2021-2022学年江苏省无锡市新吴区梅里集团校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省无锡市新吴区梅里集团校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20分）

1. 下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A. 戴口罩讲卫生 B. 勤洗手勤通风
C. 有症状早就医 D. 少出门少聚集

2. 为了了解某校八年级名学生的身高情况，从中抽查了名学生的身高进行统计分析，在这个问题中，总体是指(    )

A. 名学生 B. 被抽取的名学生
C. 名学生的身高 D. 被抽取的名学生的身高

3. 下列事件属于必然事件的是(    )

A. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数
B. 车辆随机经过一个路口，遇到红灯
C. 任意画一个三角形，其内角和是
D. 有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形

4. 若把，的值同时扩大为原来的倍，则下列分式的值保持不变的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 只有颜色不同的个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在，则袋中红球与白球共有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

6. 下列说法中，不正确的是(    )

A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的矩形是正方形
D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

7. 已知▱中，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 关于的分式方程有增根，则实数的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是(    )

A. 矩形 B. 菱形
C. 对角线相等的四边形 D. 对角线互相垂直的四边形

10. 如图，四边形是平行四边形，点为边中点，点为对角线上一点，且，连接、、，则：(    )

A. ： B. ： C. ： D. ：

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

11. 如图，在四边形中，，要使得四边形是平行四边形，应添加的条件是______只填写一个条件，不使用图形以外的字母和线段．
12. 小燕抛一枚硬币次，有次正面朝上，当她抛第次时，正面向上的概率为______．
13. 将八年级班分成五个组，各组人数在频数分布直方图中的小长方形高的比依次为：：：：，人数最多的一组有人，则该班共有______人．
14. 当______时，分式的值为零．
15. 已知一个对角线长分别为和的菱形，则菱形的面积是______．
16. 如图，中，，，，点、、分别是、、的中点，则四边形的周长是______．

17. 如图，在▱中，，的平分线与的平分线交于点，若点恰好在边上，则的值为          ．

18. 如图，以的斜边为一边，在的右侧作正方形，正方形对角线交于点，连接，如果，，那么______．

三、解答题（本大题共8小题，共64分）

19. 计算：；
    解分式方程：．
20. 先化简：，然后从，，中选择一个合适的数代入求值．
21. 为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校教师开展线上教学，为了解学生线上教学的学习效果，决定随机抽取八年级学生部分学生进行质量测评，以下是根据测试的数学成绩绘制的统计表和频数分布直方图：

请根据所给信息，解答下列问题：
______ ， ______ ；
此次抽样的样本容量是______ ，并补全频数分布直方图；
某同学测试的数学成绩为分，这次测试中，数学分数高于分的至少有______ 人，至多有______ 人；
已知该年级有名学生参加测试，请估计该年级数学成绩为优秀分及以上的人数．

22. 如图，在菱形中，，，延长到点，使，延长到点，使，连接、、、．
    求证：四边形是矩形．
    直接写出四边形的面积是______．

23. 如图，四边形是平行四边形，为上任意一点．
    如图，只用无刻度的直尺在边上作出点，使；
    如图，用直尺和圆规作出菱形，使得点、、分别在边、、上．不写作法，只保留作图痕迹
     

24. 年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用元，很快销售一空，第二次又用元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的倍，但单价贵了元．
    求该商家第一次购进冰墩墩多少个？
    若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于不考虑其他因素，那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？
25. 在矩形中，连结，点从点出发，以每秒个单位的速度沿着的路径运动，运动时间为秒以为边在矩形的内部作正方形．
    如图，当四边形为正方形且点在的内部，连结，，求证：；
    经过点且把矩形面积平分的直线有______条；
    当，时，若直线将矩形的面积分成：两部分，求的值．
     

26. 如图，直线：分别与轴、轴交于、两点，与直线：交于点．
    点坐标为______，______，为______，______；
    在线段上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，四边形是平行四边形；
    若点为轴上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点，使得、、、四个点能构成一个菱形．若存在，求出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：为了了解某校八年级名学生的身高情况，从中抽查了名学生的身高进行统计分析，在这个问题中，总体是指名学生的身高情况．
故选：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
 

