2021-2022学年湖南师大附中博才实验中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南师大附中博才实验中学八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 义务教育课程标准年版首次把学生学会烹饪纳入劳动教育课程，并作出明确规定．某班有七名同学已经学会烹饪的菜品种数依次为：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

4. 如图，在▱中，一定正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 年月日是第三十届“世界水日”，联合国确定本届“世界水日”的主题为“”我市政府积极号召居民节约用水，为了解居民用水情况，在某小区随机抽查了户家庭的月用水量，结果统计如图，则关于这户家庭的月用水量，下列说法正确的是(    )

A. 众数是 B. 中位数是 C. 平均数是 D. 方差是

6. 下列命题正确的是(    )

A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 B. 四条边相等的四边形是矩形
C. 有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形

7. 关于函数，下列结论正确的是(    )

A. 图象与轴交点为 B. 图象经过第一、二、三象限
C. 当时， D. 随的增大而增大

8. 某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．下图描述了他上学的情景，下列说法中正确的是(    )

A. 修车时间为分钟 B. 学校离家的距离为米
C. 到达学校共用时间为分钟 D. 自行车发生故障时离家距离为米

9. 为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共本供学生阅读，其中甲种读本的单价为元本，乙种读本的单价为元本，设购买甲种读本本，则购买乙种读本的费用为(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

10. 已知，，分别是的三条边长，为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”若点在“勾股一次函数”的图象上，且的面积是，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12. 甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击次．已知他们的平均成绩相同，方差分别是，，那么甲、乙两人成绩较为稳定的是______．
13. 如图，利用函数图象可知方程组的解为______．

14. 如图，在平行四边形中，平分，，，则的长为______．

15. 自年以来，教育部相继出台文件，对加强义务教育阶段学生作业、手机、睡眠、读物、体质管理等“五项管理”作出部署．为了解某校学生对“五项管理”的知晓情况，从该校名学生中，随机抽取名学生进行调查，结果显示有名学生知晓，由此，估计该校全体学生中知晓“五项管理”的学生有______人．
16. 如图，矩形的对角线和相交于点，，，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 计算：；
    ．
18. 如图，在中，，已知，且，求的长．

19. 已知一次函数，当时，，当时，．
    求该一次函数的解析式；
    判断点是否在该一次函数的图象上．
20. 为了增强学生的疫情防控意识，我校组织初一学生参加“疫情防控知识”网上测试，从中任取名学生的测试成绩进行统计，考试成绩分的最低分为分，最高分为分，绘制了如下尚不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：
     

填空：______；______．
若把每组中各学生的成绩用这组数据的组中值代替如的组中值为请求出名学生的平均成绩．
若我校初一年级共有名学生，要对成绩为的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等奖，并且一、二、三等奖的人数比例为：：，请你估算初一学生获得一等奖的学生有多少人？

21. 如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点．
    求点与点的坐标；
    若点为轴上一点，且，求点的坐标．

22. 如图，已知点、分别是平行四边形的边、上的点，且．
    求证：四边形是平行四边形；
    若四边形是菱形，且，，求菱形的面积．

23. 某书店准备购进，两种课外读物，已知课外读物每本的进价种比种多元，用元购进种课外读物和用元购进种课外读物的数量相同．
    ，两种课外读物每本进价各是多少元？
    该书店计划用不超过元的资金购进，两种课外读物共本，，两种课外读物的每本售价分别为元和元．若这两种课外读物全部售出，则该书店应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？
24. 我们不妨约定：把“有一组邻边相等”的凸四边形叫做“菠菜四边形”．
    如下：平行四边形，矩形，菱形，正方形，一定是“菠菜四边形”的是______填序号
    如图，四边形为“菠菜四边形”，且，，于点若，求四边形的面积．
    如图，四边形为“菠菜四边形”，且，记四边形，，的面积依次为，，，若求证：；
    在的条件下，延长、交于点，记，，求证：．

25. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，且，以和为邻边作矩形，已知点，点是直线上一动点．
    求的值；
    如图，若，求点的坐标；
    若点为射线上一点，点为坐标平面内任意一点，是否存在以，，，为顶点的四边形是矩形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是最简二次根式，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，，
，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，，
，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，，
，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：．
分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

