数学八年级上册2.3 等腰三角形的性质定理优秀同步测试题

2.3等腰三角形的性质定理     浙教版初中数学八年级上册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 如图，在中，，，是上一点，连接把沿翻折得到，且于点，连接，则点到的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在中，，，与关于直线对称，，连接，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

3. 如图，已知，点在边上，，点，在边上，，
   若，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

4. 如图，在已知的中，按以下步骤作图：分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；作直线交于点，连接，若，，则的度数为(    )
    

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在中，，按下列步骤作图：以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交边、于点、；以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点；以点为圆心，的长为半径画弧，交中所作的弧于点；连接并延长交边于点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

7. 如图，为的外角平分线上一点，过作于，交的延长线于，且满足，则下列结论：≌；；若，则；其中正确的结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8. 如图，在中，，点在上，且，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

9. 在中，，点在边上，点在边上，，，若为等腰三角形，则的度数为(    )

A.  B. 或 C. 或 D. 或

10. 如图，在已知的中，按以下步骤作图：
    分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；
    作直线交于点，连接。
    若，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11. 如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于，，作直线，为的中点，为直线上任意一点，若，面积为，则长度的最小值为______．

12. 在某等腰三角形中，一条腰上的中垂线与另一条腰所在直线的夹角为，则该等腰三角形顶角的度数为______．
13. 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分别为和两部分，这个等腰三角形底边的长为______．
14. 如图为等腰三角形，其中，以为底边作，其中，再以为底边作，其中，两底角的角平分线交于点，点为直线上的动点，已知最大值为则的最小值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

15. 如图，中，，．

尺规作图：作线段的垂直平分线，交于，交于保留作图痕迹，不写作法 

求证：

16. 如图，在中，，，点在线段上运动不与、重合，连接，作，交线段于．
    点从向运动时，逐渐变______填“大”或“小”，但与的度数和始终是______度；
    当的长度是多少时，≌，并说明理由．

17. 如图，已知，且，求证：D.

18. 如图，已知，，求作一个，使，且．

19. 如图，在中，，．
    用直尺和圆规作出一条射线交于点，把分成等腰三角形和等腰三角形保留作图痕迹，不要求写作法；
    求边的长．

20. 如图，在四边形中，，，，，求四边形的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
，
，
在中，
，
，
解得，
，
，
解得：，
在中，
，
，
解得：，
由翻折可得，，
，
，
≌，
，，
设，
则，，
在中，
，
，
解得，
，，
设点到的距离为，
，
，
解得．
所以点到的距离为．
故选：．
过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据等腰三角形的性质及勾股定理，可计算出、的长度，根据等面积法可计算出的长度，再由翻折的性质可得≌，在中，可计算出的长度，即可得出的长，再由在中应用等面积法即可得出答案．
本题主要考查了翻折的性质、全等三角形的判定和性质及等面积法，熟练应用相关知识进行求解是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，
与关于直线对称，
，，
，
，
，
故选：．
利用三角形内角和定理轴对称的性质求出即可解决问题．
本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

3.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，
，
，，
，
在中，，
，
，
，
故选：．
过点作，垂足为，根据等腰三角形的三线合一性质可得，然后在中，求出，从而求出，即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，含度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
利用线段垂直平分线的性质得出，再利用三角形内角和等于得出即可．
本题考查的是作图基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
【解答】
解：由题意可得：垂直平分，
则，
故，，
则，
，
，
．
故选A．  

5.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点．

，
，
由作图可知，
，
，
，
，
，
故选：．
如图，过点作于点证明，利用等腰三角形的性质求解即可．
本题考查作图复杂作图，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

6.【答案】 

【解析】解：当是腰长时，，，能组成三角形，
当是腰长时，，，能够组成三角形．
则三角形的周长为或．
故选：．
题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：平分，，，
，，
又，
，
，
在和中，

≌，故正确；
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，故正确；
，
，
，
，
又，
，
，故正确；
，
，故错误；
故选C．
根据角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，可以判断出各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、四边形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的性质．关键是利用等腰三角形的底角相等，外角的性质，内角和定理，列方程求解．由可知，，为等腰三角形，设，则，又由可知，为等腰三角形，则，在中，用内角和定理列方程求解．
【解答】
解：，
，为等腰三角形，
设，则，
又可知，
为等腰三角形，
，
在中，，
即，
解得，
即．
故选D．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是依据题意画出图形，并进行分类讨论．
先根据三角形外角性质，得出，则设，进而得到，，，最后根据为等腰三角形，进行分类讨论即可．
【解答】
解：如图所示，，，

