2021-2022学年江苏省无锡市惠山区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省无锡市惠山区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 如图所示交通标志中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列事件中为必然事件的是(    )

A. 投掷一枚正方体骰子，点数“”朝上
B. 从一副只有到的张扑克牌中任意抽出一张，它比大
C. 袋子中有个红球，个白球，从中摸出一个恰好是白球
D. 随机从，，，，十个数中选取个不同的数，它们的和小于

3. 下列方程中是一元二次方程的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 下列二次根式中，最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列运算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图平行四边形中，的平分线交于，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 在函数的图象上有三点，，，则函数值，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，且当时，，当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应(    )

A. 不小于 B. 不大于 C. 不小于 D. 不大于

10. 如图，在矩形中，，是边上一点，、、分别是、、的中点，以下四种情况，哪一种四边形不可能为矩形(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

11. 已知，，则______．
12. 若二次根式有意义，则的取值范围是          ．
13. 某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下：

该射手击中靶心的概率的估计值是______精确到．

14. 若关于的分式方程有增根，则实数的值是______．
15. 如图，若四边形是菱形，，，则菱形的边长是______．

16. 如图，∽，，，则______．

17. 如图，四边形是平行四边形，在轴上，反比例函数在第一象限内的图象经过点，与交于点若点为的中点，的面积为，则的值为______．

18. 欧几里得在几何原本中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，一张边长为的正方形的纸片，先折出，的中点，，再沿过点的直线折叠使落在线段上，点的对应点为点，折痕为，点在边上，连接，，线段、、和中，长度恰好是方程的一个正根的线段为______．

三、解答题（本大题共9小题，共74分）

19. 计算：
    ；
    ．
20. 解方程：
    ；
    ．
21. 某中学计划根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，并随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
    
    学校这次调查共抽取了______名学生；
    求抽取的学生中喜欢书法的人数，并补全条形统计图；
    在扇形统计图中，“围棋”所在扇形的圆心角度数为______度；
    设该校共有学生名，请你估计该校有多少名学生喜欢足球．
22. 关于的一元二次方程．
    求证：方程总有两个实数根；
    若方程有一个根为，求的值和另一个根．
23. 按要求作图，无需写作法：
    如图，已知，，点在边上，四边形是平行四边形，只用无刻度的直尺在图中画出的平分线．
    如图，在边长为个单位的方格纸上，有，请作一个格点，使它与相似，但相似比不能为．
     

24. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．
    求一次函数的表达式与反比例函数的表达式；
    当，时，直接写出自变量的取值范围为______；
    在平面内存在点，使得点、点关于点成中心对称的点恰好落在坐标轴上，请直接写出点的坐标为______．

25. 某网店第一次用元购进一批医用外科口罩，很快销售一空，第二次又用元购进该医用外科口罩，但这次每盒的进价比第一次进价多元，购进数量则是第一次的倍．
    第一次每盒医用外科口罩的进价是多少元？
    该网店发现：每盒售价为元时，每星期可卖盒．为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价元，每星期可多卖盒．该网店某星期销售该款口罩获得了元的毛利润，该款口罩每盒成本为第二次的进价，那么该网店这星期销售该款口罩多少盒？毛利润售价进价销售量
26. 如图，在等腰中，，求作菱形，使点在边上，点、在边上，点在边上．
    小明的做法：如图，在边上取一点，过点作交于点；以点为圆心，长为半径画弧，交于点；在上截取，连接，则四边形为所求作的菱形．
    