3.【答案】 

【解析】解：将数据，，，，，，按照从小到大排列是：，，，，，，，
这组数据的众数是，中位数是，
故选：．
先将题目中的数据按照从小到大排列，然后即可得到这组数据的众数和中位数．
本题考查众数和中位数，解答本题的关键是明确众数和中位数的定义，会求一组数据的众数和中位数．
 

4.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
故选：．
根据平行四边形的性质即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边相等的性质是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：这组数据出现了次，最多，所以这组数据的众数为；
这组数据的中位数是：；
这组数据的平均数；
这组数据的方差；
所以四个选项中，、、D错误，B正确．
故选：．
众数是一组数据中出现次数最多的数，据中位数的确定方法，将一组数据按大小顺序排列，位于最中间的两个的平均数或最中间一个数据是中位数，平均数是所有数据的和除以数据的个数，分别根据以上定义可分别求出众数，极差和平均数，然后根据方差的计算公式进行计算求出方差，即可得到答案．
本题考查的是方差的计算，平均数和众数以及中位数的概念，掌握方差的计算公式是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、有一个角是直角的平行四边形是矩形，是真命题；
B、四条边相等的四边形是菱形，是假命题；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，是假命题；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，是假命题；
故选：．
根据矩形的判定方法判断即可．
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，本题熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、当时，，
图象与轴交点为，故本选项错误；
B、，，
图象经过第一、二、四象限，故本选项错误；
C、随的增大而减小，当时，，
当时，，故本选项正确；
D、，
随的增大而减小，故本选项错误；
故选：．
根据一次函数的性质以及图象上点的坐标特征对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数，当，随的增大而增大，函数从左到右逐渐上升；，随的增大而减小，函数从左到右逐渐下降是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、第分钟开始修车，第分钟修车完毕，共用时分钟，原说法错误，故本选项不合题意；
B、学校离家的距离为米，原说法错误，故本选项不合题意；
C、由横轴的时间可得到达学校时共用时间分钟，原说法错误，故本选项不合题意；
D、自行车发生故障时离家距离为米，说法正确，故本选项符合题意；
故选：．
根据横轴表示时间，纵轴表示离家的路程来判断所用的时间及相应的路程即可．
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
 

9.【答案】 

【解析】解：设购买甲种读本本，则购买乙种读本的费用为：元．
故选：．
直接利用乙的单价乙的本书乙的费用，进而得出答案．
此题主要考查了列代数式，正确表示出乙的本书是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：点在“勾股一次函数”的图象上，
，
即，
，
，
，
的面积是，
，
，
，
，
解得舍去负值，
故选：．
由点在“勾股一次函数”的图象上将点坐标代入计算可得，，之间的关系，再根据的面积是，可求解，再由勾股定理计算可求解．
本题主要考查一次函数图象上点的特征，三角形的面积，勾股定理等知识，利用一次函数图象上点的特征求解，，之间的关系式解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：若在实数范围内有意义，
则，
解得：．
故答案为：．
直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
 

12.【答案】甲 

【解析】解：他们的平均成绩相同，方差分别是，，
，
成绩较稳定的是甲．
故答案为：甲．
根据方差的意义可作出判断；方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

13.【答案】 

【解析】解：观察图象可知，与相交于，
可得出方程组的解为，
故答案为：．
观察函数的图象与相交于点，从而求解；
此题主要考查一次函数与二元一次方程组，关键是能根据函数图象的交点解方程组．
 

14.【答案】 

【解析】解：在▱中，，
，，
，，
平分，
，
，
，
故答案为：．
首先由在▱中，，，求得的长，然后由平分，可证．
本题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得是解此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：人，
答：估计该校全体学生中知晓“五项管理”的学生有人，
故答案为：．
根据题意和题目中的数据，可以计算出该校全体学生中知晓“五项管理”的学生的人数．
本题考查用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，计算出相应的人数．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
；
故答案为：
由矩形的性质得出，，，由直角三角形的性质得出，得出即可．
此题考查了矩形的性质、含角的直角三角形的性质．熟练掌握矩形的性质，注意掌握数形结合思想的应用．
 

17.【答案】解：


；


． 

【解析】先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
先算乘法，后算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：设，
，，
，，
在中，，，
，即，
解得：，
． 

【解析】设，则，，利用勾股定理作为相等关系列出方程，解方程求出的值，进而即可求出的长．
本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理作为相等关系列出方程是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：将，；，分别代入得：，
解得，
这个一次函数解析式为；
把代入得，．
点在该一次函数的图象上． 

