2021-2022学年北京市大兴区七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年北京市大兴区七年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共8小题，共16分）

1. 在平面直角坐标系中，下列各点在第一象限的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列实数中，是无理数的是

A.  B.  C.  D.

3. 如图，数轴上点表示的数可能是
    

A.  B.  C.  D.

4. 如图，直线，相交于点，于点，若，则的度数是

A.
B.
C.
D.

5. 如图，要把河中的水引到农田处，应在河岸于点处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做的依据是

A. 两点之间线段最短 B. 点到直线的距离
C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短

6. 在下列各式中，正确的是

A.  B.  C.  D.

7. 已知，两条直线被第三条直线所截，和是同位角，若，则的度数是

A.  B.
C. 或 D. 的度数不能确定

8. 在平面直角坐标系中，已知点，点在轴上，对于线段有如下四个结论：
   线段的最大值是；
   线段的最小值是；
   线段一定不经过点；
   线段可能经过点．
   上述结论中，所有正确结论的序号是

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共8小题，共16分）

9. 的算术平方根是______．
10. 若，则______．
11. 在比大的实数中，最小的整数是______．
12. 若实数的两个不相等的平方根是和，则实数为______．
13. 如图所示，将一块三角板与一个直尺叠放，直尺的一边经过三角板的直角顶点，若，则的度数是______
14. 某景区游览示意图如图所示，各个景点均在小正方形的顶点上．在社会实践活动中，七班王玲同学对着景区示意图建立平面直角坐标系，描述音乐台的位置为，东门的位置为，则湖心亭所在位置的坐标是______．

15. 如图，已知，请你添加一个条件，使得成立，这个条件可以是______．

16. 在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的移动点．已知点的移动点为，点的移动点为，点的移动点为这样依次得到点，，，若点的坐标为，则点的坐标为______，若点的坐标为，则点的坐标为______．

三．计算题（本题共2小题，共11分）

17. 计算：．
18. 已知，求实数的值．

四．解答题（本题共9小题，共57分）

19. 如图，已知，是平分线上一点，与交于点，若，求证：请将下面的证明过程补充完整：
    证明：平分，，
    ____________角平分线定义．
    又，
    ______
    ______
20. 如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，修建了宽为的小路，求这块草地的绿地面积．

21. 在平面直角坐标系中，已知点．
    若点在轴上，求点的坐标；
    若点到轴的距离是，求点的坐标．
22. 已知的立方根是，的算术平方根是，求的值．
23. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标分别为，，，点的坐标是，现将三角形平移，使点平移到点处，，分别是，的对应点．
    
    根据题意，画出平移后的三角形不写画法，并直接写出的坐标；
    求三角形的面积；
    若将点向右平移个单位长度到点，使得三角形的面积等于，直接写出的值．
24. 根据下表回答下列问题：

的平方根是______；
______；
______．
若介于与之间，则满足条件的整数有______个；
观察表格中的数据，请写出一条你发现的结论．

25. 如图，在四边形中，，，是延长线上一点，求证：．
    请将下面的证明过程补充完整：
    证明：，
    ____________
    ，
    ____________
    ．
    请根据题目条件，用与不同的方法证明．
26. 已知三角形，于点，交于点．
    如图，当点在线段上时点不与点、重合，作于点，则与的数量关系是______；
    当点在的延长线上时，作垂直于交的延长线于点．
    依题意补全图；
    猜想与的数量关系，并证明．
    
    
     

27. 在平面直角坐标系中，对于任意一点，定义点的“轴距”为：
    ，例如，点，因为，所以点的“轴距”．
    点的“轴距“______；点的“轴距”______；
    已知直线经过点，且垂直于轴，点在直线上．
    若点的“轴距”，求点的坐标；
    请你找到一点，使得点的“轴距”，则点的坐标可以是______写出一个即可；
    已知线段，，，将线段向右平移个单位长度得到线段，若线段上恰好有两个点的“轴距”为，请你写出满足条件的的两个取值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、在第一象限，故本选项正确；
B、在第四象限，故本选项错误；
C、在第三象限，故本选项错误；
D、在第二象限，故本选项错误．
故选：．
根据各象限内点的坐标特征解答对各选项分析判断后利用排除法求解即可．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

