2022-2023学年北京市通州区九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市通州区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    已知，那么下列比例式中成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    下列点坐标，是二次函数图象的顶点坐标的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    下列说法正确的是(    )

A. 任意两个矩形一定相似 B. 任意两个菱形一定相似
C. 任意两个正方形一定相似 D. 任意两个平行四边形一定相似

4.    如图，中，，，将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.    把二次函数的图象向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后的图象对应的二次函数的表达式为(    )

A.  B.
C.  D.

6.    已知点，，都在函数的图象上，则下列结论正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.    如图，数学兴趣小组利用标杆测量学校古树的高度，标杆高，测得，，则古树的高度是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    如图，在▱中，点是边上的点，线段与交于点，如果：：，，那么的长是(    )

A.  B.  C.  D.

9.    一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为，篮框中心点为，他可以选择让篮球在运行途中经过，，，四个点中的某一点并命中，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

11. 如图，在中，，点在上不与点，重合，只需添加一个条件即可证明和相似，这个条件可以是          写出一个即可．

12.  如图，直线，直线，被直线、、所截，截得的线段分别为，，，，若，，，则的长是______．

13. 若二次函数的图象与轴只有一个公共点，则______．
14. 已知二次函数，将这个二次函数表达式用配方法化成的形式______．
15. 据墨经记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图所示．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是          ．
    
     
16. 某工厂今年八月份医用防护服的产量是万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为，那么十月份医用防护服的产量万件与之间的函数表达式为______．
17. 如图，在中，，是斜边上的高．如果，，那么的长为______．

18. 若函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为______．

三、解答题（本大题共10小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    已知，是二次函数图象上两点，求二次函数的表达式．
20. 本小题分
    如图，，相交于的点，且．
    求证：∽．

21. 本小题分
    如图，是小凯为估算鱼塘的宽设计的，在陆地上取点，，，使得，，在同一条直线上，，，在同一条直线上，测得，小凯测得的长为米，求鱼塘的宽的长是多少米？不写解题过程不给分

22. 本小题分
    已知：如图，线段．
    
    求作：点，，使得点，在线段上，且．
    作法：作射线，在射线上顺次截取线段，连接；
    以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点；
    连接，连接交于点，在线段上截取线段．
    所以点，就是所求作的点．
    使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
    完成下面的证明．
    证明：，，
    四边形是平行四边形．______填推理的依据
    ，即．
    ：______：．
    ，
    ______．
    ．
    ．
    ．
23. 本小题分
    已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示：

求这个二次函数的表达式；
在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
当时，直接写出的取值范围．

24. 本小题分
    如图，，，点在上，，，，．
    求证：∽；
    求的度数．

25. 本小题分
    在平面直角坐标系中，已知抛物线的对称轴为，且其顶点在直线上．
    求抛物线的顶点坐标；
    求抛物线的解析式；
    在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象．

26. 本小题分
    小明进行铅球训练，他尝试利用数学模型来研究铅球的运动情况．他以水平方向为轴方向，为单位长度，建立了如图所示的平面直角坐标系，铅球从轴上的点出手，运动路径可看作抛物线，在点处达到最高位置，落在轴上的点处．小明某次试投时的数据如图所示．
    
    在图中画出铅球运动路径的示意图；
    根据图中信息，求出铅球路径所在抛物线的表达式；
    若铅球投掷距离铅球落地点与出手点的水平距离的长度不小于，成绩为优秀．请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到优秀．
27. 本小题分
    如图，中，，，过点的射线与斜边交于点，且满足，于点，求证：．

