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人教版七年级下册第七章 平面直角坐标系综合与测试随堂练习题
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这是一份人教版七年级下册第七章 平面直角坐标系综合与测试随堂练习题，文件包含专题12平面直角坐标系压轴题真题分类解析版docx、专题12平面直角坐标系压轴题真题分类原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
专题12 《平面直角坐标系》压轴题真题分类（解析版）
第一类：坐标系中与动点有关的面积问题
1.（雅礼）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣a，2），B（a，b），且a，b满足关系式：b＝+6．
（1）求a，b的值；
（2）如图1，AB与y轴交于点C，连接OA，OB，求三角形BOC的面积及C点坐标；
（3）将线段AB向右平移8个单位得到A1B1，如图2，若点D（m，n）是线段A1B1上的动点，求m，n之间满足的数量关系．
【解答】解：（1）∵b＝+6，∴，∴a＝5，b＝6．
（2）设C（0，m）．由题意，A（﹣5，2），B（5，6），∴S△AOB＝10×6﹣×2×5﹣×5×6﹣×4×10＝60﹣5﹣15﹣20＝20，∴•m•[5﹣（﹣5）]＝20，∴m＝4，∴C（0，4），∴S△BOC＝×4×5＝10．
（3）如图2中，过点A1作A1E⊥x轴于E，过点B1作B1F⊥x轴于F，过点A1作A1G⊥B1F于G，连接DG．由平移的性质可知，A1（3，2），B1（13，6），∵＝+，
∴×10×4＝×10×（n﹣2）+×4×（13﹣m），∴n＝m+．
2．（青竹湖）如图所示，在平面直角坐标系中，如图①，将线段AB平移至线段CD，点A在x轴的负半轴，点C在y轴的正半轴上，连接AC、BD．
（1）若A（﹣3，0）、B（﹣2，﹣2），C（0，2），求点D的坐标；
（2）已知A（﹣3，0）、B（﹣2，﹣2），点C（0，m）在y轴的正半轴上，点D在第一象限内，且S△ACO
＝5，求点C、D的坐标；
（3）如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点M（2，0），两个动点E（a，2a+1）、F（b，﹣2b+3），请你探索是否存在以两个动点E、F为端点的线段EF平行于线段OM且等于线段OM．若存在，求以点O、M、E、F为顶点的四边形的面积；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设D（x，y），∵将线段AB平移至线段CD，A（﹣3，0）、B（﹣2，﹣2），C（0，2），
∴x﹣0＝﹣2﹣（﹣3），y﹣2＝﹣2﹣0，∴x＝1，y＝0，∴D（1，0）；
（2）如图1，∵A（﹣3，0），点C（0，m）在y轴的正半轴上，∴OA＝3，OC＝m，
∵S△ACO＝5，即OA•OC＝5，∴×3m＝5，解得：m＝，∴点C的坐标为（0，），设D（x，y），∵将线段AB平移至线段CD，∴x﹣0＝﹣2﹣（﹣3），y﹣＝﹣2﹣0，∴x＝1，y＝，∴点D的坐标为（1，）；
（3）∵EF∥OM，EF＝OM，O（0，0），M（2，0），∴点E与F的纵坐标相等，横坐标的差的绝对值为2，即2a+1＝﹣2b+3，|a﹣b|＝2，解得：a＝﹣，b＝或a＝，b＝﹣，
∴点E的坐标为（﹣，0），F的坐标为（，0）或点E的坐标为（，4），F的坐标为（﹣，4），
当E（﹣，0），F（，0）时，O、M、E、F四点均在x轴上，不能构成平行四边形，舍去；
∴E（，4），F（﹣，4）；∴S▱OMEF＝2×4＝8．
3.（湘一、一中双语联考）在平面直角坐标系中，点B（m，n）在第一象限，m、n均为整数，且满足．
（1）求点B的坐标；
（2）将线段OB向下平移a个单位后得到线段O′B′，过点B′作B′C⊥y轴于点C，若3CO＝2CO′，求a的值；
（3）过点B作与y轴平行的直线BM，点D在x轴上，点E在BM上，点D从O点出发以每秒钟3个单位长度的速度沿x轴向右运动，同时点E从B点出发以每秒钟2个单位长度的速度沿BM向下运动，在点D、E运动的过程中，若直线OE、BD相交于点G，且5≤S△OGB≤10，则点G的横坐标xG的取值范围是 ．
【解答】解：（1）由题意得：，m为整数，解得：m＝3或2或1，将m值代入n的等式，
解得：m＝3，n＝2，即点B的坐标为（3，2），
（2）平移后各点坐标如下：B′（3，2﹣a）、O′（0，﹣a）c（0，2﹣a），CO＝a﹣2，CO'＝2，所以3（a﹣2）＝±2×2，所以a＝或；
（3）①点G不可能在△OBH内，若在△OBH内，则 S△OGB＜S△OBH＝1/2×3×2＝3＜5；
②G点位置在△OBH外部时，当点G作y轴右侧时，
过点G分别作x、y轴的垂线于点K、N，设GN＝c，ON＝d，运动时间为t，
S△OGB＝S梯形BFNG﹣S△OBF﹣S△OGN＝（3+c）（2+d）﹣3﹣cd＝d+c…①，
S△OGB＝BE×NG＝×2tc＝tc…②，S△OGB＝×OD×FN＝×3t×（d+2）＝td+3t…③，
联立①②③并解得：c＝S△OGB+，∵5≤S△OGB≤10，解得：4≤c≤故答案为：4≤xG≤；
当点G作y轴左侧时，同理可得：﹣≤xG≤﹣1；故答案为：4≤xG≤或﹣≤xG≤﹣1．
第2类：坐标系中与动点有关的角度问题
4. （中雅）如图所示，A（1，0）、点B在y轴上，将三角形OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC，且点C的坐标为（﹣3，2）．
（1）直接写出点E的坐标 ；