【解析】将已知两对与的值代入一次函数解析式即可求出与的值，从而求得解析式．
把代入解析式即可判断．
本题考查了用待定系数法求一次函数解析式：把满足条件的两组对应值代入一次函数的解析式，得到关于、的二元一次方程组，再解方程组求出、，从而确定一次函数的解析式．
 

20.【答案】   

【解析】解：由题意可得，，
故，
故答案为：；；
分，
答：这名学生的平均成绩为分；
人，
一等奖：人，
答：估算初一学生获得一等奖的学生有人．
根据“频率”可得的值，进而得出的值；
根据加权平均数的定义计算即可；
利用样本估计总体即可．
本题考查频率分布表、扇形统计图以，加权平均数及用样本估计总体，掌握频率是解决问题的前提．
 

21.【答案】解：直线与轴相交于点，与轴相交于点，
令，则，解得，
点，
令，则，
点；
设点，
，
，
，
，，
点坐标为或． 

【解析】根据坐标轴上点的坐标特征即可求出点，点坐标；
由三角形的面积公式可求解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式，解答此题的关键是熟知一次函数与坐标轴的交点坐标的求法．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，且，
，
，
，
四边形是平行四边形．
解：如图，连接，交于，
四边形是菱形，，
，，，
，
，
菱形的面积． 

【解析】由平行四边形的性质得，且，再证，即可得出结论；
连接，交于，由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，则，然后由菱形面积公式列式计算即可．
本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：设种课外读物每本的进价是元，则种课外读物每本的进价是元，
由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：种课外读物每本的进价是元，种课外读物每本的进价是元；
设购买种课外读物本，则购买种课外读物本，
由题意得，
解得，
设利润为元，，
，
当时，最大为元，
答：书店购进种课外读物本，种课外读物本时获得利润最大，最大利润为元． 

【解析】设种课外读物每本的进价是元，则种课外读物每本的进价是元，根据用元购进种课外读物和用元购进种课外读物的数量相同列分式方程，解出可得结论；
设购买种课外读物本，则购买种课外读物本，根据该书店计划用不超过元的资金购进，两种课外读物共本列出不等式求出的取值范围；再设利润为元，根据总利润两种读物利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求最值．
本题考查了一次函数、分式方程、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的数量关系，列函数解析式或方程，分式方程要注意检验．
 

24.【答案】 

【解析】解：根据菱形和正方形的定义可知，一定是“菠菜四边形”的是菱形和正方形；
故答案为：；
解：如图，过作，交的延长线于，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
≌，
，，
四边形是正方形，
，




．
四边形的面积为．
证明：记、的面积为、，
则，
，
，即，
，
，
即，
，
，
即，
．
由知，，
，
，
，
，即平分．
如图，过点作于点，作于点，
，
：：；
：：；
，
．
根据“菠菜四边形”的定义结合各个特殊四边形的定义可得出结论．
过作，交的延长线于，求出四边形是矩形，根据矩形的性质得出，求出，根据得出≌，根据全等得出，，求出，求出，代入求出即可．
记、的面积为、，则，，根据已知条件可得，进而可得，得出；
由平行线的性质结合等腰三角形的性质可得平分，过点作于点，作于点，则，所以：：；：：；则，由此即可得出结论．
本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的面积，角平分线的性质，对于同底等高的三角形面积相等的推导是解题的关键．
 

25.【答案】解：四边形是矩形，且，
，
，
，
把代入直线中得：
，
解得：；
答：的值是；
过作于，过作轴于，过作于，如图：

由，得直线解析式为，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
≌，
，，
设，，
，，
，，
，，
，
，
将代入得：
，
解得，
；
存在以，，，为顶点的四边形是矩形，理由如下：
由，得直线解析式为，
设，，又，，
若、为对角线，则、的中点重合，且，
，
解得舍去或，
；
若、为对角线，则、的中点重合，且，
，
解得舍去，
这种情况不存在；
若、若对角线，则、的中点重合，且，
，
解得，
，
综上所述，的坐标为：或 

【解析】如图，根据矩形的性质和确定点的坐标为，代入直线中可得的值；
过作于，过作轴于，过作于，证明≌，得，，设，，可得，，将代入得，故E；
设，，又，，分三种情况：根据矩形对角线互相平分且相等列方程，分别解方程组即可．
本题考查一次函数的综合题，设计待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是分类讨论的应用．