2021-2022学年北京市大兴区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年北京市大兴区八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共8小题，共16分）

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算结果正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列各式成立的是

A.  B.  C.  D.

4. 在中，，是边上的中线，下列结论正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

6. 如图，，分别是的边，的中点，下列结论错误的是

A.
B.
C. 的周长是周长的一半
D.
 

7. 下列命题中正确的是

A. 有一组邻边相等的四边形是菱形
B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 对角线垂直的平行四边形是正方形
D. 一组对边平行的四边形是平行四边形

8. 在菱形中，点为对角线的中点，点为边上一动点点不与点，重合，连接并延长交于点，连接，，若四边形一定不是矩形，则应满足的条件是

1.  B.
   C.  D.

二．填空题（本题共8小题，共16分）

9. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
10. 计算：______．
11. 已知一个平行四边形两个内角的度数比为：，则其中较小的内角为______ ．
12. 计算：______．
13. 如图，在▱中，，，平分交于点，则的长为______．

14. 九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．九章算术中记载：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文是：“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有尺实际含义是：绳索比木柱长尺牵着绳索绳索头与地面接触退行，在距木柱根部尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？”设绳索长尺，根据题意列方程为______．
15. 如图所示的网格是正方形网格，点，，，是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为：______填“”，“”或“”．
    
     

16. 如图，点为线段延长线上一点，正方形和正方形的面积分别为和，则的面积为______．

三．解答题（本题共12小题，共68分）

17. 计算：．
18. 计算．
19. 计算：．
20. 如图，在平行四边形中，于，于，连结，求证：四边形是平行四边形．

21. 如图，在四边形中，，，，求的度数．

22. 观察下列各式：
    时，有式：；
    时，有式：；
    类比上述式、式，将下列等式补充完整：
    ______；；
    请用含为正整数的等式表示以上各式的运算规律：______．
23. 如图，菱形对角线，相交于点，点是的中点，过点作对角线的垂线，与的延长线交于点，连接．
    求证：四边形是矩形；
    若，，求和的长．

24. 如图，在四边形中，，于点，点是延长线上一点，，于点．
    求证：四边形是菱形；
    若平分，，，求和的长．
25. 如图，在数轴上标出表示的点，和表示的点，过点作直线垂直于，以点为圆心，以为半径在数轴的上方作弧，弧与直线交于点，以点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点即为表示的点．
    依题意，用直尺和圆规完成作图保留作图痕迹；
    根据作图，利用勾股定理，可以发现，如果在直角三角形中，一边长为，其他两边均为正整数，那么长为的边是直角三角形的______填“直角边”或“斜边”，直角三角形另两条边长分别为______、______．
     
26. 在平面直角坐标系中，点，点位于轴正半轴，，点位于轴正半轴，．
    求点，的坐标；
    垂直于轴的直线与线段，分别交于点，，过点作，垂足为，过点作，垂足为，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记四边形围成的区域不含边界为若点的纵坐标为，当区域内整点个数达到最多时，直接写出的取值范围．

27. 已知四边形是正方形，点为射线上一动点点不与，重合，连接，过点作，交射线于点，过点，分别作，的垂线，两垂线交于点，连接．
    如图，当点在对角线上时，依题意补全图形，并证明：四边形是正方形；
    在的条件下，猜想：，和的数量关系，并加以证明；
    当点在对角线的延长线上时，直接用等式表示，和的数量关系．

28. 对于平面直角坐标系中的线段和图形，给出如下的定义：若图形是以为对角线的平行四边形，则称图形是线段的“关联平行四边形”．
    点，点，
    当，时，若四边形是线段的“关联平行四边形”，则点的坐标是______；
    若四边形是线段的“关联平行四边形”，求对角线的最小值；
    若线段的“关联平行四边形”是正方形，直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C.的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
 

2.【答案】

【解析】解：、与不能合并，所以选项的计算错误；
B、原式，所以选项的计算错误；
C、原式，所以选项的计算正确；
D、原式，所以选项的计算错误．
故选：．
利用二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