（2）在四边形ABCD中，点P从点B出发，沿“BC→CD”移动．若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题：
①当t＝ 秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；
②求点P在运动过程中的坐标，（用含t的式子表示，写出过程）；
③当3＜t＜5时，设∠CBP＝x°，∠PAD＝y°，∠BPA＝z°，用含x，y的式子表示z＝ ．
【解答】解：（1）根据题意，可得三角形OAB沿x轴负方向平移3个单位得到三角形DEC，
∵点A的坐标是（1，0），∴点E的坐标是（﹣2，0）；故答案为：（﹣2，0）；
（2）①∵点C的坐标为（﹣3，2）∴BC＝3，CD＝2，∵点P的横坐标与纵坐标互为相反数；
∴点P在线段BC上，∴PB＝CD，即t＝2；∴当t＝2秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；
故答案为：2；
②当点P在线段BC上时，∵BC∥x轴，且点B（0，2），∴点P的坐标（﹣t，2），当点P在线段CD上时，∵BC＝3，CD＝2，∴点P的纵坐标为：5﹣t，∵C（﹣3，2），∴点P的坐标（﹣3，5﹣t）；
③能确定，当3＜t＜5时，∵BC＝3，∴点P在CD上，如图，过P作PF∥BC交AB于F，
则PF∥AD，∴∠BPF＝∠CBP＝x°，∠APF＝∠DAP＝y°，∴∠BPA＝∠BPF+∠APF＝x°+y°＝z°，
∴z＝x+y，故答案为x+y．
5．（广益）在直角坐标系中，点O为坐标原点，A（1，1），B（1，3），将线段AB平移到直线AB的右边得到线段CD（点C与点A对应，点D与点B对应），点D的坐标为（m，n），且m＞1．
（1）如图1，当点C坐标为（2，0）时，请求出三角形BCD的面积；
（2）如图2，点E是线段CD延长线上的点，∠BDE的平分线DF交射线AB于点F．试问：的值是否会改变，若不变，请求其值；若改变，请说明理由．
（3）如图3，线段CD运动的过程中，在（2）的条件下，n＝4．
①当m＝4时，在直线AB上点P，满足三角形PBC的面积等于三角形CDF的面积，请求出点P的坐标；
②若点Q在x轴上，满足三角形QBC的面积等于三角形CDF的面积的2倍，请直接写出点Q的坐标．（用含m的式子表示）
【解答】（1）解：如图1中，∵C（2，0），D（2，2），B（1，3），∴S△BCD＝×2×1＝1．
（1） 不会发生变化．证明：如图2中，∵线段AB平移得到线段CD（点C与点A对应，点D与点B对应），∴AB∥CD，AC∥BD．∴∠AFD＝∠FDE，∠C＝∠BDE．∵DF是∠BDE的角平分线，∴∠BDE＝2∠FDE．∴∠BDE＝2∠AFD．∴∠C＝2∠AFD，∴＝2．
（3）解：①如图3中，设P（1，m）．由题意 •|m﹣3|•3＝×2×3，解得m＝5或1，∴P1（1，5），P2（1，1）；②如图3﹣1中，在BA的延长线上取一点G（1，﹣1），连接CG、CB、CF．
易证S△BCG＝2S△DCF，过点G作GQ∥BC交x轴于Q，此时S△QBC＝S△GBC＝2S△DCF，∵B（1，3），C（m，2），∴直线BC的解析式为y＝x+，∴直线QG的解析式为y＝x+，令y＝0，得到x＝2﹣m，∴Q（2﹣m，0），在射线DE取K（m，6），则S△KBC＝2S△DCF，过点K作BC的平行线交x轴于Q′，此时S△Q′BC＝2S△DCF，由直线KQ′的解析式为：y＝x+，令y＝0，得到x＝7m﹣6，∴Q′（7m﹣6，0）．综上所述，满足条件的点P坐标为（2﹣m，0）或（7m﹣6，0）．
6.（青竹湖）在平面直角坐标系中，、、，其中、、满足关系
.
（1）如图1，求的面积；
（2）如图2，在负半轴上有一点，满足，的角平分线与的角平分线相交于点，点是延长线上一点，且，求的值；
（3）如图3，若将线段向上平移个单位长度，点为轴上一点，点为第一象限内一动点，连、、，若的面积等于由、、、四条线段围成的图形的面积，求点的坐标（用含的式子表示）.
【解答】解：（1）∵+|a﹣b+4|+（c﹣5）2＝0．∴，解得：，
∴A（﹣2，0），B（2，4），C（5，0），∴△ABC的面积＝＝＝14；
（2）如图2，∵DB⊥BC，
∴∠DBC＝90°，∴∠BDC+∠BCD＝90°，∵DP平分∠BDC，PC平分∠BCD，∴∠PDC＝∠BDC，∠PCD＝∠BCD，∴∠PDC+∠PCD＝（∠BDC+∠BCD）＝45°，∴∠EPD＝∠PDC+∠PCD＝45°，
∵∠EBD＝∠EPD＝45°，∠EMB＝∠DMP，∴∠BEC＝∠BDP，∴＝＝；
（3）如图3，平移后的点A（﹣2，1），B（2，5），
将四边形ABFC拓展成长方形HDCM，则S四边形ABFC＝S长方形HDCM﹣S△ABH﹣S△ADC﹣S△BFM，
＝7×5﹣×（5+2）×1﹣，＝16+n，设G（x，0），分两种情况：
①当点G在x轴的正半轴上时，如图3，延长BA交x轴于点R，同理得：S△ABG＝5（x+2）﹣﹣﹣＝2x+6，∵S△ABG＝S四边形ABFC，∴2x+6＝16+n，x＝5+n，
∴G（5+n，0）
②当点G在x轴的负半轴上时，如图4，同理作长方形MGNB，过A作AQ⊥NB于Q，
∴S△ABG＝5（2﹣x）﹣﹣＝﹣2x﹣6，
∵S△ABG＝S四边形ABFC，∴﹣2x﹣6＝16+n，x＝﹣11﹣n，∴G（﹣11﹣n，0）
综上，点G的坐标为：（5+n，0）或（﹣11﹣n，0）．
7.（一中）在平面直角坐标系中，A（a，0），C（0，c）且满足：（a+6）2+＝0，长方形ABCO在坐标系中（如图）点O为坐标系的原点．
（1）求点B的坐标．
（2）如图1，若点M从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动（不超过点O），点N从原点O出发，以1个单位/秒的速度向下运动（不超过点C），设M、N两点同时出发，在它们运动的过程中，四边形MBNO的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化的范围．
