2021-2022学年广西大学附中八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年广西大学附中八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36分）

1. 下列方程是一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 年北京冬奥会在北京，张家口等地召开，在此之前进行了冬奥会会标征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知的半径为，点与点的距离为，则点与的位置关系是(    )

A. 点在圆外 B. 点在圆内 C. 点在圆上 D. 不确定

4. 在平面直角坐标系中，点关于点中心对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，是的外接圆，已知，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 将二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位后，所得图象的函数表达式是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 下列说法中，正确的是(    )

A. 弦是直径 B. 半圆是弧
C. 过圆心的线段是直径 D. 圆心相同半径相同的两个圆是同心圆

8. 如图，将直角三角板绕顶点顺时针旋转到，点恰好落在的延长线上，，，则为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 定义新运算：，例如，则方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 只有一个实数根

10. 往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，水的最大深度为，则圆柱形容器的截面直径为．(    )

A.
B.
C.
D.

11. 已知，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且对称轴为直线，点坐标为则下面的四个结论：
    ；；当时，；若是实数，且，则其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共12分）

13. 抛物线的对称轴是直线______．
14. 如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为______．

15. 函数图象上有两点，，若，则、的大小关系是______．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为          ．

17. 算法宝鉴中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云周一百二十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为平方步，且周长为步，问它的长比宽多了多少步？则这块矩形田地的长比宽多了______步．
18. 图，把置于平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是内切圆的圆心．将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，滚动一次后，圆心为，再滚动一次，圆心为，依此规律滚动，内切圆的圆心的坐标是______．

三、计算题（本大题共1小题，共6分）

19. 计算：．

四、解答题（本大题共7小题，共66分）

20. 解方程：．
21. 如图，在中，，，将绕点按照顺时针方向旋转度后得到，点刚好落在边上．
    求的值；
    若是的中点，判断与的数量关系，并说明理由．

22. 如图，已知是的直径，是半圆上一点不与点，重合．
    用尺规过点作的垂线交于点保留作图痕迹，不写作法；
    若，，求中所作的弦的长．

23. 年月日，冬奥会在北京举行，某公司抓住商机开发研制了两款冬奥会开幕式吉祥物纪念章，深受人们喜爱，投入市场后发现其日销售量套与销售单价元之间的函数图象如图所示要求每套销售价格不能低于每套成本，每套成本元．
    
    试求关于的函数关系式；
    如果物价管理部门规定每套销售利润不能高于每套成本的，则此时每套定价是多少元时，所获得的日利润最大，最大利润为多少元？
24. 阅读材料并解决下列问题：
    材料若一元二次方程的两根为、，则，．
    材料已知实数，满足，，且，求的值．
    解：由题知，是方程的两个不相等的实数根，根据材料，得，，
    ．
    根据上述材料解决下面的问题：
    一元二次方程的两根为，，则______，______．
    已知实数，满足，，且，求的值．
    已知实数，满足，，且，求的值．
25. 综合与探究
    如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点和点，抛物线经过，两点，并且与轴交于另一点点为第四象限抛物线上一动点不与点，重合，过点作轴，垂足为，交直线于点，连接设点的横坐标为．
    求抛物线的解析式；
    当时，求出此时的值；
    点在运动的过程中，的周长是否存在最小值？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．

26. 如图，内接于，为直径，点为半径上一点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，点在线段上，且．
    求证：是的切线；
    连接与相交于点，若，求证：；
    在的条件下，若，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该方程符合一元二次方程定义，故本选项符合题意；
B.该方程未知数的次数为，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.该方程未知数的最高次为，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选：．
利用一元二次方程的定义判断即可．
此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项A、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
点在圆内，
故选：．
根据当时，点在圆内解答．
本题考查的是点与圆的位置关系，关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．
 

4.【答案】 

【解析】解：点与点关于原点中心对称，
点的坐标为：．
故选：．
直接利用关于原点对称点的特点得出答案．
此题主要考查了中心对称，关键是掌握把一个图形绕着某个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得，再根据三角形内角和定理可得答案．
此题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

6.【答案】 

【解析】解：将二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位后，所得图象的函数表达式是，
故选：．
根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象右移减、左移加，上移加、下移减是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了圆的认识，了解有关圆的定义及性质是解答本题的关键，难度不大．
利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】
解：、直径是弦，但弦不一定是直径，故此选项的说法错误；
B、半圆是弧，故此选项的说法正确；
C、过圆心的弦是直径，故此选项的说法错误；
D、圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故此选项的说法错误．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：，，
，
将直角三角板绕顶点顺时针旋转到，
．
点恰好落在的延长线上，
．
故选：．
利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可．
本题主要考查了图形旋转的性质，三角形的内角和定理，平角的意义，利用旋转不变性解答是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：方程化为，
一元二次方程化为一般式为，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先根据新定义得到，再把方程化为一般式为，然后计算根的判别式的值，再根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图所示：

由题意得，于，，
，
，
设半径为，则，
在中，
，解得，
所以，
故选：．
设半径为，则，在中，，解方程可得半径，进而可得直径．
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意构造出直角三角形运用勾股定理是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，，
，，
；
故选：．
配方后根据非负数的性质可得和的值，再代入进行计算即可．
本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：时，，即错；
正确；
对称轴为直线，
，
，，
当时，或错误；
当时，，
时，，
，
时，有最大值，
若是实数，且，
，
，
正确；
故选：．
时，；
由得；
根据对称轴为直线，求出，进而求出的取值范围；
当时，，时，，再根据，时，有最大值，就可进行判断结果．
本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，掌握运用这几个知识点求出与的关系、函数值的大小及对称点，是本题的难点．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
抛物线对称轴为直线，
故答案为：．
由抛物线顶点式求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