3.【答案】

【解析】解：、原式，故A不符合题意．
B、原式，故B符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
根据二次根式的性质即可求出答案．
本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质与化简，本题属于基础题型．
 

4.【答案】

【解析】解：如图：

在中，，是边上的中线，
，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半分析判断．
本题考查直角三角形斜边上的中线，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】解：、，，
，
，，不能作为直角三角形的三边长；
B、，，
，
，，可以作为直角三角形的三边长；
C、，，
，
，，不能作为直角三角形的三边长；
D、，，
，
，，不能作为直角三角形的三边长．
故选B．
根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论．
本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理验证四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方”是关键．
 

6.【答案】

【解析】解：，分别是的边，的中点，
是的中位线，
，，
故A、不符合题意；
，
，，
∽，
，，
故C不符合题意，符合题意，
故选：．
根据已知可得是的中位线，从而可得，，即可判断、，再利用平行线的性质可得，，从而证明字模型相似三角形∽，然后利用相似三角形的性质，即可判断、．
本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形的中位线定理，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；
B、正确；
C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；
D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．
故选：．
利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，难度不大，属于基础题．
 

8.【答案】

【解析】解：如图，

四边形一定不是矩形，
，
点不与点，重合，
，
时，，
则应满足的条件是．
故选：．
根据矩形的判定可得，由点不与点，重合，可得，进而可以解决问题．
本题考查了矩形的判定，菱形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的判定．
 

9.【答案】

【解析】解：依题意有，
解得．
故答案为：．
根据二次根式的性质，被开方数大于等于，列不等式求解．
本题主要考查了二次根式的意义和性质，注意掌握概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

10.【答案】

【解析】解：．
故答案为．
根据算术平方根的性质进行化简，即．
此题考查了算术平方根的性质，能够能够算术平方根的性质进行化简，是一道基础题．
 

11.【答案】

【解析】解：平行四边形的对角相等，邻角互补，且平行四边形两个内角的度数比为：，
较小的内角，
故答案为．
由平行四边形的性质可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
 

12.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了二次根式的加减，属于基础题型．
先化简 ，再合并同类二次根式即可．
【解答】
解： ．
故答案为： ．   

13.【答案】

【解析】解：，平分交边于点，
，
．
，
．
故答案为：．
因为是在平行四边形中，平分交边于点，能知道，又因为，，所以可求．
本题考查平行四边形的性质，关键知道平行四边形中对边平行，对边相等，从而可求出结果．
 

14.【答案】

【解析】解：设绳索长为尺，则木柱长为尺，可列方程为：
，
故答案为：．
设绳索长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确表示出各边长是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：如图，




，


，
，
故答案为：．
利用网格来计算两个三角形的面积即可．
本题是求三角形的面积问题，解题关键是熟练对不规则三角形进行割补．
 

16.【答案】

【解析】解：连接，，，交于，
正方形的面积为，
，，，，，
，
，
正方形的面积为，
，，
在中，
，
，
，
，，三点在一条直线上，
在中，
由勾股定理得，
，
的面积．
故答案为：．
连接，，，交于，由正方形和正方形的面积求出，，证得，，三点在一条直线上，根据三角形的面积公式即可得到答案．
本题主要考查了正方形的性质，三角形的面积公式，勾股定理，根据正方形和正方形的面积求出，是解决问题的关键．
 

17.【答案】解：原式


．

【解析】先利用二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简后进行加法运算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：

．

【解析】利用平方差公式进行计算即可．
本题考查了二次根式的化简和平方差公式，是基础知识要熟练掌握．
 

19.【答案】解：

．

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
在和中，，
≌，
，
四边形是平行四边形．

【解析】由四边形是平行四边形，可得，，又由，，即可得，，然后利用证得≌，即可得，由有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，即可证得四边形是平行四边形．
此题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，证得≌，得到且是解此题的关键．
 

