初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试复习练习题

专题04 高分突破-二次函数的文字题、应用题重难点题型分类

（解析版）

题型一： 二次函数的文字题

33．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0）和点B（4，3）．

（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．

（2）直接写出该抛物线开口方向和顶点坐标．

（3）直接在所给坐标平面内画出这条抛物线．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0）和点B（4，3）．

∴，解得，

∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+3；

（2）a＝1＞0，抛物线开口向上，∵y＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1）；

（3）如图，

30．已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：

（1）可求得m的值为　 　；

（2）求出这个二次函数的解析式　 　；

（3）当0＜x＜3时，则y的取值范围为　 　．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0），（3，0），∴抛物线对称轴为直线x＝＝2，∴点（0，3）关于对称轴的对称点是（4，3），∴m＝3，故答案为3；

（2）设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），∵过点（0，3），∴a＝1，∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，

当x＝4时，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，故答案为y＝x2﹣4x+3；

（3）由图表可知抛物线y＝ax2+bx+c过点（0，3），（3，0），因此当0＜x＜3时，则y的取值范围为是﹣1≤y＜3．

35．关于x的二次函数y＝ax2﹣bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求二次函数的对称轴和顶点坐标．

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，3）代入得a•（0+1）（0﹣3）＝3，解得a＝﹣1，所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x2+2x+3；

（2）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，所以抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，4）．

36．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）．

（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；

（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标；

（3）点M是抛物线在第一象限内图象上的任意一点，求当△BCM的面积最大时点M的坐标．

【解答】解：（1）将点B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣9+3m+3，解得：m＝2，则函数对称轴为：x＝﹣＝1，则顶点的坐标为（1，4）；

（2）函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，则x＝3或﹣1，令x＝0，则y＝3，故点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，3），点A关于函数对称轴的对称点为B，连接BC交函数对称轴于点P，此时点P即为所求点，

将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝2，故点P（1，2）；

（3）过点M作MH∥y轴交BC于点H，

设点M（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，3﹣x），S△BCM＝MH×OB＝×3（﹣x2+2x+3﹣3+x）＝﹣（x﹣）2+，∵﹣＜0，故S△BCM有最大值，此时x＝，

故点M（，）．

38．如图：已知直线y＝x+2与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，与x轴、y轴交于点C、D．

（1）求点A、B的坐标；

（2）求△OAB的面积；

（3）试判断△OAB的形状并证明．

【解答】解：（1）由题意，得．解得，，故A（﹣1，1）、B（2，4）；

（2）由直线y＝x+2得到：D（0，2）．

所以△OAB的面积为：OD•|xB﹣xA|＝×2×3＝3，即△OAB的面积为3；

（3）△OAB是直角三角形．理由如下：由A（﹣1，1）、B（2，4）知，AB2＝32+32＝18，OA2＝12+12＝2，OB2＝22+42＝20．所以AB2+OA2＝OB2．所以△OAB是直角三角形．

39．已知：抛物线y＝x2+4x+4+m的图象与y轴交于点C，点B与点C的纵坐标相同，一次函数y＝kx+b与二次函数交于A、B两点，且A点坐标为（﹣1，0）．

（1）求二次函数与一次函数的解析式；

（2）若抛物线对称轴上存在一点P，使得△PAC的周长最小，求P点坐标及△PAC周长的最小值．

【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝x2+4x+4+m上，∴m＝﹣1，

∴二次函数的解析式为y＝x2+4x+3，∴C点的坐标为（0，3），则B点的坐标为（﹣4，3），

设直线AB的解析式为y＝kx+b，，解得，k＝﹣1  b＝﹣1，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x﹣1，

即二次函数的解析式为y＝x2+4x+3，一次函数的解析式是y＝﹣x﹣1；

（2）∵二次函数y＝x2+4x+3的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，

由题意可知A和B关于对称轴x＝﹣2对称，直线AB交直线x＝﹣2于P，此时PA+PC的值最小，即△PAC的周长的值最小，∴把x＝﹣2代入y＝﹣x﹣1得y＝1，∴P（﹣2，1），∵A（﹣1，0），B（﹣4，3），C（0，3），由勾股定理可得AB＝＝3，AC＝＝，

