2021-2022学年江苏省无锡市新吴区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省无锡市新吴区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 在代数式，，中，分式的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 式子有意义，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列调查方式中，你认为最合适的是(    )

A. 了解全国观众对北京冬奥会的关注度，采取普查方式
B. 疫情防控期间某校对进校学生进行体温监测，采取抽样调查方式
C. 了解一批烟花的燃放质量，采取普查方式
D. 了解双减政策下江苏省八年级学生平均每天的作业量，采取抽样调查方式

4. 下列事件是随机事件的是(    )

A. 一箭双雕 B. 日落西山 C. 石沉大海 D. 一手遮天

5. 下列环保标志，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(    )

A. 两组对边相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 两组对角相等

7. 若点、、在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 若，则化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 点是正方形边上一点不与、重合，连接并将线段绕点顺时针旋转，得线段，连接，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

10. 若关于的分式方程的解为非负数，且关于的不等式组有个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 计算：______．
12. 想了解本周气温的变化情况，最适合采用______统计图．填“扇形”或“折线”
13. 写出一个你学过的函数，使它的图象经过一、三象限______．
14. 已知以三角形各边中点为顶点的三角形的周长为，则原三角形的周长为______．
15. 我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式，其中、、为三角形的三条边，为最长边．若一个三角形的三边长分别为，，，则此三角形面积为______．
16. 分式的值为，则、满足的条件为______．
17. 如图，点、分别在函数，的图象上，点、在轴上，若四边形为正方形，点在第二象限，则的坐标为______．

18. 如图，在矩形中，，，、分别从、同时出发以相同的速度向点运动，则的最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共76分）

19. 计算：；
    计算：．
20. 计算：；
    解方程：．
21. 先化简，再选一个你喜欢的数代入求值：．
22. 某中学为了解全校名学生到校上学的方式，在全校范围随机抽取了若干名学生进行调查，调查过程中提供了五种上学方式：“步行、自行车、公交车、私家车、其他”供每一位被调查的学生选择，每人只能选其中一项，且不能不选．现将调查得到的结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．
    
    在这次随机调查中，样本容量为______；
    补出条形统计图中上学方式为“步行”的部分；
    扇形统计图中上学方式为“公交车”部分的圆心角度数等于______；
    估计该中学全校所有学生中上学方式为“私家车”的人数等于______．
23. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．
    例如：这样小明就找到了一种把类似的式子化为完全平方式的方法．
    请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
    ______ ______ ______；
    化简：为正整数
24. 年冬奥会吉祥物冰墩墩一夜之间火遍全球，各种冰墩墩的玩偶，挂件，灯饰等应运而生．某学校决定购买，两种型号的冰墩墩饰品作为纪念品，已知种比种每件多元，预算资金为元；其中元购买种商品，其余资金购买种商品，且购买种的数量是种的倍．
    求，两种饰品的单价；
    购买当日，正逢开学季搞促销，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买种饰品的资金不少于元，，两种饰品共件；问购买，两种饰品有哪几种方案？
25. 在矩形中，，．
    将矩形折叠，使得顶点落在边上的处如图，折痕与边交于点，连、、求线段的长；
    在的条件下，连如图动点在线段上与点、不重合，动点在线段的延长线上，且，连交于点，作于点试问点、在移动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段的长度．
     