    请你在、中任选一问进行解答，为必答题．
    证明小明所作的四边形是菱形；
    当四边形是正方形时，求和的长；
    小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点的位置变化而变化请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的的长的取值范围．
27. 在正方形中，将边绕点逆时针旋转得到线段，与延长线相交于点，过作交于点，连接．
    如图，求证：；
    当时，依题意补全图，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项B、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：投掷一枚正方体骰子，点数“”朝上，是随机事件，不符合题意；
B.从一副只有到的张扑克牌中任意抽出一张，它比大，是随机事件，不符合题意；
C.袋子中有个红球，个白球，从中摸出一个恰好是白球，是随机事件，不符合题意；
D.随机从，，，，十个数中选取个不同的数，它们的和小于，是必然事件，符合题意；
故选：．
根据必然事件的定义解答即可．
本题主要考查了必然事件，熟练掌握必然事件的定义是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B.是分式方程，故此选项不符合题意；
C.是一元二次方程，故此选项符合题意；
D.是二元一次方程，故此选项不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义，即可判断．
本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；
B、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；
C、中被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数，故是最简二次根式；
D、中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式；
故选：．
根据最简二次根式的定义解答即可．
本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式满足：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，否则就不是．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
根据分式的加法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
．
故选：．
根据平行四边形的性质可得，，，根据平分，可以证明，进而可得的长．
本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是判断出．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
函数的图象在二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大，
，
点，在第二象限，
，
，
点在第四象限，
，
．
故选：．
先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出，，的大小关系即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：

，，都可判定∽
选项C中不是夹这个角的两边，所以不相似，
故选：．
根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
此题考查了相似三角形的判定：
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
 

9.【答案】 

【解析】解：设函数解析式为，
当时，，
，
，
气球内的气压大于时，气球将爆炸，
，
解得：，
即气球的体积应不小于．
故选：．
设函数解析式为，把时，代入函数解析式求出值，代入值即可得到有关的不等式，从而确定正确的答案．
本题考查了反比例函数的实际应用，关键是建立函数关系式，并会运用函数关系式解答题目的问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
、、分别是、、的中点，
、是的中位线，
，，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是矩形，
设，，
由勾股定理得：，，，
，
，
当时，，
或，符合题意；
当时，，
或，符合题意；
当时，，
，符合题意；
当时，，无解；
故选：．
先证四边形是平行四边形，当时，四边形是矩形，设，，再由勾股定理得出方程，分别计算即可．
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案是：．
由合分比性质解答．
考查了比例的性质，合分比性质．若，则．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意，使二次根式有意义，即，
解得；
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件，可得，解不等式求范围．
本题考查二次根式的意义，只需使被开方数大于等于即可．
 

13.【答案】 

【解析】解：由击中靶心频率都在上下波动，
所以该射手击中靶心的概率的估计值是，
故答案为：．
根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率．
本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
去分母得：，
分式方程有增根，
，
把代入整式方程得：，
解得：，
故答案为：．
根据题意可得，然后把的值代入整式方程中进行计算即可解答．
本题考查了分式方程的增根，根据题意求出的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
在中，，
即菱形的边长为．
先根据菱形的性质得到，，，然后根据勾股定理计算出的长即可．
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
 

16.【答案】 

【解析】解：∽，
，
，
，
，
故答案为：．
利用相似三角形的性质求解．
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型．
 

17.【答案】 

【解析】解：过作轴于，过作轴于，
则≌，
，，
点为的中点，
，
设，则，
，
，
在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
过作轴于，过作轴于，得到，，根据三角形的中位线的性质得到，设，则，得到，，根据，得到．
本题考查了反比例函数的系数的几何意义，平行四边形的性质，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：设，则．
由题意可知：≌，是的中点，
，．
，
，
．
的解为：，
取正值为．
这条线段是线段．
故答案为：．
首先根据方程解出正根为，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．设，则，从而可以用表示等式．
此题考查的是一元二次方程的解法，运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式；
原式； 

【解析】化简二次根式并进行加减运算．
利用通分进行化简，凑完全平方后与分母进行约分计算．
考查二次根式的化简和加减运算，关键掌握根式的化简和加减运算．
考查分式的化简，关键是掌握完全平方公式及其变形，进行因式分解，分子分母再进行约分即可．
 