（3）如图2，E为x轴负半轴上一点，且∠CBE＝∠CEB，F是x轴正半轴上一动点，∠ECF的平分线CD交BE的延长线于点D，在点F运动的过程中，请探究∠CFE与∠D的数量关系并说明理由．（注：三角形三个内角的和等于180°）
【解答】解：（1）∵（a+6）2+＝0，∴a＝﹣6，c＝﹣3，∴A（﹣6，0），C（0，﹣3），
∵四边形OABC是长方形，∴AO∥BC，AB∥OC，AB＝OC＝3，AO＝BC＝6，∴B（﹣6，﹣3）；
（2）四边形MBNO的面积不变．设M、N同时出发的时间为t，
则S四边形MBNO＝S长方形OABC﹣S△ABM﹣S△BCN＝18﹣×2t×3﹣×6×（3﹣t）＝9．与时间无关．
∴在运动过程中面积不变．是定值9；
（3）∠CFE＝2∠D．理由如下：如图
∵∠CBE＝∠CEB，∴∠ECB＝180°﹣2∠BEC，CD平分∠ECF，∴∠DCE＝∠DCF，
∵AF∥BC，∴∠CFE＝180°﹣∠DCF﹣∠DCE﹣∠BCE＝180°﹣2∠DCE﹣（180°﹣2∠BEC），
∴∠CFE＝2∠BEC﹣2∠DCE，∵∠BEC＝∠D+∠DCE，∴∠CFE＝2（∠D+∠DCE）﹣2∠DCE，
∴∠CFE＝2∠D．
8.（中雅培粹）在平面直角坐标系中，，且满足：，长方形在坐标系中（如图），点为坐标系的原点．
（1）求点的坐标．
（2）如图1，若点从点出发，以2个单位/秒的速度向右运动（不超过点），点从原点出发，以1个单位/秒的速度向下运动（不超过点），设、两点同时出发，在它们运动的过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化的范围．
（3）如图2，为轴负半轴上一点，且，是轴正半轴上一动点，的平分线交的延长线于点，在点运动的过程中，请探究与的数量关系，并说明理由。
【解答】解：（1）∵（a+6）2+＝0，∴a＝﹣6，c＝﹣3，∴A（﹣6，0），C（0，﹣3），
∵四边形OABC是长方形，∴AO∥BC，AB∥OC，AB＝OC＝3，AO＝BC＝6，∴B（﹣6，﹣3）；
（2）四边形MBNO的面积不变．设M、N同时出发的时间为t，
则S四边形MBNO＝S长方形OABC﹣S△ABM﹣S△BCN＝18﹣×2t×3﹣×6×（3﹣t）＝9．与时间无关．
∴在运动过程中面积不变．是定值9；
（3）∠CFE＝2∠D．理由如下：如图
∵∠CBE＝∠CEB，∴∠ECB＝180°﹣2∠BEC，∵CD平分∠ECF，∴∠DCE＝∠DCF，∵AF∥BC，
∴∠CFE＝180°﹣∠DCF﹣∠DCE﹣∠BCE＝180°﹣2∠DCE﹣（180°﹣2∠BEC），∴∠CFE＝2∠BEC﹣2∠DCE，∵∠BEC＝∠D+∠DCE，∴∠CFE＝2（∠D+∠DCE）﹣2∠DCE，∴∠CFE＝2∠D．
9.（明德）在平面直角坐标系中，已知点,,, 且满足, 线段交轴于点,点是轴正半轴上的一点．
(1)求出点的坐标；
(2)如图2,若，，且分别平分，，求的度数（用含的代数式表示）
(3)如图3,坐标轴上是否存在一点，使得的面积和的面积相等，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由.
图3
图2
图1
【解答】解：（1）∵+（a﹣b+6）2＝0，∴a+b＝0，a﹣b+6＝0，∴a＝﹣3，b＝3，∴A（﹣3，0），B（3，3）；
（2）如图2，过点M作MN∥DB，交y轴于点N，
∴∠DMN＝∠BDM，又∵DB∥AC，∴MN∥AC，∴∠AMN＝∠MAC，∵DB∥AC，∠DOC＝90°，
∴∠BDO＝90°，又∵AM，DM分别平分∠CAB，∠ODB，∠BAC＝a，∴∠MAC＝a，∠BDM＝45°，
∴∠AMN＝a，∠DMN＝45°，∴∠AMD＝∠AMN+∠DMN＝45°+a；
（3）存在．连接OB，如图3，
设F（0，t），∵S△AOF+S△BOF＝S△AOB，∴•3•t+•t•3＝×3×3，解得t＝，∴F点坐标为（0，），
△ABC的面积＝×7×3＝，当P点在y轴上时，设P（0，y），∵S△ABP＝S△APF+S△BPF，
∴•|y﹣|•3+•|y﹣|•3＝，解得y＝5或y＝﹣2，∴此时P点坐标为（0，5）或（0，﹣2）；
当P点在x轴上时，设P（x，0），则•|x+3|•3＝，解得x＝﹣10或x＝4，∴此时P点坐标为（﹣10，0），综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（0，5）或（0，﹣2）或（﹣10，0）．
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日期：2022/3/16 18:06:52；用户：李昊；邮箱：2819221653@qq.com；学号：3
96810．（中雅）如图，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴，垂足为A，BC⊥y轴，垂足为C，已知A（a，0），C（0，c），其中a，c满足关系式（a﹣6）2+|c+8|＝0，点P从O点出发沿折线OA﹣AB﹣BC的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒．
（1）在运动过程中，当点P到AB的距离为2个单位长度时，t＝ ；
（2）在点P的运动过程中，用含t的代数式表示P点的坐标；
（3）当点P在线段AB上的运动过程中，射线AO上一点E，射线OC上一点F（不与C重合），连接PE，PF，使得∠EPF＝70°，求∠AEP与∠PFC的数量关系．
【解答】解：（1）∵a，c满足关系式（a﹣6）2+（c+8）2＝0，∴a﹣6＝0，C+8＝0，∴a＝6，c＝﹣8，
