无锡市新吴区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

无锡市新吴区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的选项编号填写在答卷纸相应的位置处）

1. 的立方根为　　

A.  B.  C.  D.

2. 下列平面图形中，不是轴对称图形为（　　）

A. 角 B. 等腰三角形 C. 长方形 D. 平行四边形

3. 在平面直角坐标系中，点Q（﹣3，4）到x轴的距离为（　　）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 7

4. 一次函数y＝﹣x﹣1的图像不经过（　　）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5. 给出下列一组数：π，，0，﹣，3.1415926，0.3232232223....（每两个3之间依次多1个2），其中，无理数有（）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

6. 若点（﹣5，y1）、（3，y2）都在函数y＝（k2+1）x+b的图像上，则y1与y2的大小关系是（　　）

A. y1＞y2 B. y1＝y2 C. y1＜y2 D. 不能确定

7. 若等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长为（　　）

A. 17 B. 22 C. 13或22 D. 17或22

8. 如图，长为16cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升6cm至D点，则橡皮筋被拉长了（　　）

A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm

9. 如图的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则在此网格中与全等的格点三角形（不含）共有　　

A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个

10. 一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返同，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离（单位：）与慢车行驶时间（单位：）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案填写在答卷纸的相应位置处）

11. 4的算术平方根为______________．

12. 全长10790米的太湖隧道已正式通车，把10790精确到千位，并用科学记数法表示为 _____．

13. 若直角三角形两直角边长分别为6和8，则直角三角形斜边上的中线长为 _____．

14. 若点P（a，2）点Q（﹣4，b）关于原点对称，则点M（a，b）在第___象限．

15. 若一次函数y＝2x+b的图像向上平移5个单位恰好经过点（﹣1，4），则b的值为 _____．

16. 如图，已知一次函数y1＝kx+b与一次函数y2＝mx+n的图像相交于点P（﹣1，3），则关于x的不等式kx+b＜mx+n的解集为 _____．

17. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，△ABC的两条角平分线AD、BE相交于点O，连接CO，则CO的长为　____．

18. 如图，一次函数y=-x+4的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C为AO中点，OD=3，点P为AB上的动点，当∠APC=∠BPD时，点P的坐标为____．

三、解答题（本大题共8小题，共76分．请在答卷纸上指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19. （1）计算：20220+（）﹣2；

（2）求2（x﹣1）2﹣18＝0中x的值．

20. 如图，在△ABD和△ACD中，AB=AC，BD=CD

（1）求证：△ABD≌△ACD；

（2）过点D作DE∥AC交AB于点E，求证：AE＝DE．

21. 已知y+2与4-x成正比例，且x=3时，y=1

（1）求y与x之间的函数表达式；

（2）当-2<y<1时，求x的取值范围

22. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，AB的中垂线DE交AB于点D，交AC于点E．延长DE交BC的延长线于点F，连接AF．

（1）求AD的长；

（2）求AF的长．

23. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．

（1）请用无刻度直尺与圆规在AB上作一点D，使得点B关于直线CD的对称点E恰好落在AC边上（不要求写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，连接CD、DE，

①求△ADE与△BCD的面积之比；

②求BD的长．

24. 如图，在平面直角坐标系中，直线 l 经过点A（一2，3），B（4，0），交y轴于点C

（1）求直线 l 的函数表达式；

（2）若D为x轴上一动点，当△ACD的面积为1时，试求出点D的坐标；

（3）若将CB绕着点C旋转90°得到CP，试求出点P的坐标

25. 某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）．

（1）求y与x之间的函数表达式；

（2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．

26. 如图，在平面直角坐标系中，∠ABO=90°，∠A=30°，B点坐标为（0，4），点C为AB的中点，动点D从点A出发，以每秒2个单位的速度沿线段AO向终点O运动，运动时间为t秒（t>0），连接CD，作点A关于直线CD的对称点P

（1）若点P恰好落在AO上，求t的值；

（2）若CP⊥OA，求t的值；

（3）当t≠2时，∠APB的度数是否会发生变化？若保持不变，请求出∠APB的度数：若发生变化，请说明理由

答案与解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的选项编号填写在答卷纸相应的位置处）

1. 的立方根为　　

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据立方根的定义（如果一个数的立方等于，那么这个数叫的立方根）解决此题．