28. 本小题分
    给出如下规定：两个图形和，点为上任一点，点为上任一点，如果线段的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形和之间的距离．
    在平面直角坐标系中，为坐标原点．
    点的坐标为，则点和射线之间的距离为______，点和射线之间的距离为______．
    点的坐标为，将射线绕原点逆时针旋转，得到射线，在坐标平面内所有和射线，之间的距离相等的点所组成的图形记为图形．
    在坐标系中画出图形，并描述图形的组成部分；若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示
    将抛物线与图形的公共部分记为图形，射线，组成的图形记为图形，请直接写出图形和图形之间的距离．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，所以，故A不符合题意；
B.因为，所以，故B符合题意；
C.因为，所以，故C不符合题意；
D.因为，所以，故D不符合题意；
故选：．
利用比例的基本性质，把每一个选项中的比例式化成等积式即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：二次函数，
图象的顶点坐标为，
故选：．
利用二次函数的性质解答．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

3.【答案】 

【解析】解：、因为任意两个矩形的各角相等，但各边不一定成比例，所以任意两个矩形不一定相似，故A不符合题意；
B、因为任意两个菱形的各边成比例，但各角不一定分别相等，所以任意两个菱形不一定相似，故B不符合题意；
C、因为任意两个正方形的各角分别相等，各边也成比例，所以任意两个正方形一定相似，故C符合题意；
D、因为任意两个平行四边形的各角不一定相等，各边不一定成比例，所以任意两个平行四边形不一定相似，故D不符合题意；
故选：．
根据相似多边形的定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形，逐一判断即可解答．
本题考查了相似多边形的性质，平行四边形，菱形，矩形，正方形的性质，熟练掌握相似多边形的定义是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，，
∽，
故A不符合题意；
B、，，
∽，
故B不符合题意；
C、由图形可知，，
，
，，
，
又，
∽，
故C不符合题意；
D、由已知条件无法证明与相似，
故D符合题意，
故选：．
根据相似三角形的判定逐一判断即可．
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：把二次函数的图象向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后的图象对应的二次函数的表达式为：．
故选：．
按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：点，，都在函数的图象上，
，，，
，
故选：．
把点的坐标分别代入函数解析式可分别求得、、，再比较其大小即可．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
∽，
，
，，，
，
，
．
古树的高度是．
故选：．
先根据题意得出∽，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的值．
本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：在平行四边形中，，
，
∽，
：：，
：：，
：：，
，
，
．
故选：．
根据相似三角形对应边成比例求出：：，根据，进而可以解决问题．
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，比例式的变形是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，由一次函数图象可知，，，由二次函数图象可知，，，故选项A错误；
在中，由一次函数图象可知，，，由二次函数图象可知，，，故选项B错误；
在中，由一次函数图象可知，，，由二次函数图象可知，，，故选项C正确；
在中，由一次函数图象可知，，，由二次函数图象可知，，，故选项D错误；
故选C．
根据一次函数和二次函数的性质可以判断、的正负，从而可以解答本题．
本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：，两点，横坐标相同，而点的纵坐标大于点的纵坐标，显然，点上升阶段的水平距离长；
，两点，纵坐标相同，而点的横坐标小于点的横坐标，等经过点的篮球运行到与点横坐标相同时，显然在点上方，故B点上升阶段的水平距离长；
同理可知点路线优于点路线，
综上：是被“盖帽”的可能性最大的线路．
故选：．
分类讨论投篮线路经过，，，四个点时篮球上升阶段的水平距离求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是理解题意，通过分类讨论求解．
 

11.【答案】 

【解析】解：添加，
理由如下：，，
∽，
故答案为：．
利用相似三角形的判定可求解．
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，，，
，
解得：，
故答案为：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：令，
抛物线与轴只有一个交点，
，
解得，
故答案为：．
令，求时的值．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
将二次函数解析式化为顶点式．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数解析式间的转换．
 

15.【答案】 

【解析】解：设蜡烛火焰的高度是，
由相似三角形的性质得到：．
解得．
即蜡烛火焰的高度是．
故答案为：．
直接利用相似三角形的对应边成比例解答．
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据题意得：与之间的关系应表示为．
故答案为：．
根据平均增长问题，可得答案．
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：，是斜边上的高，
，
即，
，
．
故答案为：．
利用射影定理得到，然后利用算术平方根的定义求解．
本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
 