2.【答案】

【解析】解：、是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、是无理数，故此选项符合题意；
D、是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：．
分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，每两个之间依次多个等形式．
 

3.【答案】

【解析】解：从数轴可知：点表示的数在到之间，且小于，
，，，，
选项A和选项D不符合题意；
，
选项B符合题意，选项C不符合题意；
故选：．
根据数轴得出点表示的数在到之间，且小于，分别估算出、、、的大小，再逐个判断即可．
本题考查了实数与数轴和估算无理数的大小等知识点，能分别估算出、、、的大小是解此题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
；

．
故选：．
由垂直关系，得到互余的角，利用他们的关系运算即可．
本题考查余角、补角的定义，熟练的找到互余的、互补的角是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：要把河中的水引到农田处，应在河岸于点处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是垂线段最短，
故选：．
据垂线段最短得出即可．
本题考查了直线的性质，线段的性质，垂线段最短，点到直线的距离等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：．，此选项错误；
B.，此选项正确；
C.，此选项错误；
D.，此选项错误；
故选：．
根据算术平方根和平方根的概念求解即可．
本题主要考查算术平方根，算术平方根的概念：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．记为．
 

7.【答案】

【解析】解：两条直线被第三条直线所截，和是同位角，
如果两直线平行，那么同位角相等，而这两条直线不一定平行，因此的度数无法确定，
故选：．
根据平行线的性质进行判断即可．
本题考查同位角、内错角、同旁内角，理解同位角的定义以及两直线平行线，同位角相等是正确判断的前提．
 

8.【答案】

【解析】解：由题意，设，
无法判断线段的最大值，说法错误；
线段的最小值是，说法正确；
线段一定不经过点，说法正确；
线段一定不经过点，说法错误．
故选：．
根据轴上的点的纵坐标等于零，进而解答即可．
此题考查坐标与图形，关键是根据点的坐标，轴上的点的纵坐标等于零解答．
 

9.【答案】

【解析】

【分析】
根据算术平方根的意义可求．
本题主要考查了平方根、算术平方根概念的运用．如果 ，则 是 的平方根．若 ，则它有两个平方根，我们把正的平方根叫 的算术平方根；若 ，则它有一个平方根，即 的平方根是 的算术平方根也是 ；负数没有平方根．
【解答】
解： ，
的算术平方根是 ．
故答案为： ．   

10.【答案】

【解析】解：由题意得：
，，
，，
．
故答案为：．
根据非负数的性质可求出、的值，进而可求出的值．
此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值；偶次方；二次根式算术平方根当它们相加和为时，必须满足其中的每一项都等于根据这个结论可以求解这类题目．
 

11.【答案】

【解析】解：，
，
在比大的实数中，最小的整数是：，
故答案为：．
根据平方运算，估算出的值即可解答．
本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：根据题意，得：，
解得：．
则．
故答案为：．
一个正数有两个平方根，它们互为相反数，和为，列出方程求出即可．
本题主要考查平方根的定义，解题的关键是要知道这两个平方根之间的关系．
 

13.【答案】

【解析】解：如图，

由题意得：，，
，
，
，
．
故答案为：．
由平角的定义可求得的度数，再利用平行线的性质即可得的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
 

14.【答案】

【解析】解：如右图，建立平面直角坐标系，
则湖心亭所在位置的坐标是，
故答案为：．
根据题意，可以在图中作出符合题意的平面直角坐标系，从而可以写出湖心亭所在位置的坐标．
本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，画出相应的平面直角坐标系．
 

15.【答案】答案不唯一

【解析】解：添加，理由如下：
，
，
，
，
，
即，
故答案为：答案不唯一．
根据平行线的性质定理求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：观察，发现规律：，，，，，，
，，，为自然数．
的坐标为，
设的坐标为，
则，，
，，
，
，
故答案为：；．
列出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论．
本题考查了规律型中的点的坐标的变化，解题的关键是找出变化规律．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据友好点的定义列出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键．
 

