广东省广州大学附中2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷（含解析）

广东省广州大学附中2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列二次根式中，与能合并的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算中，正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 下列线段不能组成直角三形的是   

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

4. 函数的自变量的取值范围是

A.  B.  C. 且 D.

5. 如图，点表示的实数是

A.  B.  C.  D.

6. 下列命题正确的是

A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形

7. 小强所在学校离家距离为千米，某天他放学后骑自行车回家，先骑了分钟后，因故停留分钟，再继续骑了分钟到家，下面哪一个图象能大致描述他回家过程中离家的距离千米与所用时间分之间的关系

A.  B.
C.  D.

8. 如图，在中，，，点在上，，，则的长为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在直角坐标系中，将矩形沿对折，使点落在处，已知，，则点的坐标是

A.
B.
C.
D.

10. 如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、给出下列结论：；；；其中正确的是

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共6小题，共18分）

11. 比较大小：______填“”或“”
12. 菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的周长为______．
13. 使成立的条件是______．
14. 已知实数、在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______．
15. 如图，将一副三角板如图所示叠放在一起，若，则阴影部分的面积是______．
    
     

16. 如图，在边长为的菱形中，，是边的中点，是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是______．

三．计算题（本题共1小题，共10分）

17. 计算：．

四．解答题（本题共8小题，共62分）

18. 已知，，求代数式的值：．
19. 在中，，点在上，，，求证：是线段的中点．
    
     

20. 已知是的一次函数，当时，，当时，，求：
    求此一次函数解析式；
    当时，函数的取值范围．
     

21. 如图，平行四边形中，对角线、相交于点，交的延长线于点，．
    求证：四边形是矩形；
    若，，求四边形的面积．
     

22. 如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，，求．
     

23. 如图，在中，，是的一个外角．实践与操作：根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母保留作图痕迹，不写作法．
    作的平分线；作线段的垂直平分线，与交于点，与边交于点．
    连接、，判断四边形的形状并加以证明．

24. 定义：我们把对角线相等的四边形叫做和美四边形．
    请举出一种你所学过的特殊四边形中是和美四边形的例子．
    如图，，，，分别是四边形的边，，，的中点，已知四边形是菱形，求证：四边形是和美四边形；
    如图，四边形是和美四边形，对角线，相交于，，、分别是、的中点，请探索与之间的数量关系，并证明你的结论．

25. 如图，在正方形和正方形中，点，，在同一条直线上，是线段的中点，连接，．
    探究与的位置关系及的值写出结论，不需要证明；
    如图，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，且度．探究与的位置关系及的值，写出你的猜想并加以证明；
    如图，将图中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题中的其他条件不变．你在中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，符合题意．
故选：．
各式化简后，利用同类二次根式定义判断即可．
此题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：、二次根式的加法，实质上是合并同类二次根式，不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B、二次根式相除，等于被开方数相除，故B正确；
C、根号外的也要相乘，等于，故C错误；
D、根据，等于，故D错误．
故选：．
根据二次根式的运算法则分析各个选项．
既要熟悉二次根式的加减乘除运算法则，还要熟悉二次根式化简的一些性质．
 

3.【答案】

【解析】解：、，能组成直角三角形，故本选项错误；
B、，能组成直角三角形，故本选项错误；
C、，能组成直角三角形，故本选项错误；
D、，不能组成直角三角形，故本选项正确．
故选D．
根据勾股理的逆理对个选项进行一析即可．
本题查是勾股定理的逆定理，即如果三角的三边长，，满足，这个三角形就直角形．
 

4.【答案】

【解析】解：根据题意得：且，
解得：．
故选：．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，分母不等于，就可以求解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

5.【答案】

【解析】解：，
点表示的实数是，
故选：．
根据勾股定理求得，于是得到结论．
本题考查了实数与数轴，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形，错误；
B、对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；
C、对角线相等的四边形是矩形，错误；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确．
故选：．
直接利用平行四边形以及菱形、矩形、正方形的判定方法分析得出答案．
此题主要考查了命题与定理，正确把握平行四边形以及菱形、矩形、正方形的判定方法是解题关键．
 