26. 如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点．
    求点的坐标和反比例函数的表达式；
    如图，将正方形沿轴向右平移个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标；
    在的条件下，点为轴上一动点，平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在代数式，，中，分式有，中，个数有个，
故选：．
利用分式的定义判断即可．
此题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：了解全国观众对北京冬奥会的关注度，适合使用抽样调查，因此选项A不符合题意；
B.疫情防控期间某校对进校学生进行体温监测，适合使用全面调查，因此选项B不符合题意；
C.了解一批烟花的燃放质量，适合使用抽样调查，因此选项C不符合题意；
D.了解双减政策下江苏省八年级学生平均每天的作业量，适合使用抽样调查，因此选项D符合题意；
故选：．
根据抽样调查与全面调查的意义：抽样调查是根据随机的原则从总体中抽取部分实际数据进行调查，并运用概率估计方法，根据样本数据推算总体相应的数量指标的一种统计分析方法；结合具体的问题情境进行判断即可．
本题考查全面调查与抽样调查，理解全面调查与抽样调查的意义是正确判断的前提．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项，一箭可能射中只雕，也可能射中只，也可能没有射中，这是随机事件，故该选项符合题意；
选项，太阳一定会向西边落下的，这是必然事件，故该选项不符合题意；
选项，石头一定会沉入大海的，这是必然事件，故该选项不符合题意；
选项，一只手是遮不住天的，这是不可能事件，故该选项不符合题意；
故选：．
根据在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件判断即可．
本题考查了随机事件，掌握在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项符合题意；
故选：．
根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，逐一判断即可．
此题考查的是中心对称图形和轴对称图形的概念，掌握其概念是解决此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：矩形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分且相等，两组对角相等；
平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，两组对角相等；
故选项A、、不符合题意，符合题意；
故选：．
由矩形的性质和平行四边形的性质即可得出结论．
本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质；熟记矩形和平行四边形的性质是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：将点、、代入反比例函数的关系式得，
，
，
，
所以，
故选：．
将点、、代入反比例函数的关系式，分别求出、、即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把将点、、代入反比例函数的关系式是正确解答的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：是解题的关键根据二次根式的性质把各个二次根式化简，合并同类项即可．
【解答】
解：，
，，
则．
故选D．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，其中作出相应的辅助线是解本题的关键．
过作的延长线的垂线，垂足为，可得出为直角，又四边形为正方形，可得出为直角，进而得到一对角相等，由旋转可得为直角，根据平角的定义得到一对角互余，在直角三角形中，根据两锐角互余得到一对角互余，根据同角的余角相等可得出一对角相等，再由，利用可得出三角形与三角形全等，根据确定三角形的对应边相等可得出，，再由正方形的边长相等得到，由，得到，等量代换可得出，即三角形为等腰直角三角形，可得出为，再由为直角，即可求出的度数．
【解答】
解：过点作，交的延长线于点，则，

四边形为正方形，
，，
，
由旋转可得：，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
又，
，即，
，又，
，又，
为等腰直角三角形，
，又，
则．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：解关于的分式方程得，
，
由于方程的解为非负数，
，
即，
不等式的解集为，
不等式的解集为，
由于的整数解只有个，
，
解得，
又为整数，
，，，
所有满足条件的整数的值之和为，
故选：．
求出分式方程的解，根据解为非负数可得的取值范围，再根据不等式组的整数解的个数确定的取值范围，再根据为整数进行计算即可．
本题考查一元一次不等式组，分式方程，掌握一元一次不等式组的整数解得定义以及分式方程的解法是正确解答的前提．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为．
根据算术平方根的性质进行化简，即．
此题考查了算术平方根的性质，能够能够算术平方根的性质进行化简，是一道基础题．
 

12.【答案】折线 

【解析】解：条形统计图能直观反应数据的最大值和最小值，扇形统计图能直观反应每组数据的比例，折线统计图能直观反应数据的变化趋势，
想要了解本周天气的变化情况，最适合采用折线统计图，
故答案为：折线．
条形统计图能直观反应数据的最大值和最小值，扇形统计图能直观反应每组数据的比例，折线统计图能直观反应数据的变化趋势，根据各种统计图的特点可作出判断．
本题主要考查各种统计图的特点，关键是要牢记各种统计图的特点．
 

13.【答案】 

【解析】解：正比例函数，
当，图象经过第一、三象限，时，图象经过第二、四象限，
不妨取，函数的图象经过一、三象限．
故答案为：．
根据正比例函数的图象书写即可．
本题考查正比例函数的图象和性质，掌握正比例函数的图象和性质是求解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：的周长为，
，
、、分别为、、的中点
、、是的中位线，
，，，
的周长，
故答案为：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，；
．
故答案为：．
直接代入公式，再利用二次根式的运算进行化简．
本题考查了二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：且，
．
故答案为：．
根据分式的值为零的条件：分子等于且分母不等于即可得出答案．
本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子等于且分母不等于是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：设点，点，
点在反比例函数的图象上，
点，即，，
点在反比例函数的图象上，
点，即，，
又是正方形，
，
即，
解得，，
点，
故答案为：．
设点，点利用反比例函数图象上点的坐标特征表示、、，再根据正方形的性质求出的值即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，理解反比例函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质是正确解答的前提，设出点，点坐标，分别表示出正方形的边长是解决问题的关键
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，设，
四边形是矩形，
，，
，
欲求的最小值，相当于在轴上寻找一点，使得点到，的距离和最小，
如图中，作点关于轴的对称点，连接