∴B（6，﹣8）．当点P到AB的距离为2个单位长度时，s＝6﹣2＝4，或s＝6+8+2＝16，∴4÷2＝2s或16÷2＝8s，
（2）①当0≤t≤3时，点P在OA上，此时，P（2t，0）．②当3≤t≤7时，点P在AB上，此时，PA＝2t﹣6，由于点P在第四象限，纵坐标小于0，则P（6，6﹣2t）．③当7≤t≤10时，点P在BC上，此时PB＝2t﹣OA﹣AB＝2t﹣14，PC＝BC﹣PB＝6﹣（2t﹣14）＝20﹣2t．∴P（20﹣2t，﹣8）．
（3）当点P在线段AB上时，分两种情况：
①如图3中，结论：∠PEA+∠PFC＝160°，理由如下：
连接OP，∵∠PFC＝∠FPO+∠FOP，∠AEP＝∠EOP+∠EPO，
∴∠PEA+∠PFC＝∠FPO+∠FOP+∠EOP+∠EPO＝∠AOF+∠EPF＝90°+70°＝160°；
②如图4中，结论：∠PFC﹣∠AEP＝20°，理由如下：设PM交OC于G，
∵∠AEP+∠EGO＝90°，∠EGO＝∠PGF＝110°﹣∠PFC，∴∠AEP+110°﹣∠PFC＝90°，
∴∠PFC﹣∠AEP＝20°，综上所述，∠PFC+∠PEA＝160°或∠PFC﹣∠AEP＝20°．
第3类：坐标系中的定义新运算问题
11．（广益）在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（x+ay，ax+y），则称点B是点A的a级亲密点．例如：点A（﹣2，6）的级亲密点为B，即点B的坐标为（1，5）．
（1）①已知点C（﹣1，5）的3级亲密点是点D，则点D的坐标为 ．
②已知点P的2级亲密点是点Q（4，8），则点P的坐标为 ．
（2）已知点M（m﹣1，2m）的﹣3级亲密点M1位于y轴上，求点M1的坐标．
（3）若点E在x轴上，点E不与原点重合，点E的a级亲密点为点F，且EF的长度为OE长度的倍，求a的值．
【解答】解：（1）①∵点C（﹣1，5）的3级亲密点是点D，∴D（﹣1+3×5，3×（﹣1）+5），
即D（14，2），
②设点P的坐标为（x，y），依题意得，解得，点P的坐标为（4，0），
（2）依题意得m﹣1﹣3×2m＝0，解得m＝﹣，∴﹣3（m﹣1）+2m＝﹣m+3＝+3＝，∴M1（0，），
（3）设点E的坐标为（x，0），则点E的a级亲密点为点F为（x，ax），∴EF＝|ax|，∵EF的长度为OE长度的倍，∴|ax|＝|x|，∴a＝或﹣．
12.（雅礼）在平面直角坐标系中，规定：对于任意两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2）的“雅实距离”记为：雅P1P2＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．
（1）若P1（1，5），P2（3，4）．求点P1，P2的“雅实距离”雅P1P2的值；
（2）已知A（﹣2，0），B为y轴上的动点；
①若点A与点B的“雅实距离”为5，求B点的坐标；
②求点A与点B的“雅实距离”的最小值；
（3）已知点C（m，2m+3），D（1，8），求点C与点D的“雅实距离”的最小值及取最小值时C点的坐标．
【解答】解：（1）∵P1（1，5），P2（3，4），∴雅P1P2＝|1﹣3|+|5﹣4|＝2+1＝3；
（2）①设B点的坐标为（0，b），∵A（﹣2，0），B（0，b），点A与点B的“雅实距离”为5，
∴|﹣2﹣0|+|0﹣b|＝5，整理得，2+|b|＝5，解得，b＝±3，∴B点的坐标为（0，3）或（0，﹣3）；
②点A与点B的“雅实距离”为|﹣2﹣0|+|0﹣b|＝2+|b|，∵|b|≥0，∴|b|+2≥2，即点A与点B的“雅实距离”的最小值为2；
（3）∵点C（m，2m+3），D（1，8），∴点C与点D的“雅实距离”为|m﹣1|+|2m+3﹣8|＝|m﹣1|+|2m﹣5|，当m﹣1＜0，即m＜1时，原式化为：1﹣m+5﹣2m＝6﹣3m＞3，当m﹣1≥0，2m﹣5≤0，1≤m≤时，原式化为：m﹣1+5﹣2m＝4﹣m，当m＝时，4﹣m最小，最小值为，
当2m﹣5＞0，即m＞时，原式化为：m﹣1+2m﹣5＝3m﹣6＞，
综上所述，当m＝时，点C与点D的“雅实距离”的最小，最小值为，此时点C的坐标为（，8）．
13.（中雅）如图，对于平面直角坐标系中的任意两点A，B给出如下定义：过点A作直线m⊥x轴，过点B作直线n⊥y轴，直线m，n交于点C，我们把BC叫做A，B两点之间的水平宽，记作d1（A，B），即d1（A，B）＝|xA﹣xB|，把AC叫做A，B两点之间的铅垂高，记作d2（A，B），即d2（A，B）＝|yA﹣yB|．
特别地，当AB⊥x轴时，规定A，B两点之间的水平宽为0，即d1（A，B）＝0，A，B两点之间的铅垂高为线段AB的长，即d2（A，B）＝|yA﹣yB|；
当AB⊥y轴时，规定A，B两点之间的水平宽为线段AB的长，即d1（A，B）＝|xA﹣xB|，A，B两点之间的铅垂高为0，即d2（A，B）＝0；
（1）已知O为坐标原点，点P（2，﹣1），则d1（O，P）＝ 2 ，d2（O，P）＝ 1 ．
（2）已知点Q（3t，﹣2t+2）．
①若点D（0，2），d1（Q，D）+d2（Q，D）＝5，求t的值；
②若点D（﹣2t，3t），直接写出d1（Q，D）+d2（Q，D）的最小值．
【解答】解：（1）由题意，d1（O，P）＝|2﹣0|＝2，d2（O，P）＝|0﹣（﹣1）|＝1，
（2）①由题意：|3t|+||2t|＝5，当t＞0时，t＝1，当t＜0时，t＝﹣1，综上所述，t的值为±1．
②由题意，d1（Q，D）+d2（Q，D）＝|5t|+|5t﹣2|，当t≤0时，d1（Q，D）+d2（Q，D）＝|5t|+|5t﹣2|＝2﹣10t，t＝0时，有最小值，最小值为2，当0＜t＜时，d1（Q，D）+d2（Q，D）＝|5t|+|5t﹣2|＝5t+2﹣5t＝2，当t≥时，d1（Q，D）+d2（Q，D）＝|5t|+|5t﹣2|＝10t﹣2，t＝时，有最小值，最小值为2，