14.【答案】 

【解析】解：设、分别是的切点，
是一张三角形的纸片，，是它的内切圆，点是其中的一个切点，，
，则，
故D，，，
．
故答案为：．
利用切线长定理得出，，，，进而得出答案．
此题主要考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，得出是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
此函数的对称轴为：，
，两点都在对称轴左侧，，
对称轴左侧随的增大而减小，
．
故答案为：．
根据二次函数的增减性即可判断、的大小关系．
此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点．

，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
故答案为：．
过点作轴于点证明≌，推出，，可得结论．
本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

17.【答案】 

【解析】解：设长为步，宽为步，
根据题意，得，
解得，舍去．
当时，，
长比宽多：步，
故答案为：．
设长为步，宽为步，根据“一块矩形田地的面积为平方步”可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．
本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，注意长比宽要长．
 

18.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
内切圆的半径，
的坐标为，
将沿轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与轴重合，第一次滚动后圆心为，第二次滚动后圆心为，第三次滚动后圆心为，，
，即，
每滚动次一个循环，
，
第次滚动后，内切圆的圆心的横坐标是，即的横坐标是，
的坐标是．
故答案为：．
由勾股定理得出，得出内切圆的半径，因此的坐标为，由题意得出的坐标，得出规律为每滚动次一个循环，由，即可得出答案．
本题考查了三角形的内切圆与内心、勾股定理、坐标与图形性质等知识；根据题意得出规律是解题的关键．
 

19.【答案】解：


． 

【解析】先去绝对值、计算小括号内的式子和有理数的乘方，然后计算乘除法，最后算加法即可．
本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算法则和运算顺序．
 

20.【答案】解：整理成一般式，得：，
，
则或，
解得，． 

【解析】整理成一般式，再利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

21.【答案】解：，，
，
将绕点按照顺时针方向旋转度后得到，
，
是等边三角形，
；
，理由如下：
由旋转知，，
点是的中点，
，
． 

【解析】由三角形内角和定理知，再根据旋转的性质得，可知是等边三角形，从而得出答案；
利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案．
本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，直线即为所求作．


设交于．
是直径，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据要求作出图形即可．
利用面积法求出，再利用垂径定理可得结论．
本题考查作图复杂作图，圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用面积法求直角三角形斜边上的高．
 

23.【答案】解：设日销售量件与销售单价元的函数关系式是，
点，点在该函数图象上，
，
解得，
即日销售量与销售单价函数关系式是；
由题意可得，设日销售利润为元，
，
该函数的图象开口向下，对称轴为，
物价部门规定其每件的售价不低于成本且利润不高于成本的，
，
当时，取得最大值，
答：当销售单价为元时，日销售利润最大，最大利润为元． 

【解析】根据函数图象中的数据，可以计算出日销售量与销售单价的函数关系式；
根据题意和中的结果，可以得到日销售利润与销售单价的函数关系式，化为顶点式，再根据的取值范围和二次函数的性质，可以求得答案．
本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
 

24.【答案】   

【解析】解：在中，，，，
，．
故答案为：，；

，满足，，，
，可以看作的两个不等的实数根，
，，
；

由题意知与即为方程的两个不等的实数根，
，，
．
中，，，，则，．
由题意，可以看作的两个不等的实数根，由此可得结论；
由题意知与即为方程的两个不等的实数根，由此可得结论．
本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题．
 

25.【答案】解：在中，
当时，；当时，．
，
把，代入中，
得，解得，
抛物线的解析式是．
如图，过点作轴，垂足为．

，
，
．
点，，
，．
，
当时，．
，
解得舍去或；
存在．
点为第四象限抛物线上一动点不与点，重合，
，
在抛物线中，
当时，，
解得，，
点坐标为．
，
．
设的周长为，
则，
的值不变，
当最小，即时，的周长最小．
当时，，
，
．
时，的周长最小． 

【解析】由直线分别与轴、轴交于点和点都在抛物线上，则先求出，坐标，皆可满足由中只有两个未知数，所以代入两点即可求系数、，则解析式可求；
作辅助线，构建等腰直角三角形，证明是等腰直角三角形，根据解析式表示和的坐标，根据列方程可解答；
先确定，为定值，当最小，即时，的周长最小，再由等腰直角三角形三线合一的性质得：，可解答．
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形周长的最小值问题，等腰三角形的性质等知识点；解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题．
 

26.【答案】证明：连接，如图：
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
证明：连接，如图：
，
，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
．
解：为的直径，
，
，，
，
，
，
在和中，

，
，， ，
在和中，，，
，
，
，
设，，
在中，，即，
解得：， 
，
，
，
在中，
， ，
，
，
． 

【解析】连接，由等腰三角形的性质得出，，证出，得出，则可得出结论；
连接，由圆周角定理得出，由等腰三角形的判定可得出结论；
由勾股定理求出，证明，由全等三角形的性质得出，， ，证出，设，，由勾股定理得出，解方程求出，由直角三角形的性质可得出答案．
本题是圆的综合题，考查了切线的判定，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理和全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．