高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数教学设计

【新教材】4.1.1 n次方根与分数指数幂

教学设计（人教A版）

学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则。有了这些知识作储备，教科书通过实际问题引入分数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性。

课程目标

1. 理解n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念．

2. 掌握分数指数幂和根式之间的互化、化简、求值；

3. 掌握分数指数幂的运算性质。

数学学科素养

1.数学抽象：n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念；

2.逻辑推理：分数指数幂和根式之间的互化；

3.数学运算：利用分数指数幂的运算性质化简求值；

4.数学建模：通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质。

重点：（1）根式概念的理解；

（2）分数指数幂的理解；

（3）掌握并运用分数指数幂的运算性质.

难点：根式、分数指数幂概念的理解．

教学方法：以学生为主体，采用类比发现，诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、 情景导入

我们已经知道…是正整数指数幂，它们的值分别为….那么，的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识.下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数.为此，需要先学习根式的知识.

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本104-106页，思考并完成以下问题

(1)n次方根是怎样定义的？

(2)根式的定义是什么？它有哪些性质？

(3)有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？

(4)根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？

(5)如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1．n次方根

2．根式

(1)定义：式子 叫做根式，这里n叫做 根指数       ，a叫做  被开方数       ．

(2)性质：(n＞1，且n∈N*)

①()n＝   .　②＝

3．分数指数幂的意义

4．有理数指数幂的运算性质

(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．

(2)(ar)s＝(a＞0，r，s∈Q)．

(3)(ab)r＝(a＞0，b＞0，r∈Q)．

四、典例分析、举一反三

题型一    根式的化简(求值)

例1 求下列各式的值

【答案】

解题技巧：（根式求值）

（1）化简时,首先明确根指数n是奇数还是偶数,然后依据根式的性质进行化简;化简()n时,

关键是明确是否有意义,只要有意义,则()n=a.

(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值范围,即确定         中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.

跟踪训练一

1.化简

(1)(x＜π，n∈N*)；(2).

【答案】见解析

【解析】　(1)∵x＜π，∴x－π＜0.

当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x；

当n为奇数时，＝x－π.

综上可知，＝

(2)∵a≤，∴1－2a≥0，

∴＝＝＝.

题型二   分数指数幂的简单计算问题

例2　求值

【答案】见解析

【解析】

解题技巧：()

1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.

2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.

跟踪训练二

1.计算

(1) ;  (2)0.00 ;  (3);  (4)(2a+1)0;  (5).

【答案】见解析

【解析】(1).

(2)0.00=(0.23=0.2-2==52=25.

(3).

(4)(2a+1)0=

(5)==-.

题型三    根式与分数指数幂的互化

例3 用分数指数幂的形式表或下列各式（a＞0）

【答案】见解析  

【解析】

解题技巧：（根式与分数指数幂的互化）

（1）根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子．

（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．

跟踪训练三

1．下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)

A．－＝(－x) (x＞0)      B.＝y(y＜0)

C．x－＝ (x＞0)      D．x－＝－(x≠0)

【答案】C

【解析】  －＝－x (x＞0)；＝[(y)2]＝－y (y＜0)；

x－＝(x－3)＝ (x＞0)；x＝＝(x≠0)．

题型四    利用分数指数幂的运算性质化简求值

例4 计算:0.06+16-0.75+.

【答案】 

【解析】原式=(0.43-1+(-2)-4+(24+(0.12=0.4-1-1++0.1=.

解题技巧：（利用指数幂的运算性质化简求值的方法）

(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．

(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．

(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．

跟踪训练四

1.计算:+2-2×-(0.01)0.5;

2 .化简:(a>0).

【答案】见解析

【解析】(1)原式=1+

=1+.

(2)原式=

=

=.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本109页习题4.1

本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，通过类比的思想使学生逐步掌握根式与分数指数幂性质及其应用，为后面学习无理数指数幂性质及其应用打下理论基础.