通州区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16分）

1. 点，在象限(    )

A. 第一 B. 第二 C. 第三 D. 第四

2. 一个多边形的内角和是外角和的倍，这个多边形是(    )

A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形

3. 在平面直角坐标系中，轴上一点到轴的距离是，则点的坐标是(    )

A.  B.
C.  D. 或

4. 点关于坐标原点对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在▱中，平分，交于点，平分，交于点，，，则长为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度单位：与无人机上升的时间单位：之间的关系如图所示下列说法正确的是(    )

A. 时，两架无人机都上升了
B. 时，两架无人机的高度差为
C. 乙无人机上升的速度为
D. 时，甲无人机距离地面的高度是

7. 如图，正五边形的五个内角都相等，五条边都相等，连结对角线，，，线段分别与和相交于点，下列结论：；；，其中正确结论的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8. 小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题现有条不同的直线，其中，，则他探究这条直线的交点个数最多是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

9. 洞庭湖地区连日遭到暴雨袭击，导致湖水水位猛涨．如图是涨水期日日的水位记录，请你观察图象．
   
   写出条你观察图象后得到的正确信息______，______．
10. 已知函数经过二、四象限，且函数不经过，请写出一个符合条件的函数解析式______．
11. 如图所示，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，若，则______．

12. 如图，在四边形中，，，垂足分别为点，请你只添加一个条件不另加辅助线，使得四边形为平行四边形，你添加的条件是______．

13. 如图，点、、、、在同一平面内，连接、、、、，若，则______．

14. 如图，▱的顶点，，的坐标分别是，，，则顶点的坐标是______．

15. 已知函数，若，则 ______ ．
16. 如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，依次进行下去，则点的坐标为______．

三、解答题（本大题共11小题，共68分）

17. 已知一次函数，当时，，当时，，求一次函数解析式．
18. 如图，四边形中，，交于点，交于点，交的延长线于点，求证：四边形是平行四边形．

19. 某文具店促销一种圆珠笔，它的单价随购买量的增加而降低，购买量，单价分为四个档，具体方案如下：
    购买支，每支售价元；购买支，超出支的部分按照每支元销售；购买支，超过支的部分按照每支元销售；购买支及以上，超出支的部分按照每支元销售．
    请你分别写出顾客购买这种圆珠笔时付款总额元与他购买的数量支之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
20. 如图，一次函数图象与轴，轴分别交于点、，点是第一象限内的点，且满足，是等腰直角三角形．
    求点，坐标；
    求的面积．

21. 已知四边形是平行四边形，对角线，相交于点，直线过点，交于点，交于点，连接，．
    补全图形；
    求证：四边形是平行四边形．

22. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴，轴于，两点，过点的直线交轴正半轴于点，且在平面直角坐标系内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请你画出图形，确定点的坐标．

23. 李师傅将容量为升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程千米与行驶时间小时的关系如图所示中途休息、加油的时间不计．当油箱中剩余油量为升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为升千米，请根据图象解答下列问题：
    直接写出工厂离目的地的路程；
    求关于的函数表达式；
    当货车显示加油提醒后，问行驶时间在怎样的范围内货车应进站加油？

24. 在学习了平行四边形知识以后，根据你学习平行四边形的经验，对平行四边形的问题进行再次探究．请你完成以下任务．
    在四边形中，对角线，相交于点，若，请你添加下列三个条件中的一个，使得四边形是平行四边形．你添加的条件是______选一个正确选项的序号，填写在横线上
    ；；．
    将中你添加条件后的命题用文字语言表述为：______．
    画出中命题的图形，写出命题的已知和求证，并完成证明过程．
25. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移个单位长度得到．
    求这个一次函数的解析式；
    当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围．
26. 我们给出如下定义：平面直角坐标系中的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作．
    如图，已知长度为个单位长度的线段在轴上，点的坐标为求点到线段的距离；
    已知平面直角坐标系内有一点，到线段：的距离，且点的横坐标为，请你画出图象，并求点的纵坐标．
    在平面直角坐标系中有一点，到线段：的距离，请你画出点的轨迹．点的轨迹定义：符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹

