人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性第1课时导学案

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在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如图，六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影……
问题 (1)上述材料中提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“图形的部分”对称？
(2)哪个图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？
知识点1 奇函数、偶函数的定义
(1)定义域关于原点对称时，函数f (x)＝0既是奇函数又是偶函数．
(2)若奇函数在原点有定义，则f (0)＝0，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．
1．具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？
[提示] 定义域关于原点对称．
知识点2 奇函数、偶函数的图象特征
(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
(2)如果一个函数的图象关于原点对称，那么它是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么它是偶函数．
由于偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，因而在研究这类函数的性质时，只需通过研究函数在(－∞，0]或[0，＋∞)上的情形，便可推断出函数在整个定义域上的情形．
2．若f (x)为奇函数，且点(x，f (x))在其图象上，则哪一个点一定在其图象上？若f (x)为偶函数呢？
[提示] 若f (x)是奇函数，点(x，f (x))在其图象上，则点(－x，f (－x))，即点(－x，－f (x))也在其图象上．若f (x)是偶函数，点(x，f (x))在其图象上，则点(－x，f (－x))，即点(－x，f (x))也在其图象上．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)奇函数的图象一定过原点．( )
(2)如果定义域内存在x0，满足f (－x0)＝f (x0)，函数f (x)是偶函数．( )
(3)若对于定义域内的任意一个x，都有f (x)＋f (－x)＝0，则函数f (x)是奇函数．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
[提示] (1)不一定，如函数f (x)＝1x．
(2)不符合定义，必须对于定义域内的任意一个x都成立．
(3)若f (x)＋f (－x)＝0，则f (－x)＝－f (x)．
2．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
A B C D
B [B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项中的图象都不具有奇偶性．]
3．若f (x)是定义在R上的奇函数，f (3)＝2，则f (－3)＝________，f (0)＝________．
－2 0 [由奇函数定义及性质可知，
f (－3)＝－f (3)＝－2，f (0)＝0．]
类型1 函数奇偶性的判断
【例1】 (1)已知函数f (x)＝x2+5，则下列结论正确的是( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
(2)函数f (x)＝13x－2x的图象关于( )
A．y轴对称
B．坐标原点对称
C．直线y＝－x对称
D．直线y＝x对称
(3)判断下列函数的奇偶性：
①f (x)＝|2x－1|－|2x＋1|；
②f (x)＝2x2+2xx+1；
③f (x)＝1-x2，x>0，0，x=0，x2-1，x<0．
(1)B (2)B [(1)f (x)＝x2+5的定义域为R，关于原点对称．
又因为f (－x)＝-x2+5＝x2+5＝f (x)，即f (－x)＝f (x)，
所以f (x)为偶函数．
(2)函数的定义域A＝{x|x≠0}，
所以x∈A时，－x∈A，且f (－x)＝－13x＋2x＝－13x-2x＝－f (x)，
所以f (x)为奇函数，故图象关于坐标原点对称．]
(3)[解] ①因为x∈R，f (－x)＝|－2x－1|－|－2x＋1|＝－(|2x－1|－|2x＋1|)＝－f (x)，所以f (x)是奇函数．
②函数f (x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f (x)既不是奇函数也不是偶函数．
③(法一)作出函数图象如图，关于原点对称，所以函数是奇函数．
(法二)当x>0时，f (x)＝1－x2，
此时－x<0，
所以f (－x)＝(－x)2－1＝x2－1，
所以f (－x)＝－f (x)；
当x<0时，f (x)＝x2－1，此时－x>0，f (－x)＝1--x2＝1－x2，
所以f (－x)＝－f (x)；
当x＝0时，f (－0)＝－f (0)＝0．
综上，对x∈R，总有f (－x)＝－f (x)，所以f (x)为R上的奇函数．
判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法：