，
，
可设，则，，
根据三角形内角和定理可得，，
分三种情况：
当时，有，
解得；
当时，有，
解得；
当时，有，方程无解，
综上所述，的度数为或，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
由，，根据等腰三角形的性质，可求得的度数，又由题意可得：是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：，则可求得的度数，继而求得答案。
【解答】
解：，

根据题意得：是线段的垂直平分线




故选D。  

11.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过点作于点．

，
，
垂直平分线段，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
如图，连接，过点作于点利用三角形的面积公式求出，再根据垂线段最短，线段的垂直平分线的性质判断即可．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题．
 

12.【答案】或 

【解析】解：当为锐角等腰三角形时，如图：

，，
，
当为钝角等腰三角形时，如图：

，，
顶角．
故该等腰三角形顶角的度数为或．
故答案为：或．
由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来讨论．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键．
 

13.【答案】或 

【解析】解：设等腰三角形的腰长是，底边是根据题意，得：
或，
解得：或．
根据三角形的三边关系，两组值都能组成三角形．
故答案为：或．
根据等腰三角形的性质和已知条件求出腰长和底边长，然后根据三边关系进行讨论，即可得出结论．
本题考查了等腰三角形的性质；解题中，因为两部分的周长没有明确，所以首先要分两种情况考虑．最后一定要注意检查是否符合三角形的三边关系．分类讨论是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，
，
，
当、、三点共线时，的值最大，
最大值为，
，
连接交于，
，
当、、三点共线时，的值最小，
此时点与点重合，
连接，，
，，，
，
，
，
，
是的角平分线，是的角平分线，
，
，
，，
≌，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
作点关于的对称点，连接交于点，连接，当、、三点共线时，的值最大，即，连接交于，当、、三点共线时，的值最小，此时点与点重合，连接，，证明≌，求出，即可求解．
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，角平分线的性质是解题的关键．
 

15.【答案】解：即为线段的垂直平分线；

   证明：连接，如图，
，
，
垂直平分，
，
，
，
在中，，
． 

【解析】本题主要考查的是线段垂直平分线的画法，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，含度的直角三角形的性质等有关知识．
利用基本作图作已知线段的垂直平分线作出垂直平分；
连接，如图，先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，再根据线段垂直平分线的性质得，则，接着计算出，利用含度的直角三角形三边的关系得到，从而得到本题的结论．
 

16.【答案】小   

【解析】解：由图可知，
点从向运动时，逐渐变小，
，
，
即与的度数和始终是，
故答案为：小，；
当时，≌，
理由：由，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
故当时，≌．
根据题意和图形，可以写出点从向运动时，的变化情况，再根据，即可得到与的度数和的情况；
根据题意可以写出当的长度是多少时，≌，然后写出理由即可．
本题考查全等三角形的判定、等腰三角形的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

17.【答案】证明：，

，，

，

，

，

，

又，

D.

【解析】

【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质和应用等腰三角形的两腰相等．等腰三角形的两个底角相等．等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．此题还考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：定理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
首先根据，可得，，；然后根据，可得，据此判断出，再根据，即可判断出．  

18.【答案】解：如图，即为所求．
 

【解析】作的外接圆，线段的垂直平分线交于点，连接，，即为所求．
本题考查作图复杂作图，三角形的外接圆，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】解：如图，射线即为所求．


由可知设，则．
，
．
又，
∽，
，
，
，
或舍．
． 

【解析】作的角平分线交于点即可；
设，则利用相似三角形的性质，构建方程求解．
本题考查作图复杂作图，菱形的判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：延长，延长，相交于点，

，，
，，
和都是等腰直角三角形，
，
，




．
答：四边形的面积是． 

【解析】

【分析】
此题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形的面积公式的运用，是作延长线，找到交点，组成新图形，是解决此题的关键．
如上图所示，延长，延长，相交于点．度，所以是等腰直角三角形，，则可以求出的面积；是等腰直角三角形，，则可以求出的面积；那么四边形的面积是两个三角形的面积之差．