【详解】解：．

故选：C．

【点睛】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解决本题的关键．

2. 下列平面图形中，不是轴对称图形为（　　）

A. 角 B. 等腰三角形 C. 长方形 D. 平行四边形

【答案】D

【解析】

【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．

【详解】解：选项A、B、C均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，

选项D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，

故选：D．

【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟记定义是解题的关键．

3. 在平面直角坐标系中，点Q（﹣3，4）到x轴的距离为（　　）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 7

【答案】B

【解析】

【分析】纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离．

【详解】解：∵|4|＝4，

∴点Q（﹣3，4）到x轴距离为4．

故选：B．

【点睛】本题考查了点的坐标的几何意义：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．

4. 一次函数y＝﹣x﹣1的图像不经过（　　）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】根据一次函数的性质，，则该函数不经过第一象限，据此即可求解．

【详解】解：∵y＝﹣x﹣1中，，

∴一次函数y＝﹣x﹣1的图像不经过第一象限，

故选A

【点睛】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．一次函数图象与系数的关系：对于y=kx+b（k为常数，k≠0），当k＞0，b＞0，y=kx+b的图象在一、二、三象限；当k＞0，b＜0，y=kx+b的图象在一、三、四象限；当k＜0，b＞0，y=kx+b的图象在一、二、四象限；当k＜0，b＜0，y=kx+b的图象在二、三、四象限．

5. 给出下列一组数：π，，0，﹣，3.1415926，0.3232232223....（每两个3之间依次多1个2），其中，无理数有（）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

【答案】B

【解析】

【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【详解】解：是分数，属于有理数；

0是整数，属于有理数；

3.1415926是有限小数，属于有理数；

无理数有π，，0.3232232223…（每两个3之间依次多1个2），共3个．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．

6. 若点（﹣5，y1）、（3，y2）都在函数y＝（k2+1）x+b的图像上，则y1与y2的大小关系是（　　）

A. y1＞y2 B. y1＝y2 C. y1＜y2 D. 不能确定

【答案】C

【解析】

【分析】根据非负数的性质得即可k2+1＞0，根据一次函数的性质判断即可．

【详解】解：∵k2+1＞0，

∴函数y随x的增大而增大，

∵3＞﹣5，

∴y1＜y2，

故选：C．

【点睛】此题主要考查了一次函数图像上点的坐标特点，一次函数的性质，推出k＝k2+1＞0，y随x的增大而增大是解题的关键．

7. 若等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长为（　　）

A. 17 B. 22 C. 13或22 D. 17或22

【答案】B

【解析】

【分析】分两种情况：①当4为底边长，9为腰长时，即可得出三角形的周长＝22；②当9为底边长，4为腰长时，由4+4＜9，根据三角形的三边关系得出不能构成三角形；即可得出结果．

【详解】解：分两种情况：

①当4为底边长，9为腰长时，4+9＞9，

∴三角形的周长＝4+9+9＝22；

②当9为底边长，4为腰长时，

∵4+4＜9，

∴不能构成三角形；

∴这个三角形的周长是22．

故选：B．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系；熟练掌握等腰三角形的性质，通过进行分类讨论得出结果是解决问题的关键．

8. 如图，长为16cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升6cm至D点，则橡皮筋被拉长了（　　）

A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm

【答案】A

【解析】

【分析】据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．

【详解】解：Rt△ACD中，ACAB＝8cm，CD＝6cm；

根据勾股定理，得：AD=10（cm）；

∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝20﹣16＝4（cm）；

故橡皮筋被拉长了4cm．

故选：A．

【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

9. 如图的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则在此网格中与全等的格点三角形（不含）共有　　

A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个

【答案】C

【解析】

【分析】根据全等三角形的判定定理画出符合的三角形，再得出选项即可．

【详解】解：如图所示：与全等的三角形有、、、、、、，共7个，

故选：C．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．

10. 一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返同，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离（单位：）与慢车行驶时间（单位：）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出慢车离从甲地到乙地的函数关系为，再求出快车往返解析式，快车从甲地到乙地的解析式，快车从乙地到甲地的解析式，快车从甲地到乙地与慢车相遇时间，快车从乙地到甲地与慢车相遇即可 ．