(2)图象法：
[跟进训练]
1．下列函数中，是偶函数的有________．(填序号)
①f (x)＝x3；②f (x)＝|x|＋1；③f (x)＝1x2；
④f (x)＝x＋1x；⑤f (x)＝x2，x∈[－1，2]．
②③ [对于①，x∈R，f (－x)＝－x3＝－f (x)，则为奇函数；
对于②，x∈R，f (－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f (x)，则为偶函数；
对于③，定义域为{x|x≠0}，
关于原点对称，f (－x)＝1-x2＝1x2＝f (x)，则为偶函数；
对于④，定义域为{x|x≠0}，
关于原点对称，f (－x)＝－x－1x＝－f (x)，
则为奇函数；
对于⑤，定义域为[－1，2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数．]
类型2 奇、偶函数图象的应用
【例2】 已知函数y＝f (x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f (x)＝x2＋2x．现已画出函数f (x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)请补出完整函数y＝f (x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f (x)的单调递增区间；
(3)根据图象写出使f (x)<0的x的取值集合．
[解] (1)由题意作出函数图象如图．
(2)据图可知，单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞)．
(3)据图可知，使f (x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(0，2)．
[母题探究]
(变条件)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？
[解] (1)由题意作出函数图象如图所示．
(2)据图可知，单调递增区间为(－1，1)．
(3)据图可知，使f (x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，＋∞)．
巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称．
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性，可以解决诸如求函数值或画出奇、偶函数图象的问题．
[跟进训练]
2．如图是函数f (x)＝1x2+1在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f (x)在定义域内的图象，并说明你的作图依据．
[解] 因为f (x)＝1x2+1，
所以f (x)的定义域为R．又对任意x∈R，都有f (－x)＝1-x2+1＝1x2+1＝f (x)，
所以f (x)为偶函数，
所以f (x)的图象关于y轴对称，其图象如图所示．
类型3 利用奇偶性求值
【例3】 (1)若函数f (x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________．
(2)已知f (x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f (－3)＝－3，则f (3)＝________．
(1)13 0 (2)7 [(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝13．
又函数f (x)＝13x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0．
(2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，
所以f (－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，
又f (－3)＝－3，
所以g(3)＝5．又f (3)＝g(3)＋2，
所以f (3)＝5＋2＝7．]
利用奇偶性求参数的常见类型及策略
(1)定义域含参数：奇、偶函数f (x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．
(2)解析式含参数：根据f (－x)＝－f (x)或f (－x)＝f (x)列式，比较系数即可求解．
[跟进训练]
3．(1)若f (x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，求实数a的值．
(2)已知定义域为R的函数g(x)＝f (3x)＋x2为奇函数，且f (3)＝3，求f (－3)．
[解] (1)(法一)f (x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f (－x)＝(－x＋a)(－x－4)＝x2－(a－4)x－4a，两式恒相等，则a－4＝0，即a＝4．
(法二)f (x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即a－4＝0，则a＝4．
(法三)根据二次函数的奇偶性可知，形如f (x)＝ax2＋c的都是偶函数，因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则a＝4．