27. 已知：点是平行四边形对角线所在直线上的一个动点点不与点、重合，分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、，点为的中点．
    当点与点重合时如图，易证不需证明
    直线绕点逆时针方向旋转，当时，如图、图的位置，猜想线段、、之间有怎样的数量关系？请写出你对图、图的猜想，并选择一种情况给予证明．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，横坐标小于，纵坐标大于，
点在第二象限．
故选：．
直接利用第二象限内的点：横坐标小于，纵坐标大于，即可得出答案．
此题主要考查了点的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
根据多边形的内角和公式和外角和定理列出方程，然后求解即可．
本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．
【解答】
解：设多边形的边数为，
由题意得，，
解得，
所以，这个多边形是六边形．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，若轴上的点到轴的距离为，
的坐标为或，
故选：．
根据的位置，结合题意确定出坐标即可．
此题考查了点的坐标，确定出的横坐标是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：两点关于原点对称，
横坐标为，纵坐标为．
故选：．
让两点的横纵坐标均互为相反数可得所求的坐标．
考查关于原点对称的坐标的特点：两点的横坐标互为相反数；纵坐标互为相反数．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出是解决问题的关键．
由平行四边形的性质和角平分线得出，得出，同理可证，再由的长，即可求出的长．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
则，
，
同理可证：，
，
即，
解得：，
．
故选B．  

6.【答案】 

【解析】解：由图象可得，
时，甲无人机上升了，乙无人机上升了，故选项A错误；
甲无人机的速度为：，乙无人机的速度为：，故选项C错误；
则时，两架无人机的高度差为：，故选项B正确；
时，甲无人机距离地面的高度是，故选项D错误；
故选：．
根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后即可判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
本题考查一次函数的应用，计算出甲、乙两架无人机的速度是解答本题的关键，利用数形结合的思想解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：五边形是正五边形，
，，
，
，故正确；
，，
，
，故正确；
，
，
，故正确，
故选：．
根据正五边形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，正五边形的性质，熟练掌握正五边形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
直线中，
直线与无交点，与与有个交点，
直线最多有交点个，
第条线与前条线最多有个交点，
第条线与前条线最多有个交点，
交点个数最多为．
故选：．
由得前两条直线无交点，得第三到五条有个交点，然后第条线与前条线最多有个交点，第条线与前条线最多有个交点求解．
本题考查直线相交问题，解题关键是掌握一次函数中，与对直线的影响．
 

9.【答案】该天时的水位为  时的水位达到的警戒水位 

【解析】解：由题意可知，该天时的水位为；时的水位达到的警戒水位．
故答案为：该天时的水位为；时的水位达到的警戒水位．答案不唯一．
根据函数图象解答即可．
此题主要考查了函数的图象，根据题意结合图象得出正确信息是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：函数经过二、四象限，
．
若函数经过，则，即，
故函数经过二、四象限，且函数不经过时，且，
函数解析式为，
故答案为．
根据正比例函数的性质以及正比例函数图象中点的坐标特征即可求解．
考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
四边形是平行四边形，
，
故答案为：．
根据平行四边形的外角的度数求得其相邻的内角的度数，然后求得其对角的度数即可．
本题主要考查了平行四边形的性质以及平角的定义，熟记平行四边形的各种性质是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：添加条件为：，
理由：，，
，
，
四边形为平行四边形，
故答案为：．
证，再由，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：五边形的内角和，
，
．
故答案为：．
根据周角是求出五边形在点处的内角，根据多边形的内角和公式求出五边形的内角和即可得到的值．
本题考查了多边形的内角和外角，掌握边形的内角和等于是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，的坐标分别是，，
，
四边形是平行四边形，
，
点的坐标为，
点的坐标为，
故答案为：．
首先根据、两点的坐标确定线段的长，然后根据点向右平移线段的长度得到点，即可由点坐标求得点的坐标．
考查了平行四边形的性质及坐标与图形性质的知识，解题的关键是求得线段的长，难度不大．
 

15.【答案】 

【解析】解：．
当时，．
．
舍去．
当时，．
故答案为：．
根据题意，进行分类解答，即可求值．
本题考查根据函数值，求自变量的值．关键在于求出自变量的值一定要符合取值范围．
 

16.【答案】 

【解析】解：当时，，
点的坐标为；
当时，，
点的坐标为；
同理可得，，，，，，
，
，
，
为自然数，
，
点的坐标为，
即点的坐标为
故答案为：
根据题意，先求得前至少个点的坐标，然后找到规律即可．
本题考查的是坐标系中点的规律，解题的关键是对前几个点作出分析，找到规律．
 

17.【答案】解：将，代入，
得，
将，代入，
得，
，得，
解得，
将代入，得，
解得，
一次函数解析式为：． 

【解析】分别将时，和时，代入一次函数，解二元一次方程组即可求出函数解析式．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
 