3.【答案】 

【解析】解：、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数，是随机事件，不符合题意；
B、车辆随机经过一个路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
C、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意；
D、有三条线段，将这三条线段首尾顺次相接可以组成一个三角形，是随机事件，不符合题意；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设袋中白球有个，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
故袋中白球有个，共有个球．
故选：．
根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；
B、对角线相等且平分的四边形是矩形，故错误；
C、对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确．
故选：．
根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的判定，对选项逐一进行判断即可．
本题主要考查了正方形、平行四边形、矩形、菱形的判定方法．解决此题的关键是熟练掌握运用这些判定．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
．
故选：．
由四边形是平行四边形，可得，，又由，即可求得的度数，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对角相等、邻角互补的知识．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
解得：，
分式方程有增根，
，
把代入中，
，
解得：，
故选：．
根据题意可得，然后把的值代入整式方程中进行计算即可解答．
本题考查了分式方程的增根，根据题意求出的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，根据题意得：四边形是菱形，点，，，分别是边，，，的中点，
，，，
．
原四边形一定是对角线相等的四边形．
故选：．
首先根据题意画出图形，由四边形是菱形，点，，，分别是边，，，的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形．
此题考查了菱形的性质与三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，点为边中点，
，
，
，
，
：：：．
故选：．
根据四边形是平行四边形，点为边中点，可得，根据，可得，进而可得结果．
本题考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：在四边形中，，
可添加的条件是：，
四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
故答案为：或或或或或等．
已知，可根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形来判定，也可根据两组分别平行的四边形是平行四边形来判定．
此题主要考查学生对平行四边形的判定方法的理解能力．
常用的平行四边形的判定方法有：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反面的概率是一致的，
正面向上的概率为．
故答案为：．
求出一次抛一枚硬币正面朝上的概率即可．
本题考查的是概率的意义，注意抛硬币只有两种情况，每次抛出的概率都是一致的，与次数无关．
 

13.【答案】 

【解析】解：各组人数在频数分布直方图中的小长方形高的比依次为：：：：，
人数最多的一组所占的比值，
人数最多的一组有人，
总人数为：人，
故答案为：．
依据各组人数在频数分布直方图中的小长方形高的比依次为：：：：，可求得人数最多的一组所占的比值，进而得出总人数．
本题主要考查了频数分布直方图，解题时注意：频数分布直方图中的小长方形高的比就是各组的频数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：由分子，得；
而时，分母，
时分母，分式没有意义．
所以．
故答案为：．
要使分式的值为，必须分式分子的值为并且分母的值不为．
本题考查分式的值为零的条件，要注意分母的值一定不能为，分母的值是时分式没有意义．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，菱形的对角线与相交于点，且，，
四边形为菱形，
，




故答案为：．
菱形的对角线与相交于点，且，，根据菱形的性质得到，再由三角形的面积公式得，然后代值计算即可．
本题考查了菱形的性质：菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，并且分别平分两组内角．也考查了三角形的面积公式．
 

16.【答案】 

【解析】解：点、、分别是、、的中点，
，，，，
四边形的周长，
故答案为：．
根据三角形中位线定理分别求出、，根据四边形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】证明：、 分别平分 和
，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
 ，
，
，
平分，
，
，
，
同理可证 ，
，
．
故答案为：．

根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得，，可得，再根据勾股定理解答即可．
此题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，关键是根据平行四边形的性质和勾股定理解答．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，延长到点，使，

根据题意，四边形为正方形，
，，
，
又是直角三角形，为斜边，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
通过作辅助线使得≌，证明为等腰三角形，利用勾股定理求出后，即可求出的长．
本题考查了等腰直角三角形，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，有一定的难度．
 

19.【答案】解：原式


；
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
是增根，分式方程无解． 

【解析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，以及分式的加减法，熟练掌握运算法则及分式方程的解法是解本题的关键．
 

20.【答案】解：原式

，
，时，原式没有意义，
当时，原式． 

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
 

21.【答案】         

【解析】解：本次调查的人数为：，
，，
故答案为：，；
此次抽样的样本容量是，
故答案为：，
由知，，
补全的频数分布直方图如右图所示；
这次测试中，数学分数高于分的至少有：人，至多有：人，
故答案为：，；
人，
即估计该年级数学成绩为优秀分及以上的有人．
根据频数分布表中的数据，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出、的值；
根据频数分布表中的数据，可以得到样本容量，再根据频数分布直方图中的数据，可以计算出这一段的频数，然后即可将频数分布直方图补充完整；
根据频数分布直方图中的数据，可以得到数学分数高于分的至少和至多分别为多少人；
根据直方图中的数据，可以计算出该年级数学成绩为优秀分及以上的人数．
本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】 