(2)∵函数g(x)＝f (3x)＋x2是定义域为R的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，
∴g(－1)＝－g(1)＝－[f (3)＋1]＝－4，
∴g(－1)＝f (－3)＋1＝－4，
∴f (－3)＝－5．
1．函数f (x)＝1x，x∈(0，1)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
C [f (x)的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，是非奇非偶函数．]
2．函数f (x)＝3-x2x的图象关于( )
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称D．直线y＝x对称
B [由3-x2≥0，x≠0，得f (x)的定义域为[－3，0)∪(0，3]，关于原点对称．
又f (－x)＝3--x2-x＝3-x2-x＝－3-x2x＝－f (x)，
∴f (x)是奇函数，
∴f (x)＝3-x2x的图象关于原点对称．]
3．已知 f (x)＝ax7－bx5＋cx3＋2, 且f (－5)＝17，则f (5)＝________．
－13 [由题意，设g(x)＝f (x)－2＝ax7－bx5＋cx3，又g(－x)＝－g(x)，
所以函数g(x)是奇函数，
可得g(－5)＋g(5)＝0，
即f (－5)＋f (5)＝4，
又f (－5)＝17，则f (5)＝－13．]
4．已知函数f (x)＝-x2+2x，x>0，0，x=0，x2+mx，x<0是奇函数，则m＝________．
2 [x<0时，－x>0，f (－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x．
因为f (x)为奇函数，
所以f (－x)＝－f (x)＝－x2－2x，
所以f (x)＝x2＋2x＝x2＋mx，即m＝2．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．你对函数奇偶性的定义是怎样理解的？
[提示] (1)函数的奇偶性是相对于定义域D内的任意一个x而言的，而函数的单调性是相对于定义域内的某个子集而言的，从这个意义上讲，函数的单调性属于“局部性质”，而函数的奇偶性则属于“整体性质”．
(2)奇函数和偶函数的定义域必须关于原点对称．
2．根据奇、偶函数的定义，你认为它们的图象有什么特点？
[提示] 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
3．判断或证明函数奇偶性有哪些常用方法？
[提示] (1)定义法．(2)图象法．
课时分层作业(二十二) 函数的奇偶性
一、选择题
1．已知f (x)是奇函数，且f (a)＝－2，则f (－a)＝( )
A．－2 B．2 C．±2 D．0
B [f (－a)＝－f (a)＝2．]
2．下面为偶函数的是( )
A．f (x)＝x2(x≥0)
B．f (x)＝(x－1)x+11-x
C．f (x)＝0
D．f (x)＝|x|(x≤0)
C [对于选项A、D，其定义域不关于原点对称，故其为非奇非偶函数；
又选项B中f (－1)＝0，而f (1)无意义，故选项B也是非奇非偶函数；
对于选项C，无论x取何值都满足f (－x)＝f (x)＝0．]
3．设f (x)＝－x3－(a－2)x2＋x是定义在[2b，b＋3]上的奇函数，则f (a＋b)＝( )
A．－1B．0
C．1D．－2
B [因为f (x)＝－x3－(a－2)x2＋x是定义在[2b，b＋3]上的奇函数，
所以a-2=0，2b+b+3=0，解得a=2，b=-1，
所以f (x)＝－x3＋x，则a＋b＝1，
则f (a＋b)＝f (1)＝－1＋1＝0．故选B．]
4．(多选)下列函数为偶函数的是( )
A．f (x)＝－|x|B．f (x)＝2－x
C．f (x)＝1x3D．f (x)＝－x2＋8
AD [A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．故选AD．]
5．已知f (x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f (x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f (1)＋g(1)＝( )
A．－3B．－1
C．1D．3
C [∵f (x)－g(x)＝x3＋x2＋1，
∴f (－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1．
又f (x)为偶函数，g(x)为奇函数，
∴f (x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，
∴f (1)＋g(1)＝1．]
二、填空题
6．若函数f (x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是________．
2 [∵f (x)为偶函数，故m－2＝0，
∴m＝2．]
7．设f (x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f (x)＝x2＋1，则f (－2)＋f (0)＝________．
－5 [由题意知f (－2)＝－f (2)＝－(22＋1)＝－5，f (0)＝0，
∴f (－2)＋f (0)＝－5．]