【详解】解：设慢车离甲地的距离（单位：）与慢车行驶时间（单位：）的函数关系为y=kt过（6，），

代入得,解得，

∴慢车解析式为：，

设快车从甲地到乙地的解析式，

过（2，0），（4，）两点，代入解析式的，

解得，

快车从甲地到乙地的解析式，

设快车从乙地到甲地的解析式，

过（4，），（6，0）两点，代入解析式的，

解得，

快车从乙地到甲地的解析式，

快车从甲地到乙地与慢车相遇，

解得，

快车从乙地到甲地与慢车相遇，

解得，

两车先后两次相遇的间隔时间是-3=h．

故选择B．

【点睛】本题考查行程问题函数应用题，用待定系数法求一次函数解析式，两函数的交点问题转化为两函数组成方程组，解方程组，掌握待定系数法求一次函数解析式，两函数的交点问题转化为转化为两函数组成方程组，解方程组是解题关键．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案填写在答卷纸的相应位置处）

11. 4的算术平方根为______________．

【答案】2

【解析】

【分析】根据算术平方根的定义求解即可．

【详解】解：∵22=4，

∴4的算术平方根是2．

故答案为：2．

【点睛】本题考查算术平方根的定义（如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根），熟练掌握该知识点是解题关键．

12. 全长10790米的太湖隧道已正式通车，把10790精确到千位，并用科学记数法表示为 _____．

【答案】1.1×104

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，且比原数的整数位少一位；取精确度时，需要精确到哪位就数到哪位，然后根据四舍五入的原理进行取舍．

【详解】解：数据10790用四舍五入法精确到千位是11000，用科学记数法表示为1.1×104．

故答案为：1.1×104．

【点睛】本题考查了科学记数法，近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式．

13. 若直角三角形两直角边长分别为6和8，则直角三角形斜边上的中线长为 _____．

【答案】4或5## 5或4

【解析】

【分析】先根据勾股定理求得斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求其斜边上的中线，注意题中没有指明已知的两边是直角边还是斜边故应该分情况进行讨论．

【详解】解：①当6和8均为直角边时，斜边＝10，

则斜边上的中线＝5；

②当6为直角边，8为斜边时，

则斜边上的中线＝4．

故斜边上的中线长为：4或5．

故答案为：4或5．

【点睛】此题主要考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，正确分类讨论求出是解题关键．

14. 若点P（a，2）点Q（﹣4，b）关于原点对称，则点M（a，b）在第___象限．

【答案】四

【解析】

【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，求出点M的坐标，再根据各个象限的点的坐标的符号特点判断即可．

【详解】解：∵点P（a，2）点Q（﹣4，b）关于原点对称，

∴a＝4，b＝﹣2，

则点M（4，﹣2）在第四象限．

故答案为：四．

【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及各象限点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特征是解题关键．四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（−，＋）；第三象限（−，−）；第四象限（＋，−）．

15. 若一次函数y＝2x+b的图像向上平移5个单位恰好经过点（﹣1，4），则b的值为 _____．

【答案】1

【解析】

【分析】直接利用一次函数平移规律得出平移后解析式，进而将（﹣1，4）代入求出答案．

【详解】解：∵一次函数y＝2x+b的图像向上平移5个单位，

∴y＝2x+b+5，

把（﹣1，4）代入得：4＝2×（﹣1）+b+5，

解得：b＝1．

故答案为：1．

【点睛】此题主要考查了一次函数与几何变换，正确掌握一次函数平移规律是解题关键．

16. 如图，已知一次函数y1＝kx+b与一次函数y2＝mx+n的图像相交于点P（﹣1，3），则关于x的不等式kx+b＜mx+n的解集为 _____．

【答案】x＜﹣1

【解析】

【分析】观察函数图象得到，当x＜﹣1时，函数y1＝kx+b的图象都在函数y2＝mx+n的图象的下方，由此得到不等式kx+b＜mx+n的解集．

【详解】解：如图所示，一次函数y1＝kx+b与一次函数y2＝mx+n的图象相交于点P（﹣1，3），

所以，不等式kx+b＜mx+n的解集为x＜﹣1．

故答案为：x＜﹣1．

【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，用图象法解不等式，数形结合是解决问题的关键．

17. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，△ABC的两条角平分线AD、BE相交于点O，连接CO，则CO的长为　____．

