2021-2022学年四川大学附中八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年四川大学附中八年级（下）期末数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 式子有意义的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在中，以两直角边为边长的正方形面积如图所示，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

4. 已知一组数据，，，，的平均数是，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5. 若一次函数的图象平移后经过点，则平移的方法是(    )

A. 向上平移个单位长度 B. 向上平移个单位长度
C. 向下平移个单位长度 D. 向下平移个单位长度

6. 下列各式正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是，若输入的值是，则输出的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，，，点为上一点，，于点，点为的中点，连接，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，函数的图象分别与轴，轴交于，两点，点在第一象限，，且，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在菱形中，，分别是边和的中点，于点，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 计算：______．
12. 如图所示，，，则当______时，四边形是平行四边形．

13. 如图所示是根据太原市月份一天六个整点时的气温绘制成的统计图，则这六个整点时气温的中位数是______

14. 如图，在平行四边形中，，，，，则两平行线与间的距离是______．

15. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，点，，，，都在格点上，连接，，，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）

16. 在同一平面直角坐标系中，关于轴对称的两点，分别在一次函数与的图象上，求点的坐标．
17. 如图，在▱中，，，求证：▱是矩形．

18. 八年级班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度，测得如下数据：
    测得的长度为米：注：
    根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；
    牵线放风筝的松松身高米．
    求风筝的高度．
    若松松同学想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？

19. 某通讯公司为了进一步提高服务质量，对所属的甲、乙两个线路维修队服务满意度进行了电话回访抽查．如图所示为被抽查用户对两个队服务满意程度以下称：用户满意度的调查，分为很不满意、不满意、较满意、很满意四个等级，其分数依次记为分、分、分、分．
    甲队的用户满意度分数的众数为______分，乙队的用户满意度分数的中位数为______分；
    分别求出甲、乙两队的用户满意度分数的平均值精确到；
    请你根据所学的统计知识，判断哪个队的用户满意度较高，并简要说明理由．
     

20. 小南一家到某度假村度假．小南和妈妈坐公交车先出发，爸爸自驾车沿着相同的道路后出发．爸爸到达度假村后，发现忘了东西在家里，于是立即返回家里取，取到东西后又马上驾车前往度假村取东西的时间忽略不计如下图是他们离家的距离与小南离家的时间的关系图．请根据图回答下列问题：
    
    图中的自变量是______，因变量是______，小南家到该度假村的距离是______．
    小南出发______小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为______，图中点表示___________________________________________．
    小南从家到度假村的路途中，当他与爸爸相遇时，离家的距离约是______．
21. 如图，在四边形中，，，，点是上一点，连接交于点，连接
    求证：四边形是菱形；
    试探究满足什么条件时，，并说明理由．

22. 如图，某手机专卖店经销甲、乙两种品牌的老年手机，这两种手机的进价和售价如表所示：

商场原计划购进甲种手机部，乙种手机部；通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量．已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润．毛利润售价进价销售量

23. 综合与探究
    如图，正方形的边长为，点为坐标原点，边，分别在轴，轴上，点是的中点，点是线段上一点，如果将沿直线对折，使点的对应点恰好落在所在的直线上．
    若点是正方形的顶点，即当点在点时，点的位置是点______，所在的直线是______；当点在点时，点的位置是点______，所在直线的函数解析式是______．
    若点不是正方形的顶点，用你所学的数学知识求所在直线的函数解析式．
    在的情况下，轴上是否存在一点，使的周长有最小值？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据二次根式和分式有意义的条件可得，再解即可．
此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式分母不为零．
 

2.【答案】 

【解析】解：，是斜边上的中线，
，
，
．
故选：．
根据直角三角形斜边上中线定理得出，求出，根据三角形的外角性质求出求出即可．
本题考查了对三角形的外角性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质等知识点的理解和运用，能求出和的度数是解此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：两个正方形的面积为和，
，
则负值舍去，
故选：．
根据勾股定理可知：以斜边为边长的正方形的面积等于以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和．
本题考查勾股定理的实际应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

4.【答案】 

【解析】解：一组数据，，，，的平均数是，
另一组数据，，，，的平均数是．
一组数据，，，，的方差是，
另一组数据，，，，的方差是．
故选：．
根据平均数和方差的定义解答即可．
此题考查了方差的特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，若数据都加上一个数或减去一个数时，方差不变，即数据的波动情况不变．
 

5.【答案】 

【解析】解：设平移后的函数表达式为，
将代入，解得．
函数解析式为，
，
一次函数的图象沿轴向下平移个单位长度得到，
故选：．
设平移后的函数表达式为，把代入求出的值即可得出结论．
本题主要考查了一次函数图象与几何变换，要注意利用一次函数的特点，求出未知数的值从而求得其解析式，求直线平移后的解析式时要注意平移时的值不变．
 

6.【答案】 

【解析】解：，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D正确，符合题意；
故选：．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项是正确的．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：若输入的值是，则输出的值是，
，
解得，
当时，，
故选：．
依据输入的值是，则输出的值是，即可得到的值，进而得出当输入的值是时，输出的值．
本题主要考查了函数值，当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
，又，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质求出，根据三角形中位线定理解答．
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，证明≌是解答此题的关键．
过点作轴于，如图，先利用一次函数图象上点的坐标特征确定，，再证明≌，得到，，则点坐标可求．
【解答】
解：过点作轴于，如图．

的图象分别与轴、轴交于，两点，
当时，，则，
当时，，解得，则．
，
，
，
而，
．
在和中
，
≌，
，，
，
点坐标为．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：延长交的延长线于点．
是的中点，
，
四边形是菱形，
，
，
在与中，
，
≌，
，
为中点．
又由题可知，，
，
，
，
，即，
四边形为菱形，
，
，分别为，的中点，
，
，
，
，
故选：．
首先延长交的延长线于点证明≌，可得，根据三角形内角和可是的度数，从而不难求得的度数．
此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式