20.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根． 

【解析】利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答；
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，解一元二次方程因式分解法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：学校这次调查共抽取了：名学生，
故答案为：；
喜欢书法的人数为：，
补全的条形统计图如右图所示；
在扇形统计图中，“围棋”所在扇形的圆心角度数为：，
故答案为：；
名，
答：该校有名学生喜欢足球．
根据爱好舞蹈的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数；
根据中的结果和扇形统计图中的数据，可以得到抽取的学生中喜欢书法的人数，并补全条形统计图；
根据扇形统计图中的数据，可以得到在扇形统计图中，“围棋”所在扇形的圆心角度数；
根据统计图中的数据，可以得到该校有多少名学生喜欢足球．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】证明：

，
方程总有两个实数根；
解：把代入方程得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，，
所以另一根为． 

【解析】根据方程表示出根的判别式，判断根的判别式大于等于即可得证；
把代入方程求出的值，进而确定出方程，求出另一根即可．
此题考查了根的判别式，以及方程的解，熟练掌握一元二次方程根的判别式与解的关系是解本题的关键．
 

23.【答案】解：如图中，射线即为所求；
如图中，即为所求．
 

【解析】连结，交于点，作射线，所以即为所求．
根据相似比等于，画出图形即可．
本题考查作图相似变换，平行四边形的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型．
 

24.【答案】或  或 

【解析】解：将，两点代入，得：，
解得：，
一次函数的解析式为：，
将代入反比例函数得：，
反比例函数的解析式为：；
由图象可知，当时，自变量的取值范围为：或；
故答案为：或；
设、关于点成中心对称的点为、，则直线，、、、四点构成平行四边形，
直线的解析式为，
或，
，，
或，
故答案为或．
将，两点代入，解方程组即可；
观察图象即可得出答案；
根据题意，，，据此求得或，然后利用中点公式即可求得．
本题是反比例函数和一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与不等式的关系，直线对称的性质等知识，利用数形结合思想是解题的关键．
 

25.【答案】解：设第一次每盒医用外科口罩进价元，则第二次进价元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：第一次每盒医用外科口罩的进价是元．
设降价元，
第二次进价为元，
根据题意，得，
解得或，
为了便民利民，
，
盒，
答：该网店这星期销售该款口罩盒． 

【解析】设第一次每盒医用外科口罩进价元，则第二次进价元，根据第二次购进数量则是第一次的倍列分式方程，求解即可；
设降价元，根据该网店某星期销售该款口罩获得了元的毛利润，列一元二次方程，求解即可．
本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用等，理解题意并建立合适的等量关系是解题的关键．
 

26.【答案】证明：，，
，
又，
四边形是平行四边形，
又
平行四边形是菱形；
解：过点作，交于，交于，

又，
是中点，
，，
，
，
设正方形边长为，则，
，
∽，
，，
，
，
，
，；
解：由可知，当四边形是正方形时，，
如图，当四边形是菱形时，设菱形的边长为则，

，
∽，
，
，
，
，
，
当或时，菱形个数为；
当时，菱形个数为；
当时，菱形个数为． 

【解析】先证明四边形是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论．
过点作，交于，交于，设正方形边长为，证明∽，由相似三角形的性质得出，得出，则可求出答案；
求出两种特殊位置的的值即可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，作图复杂作图等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题．
 

27.【答案】解：证明：边绕点逆时针旋转得到线段，
，
正方形，
，
，
，
，
，
，
正方形，
，
，
；
补全图如下：

线段，，之间的数量关系为：，理由如下：
在上取，连接交于，交于，连接，，如图：

正方形，
，，
又，
≌，
，，
，
，
，
，
由知，
且，
≌，
，
而，，
≌，
，
、、、共圆，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据，得到，由绕点逆时针旋转得到线段，得到，，由正方形性质得到，得到；
按照题意补全图形即可，在上取，连接交于，交于，连接，，利用≌、≌、≌证明、、、共圆，从而可得，，再证明，即可得到．
本题考查正方形性质应用及全等三角形的性质和判定，难度较大，解题的关键是构造辅助线，将转化为．