【答案】

【解析】

【分析】过O作OM⊥BC于M，OP⊥AB于P，ON⊥AC于N，根据角平分线的想知道的OM＝ON，推出OC平分∠ACB，得到△OCM是等腰直角三角形，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．

【详解】解：过O作OM⊥BC于M，OP⊥AB于P，ON⊥AC于N，

∵AD和BE是△ABC的角平分线，

∴OP＝OM，ON＝OP，

∴OM＝ON，

∴OC平分∠ACB，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACO＝∠BCO＝45°，

∴△OCM是等腰直角三角形，

在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，

∴AB10，

∴S△ABCAC•BC（AB+AC+BC）•OM，

∴6×8＝（10+6+8）×OM，

∴OM＝2，

∴OC2，

故答案为：2．

【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

18. 如图，一次函数y=-x+4的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C为AO中点，OD=3，点P为AB上的动点，当∠APC=∠BPD时，点P的坐标为____．

【答案】（，）

【解析】

【分析】过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N， 过点作，交轴于点，过点作轴，交的延长线与点，如图，，是等腰直角三角形，证明，设，则，求得，进而根据三点共线，求得直线的解析式，将点的坐标代入求得的值，即可求解．

【详解】解：过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，

∵一次函数y＝﹣x+4的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴A（4，0），B（0，4），

∴OA＝OB＝4，AB＝4，

∵点C为AO中点，OD＝3，

∴OC＝AC＝2，BD＝1，

∵OA＝OB，∠AOB＝90°，

∴∠ABO＝∠OAB＝45°，

过点作，交轴于点，过点作轴，交的延长线与点，如图，

则，是等腰直角三角形，

，

轴，

，

，

设，则，

，，

∠APC=∠BPD,，

，

又，，

，

，

，

三点共线，设直线的解析式为，

则，

解得，

直线的解析式为，

将点代入得，

，

解得，

∴P（，）．

故答案为：（，）．

【点睛】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，设参数法求得点的坐标是解题的关键．

三、解答题（本大题共8小题，共76分．请在答卷纸上指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19. （1）计算：20220+（）﹣2；

（2）求2（x﹣1）2﹣18＝0中x的值．

【答案】（1）2；（2）x＝﹣2或x＝4

【解析】

【分析】（1）首先计算零指数幂、负整数指数幂和开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．

（2）首先根据2（x﹣1）2﹣18＝0，求出（x﹣1）2的值；然后根据平方根的含义和求法，求出x﹣1的值，进而求出x的值即可．

【详解】（1）解： 20220（）﹣2

＝1﹣3+4

＝2．

（2）解：∵2（x﹣1）2﹣18＝0，

∴（x﹣1）2＝9，

∴x﹣1＝﹣3或x﹣1＝3，

解得：x＝﹣2或x＝4．

【点睛】此题主要考查了根据平方根解方程，以及实数的运算，解题的关键是要掌握：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

