2021-2022学年北京市北方工大实验学校七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年北京市北方工大实验学校七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 北京年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的．在下面如图的四个图中，能由如图经过平移得到的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列式子正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，若，，则(    )

A.
B.
C.
D.

5. 已知点到轴的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 在实数：，，，，，中，无理数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

7. 如图，把一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果，那么的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知是方程的一个解，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 下列命题中，假命题是(    )

A. 对顶角相等
B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D. 等角的余角相等

10. 如图，将北京市地铁部分线路图置于正方形网格中，若设定崇文门站的坐标为，雍和宫站的坐标为，则西单站的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

11. 写出二元一次方程的一个非负整数解______．
12. 的算术平方根是______．
13. 图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是______．

14. 如图，数轴上点，对应的数分别为，，点在线段上运动请你写出点可能对应的一个无理数是______ ．

15. 将命题“同角的余角相等”，改写成“如果，那么”的形式______．
16. 如图，给出下列条件：；；；其中，能推出的条件是______ 填上所有符合条件的序号

17. 某日小王驾驶一辆小型车到某地办事，上午：达，在路边的电子收费停车区域内停车．收费标准如图．
    如果他：离开，那么应缴费______元；
    如果他离开时缴费元，那么停车的时长可能是______分钟．写出一个即可
18. 在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点的坐标分别是，，，点在轴上，设三角形和三角形的面积分别为和，如果，那么点的纵坐标的取值范围是______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8分）

19. 计算：
    ；
    ．

四、解答题（本大题共8小题，共46分）

20. 解方程组；
    解方程组．
21. 列方程组解应用问题：
    “冰墩墩”和“雪容融”分别是北京年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．自年正式亮相后，相关特许商品投放市场，持续热销．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如表：

求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售价格．

22. 在平面直角坐标系中，已知点，．
    将线段向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，平移后得到对应线段，请画出线段，并写出点，的坐标；
    平移线段得到线段，使得点与点重合，写出一种由线段得到线段的运动过程．

23. 按图填空，并注明理由．
    已知：如图，，．
    求证：．
    证明： 已知
    ____________
    ______ 
    ______
    ______ 
    又  已知 
    ______
    ______ 
    ．
    ______ 

24. 在平面直角坐标系中，二元一次方程的一个解可以用一个点表示，以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象．例如是方程的一个解，用一个点来表示，以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象，方程的图象是图中的直线．
    二元一次方程的图象是直线，在同一坐标系中画出这个方程的图象；
    写出直线与直线的交点的坐标；
    过点且垂直于轴的直线与，的交点分别为，，直接写出三角形的面积．

25. 如图所示，已知，，试说明：平分．

26. 课上教师呈现一个问题：

小凯画出了图，图，分析思路及结论如下：

小明认为小凯只考虑了点在直线，之间的情况，点的位置应该还有其他情况．
根据以上材料，解答问题：
画出一种点不在直线，之间的图形，写出探究，，之间的数量关系的分析思路及结论．

27. 已知有序数对及常数，我们称有序数对为有序数对的“阶结伴数对”如的“阶结伴数对为即．
    有序数对的“阶结伴数对”为______；
    若有序数对的“阶结伴数对”为，求，的值；
    若有序数对的“阶结伴数对”是它本身，则，满足的等量关系为______，此时的值为______．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的平方根是．
故选：．
根据平方根的定义，求数的平方根，也就是求一个数，使得，则就是的一个平方根．
本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根．
 

2.【答案】 

【解析】解：观察各选项图形可知，选项的图案可以通过平移得到．
故选：．
根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小解答．
本题考查了利用平移设计图案，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，正确，故此选项符合题意，
故选：．
根据算术平方根，立方根的概念化简计算，从而作出判断．
本题考查算术平方根，立方根的概念，理解相关概念是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
两直线平行，同旁内角互补，
而，
．
故选：．
由，根据“两直线平行，同旁内角互补”得到，然后把代入计算即可得到的度数．
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
 

5.【答案】 

【解析】解：点到轴的距离为．
故选A．
根据点到轴的距离等于横坐标的长度解答．
本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于横坐标的长度，到轴的距离等于纵坐标的长度是解此类题目的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了无理数的概念：无限不循环小数叫无理数．常有三种表现形式：字母等；开方开不尽的数，如等；无限不循环小数，如等．故选：．
可化为，根据无理数的定义即可得到无理数为，．
【解答】

解：，
无理数有：，．
故选B．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了两直线平行，内错角相等的性质，需要注意隐含条件，直尺的对边平行．
本题主要利用两直线平行，内错角相等作答．
【解答】
解：如图，

根据题意可知，两直线平行，内错角相等，
，
，
，
，
．
故选B．  

8.【答案】 

【解析】解：把代入方程得：，
解得：，
故选：．
把与的值代入方程计算即可求出的值．
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程成立的未知数的值．
 

9.【答案】 

【解析】解：、对顶角相等，是真命题；
B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题；
C、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题；
D、等角的余角相等，是真命题；
故选：．
根据平行线的性质、对顶角的性质、垂直的性判断即可．
本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握平行线的性质、对顶角的性质、垂直的性质等知识是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图所示：西单站的坐标为：，