【解析】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形为菱形，
，
，
平行四边形是矩形；
解：四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
由得：四边形是矩形，
，
，
，
，
的面积，
的面积的面积的面积，
四边形的面积的面积的面积，
故答案为：．
先证四边形为平行四边形，再由菱形的性质得，进而得到，利用对角线相等的平行四边形为矩形即可得证；
先证是等边三角形，得，再由勾股定理求出，然后求出的面积，的面积，即可得出答案．
此题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解本题的关键．
 

23.【答案】解：如图，点即为所求作．
如图，菱形即为所求作．
 

【解析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
连接，交于点，连接，延长交于点，点即为所求作．
在线段上截取线段，使得，连接，作线段的垂直平分线交于，交于，连接，，，即可．
 

24.【答案】解：设第一次购进冰墩墩个，则第二次购进冰墩墩个，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：该商家第一次购进冰墩墩个．
由知，第二次购进冰墩墩的数量为个．
设每个冰墩墩的标价为元，
由题意得：，
解得：，
答：每个冰墩墩的标价至少为元． 

【解析】设第一次购进冰墩墩个，由题意：第一次用元，很快销售一空，第二次又用元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的倍，但单价贵了元．列出分式方程，解方程即可；
设每个冰墩墩的标价为元，由题意：全部销售完后的利润率不低于，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】 

【解析】证明：四边形、四边形是正方形，
，，，
，，
，
在和中，，
≌，
；
解：连接交于，如图所示：
作直线，则直线矩形面积平分，
即经过点且把矩形面积平分的直线有条，
故答案为：；
解：分两种情况：
如图所示：连接交于，
四边形是矩形，
的面积的面积，
直线将矩形的面积分成：两部分，
的面积的面积，
，
由题意得：，则，，
的面积的面积正方形的面积的面积，
，
解得：；
如图所示：连接交于，交的延长线于，
四边形是矩形，
，，，的面积的面积，
直线将矩形的面积分成：两部分，
的面积的面积，
，
在和中，，
≌，
，
，
由题意得：，则，，
的面积的面积正方形的面积的面积，
，
解得：；
综上所述，若直线将矩形的面积分成：两部分，的值为或．
证≌，即可得出；
连接交于，作直线即可；
分两种情况：连接交于，证出，由题意得，则，，由三角形面积关系得出方程，解方程即可；
连接交于，交的延长线于，证出，证≌，得，则，由题意得：，则，，由三角形面积关系得出方程，解方程即可．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

26.【答案】解：    ；   
点是直线：上的点，
，解得：，
直线为．
点的横坐标为，
，，

四边形是平行四边形，
，即，
解得：．
故当时，四边形是平行四边形．
假设存在．
以、、、为顶点的菱形分两种情况：
以为边，如图所示．
点，，
．
以、、、为顶点的四边形为菱形，
或．
当时，点或；
当时，点．
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即．
以为对角线，对角线的交点为，如图所示．
点，，
，．
，
，
∽，
，
，
点，即．
以、、、为顶点的四边形为菱形，
点，即．
综上可知：若点为轴上一点，则在平面直角坐标系中存在一点，使得、、、四个点能构成一个菱形，此时点坐标为、、或． 

【解析】

解：将点代入中，
得：，解得：，
直线为．
令中，则，
；
令中，则，
．
故答案为：；；；．
见答案

【分析】由点的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，再分别令直线的解析式中、求出对应的、值，即可得出点、的坐标；
由点的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，结合点的横坐标即可得出点、的坐标，再根据平行四边形的性质即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论；
分为边和为对角线两种情况讨论．当为边时，根据菱形的性质找出点的坐标，结合、的坐标即可得出点的坐标；当为对角线时，根据三角形相似找出点的坐标，再根据菱形对角线互相平分即可得出点的坐标．综上即可得出结论．
本题考查了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质以及菱形的性质，解题的关键是：利用待定系数法求出直线解析式；找出关于的一元一次方程；分为边或对角线考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，充分利用平行四边形和菱形的性质是解题的关键．