20. 如图，在△ABD和△ACD中，AB=AC，BD=CD

（1）求证：△ABD≌△ACD；

（2）过点D作DE∥AC交AB于点E，求证：AE＝DE．

【答案】（1）见解析    （2）见解析

【解析】

【分析】（1）根据SSS证明三角形全等即可；

（2）证明∠EAD＝∠ADE即可证明AE＝DE．

【小问1详解】

证明：在△ADB和△ADC中，

，

∴△ADB≌△ADC（SSS）；

【小问2详解】

证明：∵△ADB≌△ADC，

∴∠DAB＝∠DAC，

∵DE∥AC，

∴∠ADE＝∠DAC，

∴∠EAD＝∠EDA，

∴AE＝DE．

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．

21. 已知y+2与4-x成正比例，且x=3时，y=1

（1）求y与x之间的函数表达式；

（2）当-2<y<1时，求x的取值范围

【答案】（1）y＝﹣3x+10   

（2）当﹣2＜y＜1时，3＜x＜4

【解析】

【分析】（1）根据题意设y+2＝k（4﹣x）（k≠0），把x＝3，y＝1代入求出k的值，即可确定出y与x的函数关系式；

（2）求出y＝﹣2、y＝1时的自变量x的值，然后根据一次函数的增减性写出x的取值范围即可．

【小问1详解】

解：设y+2＝k（4﹣x）（k≠0），

把x＝3，y＝1代入得：1+2＝k，

解得：k＝3，

则该函数关系式为：y＝﹣3x+10；

【小问2详解】

把y＝﹣2代入y＝﹣3x+10，得x＝4，

把y＝1代入y＝﹣3x+10，得x＝3，

∴当﹣2＜y＜1时，3＜x＜4．

【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

22. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，AB的中垂线DE交AB于点D，交AC于点E．延长DE交BC的延长线于点F，连接AF．

（1）求AD的长；

（2）求AF的长．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再利用垂直平分线的定义计算的长；

（2）由垂直平分线的性质可知，，若设，则，在中，利用勾股定理求出的值，即的长．

【小问1详解】

解：在中，

．

垂直平分，

．

【小问2详解】

解：垂直平分，

，

设，则．

在中，

，

即，

解得．

．

【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理的应用，熟练掌握相关性质定理是解决本题的关键．

23. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．

（1）请用无刻度直尺与圆规在AB上作一点D，使得点B关于直线CD的对称点E恰好落在AC边上（不要求写作法，保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，连接CD、DE，

①求△ADE与△BCD的面积之比；

②求BD的长．

【答案】（1）见解析    （2）①1：3②

【解析】

【分析】（1）首先以点C为圆心，任意长度为半径作弧，交AC、BC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长度为半径作弧，交于点P，连接CP并延长交AB于点D；然后以点C为圆心，以BC的长度为半径作弧，交AC于点E．则B、D关于直线CD对称；

（2）①连接DE，根据对称的性质，可知CE＝CB＝3、△CDE≌△△CDB，进而计算AE＝1，根据三角形面积计算公式可知△ADE与△ECD的面积之比为1：3，再由全等三角形的性质可知△ADE与△BCD的面积之比为1：3；②过C点作CH⊥AB于H．首先利用勾股定理计算AB=5，再利用面积法计算出，再结合△ADE与△BCD的面积之比为1：3，可计算出△BCD的面积为，再由三角形面积计算公式确定BD的长即可．