18.【答案】或或 

【解析】解：函数的图象与轴有且只有一个交点，
当函数为二次函数时，，
解得：，，
当函数为一次函数时，，解得：．
故答案为：或或．
直接利用抛物线与轴相交，，进而解方程得出答案．
此题主要考查了抛物线与轴的交点，正确得出关于的方程是解题关键．
 

19.【答案】解：，是二次函数图象上两点，
，
，
此二函数的解析式为：． 

【解析】将、两点坐标代入解析式求出、，用待定系数法求解即可．
此题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，相交于的点，
，
又，
∽． 

【解析】根据相似三角形的判定解答即可．
此题考查相似三角形的判定，关键是根据有两组角对应相等的两个三角形相似解答．
 

21.【答案】解：，，
，
，
∽，
，
，
．
鱼塘的宽的长是米． 

【解析】首先根据两边对应成比例且夹角相等可得∽，再根据对应边成比例可得答案．
本题考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键．
 

22.【答案】解：依作法补全图形如下：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形，，． 

【解析】

解：见答案；
证明：，，
四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
，即．
：：．
，
．
．
．
．
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，，．
【分析】
根据已知作法作图即可；
根据证明补全即可．
本题考查三等分相等的作法及证明，涉及平行四边形判定与性质及平行线分线段成比例等知识，解题的关键是读懂作法，按作法作图和补全证明．  

23.【答案】解：由题意可得二次函数的顶点坐标为，
设二次函数的解析式为：，
把点代入，得，
故抛物线解析式为，即；

如图所示：


，
当时，有最大值
当时，，
当时，，
当时，的取值范围是． 

【解析】利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为，则可设顶点式，然后把点代入求出即可；
利用描点法画二次函数图象；
根据、时的函数值即可写出的取值范围．
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．
 

24.【答案】证明：，，点在上，
．
，，，，
，．
．
∽；

由知，∽，则．
，
．
． 

【解析】利用“两边及夹角”法进行推理论证；
根据中相似三角形的性质、补角的定义进行解答．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
 

25.【答案】解：把代入得，，
抛物线的顶点坐标为；
抛物线的顶点坐标为；
抛物线的解析式为：，
即抛物线的解析式为：．
列表：

描点、连线画出函数图象如图：
． 

【解析】把代入即可得到结论；
把抛物线的顶点坐标为代入抛物线的解析式即可得到结论．
利用五点法画出图象即可．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，正确的理解题意是解题的关键．
 

26.【答案】解：如图所示．
解：依题意，抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为．
设该抛物线的表达式为，
由抛物线过点，有．
解得，
该抛物线的表达式为；
解：令，得．
解得，在轴正半轴，故舍去．
点的坐标为．
．
由，可得．
小明此次试投的成绩达到优秀． 

【解析】根据题意画出图象即可；
设该抛物线的表达式为，由抛物线过点得到求得，于是得到结论；
根据题意解方程即可得到结论．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确建立平面直角坐标系、熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
 

27.【答案】证明：过作于，则，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，，
． 

【解析】过作于，证≌，得，，再证∽，得，再证，得，即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
 

28.【答案】   

【解析】解：，
点轴的距离为，
点和射线之间的距离为，
，
，
点和射线之间的距离为，
故答案为：，；
如图：反向延长，得到射线，，
图形为轴的正半轴、射线、射线，以及的内部区域；
如图，图形为图中阴影部分，
由可知，图形中的点到射线、射线的距离相等，
图形与图形之间的距离即为与点的距离，
，
，
图形与图形之间的距离为．
根据定义可知，点到射线的距离即点到轴的距离；点到射线的距离即的长度；
由定义可知，的角平分线上的点与射线、射线的距离相等，即为轴的正半轴上点；再由定义可知，射线、射线，以及的内部区域到射线、射线的距离均是点到点的距离；
根据题意画出图形，再结合可知图形与图形之间的距离即为与点的距离，求出即为所求．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，此题涉及新定义，能够弄清定义，准确画出图形是解题的关键．