综上所述，d1（Q，D）+d2（Q，D）的最小值为2．
专题12 《平面直角坐标系》压轴题真题分类（解析版）
第一类：坐标系中与动点有关的面积问题
1.（雅礼）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣a，2），B（a，b），且a，b满足关系式：b＝+6．
（1）求a，b的值；
（2）如图1，AB与y轴交于点C，连接OA，OB，求三角形BOC的面积及C点坐标；
（3）将线段AB向右平移8个单位得到A1B1，如图2，若点D（m，n）是线段A1B1上的动点，求m，n之间满足的数量关系．
【解答】解：（1）∵b＝+6，∴，∴a＝5，b＝6．
（2）设C（0，m）．由题意，A（﹣5，2），B（5，6），∴S△AOB＝10×6﹣×2×5﹣×5×6﹣×4×10＝60﹣5﹣15﹣20＝20，∴•m•[5﹣（﹣5）]＝20，∴m＝4，∴C（0，4），∴S△BOC＝×4×5＝10．
（3）如图2中，过点A1作A1E⊥x轴于E，过点B1作B1F⊥x轴于F，过点A1作A1G⊥B1F于G，连接DG．由平移的性质可知，A1（3，2），B1（13，6），∵＝+，
∴×10×4＝×10×（n﹣2）+×4×（13﹣m），∴n＝m+．
2．（青竹湖）如图所示，在平面直角坐标系中，如图①，将线段AB平移至线段CD，点A在x轴的负半轴，点C在y轴的正半轴上，连接AC、BD．
（1）若A（﹣3，0）、B（﹣2，﹣2），C（0，2），求点D的坐标；
（2）已知A（﹣3，0）、B（﹣2，﹣2），点C（0，m）在y轴的正半轴上，点D在第一象限内，且S△ACO
＝5，求点C、D的坐标；
（3）如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点M（2，0），两个动点E（a，2a+1）、F（b，﹣2b+3），请你探索是否存在以两个动点E、F为端点的线段EF平行于线段OM且等于线段OM．若存在，求以点O、M、E、F为顶点的四边形的面积；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设D（x，y），∵将线段AB平移至线段CD，A（﹣3，0）、B（﹣2，﹣2），C（0，2），
∴x﹣0＝﹣2﹣（﹣3），y﹣2＝﹣2﹣0，∴x＝1，y＝0，∴D（1，0）；
（2）如图1，∵A（﹣3，0），点C（0，m）在y轴的正半轴上，∴OA＝3，OC＝m，
∵S△ACO＝5，即OA•OC＝5，∴×3m＝5，解得：m＝，∴点C的坐标为（0，），设D（x，y），∵将线段AB平移至线段CD，∴x﹣0＝﹣2﹣（﹣3），y﹣＝﹣2﹣0，∴x＝1，y＝，∴点D的坐标为（1，）；
（3）∵EF∥OM，EF＝OM，O（0，0），M（2，0），∴点E与F的纵坐标相等，横坐标的差的绝对值为2，即2a+1＝﹣2b+3，|a﹣b|＝2，解得：a＝﹣，b＝或a＝，b＝﹣，
∴点E的坐标为（﹣，0），F的坐标为（，0）或点E的坐标为（，4），F的坐标为（﹣，4），
当E（﹣，0），F（，0）时，O、M、E、F四点均在x轴上，不能构成平行四边形，舍去；
∴E（，4），F（﹣，4）；∴S▱OMEF＝2×4＝8．
3.（湘一、一中双语联考）在平面直角坐标系中，点B（m，n）在第一象限，m、n均为整数，且满足．
（1）求点B的坐标；
（2）将线段OB向下平移a个单位后得到线段O′B′，过点B′作B′C⊥y轴于点C，若3CO＝2CO′，求a的值；
（3）过点B作与y轴平行的直线BM，点D在x轴上，点E在BM上，点D从O点出发以每秒钟3个单位长度的速度沿x轴向右运动，同时点E从B点出发以每秒钟2个单位长度的速度沿BM向下运动，在点D、E运动的过程中，若直线OE、BD相交于点G，且5≤S△OGB≤10，则点G的横坐标xG的取值范围是 ．
【解答】解：（1）由题意得：，m为整数，解得：m＝3或2或1，将m值代入n的等式，
解得：m＝3，n＝2，即点B的坐标为（3，2），
（2）平移后各点坐标如下：B′（3，2﹣a）、O′（0，﹣a）c（0，2﹣a），CO＝a﹣2，CO'＝2，所以3（a﹣2）＝±2×2，所以a＝或；
（3）①点G不可能在△OBH内，若在△OBH内，则 S△OGB＜S△OBH＝1/2×3×2＝3＜5；
②G点位置在△OBH外部时，当点G作y轴右侧时，
过点G分别作x、y轴的垂线于点K、N，设GN＝c，ON＝d，运动时间为t，
S△OGB＝S梯形BFNG﹣S△OBF﹣S△OGN＝（3+c）（2+d）﹣3﹣cd＝d+c…①，
S△OGB＝BE×NG＝×2tc＝tc…②，S△OGB＝×OD×FN＝×3t×（d+2）＝td+3t…③，
联立①②③并解得：c＝S△OGB+，∵5≤S△OGB≤10，解得：4≤c≤故答案为：4≤xG≤；
当点G作y轴左侧时，同理可得：﹣≤xG≤﹣1；故答案为：4≤xG≤或﹣≤xG≤﹣1．
第2类：坐标系中与动点有关的角度问题
4. （中雅）如图所示，A（1，0）、点B在y轴上，将三角形OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC，且点C的坐标为（﹣3，2）．
（1）直接写出点E的坐标 ；
（2）在四边形ABCD中，点P从点B出发，沿“BC→CD”移动．若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题：
①当t＝ 秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；
②求点P在运动过程中的坐标，（用含t的式子表示，写出过程）；