【小问1详解】

解：如图，点D、E为所作；

【小问2详解】

①如下图，连接DE，

∵点B关于直线CD的对称点为E，

∴CE＝CB＝3，△CDE≌△△CDB，

∴AE＝AC﹣CE＝4﹣3＝1，

∴△ADE与△ECD的面积之比为1：3，

∴△ADE与△BCD的面积之比为1：3；

②过C点作CH⊥AB于H，如下图，

∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，

∴，

∵，即，

∴，

∵△ADE与△BCD的面积之比为1：3；

∴△BCD的面积，

即，

∴．

【点睛】本题主要考查了尺规作图-基本作图、对称的性质、全等三角形的性质以及勾股定理等知识，解题关键是熟练掌握并运用所学知识进行解题．

24. 如图，在平面直角坐标系中，直线 l 经过点A（一2，3），B（4，0），交y轴于点C

（1）求直线 l 的函数表达式；

（2）若D为x轴上一动点，当△ACD的面积为1时，试求出点D的坐标；

（3）若将CB绕着点C旋转90°得到CP，试求出点P的坐标

【答案】（1）yx+2   

（2）D（2，0）或（6，0）   

（3）点P（2，6）或（﹣2，﹣2）

【解析】

【分析】（1）由待定系数法可求解析式；

（2）由S△ACD＝S△ABD﹣S△BCDBD﹣BDBD＝1，即可求得BD，进而即可求解；

（3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解．

【小问1详解】

解：设直线AB解析式为y＝kx+b，

∵直线AB经过点A（﹣2，3），B（4，0），

∴，

∴，

∴直线AB的解析式：yx+2；

【小问2详解】

解：∵直线AB交y轴于点C，

∴点C（0，2），

∴OC＝2，

∴S△ABDBD•3BD，S△BCDBD•2＝BD，

∵△ACD的面积为1，

∴S△ACD＝S△ABD﹣S△BCDBD﹣BDBD＝1，

∴BD＝2，

∴D（2，0）或（6，0）；

【小问3详解】

解：如图，当点P在直线AB下方时，过点P作PE⊥y轴于E，

∴∠PEC＝∠PCB＝90°，

∴∠PCE+∠BCO＝90°＝∠PCE+∠CPE，

∴∠CPE＝∠BCO，

又∵PC＝BC，∠BOC＝∠PEC＝90°，

∴△PCE≌△CBO（AAS），

∴BO＝CE＝4，OC＝PE＝2，

∴OE＝2，

∴点P（﹣2，﹣2），

当点P在直线AB上方时，同理可得：OC＝P'E'＝2，E'C＝OB＝4，

∴OE'＝6，

∴点P'（2，6），

综上所述：点P（2，6）或（﹣2，﹣2）．

【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形变化﹣旋转，全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．

25. 某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）．

（1）求y与x之间的函数表达式；

（2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．

【答案】（1）；（2）工厂生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，能获得最大利润.

【解析】

【分析】（1）利润y（元）＝生产甲产品的利润+生产乙产品的利润；而生产甲产品的利润＝生产1吨甲产品的利润0.3万元×甲产品的吨数x，即0.3x万元，生产乙产品的利润＝生产1吨乙产品的利润0.4万元×乙产品的吨数（2500﹣x），即0.4（2500﹣x）万元．

（2）由（1）得y是x的一次函数，根据函数的增减性，结合自变量x的取值范围再确定当x取何值时，利润y最大．

【详解】（1）.

（2）由题意得：，解得。

又因为，所以.

由（1）可知，，所以的值随着的增加而减小.

所以当时，取最大值，此时生产乙种产品（吨）.

答：工厂生产甲产品1000吨，乙产品1500吨，时，能获得最大利润.

【点睛】这是一道一次函数和不等式组综合应用题，准确地根据题目中数量之间的关系，求利润y与甲产品生产的吨数x的函数表达式，然后再利用一次函数的增减性和自变量的取值范围，最后确定函数的最值．也是常考内容之一．

26. 如图，在平面直角坐标系中，∠ABO=90°，∠A=30°，B点坐标为（0，4），点C为AB的中点，动点D从点A出发，以每秒2个单位的速度沿线段AO向终点O运动，运动时间为t秒（t>0），连接CD，作点A关于直线CD的对称点P

（1）若点P恰好落在AO上，求t的值；

（2）若CP⊥OA，求t的值；

（3）当t≠2时，∠APB的度数是否会发生变化？若保持不变，请求出∠APB的度数：若发生变化，请说明理由

【答案】（1）t   

（2）t的值为1或3    （3）∠APB＝90°，理由见解析

【解析】

【分析】（1）利用利用直角三角形30°的性质求出CD，再勾股定理求出AD即可；

（2）分两种情形：分别画出图形，求出AD即可解决问题；

（3）结论：∠APB＝90°是定值．利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理证明即可．

【小问1详解】

解：如图1中，

∵B（0，4），

∴OB＝4，

∵∠ABO＝90°，∠A＝30°，

∴OA＝2OB＝8，

∴AB4，

∵CA＝CP，CD⊥PA，

∴AD＝PD，

∵AC＝CB＝2，

∴CDAC，

∴AD3，

∴t；

【小问2详解】

解：如图2﹣1中，当CP⊥OA设CP交OA于点F．

∵∠A＝30°，∠CFA＝90°，

∴∠ACF＝90°﹣30°＝60°，

∴∠DCA＝∠DCP＝30°，

∴∠A＝∠DCA＝30°，

∴CD＝DA＝2DF，

∵AF＝3，

∴AD＝CD＝2，DF＝1，

∴t1；

如图2﹣2中，当CP⊥OA，设PC的延长线交AO于点F．同法可证AF＝DF＝3，

∴AD＝AF+DF＝6，

∴t3．

综上所述，满足条件的t的值为1或3．

【小问3详解】

结论：∠APB＝90°是定值．

理由：如图3中，

∵CA＝CB＝CP，

∴∠CAP＝∠CPA，∠CPB＝∠CBP，

∵∠CAP+∠APB+∠ABP＝180°，

∴2∠CAP+2∠CBP＝180°，

∴∠CAP+∠CBP＝90°，

∴∠APB＝90°．

【点睛】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，直角三角形30度角的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．