7.【答案】

【解析】解：因为小强家所在学校离家距离为千米，某天他放学后骑自行车回家，骑了分钟后，因故停留分钟，继续骑了分钟到家，所以图象应分为三段，根据最后离家的距离．
故选：．
根据题意分析可得：他回家过程中离家的距离千米与所用时间分之间的关系有个阶段；骑了分钟，距离减小；因故停留分钟，距离不变；继续骑了分钟到家，距离继续减小，直到为．
本题考查了函数的图象，要求正确理解函数图象与实际问题的关系，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．
 

8.【答案】

【解析】解：，，
，
，
在中，
；
．
故选D．
根据，判断出，根据勾股定理求出的长，从而求出的长．
本题主要考查了勾股定理，同时涉及三角形外角的性质，二者结合，是一道好题．
 

9.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查矩形的性质，勾股定理，以及图形对折的特征及点的坐标的求法．
首先利用勾股定理求出 的长，得出 ，根据折叠的性质， ， ，从而求出 ，利用勾股定理求出 、 即可解答．
【解答】
解：在 中，
， ，
，
，
，
由翻折性质知 ， ．
作 ，垂足为 ，如图所示．

在 中， ， ，
，
，
，
点 的坐标是 ．
故选 A ．   

10.【答案】

【解析】解：四边形和四边形都是正方形，
，，，
，
≌，
，
故正确；
≌，
，

，
，
即，
故正确；
连接，

四边形是正方形，
，，
，
，
当时，，
此时，即，
，
，
，
与不一定相等，
故错误；
连接，

，
，，
，
，，
，
四边形和四边形是正方形，
，，，
，，
，
，
故正确；
故选：．
证明≌得，便可判断的正误；
由≌得，进而由三角形的内角和定理证明，便可判断的正误；
连接，得，根据，得，即，由勾股定理得，再由，得与不一定相等，便可判断的正误；
连接，在不同的直角三角形中由勾股定理得便可将与联系起来，进而判断的正误．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，关键是应用全等三角形和勾股定理解决问题．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式的性质和实数的大小比较等知识点，关键是知道 ，题目较好，难度也不大．
根据二次根式的性质求出 ，比较 和 的值即可．
【解答】
解： ，
，
，
故答案为： ．   

12.【答案】

【解析】解：如图所示，菱形中，，，

根据题意得，，
四边形是菱形，
，，
是直角三角形，
，
此菱形的周长为：．
故答案为：．
根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．
本题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键，同学们也要熟练掌握菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．
 

13.【答案】

【解析】解：根据题意得：，
，，
．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件，，即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，掌握，是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：由题意，可得，且，
所以原式

．
故答案为：．
先根据数轴得出，且，进而利用二次根式的性质和绝对值的性质化简得出即可．
此题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，绝对值的性质，正确化简是解题关键．
 

15.【答案】

【解析】解：，，，
．
由题意可知，
，
．
故
故答案为．
由于，那么也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边的长；中，已知斜边及的度数，易求得的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．
本题考查了相似三角形的判定和性质以及解直角三角形，发现是等腰直角三角形，并能根据直角三角形的性质求出直角边的长，是解答此题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：如图所示：过点作，交的延长线于点，

是定值，长度取最小值时，
在上时，
在边长为的菱形中，，为中点，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据题意，在的运动过程中在以为圆心、为直径的圆上的弧上运动，当取最小值时，由两点之间线段最短知此时、、三点共线，得出的位置，进而利用锐角三角函数关系求出的长即可．
本题考查了翻折变换，菱形的性质，等边三角形的性质，折叠的性质，找到当点是上，的长度最小是本题的关键．
 

17.【答案】解：原式
．

【解析】先化简，根据负数的绝对值等于它的相反数去掉绝对值号，任何非数的次幂都等于．
本题考查二次根式的化简，绝对值的性质和零指数幂，考核学生的计算能力，特别注意任何非数的次幂等于，而不是．
 

18.【答案】解：，，
，，，
．

【解析】由已知条件求出，，，将原式化为，把分子分解因式进而代入计算即可得出答案
此题主要考查了二次根式的化简求值，由已知条件求出，，是解题关键．
 

19.【答案】证明：，，，
，
，
即，
，
是线段的中点．

【解析】先根据勾股定理的逆定理求出，再根据等腰三角形的性质得出即可．
本题考查了勾股定理的逆定理和等腰三角形的性质，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，即，那么这个三角形的直角三角形．
 