21.【答案】解：连接，
，，
，
在中，，
在中，，
，即，
，
．

【解析】连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理判断，计算即可．
本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

22.【答案】 

【解析】解：类比上述式、式，可得：
，；
故答案为：；；；
用含为正整数的等式表示以上各式的运算规律为：．
故答案为：．
类比，可得；
利用以上反映的数字的规律即可得出．
本题主要考查了算术平方根，数字变化的规律，利用类比的方法解答是解题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形是菱形，
，
，
，
，
是的中点，
，
在与中，

≌，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
解：四边形是矩形，
，
，四边形是菱形，
，
．

【解析】根据菱形的性质得出，进而利用平行线的性质和全等三角形的判定和性质得出，利用矩形的判定解答即可；
根据矩形的性质和含角的直角三角形的性质解答即可．
此题考查矩形的判定和性质，关键是根据菱形的性质得出，进而利用平行线的性质和全等三角形的判定和性质得出解答．
 

24.【答案】证明：，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
解：四边形是菱形，
，
，平分，
，
≌，
，
，，
，
，
，，
∽，
，
即，
，
．

【解析】根据菱形的判定解答即可；
根据菱形的性质和相似三角形的判定和性质，进而解答即可．
此题考查菱形的判定和性质，关键是根据菱形的性质和判定以及相似三角形的判定和性质解答．
 

25.【答案】直角边   

【解析】解：如图，

由题意可知，，，
在中，由勾股定理得，
是直角三角形的直角边，另外两边分别为和，
故答案为：直角边；，．
由题意画出图形即可得出结果；
根据中作图可得答案．
本题考查了勾股定理的应用，按照题意准确画出图形是解题的关键．
 

26.【答案】解：根据题意，画出图形如下：

在中，
，
，
，
；
设，则，
，
当整点最多时满足，
解得，
，
．

【解析】根据题意，可直接求出、亮点的坐标；
画出图形，设，根据图形可列出不等式，解不等式后可求出的取值范围．
本题主要考查平面直角坐标系的知识，准确找到坐标系上点的位置，能结合图形求出点的坐标的特点列出不等式是解答此题的关键．
 

27.【答案】解：图形如图所示：

理由：作于，于，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
矩形是正方形；

结论：；
理由：，，
，
在和中，
，
≌，
，
；

结论：，
理由：由得，矩形是正方形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；

【解析】作于，于，证明≌，得到，根据正方形的判定定理证明即可；
根据三角形全等的判定定理证明≌，得到，证明结论；
根据题意画出图形，与的方法类似，证明≌，得到，即可得到答案；
本题属于四边形作图，考查的是正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的定理、正确作出辅助线是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．
 

28.【答案】

【解析】解：，点，四边形是平行四边形，
平行四边形的对角线交点坐标为，
，，
平行四边形的对角线交点坐标为，
设点的坐标为，
，
，，
点的坐标为，
故答案为：．
由得，平行四边形的对角线交点的坐标为，记为点，
，点在直线上，
当最小，即直线时，最小，
．
如图，当点在轴下方时，
过点作轴于点，过点作轴于点，则，，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
≌，
，，
点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为；
当点在轴上方时，
由得，，，
点的坐标为，点的坐标为，
点的坐标为；
综上所述，当线段的“关联平行四边形”是正方形时，点的坐标为或．
先由和的坐标求得平行四边形对角线交点的坐标，再利用平行四边形的中心对称性和中点坐标求得点的坐标；
先用含有和的式子表示平行四边形对角线交点的坐标，然后可知中点在直线上，由点到直线的距离垂线段最短求得的最小值；
分情况讨论，过点作轴于点，过点作轴于点，由正方形的性质证明≌，然后得到点和点的坐标，最后得到点的坐标．
本题考查了平行四边形的性质，正方形的性质，垂线段最短，平面直角坐标系中点的坐标特征，解题的关键是熟知平行四边形的对称性和两点间的中点公式．