2021-2022学年广东省广州五中附中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省广州五中附中八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 在平行四边形中，，，则平行四边形的周长为

A.  B.  C.  D.

2. 下列式子中，是最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

3. 数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的位同学拟定的方案，其中正确的是

A. 测量对角线是否互相平分 B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量一组对角是否都为直角 D. 测量三个角是否为直角

4. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

5. 在中，如果三边满足关系，则的直角是

A.  B.  C.  D. 不能确定

6. 若、、满足，则、、为边的三角形面积是

A.  B.
C.  D. 以上答案均不对

7. 下列命题的逆命题是真命题的是

A. 如果两个角是直角，那么它们相等
B. 一个四边形是菱形，则它的四条边都相等
C. 一个四边形是矩形，则它的对角线相等
D. 如果两个实数相等，那么它们的平方相等

8. 如图，圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底面的直径．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则爬行的最短路程为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为
    

A.  B.  C.  D.

10. 已知如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点是对角线，，交的延长线于，连接，若下列结论：；四边形是菱形；；其中正确的是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 代数式有意义的的取值范围是______ ．
12. 如图，在▱中，若，则______．
    
     

13. 如图，正方形的边长是，以点为圆心、对角线长为半径画弧交数轴于点则点所表示的数是______．

14. 矩形的两条对角线的夹角为，两条对角线长之和为，则较短的边长为______．
15. 如图，在中，延长至，使得，过中点作点位于点右侧，且，连接，若，则的长为______．

16. 如图，在长方形中，，，、分别是、的中点，则到的距离是______ ．
     

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 计算：
    ；
    ．
18. 已知：如图，、是平行四边形对角线上的两点，且求证：．

19. 已知，，求的值．
20. 已知实数，，在数轴上的位置如图所示，化简：．
21. 八年级班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度，测得如下数据：
    测得的长度为米：注：
    根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；
    牵线放风筝的松松身高米．
    求风筝的高度．
    若松松同学想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？
    
     

22. 如图，中，，是边上的中线，分别过点，作和的平行线，两线交于点，且交于点，连接．
    求证：四边形是菱形；
    若，，求四边形的面积．

23. 如图，是正方形对角线上一点，，，点，分别是垂足．连接．
    求证：；
    若，，则______，______．
     

24. 在平面直角坐标系中，点在第四象限，，两点关于轴对称，为常数，点在轴正半轴上．
    如图，连接，直接写出的长为______；
    延长至，使，连接．
    如图，若，求线段与线段的关系；
    如图，若，连接点为线段上一点，且，求点的横坐标．

25. 已知矩形，，，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在边上取一点，将沿翻折，点恰好落在边上的点处．
    求线段长；
    如图，点与点重合时，在平面内找一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标；
    如图，将图翻折后的矩形沿轴正半轴向上平移个单位，在平面内找一点，若以、、、为顶点的四边形为菱形，请求出的值并写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
平行四边形的周长为：，
故选：．
根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等可得，，然后再求出周长即可．
此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等．
 

2.【答案】

【解析】解：．，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.是最简二次根式，故本选项符合题意；
C.，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：二次根式含有以下两个条件：被开方数中不含有分母，被开方数中每个因式的指数都小于根指数且为正整数，像这样的二次根式叫最简二次根式．
 

3.【答案】

【解析】解：、对角线是否相互平分，只能判定平行四边形；
B、两组对边是否分别相等，只能判定平行四边形；
C、一组对角是否都为直角，不能判定形状；
D、其中四边形中三个角都为直角，能判定矩形．
故选：．
根据矩形的判定定理分别进行解答即可得出答案．
矩形的判定定理有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
此题考查了矩形的判定，用到的知识点是矩形的判定定理，难度简单．
 

4.【答案】

【解析】解：．无法合并，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.无法合并，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意；
故选：．
直接利用二次根式的乘法运算法则、二次根式的性质以及二次根式的加减运算法则分别计算，进而判断得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】解：，
是直角三角形，是斜边，．
故选：．
根据勾股定理的逆定理即可判断出的形状以及直角．
本题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理，先根据题意判断出三角形的形状是解答此题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：，
，，，
解得，，，
，
以、、为边的三角形为直角三角形，
、、为边的三角形面积为．
故选：．
先根据非负数的性质得到，，，则可求得，，，接着利用勾股定理的逆定理证明以、、为边的三角形为直角三角形，然后根据三角形面积公式计算．
本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．也考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理．
 

7.【答案】

【解析】解：、逆命题为：如果两个角相等，那么他们都是直角，错误，是假命题，不符合题意；
B、逆命题为：如果四边形的四条边相等，那么它是菱形，正确，是真命题，符合题意；
C、逆命题为：如果四边形的对角线相等，那么它是矩形，错误，是假命题，不符合题意；
D、逆命题为：如果两个实数的平方相等，那么它们也相等，错误，是假命题，不符合题意．
故选B．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
 

8.【答案】

【解析】解：如图所示，圆柱体的侧面展开图为：
底面圆周长为，
，
又，
在中，，
蚂蚁爬行的最短路程为，
故选：．
先把圆柱体沿剪开，则的长为圆柱体的底面圆周长的一半，在中，利用勾股定理即可求出的长．
本题考查了平面展开---最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
 

9.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形斜边上的中线性质求得 ．
由菱形的性质得出 ， ， ，则 ，由直角三角形斜边上的中线性质得出 ，再由菱形的面积求出 ，即可得出答案．
【解答】
解： 四边形 是菱形，
， ， ，
，
，
，
，
菱形 的面积 ，
，
；
故选 A ．   