故选：．
首先利用已知点确定原点位置，进而得出答案．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：，
，
当时，；时，；时，，
则方程的非负整数解为，，．
故答案为：答案不唯一．
把看做已知数求出，即可确定出非负整数解．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看做已知数求出．
 

12.【答案】 

【解析】解：的平方根是，
的算术平方根是．
故答案为：．
根据算术平方根的定义直接解答即可．
本题考查的是算术平方根的定义，即一个数正的平方根叫这个数的算术平方根．
 

13.【答案】对顶角相等 

【解析】解：由题意得，扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角．因为对顶角相等，所以利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数．
故答案为：对顶角相等．
由题意知，一个破损的扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角，根据对顶角的性质解答即可．
本题考查了对顶角的定义、性质，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
 

14.【答案】答案不唯一，如 

【解析】解：点在上，
点对应的无理数在之间，
可以是，
故答案为：答案不唯一，如．
根据点的位置，可确定所求无理数的范围，在所确定的范围内确定一个无理数即可．
此题考查实数与数轴及估算无理数的大小，关键是根据无理数的估计解答．
 

15.【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 

【解析】

【分析】
本题考查命题与定理，属于基础题．根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论，即可解决问题．
【解答】
解：命题“同角的余角相等”，可以改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
故答案为如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．  

16.【答案】 

【解析】解：，；
，；
，；
，．
故答案为：．
根据平行线的判定方法对四个条件分别进行判断即可．
本题考查了平行线判定：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行．
 

17.【答案】   

【解析】解：，
如果他：离开，那么应缴费元，
故答案为：；
设停车收取费用的时长为分钟的倍，
由题意得：，
解得：，
停车的时长可能是分钟，
故答案为：答案不唯一．
根据小型车首小时内收费标准进行即可求解；
设停车收取费用的时长为分钟的倍，根据小型车白天的收费标准列方程解答即可．
本题考查一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
 

18.【答案】或 

【解析】解：如图，
，
，
，

解得：或
借助坐标系内三角形底和高的确定，利用三角形面积公式求解，
本题主要考查坐标系内三角形面积的计算，关系是确定三角形的底和高．
 

19.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】根据绝对值的性质，二次根式的性质，立方根的性质进行计算便可；
根据合并同类二次根式法则进行解答便可．
本题考查了实数的运算，关键是熟记绝对值的性质，二次根式的性质，立方根的性质，合并同类二次根式的法则．
 

20.【答案】解：，
由，可得：，
代入，可得：，
解得，
把代入，可得：，
原方程组的解是．

，
，可得，
解得，
把代入，可得：，
解得，
原方程组的解是． 

【解析】应用代入消元法，求出方程组的解即可．
应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
 

21.【答案】解：设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为元，“雪容融”玩具的零售价格为元，
依题意得：，
解得：．
答：此款“冰墩墩”玩具的零售价格为元，“雪容融”玩具的零售价格为元． 

【解析】设此款“冰墩墩”玩具的零售价格为元，“雪容融”玩具的零售价格为元，利用总价单价数量，结合表格内的数据，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，线段为所作，点的坐标为，点的坐标为；

如图，线段向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，平移后得到对应线段． 

【解析】利用点平移的坐标变换规律写出点，的坐标，然后描点即可；
利用点与的坐标特征得到平移的方向与距离．
本题考查了作图平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
 

23.【答案】；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行 

【解析】证明： 已知

内错角相等，两直线平行 

两直线平行，内错角相等  
又  已知 

等量代换 
．
内错角相等，两直线平行 ．
故答案是：；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行．
根据平行线的判定定理和平行线的性质进行填空．
本题考查了平行线的判定与性质．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
 

24.【答案】解：画出方程的图象如图所示，

由解得，
直线与直线的交点的坐标；
把代入求得，
把代入求得，
，，
，
三角形的面积为：． 

【解析】在同一坐标系中画出方程的的图象即可；
方程组的解即为两个方程的图象的交点坐标；
求得、的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得．
本题主要考查的是二元一次方程组的解及其直线方程的图象，解题的关键是学会利用图象法解决问题，体现了数形结合的思想．
 

25.【答案】证明：已知
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
又已知
等量代换
平分角平分线的定义． 

【解析】本题主要利用两直线平行，同位角相等和角平分线的定义进行做题．
本题重点考查了平行线的性质及角平分线的定义，是一道较为简单的题目．
 

26.【答案】解：如图，，点是线段，所在直线外的一点，连接，，探究，，之间的数量关系．

分析思路：要寻求三个角之间的数量关系，根据图中角的位置特征，可以借助平行线进行角的位置的转换．
如图，过点作．

由可知；
由，得到，可知；
由，
得到结论：．
如图，过点作，

，
，
，，
又，
． 

【解析】画出图形，如图过点作，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据图形可得结论，如图，过点作，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据整理即可得证．
本题考查了平行线的性质，根据给出的材料作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．
 

27.【答案】解：，，
有序数对的“阶结伴数对”为，
故答案为：；

根据题意，得，
解得：，
即，；

有序数对的“阶结伴数对”是它本身，
，，
，
把代入得：，
即，
解得：，
所以，，
故答案为：，． 

【解析】先根据题意得出和，再求出答案即可；
根据题意得出方程组，再求出方程组的解即可；
根据题意得出啊，，再求出即可．
本题考查了解二元一次方程组，有理数的混合运算等知识点，能根据题意列出算式是解此题的关键．