③当3＜t＜5时，设∠CBP＝x°，∠PAD＝y°，∠BPA＝z°，用含x，y的式子表示z＝ ．
【解答】解：（1）根据题意，可得三角形OAB沿x轴负方向平移3个单位得到三角形DEC，
∵点A的坐标是（1，0），∴点E的坐标是（﹣2，0）；故答案为：（﹣2，0）；
（2）①∵点C的坐标为（﹣3，2）∴BC＝3，CD＝2，∵点P的横坐标与纵坐标互为相反数；
∴点P在线段BC上，∴PB＝CD，即t＝2；∴当t＝2秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；
故答案为：2；
②当点P在线段BC上时，∵BC∥x轴，且点B（0，2），∴点P的坐标（﹣t，2），当点P在线段CD上时，∵BC＝3，CD＝2，∴点P的纵坐标为：5﹣t，∵C（﹣3，2），∴点P的坐标（﹣3，5﹣t）；
③能确定，当3＜t＜5时，∵BC＝3，∴点P在CD上，如图，过P作PF∥BC交AB于F，
则PF∥AD，∴∠BPF＝∠CBP＝x°，∠APF＝∠DAP＝y°，∴∠BPA＝∠BPF+∠APF＝x°+y°＝z°，
∴z＝x+y，故答案为x+y．
5．（广益）在直角坐标系中，点O为坐标原点，A（1，1），B（1，3），将线段AB平移到直线AB的右边得到线段CD（点C与点A对应，点D与点B对应），点D的坐标为（m，n），且m＞1．
（1）如图1，当点C坐标为（2，0）时，请求出三角形BCD的面积；
（2）如图2，点E是线段CD延长线上的点，∠BDE的平分线DF交射线AB于点F．试问：的值是否会改变，若不变，请求其值；若改变，请说明理由．
（3）如图3，线段CD运动的过程中，在（2）的条件下，n＝4．
①当m＝4时，在直线AB上点P，满足三角形PBC的面积等于三角形CDF的面积，请求出点P的坐标；
②若点Q在x轴上，满足三角形QBC的面积等于三角形CDF的面积的2倍，请直接写出点Q的坐标．（用含m的式子表示）
【解答】（1）解：如图1中，∵C（2，0），D（2，2），B（1，3），∴S△BCD＝×2×1＝1．
（1） 不会发生变化．证明：如图2中，∵线段AB平移得到线段CD（点C与点A对应，点D与点B对应），∴AB∥CD，AC∥BD．∴∠AFD＝∠FDE，∠C＝∠BDE．∵DF是∠BDE的角平分线，∴∠BDE＝2∠FDE．∴∠BDE＝2∠AFD．∴∠C＝2∠AFD，∴＝2．
（3）解：①如图3中，设P（1，m）．由题意 •|m﹣3|•3＝×2×3，解得m＝5或1，∴P1（1，5），P2（1，1）；②如图3﹣1中，在BA的延长线上取一点G（1，﹣1），连接CG、CB、CF．
易证S△BCG＝2S△DCF，过点G作GQ∥BC交x轴于Q，此时S△QBC＝S△GBC＝2S△DCF，∵B（1，3），C（m，2），∴直线BC的解析式为y＝x+，∴直线QG的解析式为y＝x+，令y＝0，得到x＝2﹣m，∴Q（2﹣m，0），在射线DE取K（m，6），则S△KBC＝2S△DCF，过点K作BC的平行线交x轴于Q′，此时S△Q′BC＝2S△DCF，由直线KQ′的解析式为：y＝x+，令y＝0，得到x＝7m﹣6，∴Q′（7m﹣6，0）．综上所述，满足条件的点P坐标为（2﹣m，0）或（7m﹣6，0）．
6.（青竹湖）在平面直角坐标系中，、、，其中、、满足关系
.
（1）如图1，求的面积；
（2）如图2，在负半轴上有一点，满足，的角平分线与的角平分线相交于点，点是延长线上一点，且，求的值；
（3）如图3，若将线段向上平移个单位长度，点为轴上一点，点为第一象限内一动点，连、、，若的面积等于由、、、四条线段围成的图形的面积，求点的坐标（用含的式子表示）.
【解答】解：（1）∵+|a﹣b+4|+（c﹣5）2＝0．∴，解得：，
∴A（﹣2，0），B（2，4），C（5，0），∴△ABC的面积＝＝＝14；
（2）如图2，∵DB⊥BC，
∴∠DBC＝90°，∴∠BDC+∠BCD＝90°，∵DP平分∠BDC，PC平分∠BCD，∴∠PDC＝∠BDC，∠PCD＝∠BCD，∴∠PDC+∠PCD＝（∠BDC+∠BCD）＝45°，∴∠EPD＝∠PDC+∠PCD＝45°，
∵∠EBD＝∠EPD＝45°，∠EMB＝∠DMP，∴∠BEC＝∠BDP，∴＝＝；
（3）如图3，平移后的点A（﹣2，1），B（2，5），
将四边形ABFC拓展成长方形HDCM，则S四边形ABFC＝S长方形HDCM﹣S△ABH﹣S△ADC﹣S△BFM，
＝7×5﹣×（5+2）×1﹣，＝16+n，设G（x，0），分两种情况：
①当点G在x轴的正半轴上时，如图3，延长BA交x轴于点R，同理得：S△ABG＝5（x+2）﹣﹣﹣＝2x+6，∵S△ABG＝S四边形ABFC，∴2x+6＝16+n，x＝5+n，
∴G（5+n，0）
②当点G在x轴的负半轴上时，如图4，同理作长方形MGNB，过A作AQ⊥NB于Q，
∴S△ABG＝5（2﹣x）﹣﹣＝﹣2x﹣6，
∵S△ABG＝S四边形ABFC，∴﹣2x﹣6＝16+n，x＝﹣11﹣n，∴G（﹣11﹣n，0）
综上，点G的坐标为：（5+n，0）或（﹣11﹣n，0）．
7.（一中）在平面直角坐标系中，A（a，0），C（0，c）且满足：（a+6）2+＝0，长方形ABCO在坐标系中（如图）点O为坐标系的原点．
（1）求点B的坐标．
（2）如图1，若点M从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动（不超过点O），点N从原点O出发，以1个单位/秒的速度向下运动（不超过点C），设M、N两点同时出发，在它们运动的过程中，四边形MBNO的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化的范围．
（3）如图2，E为x轴负半轴上一点，且∠CBE＝∠CEB，F是x轴正半轴上一动点，∠ECF的平分线CD交BE的延长线于点D，在点F运动的过程中，请探究∠CFE与∠D的数量关系并说明理由．（注：三角形三个内角的和等于180°）