10.【答案】

【解析】解：在平行四边形中，、分别为边、的中点
四边形为平行四边形
故正确
由知四边形为平行四边形
   为边的中点

四边形是菱形故正确
 
为矩形

要使，则
不能证明，即不恒成立
故不正确
由知

为中点


故正确．
故选：．
根据图形及已知条件求解．
由结论推条件，把结论当做已知条件求解．
 

11.【答案】

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件可得，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
 

12.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
．
故答案为：．
由四边形是平行四边形，根据平行四边形的邻角互补即可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
 

13.【答案】

【解析】解：由题意可知，，，
由勾股定理得，，
，
，
数轴上的点表示的数为，
故答案是：．
图中正方形的边长为，则可根据勾股定理求出正方形对角线的长度．以对角线长度为半径作圆与轴交于点，则也为圆的半径，并且等于对角线的长度．
本题主要考查正方形的性质，勾股定理，数轴上的点表示数等内容，是一道比较简单的题目．
 

14.【答案】

【解析】解：如下图所示：矩形，对角线，，
四边形是矩形，
矩形的对角线互相平分且相等，
又，
，
，

所以该矩形较短的一边长为，
故答案为：．
如下图所示：，是该矩形较短的一边，根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，所以有，又因为，所以．
本题主要考查矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，且矩形对角线相交所得角中“大角对大边，小角对小边”．
 

15.【答案】

【解析】解：延长交于，
为的中点，，
为的中点，
即，，
，
，
，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
故答案为：．
延长交于，求出为的中点，进而求出长，得到，根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得出即可．
本题考查了三角形的中位线，平行四边形的性质和判定，灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
、分别是、的中点，
，，
，
的面积矩形的面积的面积的面积的面积

，
作于，如图所示：
则的面积，
，
即到的距离是，
故答案为：．
由矩形的性质得出，，，由已知条件求出、、、的长，根据勾股定理求出，求出的面积，作于，由三角形的面积求出即可．
本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
 

17.【答案】解：原式
；
原式
．

【解析】先根据零指数幂的意义计算，然后把化简后合并即可；
先根据完全平方公式计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则和零指数幂是解决问题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，．
．
在和中，
，
≌．
．

【解析】根据已知条件利用来判定≌，从而得出．
此题考查了学生对平行四边形的性质及全等三角形的判定方法的掌握情况，属于平行四边形的基础知识，应该重点掌握．
 

19.【答案】解：，，





．

【解析】利用完全平方公式，把所求的式子变形为，然后把，的值代入进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
 

20.【答案】解：由数轴得：，，
，


．

【解析】由数轴可得，，从而得，再结合二次根式的化简的方法进行求解即可．
本题主要考查二次根式的化简，数轴，解答的关键是由数轴得出相应的数的范围．
 

21.【答案】解：在中，
由勾股定理得，，
所以，负值舍去，
所以，米，
答：风筝的高度为米；
由题意得，，
，
，
，
他应该往回收线米．

【解析】利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形．
，且．
在中，为边上的中线，
．
．
四边形是平行四边形．
，
．
，
．
平行四边形是菱形；
解：中，为边上的中线，，，
，，
由勾股定理得．
四边形是平行四边形，
，
．

【解析】此题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算，使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题．
欲证明四边形是菱形，需先证明四边形为平行四边形，然后再证明其对角线相互垂直；
根据勾股定理得到的长度，由平行四边形的性质求得的长度，然后由菱形的面积公式：进行解答．
 

23.【答案】 

【解析】证明：连接，
是正方形，
，
，，
四边形是矩形，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
解：，
，
由知≌，
，
，
四边形是正方形，是对角线，
，
，
，
，
，
，
由知，
；
．
故答案为：，．
连接，证四边形是矩形，求出，证≌，推出即可；
先根据≌得出，，再证是等腰直角三角形，求出的长度，再根据直角三角形的性质即可得出结论．
本题考查的是正方形的性质，涉及到勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识点的连接和掌握，能证出是解此题的关键．
 

24.【答案】

【解析】解：由题意，，
，
，
，
，关于轴对称，
，
，
故答案为：；

结论：，．
理由：如图中，连接交轴于点．

，关于轴对称，
，，
，
，
，，
，，
，
，；

如图中，连接交于点，过点作于．

，
，，
，
，
，
关于轴对称，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
≌，
，
点的横坐标为．
利用二次根式的被开方数是非负数，求出，判断出，两点坐标，可得结论；
结论：，如图中，连接交轴于点利用等腰三角形的三线合一的性质以及三角形中位线定理解决问题即可；
如图中，连接交于点，过点作于证明≌，推出，可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

25.【答案】解：四边形是矩形，
，，，
由折叠性质得：，，
，
由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
即：，
解得：；
如图所示：
当为平行四边形的对角线时，，，
点的坐标为：；
当为平行四边形的对角线时，，，
点的坐标为：；
当为平行四边形的对角线时，，，
点的坐标为：；
综上所述，点的坐标为或或；
如图，

当四边形为菱形，
，
矩形平移距离，
即，
设交轴于，如图所示：
，轴，
，
四边形是矩形，
，，
，
点的坐标为．
若四边形是菱形，
，
，
，
，
，
的坐标为，
当四边形是菱形，
，，，
，
点的坐标为，
综上所述：，点的坐标为：或，点的坐标为或，点的坐标为．

【解析】由矩形的性质得，，，由折叠性质得，，则，由勾股定理求出，则在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
分三种情况，当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时，分别去点的坐标即可；
分三种情况讨论，由菱形的性质得，则矩形平移距离，即，设交轴于，证出四边形是矩形，得，，则，即可得出答案．
本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质，坐标与图形性质，平行四边形的性质，勾股定理，折叠变换的性质、平移的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键．