18.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】根据平行线的判定得出，进而利用平行线的性质和平行四边形的判定解答即可．
此题考查平行四边形的判定，关键是根据两组对边平行的四边形是平行四边形解答．
 

19.【答案】解：由题意可得，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
由上可得，购买这种圆珠笔时付款总额元与他购买的数量支之间的函数关系式是． 

【解析】根据题意和题目中的数据，可以写出各段对应的函数解析式．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，注意均为整数．
 

20.【答案】解：由直线，
令，得，
令，得，
则点的坐标为，点的坐标为；
点的坐标为，点的坐标为，
，
，是等腰直角三角形，
． 

【解析】在直线中，分别令，求的值，令，求的值，从而确定，点的坐标；
利用勾股定理求出，根据是等腰直角三角形即可得的面积．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握一次函数图象上点的坐标特征．
 

21.【答案】解：如图所示：

证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
在与中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】根据题意画出图形即可；
由“”可证≌，可得，且，即可得结论．
本题考查了平行四边形的判定的应用，关键是根据“”可证≌解答．
 

22.【答案】解：当时，，
，
，且位于轴正半轴，
，
，
当时，，
，
以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：
如图所示：

，为边，
此时，，
，
，为边，
此时，，
，
，为边，
此时，，
，
综上，满足条件的点坐标或或． 

【解析】先分别求出，和点坐标，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：，为边，，为边，，为边，根据平行四边形的判定方法求出点坐标即可．
本题考查了一次函数与平行四边形的综合，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征与平行四边形的判定是解题的关键．
 

23.【答案】解：由图象，得时，，
工厂离目的地的路程为千米，
答：工厂离目的地的路程为千米；
设，
将和代入得，
，
解得：，
关于的函数表达式：，
答：关于的函数表达式：；
当油箱中剩余油量为升时，
千米，
，
解得：小时，
当油箱中剩余油量为升时，
千米，
，解得：小时，
，
随的增大而减小，
的取值范围是． 

【解析】由图象直接求出工厂离目的地的路程；
用待定系数法求出函数解析式即可；
当油箱中剩余油量为升时和当油箱中剩余油量为升时，求出的取值即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
 

24.【答案】  一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 

【解析】解：添加的条件是，
故答案为：；
将中你添加条件后的命题用文字语言表述为：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，
故答案为：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
已知：在四边形中，对角线，相交于点，，．
求证：四边形是平行四边形．
证明：如图，

，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形．
根据平行四边形的判定即可解决问题；
结合即可用文字语言表述；
结合即可写出命题的已知和求证，然后利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可完成证明过程．
本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定方法．
 

25.【答案】解：函数的图象向下平移个单位长度得到，
一次函数的图象由函数的图象向下平移个单位长度得到，
这个一次函数的表达式为．
把代入，求得，
函数与一次函数的交点为，
把点代入，求得，
当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，
． 

【解析】根据平移的规律即可求得．
根据点结合图象即可求得．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
 

26.【答案】解：点的坐标为，点的坐标为，
根据定义可得就是点到线段的距离．
；
在坐标平面内作出线段：，
点的横坐标为，
点在直线上，设直线交轴于点，交于点．
如图，过点作于点，则就是点到线段的距离．

线段：，
，均为等腰直角三角形，
，
，由勾股定理得，
又，
．
即的纵坐标为；
如图，过点作交直线于点，由题意知为等腰直角三角形，
，
．
点同样是满足条件的点．
点的纵坐标为．
综上，点的纵坐标为或；
如图，由知，在平面直角坐标系中有一点，到线段：的距离的点的轨迹是平行于且到的距离等于的两条线段和．
 

【解析】由点的坐标为，点的坐标为，根据定义可得就是点到线段的距离．
首先可得点在直线上，设直线交轴于点，交于点然后分别从如图，过点作于点，如图，过点作交直线于点，去分析求解即可求得答案；
根据的结论即可得到结果．
此题属于一次函数的综合题，考查了点到直线的距离、等腰直角三角形的性质、待定系数法求一次函数的解析式等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
 

27.【答案】解：，，
，
在和中，
，
≌，
．
图中的结论为：．
    图中的结论为：．
选图中的结论证明如下：
延长交于点，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
在中，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
．
选图的结论证明如下：
延长交的延长线于点，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
在中，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
． 

【解析】由≌即可得出结论．
图中的结论为：，延长交于点，只要证明≌，是等边三角形，即可解决问题．
图中的结论为：，延长交的延长线于点，证明方法类似．
本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．