【解答】解：（1）∵（a+6）2+＝0，∴a＝﹣6，c＝﹣3，∴A（﹣6，0），C（0，﹣3），
∵四边形OABC是长方形，∴AO∥BC，AB∥OC，AB＝OC＝3，AO＝BC＝6，∴B（﹣6，﹣3）；
（2）四边形MBNO的面积不变．设M、N同时出发的时间为t，
则S四边形MBNO＝S长方形OABC﹣S△ABM﹣S△BCN＝18﹣×2t×3﹣×6×（3﹣t）＝9．与时间无关．
∴在运动过程中面积不变．是定值9；
（3）∠CFE＝2∠D．理由如下：如图
∵∠CBE＝∠CEB，∴∠ECB＝180°﹣2∠BEC，CD平分∠ECF，∴∠DCE＝∠DCF，
∵AF∥BC，∴∠CFE＝180°﹣∠DCF﹣∠DCE﹣∠BCE＝180°﹣2∠DCE﹣（180°﹣2∠BEC），
∴∠CFE＝2∠BEC﹣2∠DCE，∵∠BEC＝∠D+∠DCE，∴∠CFE＝2（∠D+∠DCE）﹣2∠DCE，
∴∠CFE＝2∠D．
8.（中雅培粹）在平面直角坐标系中，，且满足：，长方形在坐标系中（如图），点为坐标系的原点．
（1）求点的坐标．
（2）如图1，若点从点出发，以2个单位/秒的速度向右运动（不超过点），点从原点出发，以1个单位/秒的速度向下运动（不超过点），设、两点同时出发，在它们运动的过程中，四边形的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化的范围．
（3）如图2，为轴负半轴上一点，且，是轴正半轴上一动点，的平分线交的延长线于点，在点运动的过程中，请探究与的数量关系，并说明理由。
【解答】解：（1）∵（a+6）2+＝0，∴a＝﹣6，c＝﹣3，∴A（﹣6，0），C（0，﹣3），
∵四边形OABC是长方形，∴AO∥BC，AB∥OC，AB＝OC＝3，AO＝BC＝6，∴B（﹣6，﹣3）；
（2）四边形MBNO的面积不变．设M、N同时出发的时间为t，
则S四边形MBNO＝S长方形OABC﹣S△ABM﹣S△BCN＝18﹣×2t×3﹣×6×（3﹣t）＝9．与时间无关．
∴在运动过程中面积不变．是定值9；
（3）∠CFE＝2∠D．理由如下：如图
∵∠CBE＝∠CEB，∴∠ECB＝180°﹣2∠BEC，∵CD平分∠ECF，∴∠DCE＝∠DCF，∵AF∥BC，
∴∠CFE＝180°﹣∠DCF﹣∠DCE﹣∠BCE＝180°﹣2∠DCE﹣（180°﹣2∠BEC），∴∠CFE＝2∠BEC﹣2∠DCE，∵∠BEC＝∠D+∠DCE，∴∠CFE＝2（∠D+∠DCE）﹣2∠DCE，∴∠CFE＝2∠D．
9.（明德）在平面直角坐标系中，已知点,,, 且满足, 线段交轴于点,点是轴正半轴上的一点．
(1)求出点的坐标；
(2)如图2,若，，且分别平分，，求的度数（用含的代数式表示）
(3)如图3,坐标轴上是否存在一点，使得的面积和的面积相等，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由.
图3
图2
图1
【解答】解：（1）∵+（a﹣b+6）2＝0，∴a+b＝0，a﹣b+6＝0，∴a＝﹣3，b＝3，∴A（﹣3，0），B（3，3）；
（2）如图2，过点M作MN∥DB，交y轴于点N，
∴∠DMN＝∠BDM，又∵DB∥AC，∴MN∥AC，∴∠AMN＝∠MAC，∵DB∥AC，∠DOC＝90°，
∴∠BDO＝90°，又∵AM，DM分别平分∠CAB，∠ODB，∠BAC＝a，∴∠MAC＝a，∠BDM＝45°，
∴∠AMN＝a，∠DMN＝45°，∴∠AMD＝∠AMN+∠DMN＝45°+a；
（3）存在．连接OB，如图3，
设F（0，t），∵S△AOF+S△BOF＝S△AOB，∴•3•t+•t•3＝×3×3，解得t＝，∴F点坐标为（0，），
△ABC的面积＝×7×3＝，当P点在y轴上时，设P（0，y），∵S△ABP＝S△APF+S△BPF，
∴•|y﹣|•3+•|y﹣|•3＝，解得y＝5或y＝﹣2，∴此时P点坐标为（0，5）或（0，﹣2）；
当P点在x轴上时，设P（x，0），则•|x+3|•3＝，解得x＝﹣10或x＝4，∴此时P点坐标为（﹣10，0），综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（0，5）或（0，﹣2）或（﹣10，0）．
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日期：2022/3/16 18:06:52；用户：李昊；邮箱：2819221653@qq.com；学号：3
96810．（中雅）如图，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴，垂足为A，BC⊥y轴，垂足为C，已知A（a，0），C（0，c），其中a，c满足关系式（a﹣6）2+|c+8|＝0，点P从O点出发沿折线OA﹣AB﹣BC的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒．
（1）在运动过程中，当点P到AB的距离为2个单位长度时，t＝ ；
（2）在点P的运动过程中，用含t的代数式表示P点的坐标；
（3）当点P在线段AB上的运动过程中，射线AO上一点E，射线OC上一点F（不与C重合），连接PE，PF，使得∠EPF＝70°，求∠AEP与∠PFC的数量关系．
【解答】解：（1）∵a，c满足关系式（a﹣6）2+（c+8）2＝0，∴a﹣6＝0，C+8＝0，∴a＝6，c＝﹣8，
∴B（6，﹣8）．当点P到AB的距离为2个单位长度时，s＝6﹣2＝4，或s＝6+8+2＝16，∴4÷2＝2s或16÷2＝8s，