∴△PAC周长的最小值为AB+AC＝3+．

题型九 二次函数的应用题

考向1：面积问题

40．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．

（1）若花园的面积为192m2，求x的值；

（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），这时要使得花园面积为180m2，求x的值．

【解答】解：（1）∵AB＝xm，则BC＝（28﹣x）m，∴x（28﹣x）＝192，解得：x1＝12，x2＝16，

答：x的值为12m或16m；

（2）由题意，得x（28﹣x）＝180，解得：x1＝10，x2＝18，∵，解得：6≤x≤13．

∴x＝10．

25.（青竹湖）如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为xm，面积为Sm．
（1）求S与x的函数关系式；
（2）如果要围成面积为45m的花圃，AB的长是多少米？
（3）能围成面积比45 m更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．

【解答】解：（1），解得；

（2）移项、系数化1、十字相乘得：，解得（舍），；

（3），所以当时，.

考向2：利润问题

41．某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y＝﹣x+60（30≤x≤60）．

设这种双肩包每天的销售利润为w元．

（1）求w与x之间的函数解析式；

（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？

【解答】解：（1）w＝（x﹣30）•y＝（﹣x+60）（x﹣30）＝﹣x2+30x+60x﹣1800＝﹣x2+90x﹣1800，

w与x之间的函数解析式w＝﹣x2+90x﹣1800；

（2）根据题意得：w＝﹣x2+90x﹣1800＝﹣（x﹣45）2+225，∵﹣1＜0，当x＝45时，w有最大值，最大值是225．

（3）当w＝200时，﹣x2+90x﹣1800＝200，解得x1＝40，x2＝50，∵50＞48，x2＝50不符合题意，舍，

答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．

42．某商场销售A，B两款书包，已知A，B两款书包的进货价格分别为每个30元，50元，商场用3600元的资金购进A，B两款书包共100个．

（1）求A，B两款书包分别购进多少个．

（2）市场调查发现，B款书包每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y＝﹣x+90（60≤x≤90）．设B款书包每天的销售利润为w元，当B款书包的销售单价为多少元时，商场每天B款书包的销售利润最大？最大利润是多少元？

【解答】解：（1）设购进A款书包x个，则B款为100﹣x个，由题意得：30x+50（100﹣x）＝3600，

解得：x＝70，即：A，B两款书包分别购进70和30个；

（2）由题意得：w＝y（x﹣50）＝﹣（x﹣50）（x﹣90），∵﹣1＜0，故w有最大值，函数的对称轴为：x＝70，而60≤x≤90，故：当x＝70时，w有最大值为400，

即：B款书包的销售单价为70元时B款书包的销售利润最大，最大利润是400元．

43．某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每千克降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，请回答：

（1）写出售价为50元时，每天能卖樱桃　    　千克，每天获得利润　    　元．

（2）若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，每千克樱桃应降价多少元？

（3）若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利最大，每千克樱桃应售价多少元？

【解答】解：（1）售价为50元时，每天能卖出樱桃100+10×（60﹣10）＝200千克，每天获得利润（50﹣40）×200＝2000元，故答案为：200、2000；

（2）根据题意得：（60﹣40﹣x）（100+10x）＝2240，整理得：x2﹣10x+24＝0，x＝4或x＝6，

答：每千克应降价4元或6元；

（3）设售价为x元，利润y＝（60﹣40﹣x）（100+10x）＝﹣10x2+100x+2000＝﹣10x2+100x+2000

＝﹣10（x﹣5）2+2250，∴当x＝5时，y的值最大．

答：当销售单价为55元时，可获得销售利润最大．

44．小雨、小华、小星暑假到某超市参加社会实践活动，在活动中他们参加了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克．他们通过市场调查发现：当销售单价为10元时，那么每天可售出300千克；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少50千克．