，，
，
，
的最小值为，
的最小值为．
故答案为：．
如图，设，则有，欲求的最小值，相当于在轴上寻找一点，使得点到，的距离和最小，如图中，作点关于轴的对称点，连接，利用勾股定理求出可得结论．
本题考查矩形的性质，轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】先化为最简二次根式，再合并即可；
先用平方差公式，算除法，再算加减．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握化最简二次根式，合并同类二次根式的方法．
 

20.【答案】解：原式



；
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为． 

【解析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

21.【答案】解：



，
，，
，，
当时，原式
． 

【解析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

22.【答案】     

【解析】解：这次随机调查中抽取的总人数是：人，
则样本容量为；
故答案为：；

步行的人数有：人，补全统计图如下：


公交车的人数有：人，
扇形统计图中上学方式为“公交车”部分的圆心角度数等于：；
故答案为：；

根据题意得：
人，
答：该中学全校所有学生中上学方式为“私家车”的人数等于人；
故答案为：．
根据骑自行车的人数和所占的百分比即可得出答案；
用总人数乘以“步行”所占的百分比即可得出“步行”的人数，从而补全统计图；
先求出公交车的人数，再用乘以坐公交车人数所占的百分比即可得出答案；
用该校的总人数乘以“私家车”的人数所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

23.【答案】    

【解析】解：；
故答案为：，，；
原式

．
仿照阅读材料解答即可；
先化简每个根式，再合并即可．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式相关运算的法则．
 

24.【答案】解：设种饰品的单价为元，则种饰品的单价为元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，
元，
答：种饰品的单价为元，种饰品的单价为元；
设购买种饰品件，则购买种饰品件，
根据题意，得，
解得，
为正整数，
的值为，，，
有三种购买方案：
方案一：购买种饰品件，种饰品件；
方案二：购买种饰品件，种饰品件；
方案三：购买种饰品件，种饰品件． 

【解析】设种饰品的单价为元，则种饰品的单价为元，根据“预算资金为元，其中元购买种商品，其余资金购买种商品，且购买的数量是种的倍”列分式方程，解方程即可；
设购买种饰品件，则购买种饰品件，根据“不超过预算资金且购买种饰品的资金不少于元”列一元一次不等式组，求出的取值范围，取整即可确定购买方案．
本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式组的应用，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键．
 

25.【答案】解：在矩形中，，，，
根据折叠，可得，，
，，
，
在中，根据勾股定理，得，
，
设，
则，
，
在中，根据勾股定理，
得，
解得，
；
点、在移动过程中，线段的长度不变．
过点作，如图所示：

则，，
根据折叠，可得，
，
，
，
，
是的中点，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
由得，，
根据勾股定理，得，
． 

【解析】根据矩形的性质以及折叠的性质可得，根据勾股定理可得，设，在中根据勾股定理列方程，即可求出的长；
过点作，可得，易证，进一步可知是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，再证明≌，可得，进一步可知，根据勾股定理求出的长，即可确定的长．
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等，本题综合性较强，辅助线构造等腰三角形和全等三角形是解题的关键．
 

26.【答案】解：作轴于，

四边形是正方形，
，，
，
，
，
≌，
，，
，
反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点．
，
；
由同理可得，点，
点恰好落在反比例函数的图象上，
当时，，
，
，即；
当时，如图，
，
，
四边形是菱形，
，，
，
当点在第二象限时，，

当时，如图，

则点与关于轴对称，
，
当时，如图，设，

则，
，
解得，
，
，
综上：或或或． 

【解析】作轴于，利用证明≌，得，，可得点的坐标，再将点代入反比例函数解析式可得答案；
由同理可得，点，根据的坐标求出的值，再利用平移的性质可得的坐标；
分，，三种情形，分别画出菱形，根据菱形的性质可得答案．
本题是反比例函数综合题，主要考查了正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等腰三角形的性质等知识，根据是等腰三角形进行分类讨论是解题的关键．