8．如果定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f (x)在(0，＋∞)内是减函数，又有f (3)＝0，则x·f (x)<0的解集为________．
{x|x<－3或x>3} [如图，由题意可画出函数f (x)的函数图象．
当x>0，f (x)<0时，所以x>3；
当x<0，f (x)>0时，所以x<－3．
综上，x>3或x<－3．]
三、解答题
9．已知函数f (x)＝x2－2|x|－3．
(1)求证：函数f (x)是偶函数；
(2)画出函数f (x)的图象，并由图象直接写出函数f (x)的值域．
[解] (1)证明：因为f (x)＝x2－2|x|－3，
所以f (－x)＝(－x)2－2|－x|－3＝x2－2|x|－3＝f (x)，
所以f (－x)＝f (x)，
所以f (x)是偶函数．
(2)f (x)的图象如下：
所以f (x)的值域为[－4，＋∞)．
10．已知f (x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f (－3)＝5，则f (3)＝( )
A．21B．－21
C．26D．－26
B [设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数，由题设可得f (－3)＝g(－3)－8＝5，求得g(－3)＝13．又g(x)为奇函数，
所以g(3)＝－g(－3)＝－13，
于是f (3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21．故选B．]
11．(多选)勒热纳·狄利克雷是德国著名的数学家，曾受业于高斯，他是解析数论的奠基者，也是现代函数概念的提出者，在数学、物理等诸多领域成就显著．以他名字命名的狄利克雷函数的解析式为D(x)＝1，x是有理数，0，x是无理数．下面关于函数D(x)的论断中不正确的是( )
A．函数D(x)是奇函数
B．函数D(D(x))是偶函数
C．∀x，y∈R，D(x＋y)＝D(x)＋D(y)
D．∃x∈R，D(D(x))＝0
ACD [A：函数D(x)的定义域为R，关于原点对称，若x为有理数，则－x也为有理数，有D(x)＝D(－x)＝1；若x为无理数，则－x也为无理数，有D(x)＝D(－x)＝0，所以函数D(x)是R上的偶函数，故A错误；
B：当x为有理数时，D(x)＝1，则D(D(x))＝D(1)＝1；当x为无理数时，D(x)＝0，则D(D(x))＝D(0)＝1，所以当∀x∈R，均有D(D(x))＝1，则函数D(D(x))为偶函数，故B正确；
C：当x＝y＝1时，D(x＋y)＝D(2)＝1，D(x)＝D(y)＝D(1)＝1，D(x)＋D(y)＝2，则D(x＋y)≠D(x)＋D(y)，故C错误；
D：由选项B的分析可知，当∀x∈R，均有D(D(x))＝1，故D错误．故选ACD．]
12．已知定义在非零实数上的奇函数f (x)，满足f (x)＋2f -1x＝3x，则f (1)等于________．
－3 [因为f (x)＋2f -1x＝3x，
所以f (1)＋2f (－1)＝3，
因为f (x)为定义在非零实数上的奇函数，
所以－f (1)＝f (－1)，
即f (1)－2f (1)＝3，
所以f (1)＝－3．]
13．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f (x)＝2x－c，则c＝________，f (－2)＝________．
1 －3 [函数f (x)是定义在R上的奇函数，
且x≥0时，f (x)＝2x－c，
所以f (0)＝1－c＝0，所以c＝1，又当x≥0时，f (x)＝2x－1，所以f (2)＝3，又由函数f (x)为奇函数，则f (－2)＝－f (2)＝－3．]
14．已知函数f (x)＝x2＋|x－a|＋1，x∈R，a为实数，判断f (x)的奇偶性．
[解] 当a＝0时，f (x)＝x2＋|x|＋1，
此时f (－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝x2＋|x|＋1＝f (x)，故函数f (x)为偶函数．
当a≠0时，因为f (a)＝a2＋1，f (－a)＝a2＋2|a|＋1，
显然，f (－a)≠±f (a)，所以此函数既不是奇函数也不是偶函数．
综上，当a＝0时，f (x)为偶函数；当a≠0时，f (x)既不是奇函数也不是偶函数．
15．已知函数y＝f (x)，x∈R，且当x≥0时，f (x)＝2x3＋2x－1．
(1)若函数y＝f (x)是偶函数，求f (－2)．
(2)y＝f (x)是否可能是奇函数？若可能，求f (x)的表达式；若不可能，说明理由．
[解] (1)若y＝f (x)是偶函数，
应有f (－2)＝f (2)．而f (2)＝2×23＋22－1＝19，
因此f (－2)＝19．
(2)若y＝f (x)是奇函数，当x<0时，应有
f (x)＝－f (－x)＝－[2(－x)3＋2－x－1]＝2x3－2－x＋1．
此外，当x＝0时，
f (x)＝2×03＋20－1＝0＝－f (－x)．
因此，y＝f (x)可能是奇函数，此时
f (x)＝2x3+2x-1，x≥0，2x3-2-x+1，x<0．学习任务
1．结合具体函数，理解奇函数、偶函数的定义．(数学抽象)
2．了解函数奇偶性与函数图象对称性之间的关系．(直观想象)
3．掌握判断和证明函数奇偶性的方法．(逻辑推理)
奇偶性
偶函数
奇函数
前提
设函数y＝f (x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D
条件
f (－x)＝f (x)
f (－x)＝－f (x)
图象特点
关于y轴对称
关于原点对称