（2）①当0≤t≤3时，点P在OA上，此时，P（2t，0）．②当3≤t≤7时，点P在AB上，此时，PA＝2t﹣6，由于点P在第四象限，纵坐标小于0，则P（6，6﹣2t）．③当7≤t≤10时，点P在BC上，此时PB＝2t﹣OA﹣AB＝2t﹣14，PC＝BC﹣PB＝6﹣（2t﹣14）＝20﹣2t．∴P（20﹣2t，﹣8）．
（3）当点P在线段AB上时，分两种情况：
①如图3中，结论：∠PEA+∠PFC＝160°，理由如下：
连接OP，∵∠PFC＝∠FPO+∠FOP，∠AEP＝∠EOP+∠EPO，
∴∠PEA+∠PFC＝∠FPO+∠FOP+∠EOP+∠EPO＝∠AOF+∠EPF＝90°+70°＝160°；
②如图4中，结论：∠PFC﹣∠AEP＝20°，理由如下：设PM交OC于G，
∵∠AEP+∠EGO＝90°，∠EGO＝∠PGF＝110°﹣∠PFC，∴∠AEP+110°﹣∠PFC＝90°，
∴∠PFC﹣∠AEP＝20°，综上所述，∠PFC+∠PEA＝160°或∠PFC﹣∠AEP＝20°．
第3类：坐标系中的定义新运算问题
11．（广益）在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（x+ay，ax+y），则称点B是点A的a级亲密点．例如：点A（﹣2，6）的级亲密点为B，即点B的坐标为（1，5）．
（1）①已知点C（﹣1，5）的3级亲密点是点D，则点D的坐标为 ．
②已知点P的2级亲密点是点Q（4，8），则点P的坐标为 ．
（2）已知点M（m﹣1，2m）的﹣3级亲密点M1位于y轴上，求点M1的坐标．
（3）若点E在x轴上，点E不与原点重合，点E的a级亲密点为点F，且EF的长度为OE长度的倍，求a的值．
【解答】解：（1）①∵点C（﹣1，5）的3级亲密点是点D，∴D（﹣1+3×5，3×（﹣1）+5），
即D（14，2），
②设点P的坐标为（x，y），依题意得，解得，点P的坐标为（4，0），
（2）依题意得m﹣1﹣3×2m＝0，解得m＝﹣，∴﹣3（m﹣1）+2m＝﹣m+3＝+3＝，∴M1（0，），
（3）设点E的坐标为（x，0），则点E的a级亲密点为点F为（x，ax），∴EF＝|ax|，∵EF的长度为OE长度的倍，∴|ax|＝|x|，∴a＝或﹣．
12.（雅礼）在平面直角坐标系中，规定：对于任意两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2）的“雅实距离”记为：雅P1P2＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．
（1）若P1（1，5），P2（3，4）．求点P1，P2的“雅实距离”雅P1P2的值；
（2）已知A（﹣2，0），B为y轴上的动点；
①若点A与点B的“雅实距离”为5，求B点的坐标；
②求点A与点B的“雅实距离”的最小值；
（3）已知点C（m，2m+3），D（1，8），求点C与点D的“雅实距离”的最小值及取最小值时C点的坐标．
【解答】解：（1）∵P1（1，5），P2（3，4），∴雅P1P2＝|1﹣3|+|5﹣4|＝2+1＝3；
（2）①设B点的坐标为（0，b），∵A（﹣2，0），B（0，b），点A与点B的“雅实距离”为5，
∴|﹣2﹣0|+|0﹣b|＝5，整理得，2+|b|＝5，解得，b＝±3，∴B点的坐标为（0，3）或（0，﹣3）；
②点A与点B的“雅实距离”为|﹣2﹣0|+|0﹣b|＝2+|b|，∵|b|≥0，∴|b|+2≥2，即点A与点B的“雅实距离”的最小值为2；
（3）∵点C（m，2m+3），D（1，8），∴点C与点D的“雅实距离”为|m﹣1|+|2m+3﹣8|＝|m﹣1|+|2m﹣5|，当m﹣1＜0，即m＜1时，原式化为：1﹣m+5﹣2m＝6﹣3m＞3，当m﹣1≥0，2m﹣5≤0，1≤m≤时，原式化为：m﹣1+5﹣2m＝4﹣m，当m＝时，4﹣m最小，最小值为，
当2m﹣5＞0，即m＞时，原式化为：m﹣1+2m﹣5＝3m﹣6＞，
综上所述，当m＝时，点C与点D的“雅实距离”的最小，最小值为，此时点C的坐标为（，8）．
13.（中雅）如图，对于平面直角坐标系中的任意两点A，B给出如下定义：过点A作直线m⊥x轴，过点B作直线n⊥y轴，直线m，n交于点C，我们把BC叫做A，B两点之间的水平宽，记作d1（A，B），即d1（A，B）＝|xA﹣xB|，把AC叫做A，B两点之间的铅垂高，记作d2（A，B），即d2（A，B）＝|yA﹣yB|．
特别地，当AB⊥x轴时，规定A，B两点之间的水平宽为0，即d1（A，B）＝0，A，B两点之间的铅垂高为线段AB的长，即d2（A，B）＝|yA﹣yB|；
当AB⊥y轴时，规定A，B两点之间的水平宽为线段AB的长，即d1（A，B）＝|xA﹣xB|，A，B两点之间的铅垂高为0，即d2（A，B）＝0；
（1）已知O为坐标原点，点P（2，﹣1），则d1（O，P）＝ 2 ，d2（O，P）＝ 1 ．
（2）已知点Q（3t，﹣2t+2）．
①若点D（0，2），d1（Q，D）+d2（Q，D）＝5，求t的值；
②若点D（﹣2t，3t），直接写出d1（Q，D）+d2（Q，D）的最小值．
【解答】解：（1）由题意，d1（O，P）＝|2﹣0|＝2，d2（O，P）＝|0﹣（﹣1）|＝1，
（2）①由题意：|3t|+||2t|＝5，当t＞0时，t＝1，当t＜0时，t＝﹣1，综上所述，t的值为±1．
②由题意，d1（Q，D）+d2（Q，D）＝|5t|+|5t﹣2|，当t≤0时，d1（Q，D）+d2（Q，D）＝|5t|+|5t﹣2|＝2﹣10t，t＝0时，有最小值，最小值为2，当0＜t＜时，d1（Q，D）+d2（Q，D）＝|5t|+|5t﹣2|＝5t+2﹣5t＝2，当t≥时，d1（Q，D）+d2（Q，D）＝|5t|+|5t﹣2|＝10t﹣2，t＝时，有最小值，最小值为2，
综上所述，d1（Q，D）+d2（Q，D）的最小值为2．
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