．
故答案为：．
直接利用积的乘方运算法则将原式变形，进而计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确将原式变形是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：当时，四边形是平行四边形．理由如下：
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
故答案为：．
求出，再由平行四边形的判定即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定，熟记“对角线互相平分的四边形为平行四边形”是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：把这些数从小到大排列为：，，，，，，
最中间的两个数的平均数是，
则这六个整点时气温的中位数是．
故答案为：．
根据中位数的定义解答．将这组数据从小到大重新排列，求出最中间两个数的平均数即可．
此题考查了折线统计图和中位数，掌握中位数的定义是本题的关键，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
在和中，
≌，
，，
，
，
，
过作，
，
，
解得：．
故答案为：．
根据平行四边形的性质可证出≌，然后可得，过作，利用面积可得答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的面积公式：底高，平行四边形对边相等．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图所示：连接，，
则≌，
所以，

，
由勾股定理得：，，
，
是等腰直角三角形，
，
即，
故答案为：．
连接，，求出，根据勾股定理求出、、，根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质得出即可．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理等知识点，能正确画出辅助线是解此题的关键．
 

16.【答案】解：设点的横坐标为，则点的横坐标为，
点在一次函数的图象上，
，
则点在一次函数的图象上，
，
，
解得，
． 

【解析】根据题意点，关于轴对称，则，的横坐标相等，纵坐标互为相反数，设点的横坐标为，点在一次函数的图象上，点在一次函数的图象上，可得点，的坐标，可列代数，即可得出答案．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征及关于，轴对称点的坐标的特征，合理应用坐标的特征进行计算是解决本题的关键．
 

17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
．
，，
，
是直角三角形，，
▱是矩形． 

【解析】由平行四边形的性质得，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，，然后由矩形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质以及勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握矩形的判定，证明是解题的关键．
 

18.【答案】解：在中，
由勾股定理得，，
所以，负值舍去，
所以，米，
答：风筝的高度为米；
如图：

由题意得，，
，
，
，
米，
他应该往回收线米． 

【解析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
根据勾股定理即可得到结论．
 

19.【答案】   

【解析】解：甲维修队的用户满意度分数的众数为；乙维修队的用户满意度分数的中位数为．
故答案是：，；
分，
分．
乙队的用户满意度较高．
理由：虽然众数与中位数都一样，但是从平均数方面看是乙队高，综上，乙队用户满意度较高．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据；
根据平均数的公式就可以求解；
求出两个维修队的满意度，进行比较就可以．
此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是理解平均数、众数和中位数的意义．熟悉条形图的应用．
 

20.【答案】解：时间；距离；；
；；小南出发小时后，离度假村的距离还有；
或． 

【解析】

【分析】
本题考查了常量与变量、利用图象获取正确信息是解题关键．
直接利用常量与变量的定义得出答案；
利用图象可知爸爸晚出发小时，以及当爸爸第一次到达度假村后，小南离度假村的距离；
利用图象得出交点的位置进而得出答案．
【解答】
解：自变量是时间，因变量是距离；小南家到该度假村的距离是．
故答案为：时间；距离；；
小南出发小时后爸爸驾车出发，爸爸驾车的平均速度为，图中点表示小南出发小时后，离度假村的距离为；
故答案为：；；小南出发小时后，离度假村的距离为；
由图可知，小南从家到度假村的路途中，当他与他爸爸相遇时，离家的距离约是或．
故答案为：或．  

21.【答案】证明：在和中，
，
≌，
．
，
，
，
．
，，
．
四边形是菱形．
解：当时，，理由如下：
由知四边形为菱形，
．
在和中，
，
≌．
．
，
．
，
． 

【解析】证≌，得再证，则，然后证，即可得出结论．
证≌得再由直角三角形的性质即可得出结论．
本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

22.【答案】解：设甲种手机减少部，则乙种手机增加部．
由题意，
解得，
设全部销售后获得的毛利润为元．
由题意，
，
随的增大而增大，
时，．
答：当该商场购进甲种手机部，乙种手机部时，全部销售后获得的毛利润最大，最大利润为元． 

【解析】设甲种手机减少部，则乙种手机增加部．首先列出不等式求出的取值范围，再构建一次函数，利用一次函数的性质解决最值问题．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是学会构建一次函数，利用一次函数的性质解决最值问题．
 

23.【答案】  轴     

【解析】解：：由轴对称的性质可得，若点是端点，即当点在点时，点的位置关系是点，
所在的直线是轴；
当点在点时，
，
点的位置关系是点，
所在的直线表达式是．
故答案为：；轴；；．
如图，连接．

正方形的边长为，点是的中点，
，．
根据勾股定理，得．
由折叠的性质可知，，．
．
根据勾股定理，得．
设点，则，，，
．
根据勾股定理，得，
即，
解得，
点的坐标为，
经过原点，
设所在直线的函数解析式为．
将代入，
得，
解得．
所在直线的函数解析式是．
存在．若使的周长有最小值，即最小．
点关于轴的对称点，
设直线的函数解析式为．
将点，点，
得，
解得，
直线的函数解析式为，
当时，，
点的坐标为．
由轴对称的性质可得出结论；
连接，求出，设点，，，可得出，解方程可得解求出点的坐标即可得出答案；
可得出点关于轴的对称点是，求出直线的函数表达式为，则答案可求出．
本题是一次函数综合题，考查了轴对称的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理，最短路径，正方形的性质．解题关键是求线段和最小值问题，其基本解决思路是根据对称转化为两点之间的距离的问题．