17.【答案】解：原式


．

【解析】先计算开方，再算乘法，最后算加减．
本题考查了实数的混合运算，掌握平方根、立方根的化简是解决本题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
，
．

【解析】根据平方根的定义解方程即可．
本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
 

19.【答案】      内错角相等，两直线平行

【解析】证明：平分，，
角平分线定义．
又，
，
内错角相等，两直线平行．
故答案为：；；；内错角相等，两直线平行．
由角平分线的定义得，从而可得，即可判定．
本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件：内错角相等，两直线平行．
 

20.【答案】解：由图象可得，这块草地的绿地面积为：



故这块草地的绿地面积为．

【解析】直接利用平移小路的方法得出草地的绿地面积长宽的长方形面积，进而得出答案．
此题主要考查了生活中的平移现象，正确平移小路是解题关键．
 

21.【答案】解：点，
，
解得：，
；

点到轴的距离是，
，
解得：，
则或，
点的坐标为或．

【解析】直接利用轴上点的坐标特点得出，进而得出答案；
根据点与轴的距离为，即可得，进而可求的值．
此题主要考查了点的坐标，正确分情况讨论是解题关键．
 

22.【答案】解：的立方根是，的算术平方根是，
，
解得，
．

【解析】根据立方根和算术平方根的概念列方程组，求得和的值，从而代入求值．
本题考查实数的混合运算，理解算术平方根以及立方根的概念，准确化简各数是解题关键．
 

23.【答案】解：如图所示，三角形即为所求，由图可知：点的坐标为；

三角形的面积；
点坐标为，
将点向右平移个单位长度到点，
点到的距离为，
三角形的面积等于，
，
解得或．

【解析】本题考查了利用平移变换作图，平移中的坐标变化，三角形的面积，熟练掌握网格结构以及平移的性质，准确确定出点的位置是解题的关键．
依据平移的方向和距离，即可画出平移后的三角形，进而写出的坐标；
利用三角形面积计算公式，即可得到三角形的面积；
将点向右平移个单位长度到点，进而得到点到的距离为，再根据三角形的面积等于列方程，即可得到的值．
 

24.【答案】     

【解析】解：，
的平方根是；
故答案为：；
，
．
故答案为：；
，
．
故答案为：；
，，
又介于与之间，
的可能值为，，，，
满足条件的整数有个．
故答案为：；
观察表格中的数据，发现的结论：当时，随着的增大，也随着增大．答案不唯一．
利用平方根的意义解答即可；
利用表格数据和算术平方根的意义解答即可；
利用表格数据和算术平方根的意义解答即可；
利用表格数据和算术平方根的意义解答即可；
写出一条符合题意的结论即可．
本题主要考查了平方根和算术平方根的意义，正确利用平方根和算术平方根的意义计算是解题的关键．
 

25.【答案】  两直线平行，同位角相等    两直线平行，内错角相等

【解析】证明：，
两直线平行，同位角相等，
，
两直线平行，内错角相等，
．
故答案为：；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；
，
，
，
，
．
根据平行线的性质定理求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
 

26.【答案】相等

【解析】解：如图，
，
，
，，
，
，
；
故答案为：相等；
如图，
．
理由如下：
，
，
，，
，
，
．
如图，根据平行线的性质得到，再证明，则，从而得到；
根据几何语言画出对应的几何图形；
证明方法与一样得到．
本题考查了三角形内角和定理：灵活运用三角形内角和计算三角形中角的度数．也考查了平行线的判定与性质．
 

27.【答案】   

【解析】解：点的“轴距“；点的“轴距”；
故答案为：，；

如图中，设．

由题意，
，
或；

由题意答案不唯一；
故答案为：；

如图中，

当时，线段上有两个点和的“轴距”为，
当时，线段上有两个点和的“轴距”为，
综上所述，的值为或．
根据点的“轴距”的定义求解即可；
如图中，设构建方程求解即可；
根据点的“轴距”，求解答案不唯一；
利用图象法，画出图形可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了点的“轴距”为：，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．