（1）求该超市销售这种水果，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式；

（2）一段时间后，发现这种水果每天的销售量均不低于250千克，则此时该超市销售这种水果每天获取的利润w（元）最大是多少？

（3）为响应政府号召，该超市决定在暑假期间每销售1千克这种水果就捐赠a元利润（a≤2.5）给希望工程．公司通过销售记录发现，当销售单价不超过13元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x（元/千克）的增大而增大，求a的取值范围．

【解答】解：（1）由题意，可得y＝﹣50x+800；

（2）∵﹣50x+800≥250，∴x≤11，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣50x+800）＝﹣50x2+1200x﹣6400＝﹣50（x﹣12）2+800，∵﹣50＜0，∴当x≤12时，w随x的增大而增大，∴当x＝11时，w最大值＝750

答：当售价为11元/千克时，该超市销售这种水果每天获取的利润w最大为750元．

（3）设扣除捐赠后的日销售利润为S元，∴S＝（x﹣8﹣a）（﹣50x+800）＝﹣50x2+（1200+50a）x﹣6400﹣800a，∵当x≤13时，S随x的增大而增大，∴≥13，∴a≥2，∴2≤a≤2.5，

即a的取值范围为2≤a≤2.5。

45．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？

（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，则该漆器笔筒销售单价x的范围为 　        　．

【解答】解：（1）设y＝kx+b，∵直线y＝kx+b经过点（40，300），（55，150），∴，

解得：．故y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+700；

（2）由题意，得﹣10x+700≥240，解得x≤46，∴30＜x≤46，设利润为w＝（x﹣30）•y＝（x﹣30）（﹣10x+700），w＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，∵﹣10＜0，

∴x＜50时，w随x的增大而增大，∴x＝46时，w最大＝﹣10（46﹣50）2+4000＝3840，

答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；

（3）w﹣150＝﹣10x2+1000x﹣21000﹣150＝3600，﹣10（x﹣50）2＝﹣250，x﹣50＝±5，x1＝55，x2＝45，

如图所示，由图象得：

当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．

故答案为：45≤x≤55．

46．某公司生产某环保产品的成本为每件40元，经过市场调研发现这件产品在未来两个月（60天）的日销量m（件）与时间t（天）的关系图象如图所示（第一个月，第二个月销量与时间满足一次关系）．未来两个月（60天）该商品每天的价格y（元/件）与时间t（天）的函数关系式为：y＝

根据以上信息，解决以下问题：

（1）请分别确定1≤t≤30和31≤t≤60时该产品的日销量m（件）与时间t（天）之间的函数关系式；

（2）请预测未来第一个月日销售利润W1（元）的最小值是多少？第二个月日销售利润W2（元）的最大值是多少？

（3）为创建“两型社会”，政府决定大力扶持该环保产品的生产和销售，从第二个月开始每销售一件该产品就补贴a元，有了政府补贴以后，第二个月内该产品日销售利润W3（元）随时间t（天）的增大而增大，求a的取值范围．

【解答】解：（1）当1≤t≤30时，设m＝kt+b，则有，解得，

∴m＝﹣2t+100，当31≤t≤60时，设m＝k′x+b′，则有，解得，

∴m＝t+40；

（2）由题意W1＝（t+80﹣40）•（﹣2t+100）＝﹣t2﹣55t+4000，当t＝30时，W1有最小值＝1900（元），

W2＝（﹣t+90﹣40）（t+40）＝﹣（t﹣55）2+，∴t＝55时，W2的最大值为元；

（3）由题意W3＝（t+40）（﹣t+90﹣40+a）＝﹣t2+（+a）t+2000+40a，对称轴t＝，

∵31≤t≤60，∴t的取值范围在对称轴的左侧时W随t的增大而增大，∴当＞59.5，∴a＞3，

即a＞3时，W随t的增大而增大．

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