20.【答案】解：设一次函数解析式为，
根据题意得，
解得：．
则一次函数解折式为；
．
随的增大而减小，
当时，；时，，
时，得到，
则的范围为．

【解析】利用待定系数法即可求得；
根据一次函数的性质和图象上点的坐标特征即可求得．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
 

21.【答案】证明：如图，四边形是平行四边形，
．
又点在的延长线上，
．
又，
四边形是平行四边形，
．
又，
，
平行四边形是矩形；

解：在矩形中，，，
是等边三角形，
，
，
又四边形是平行四边形，
，
，
在中，，
四边形的面积．

【解析】根据已知条件推知四边形是平行四边形，则对边相等：，依据等量代换得到对角线，则平行四边形是矩形；
利用“矩形的对角线相等且相互平分”的性质、等边三角形的判定定理得到是等边三角形，则易求，所以通过勾股定理求得的长度，再利用梯形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，平行四边形的判定与性质，角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：四边形为矩形，
，，，
由折叠的性质得：，，，
，，
，
在中，，，
根据勾股定理得：，
设，，
在中，，，，
根据勾股定理得：，
解得：，
则．

【解析】由矩形，得到两组对边相等，四个角为直角，再由折叠的性质得到三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，，由求出的长，即为的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，设，表示出，在直角三角形中，利用勾股定理求出的值，即可确定出的长．
此题考查了翻折变换折叠问题，勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
 

23.【答案】解：如图，射线，直线即为所求作．

结论：四边形是菱形．
理由：垂直平分线段，
，，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
四边形是菱形．

【解析】根据要求作出图形即可．
根据四边相等的四边形是菱形证明即可．
本题考查作图复杂作图，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

24.【答案】解：矩形的对角线相等，
矩形是和美四边形；
如图，连接、，
，，，分别是四边形的边，，，的中点，
，，
四边形是菱形，
，
，
四边形是和美四边形；
，
证明：如图，连接并延长至，使，连接、、，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
是等边三角形，
，
中，，，
．

【解析】根据矩形的对角线相等解答；
根据三角形的中位线定理得；，，由菱形四边相等可得：，所以四边形是和美四边形；
作辅助线，构建平行四边形，再证明是等边三角形，根据三角形中位线定理得：．
本题考查的是和美四边形的定义、三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质、矩形和菱形的性质，正确理解和美四边形的定义、作辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：线段与的位置关系是；；

猜想：线段与的位置关系是；．
证明：如图，延长交于点，
是线段的中点，
，
由题意可知，
，
，
≌，
，，
四边形是菱形，
，
，
是等腰三角形，
，三线合一
又，
，
；

在中得到的两个结论仍成立．
证明：如图，延长到，使，
连接，，，
是线段的中点，
，
，
≌，
，，
，，
，
四边形是菱形，
，，点、、又在一条直线上，
，
四边形是菱形，
，
，
≌，
，，
，
即
，，
，，
即．

【解析】可通过构建全等三角形求解．延长交于，可证三角形和全等，已知的有，根据平行线间的内错角相等可得出两三角形中两组对应的角相等，又有，因此构成了全等三角形判定条件中的，于是两三角形全等，那么，，那么可得出，于是三角形就是等腰三角形且是底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特点，即可得出，；
方法同，只不过三角形是个等腰三角形，且顶角为，可根据三角函数来得出、的比例关系；
经过的解题过程，我们要构建出以为底边中线的等腰三角形，那么可延长到，使，连接、，那么根据前两问的解题过程，我们要求的是三角形是个等腰三角形，关键是证三角形和全等，已知的只有，我们可通过其他的全等三角形来得出三角形和全等的条件．三角形和中，有一组对顶角，，，那么这两个三角形就全等，可得出，，根据平行线间的内错角相等可得出，那么，由此可得出三角形和全等，然后证法同．
本题主要考查了正方形，菱形的性质，以及全等三角形的判定等知识点，根据已知和所求的条件正确的构建出相关的全等三角形是解题的关键．