沪科版八年级上册15.2 线段的垂直平分线备课课件ppt

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1．掌握线段的垂直平分线以及它的逆定理的条件和结论，学会应用到证明中；2．经历探索线段的垂直平分线定理、逆定理的过程，明确应用方法．
市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处才能使得它到三个小区的距离相等?
探索 1：线段垂直平分线的尺规作图
答：通过折纸可以作出线段的垂直平分线.在半透明纸上画一条线段AA′，折纸使A与A′重合，得到的折痕l是线段AA′的垂直平分线(如图)，也可以用刻度尺量出线段的中点，再用三角尺过中点画垂线的方法作出线段的垂直平分线．
用折纸的方法你能得到线段的垂直平分线吗？你还可以用什么方法得到线段的垂直平分线？
已知:线段AB,如图.求作:线段AB的垂直平分线.
用尺规作线段的垂直平分线.
1.分别以点A，B为圆心, 大于 AB长为半径作弧,两弧交于点C和D.
2. 过点C,D作直线CD.
则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
注意：因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点,所以我们也用这种方法作线段的中点.
作线段AB的中垂线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量：PA、PB的长，你能发现什么？
探索 2：线段垂直平分线的性质
由此你能得到什么规律？
如图直线MN经过AB的中点O，且MN⊥AB, P是MN上任意一点上.求证：PA=PB.
∵AO=BO,MN⊥AB∴PA=PB
提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的依据之一.
如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为(　　)
A．5cmB．10cmC．15cmD．17.5cm
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
探索 2：线段垂直平分线的判定
定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
它是真命题吗？你能证明吗？
已知，如图，AP=BP .求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
证明：过点P作PO⊥AB，垂足为O.在Rt △AOP与Rt △BOP中，∵PA=PB(已知)，PO=PO(公共边)∵ Rt△AOP ≌ Rt△BOP(HL)∵OA=OB(全等三角形的对应边相等)
于是得到线段垂直平分线的性质定理逆定理：
二、线段垂直平分线性质定理的逆定理：
一、线段垂直平分线性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
一条公路同侧的A、B两村，共同出资在公路边修建一个停靠站C，使停靠站C到两村距离相等.请你确定停靠站C的位置.
已知:如图,在△ABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P. 求证: 点P在线段BC的垂直平分线上.
结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.
已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PC.
证明：∵点P在线段AB的垂直平分线MN上，∴PA=PB（垂直平分线性质）同理， PB=PC.∴PA=PB=PC.
2.下列说法：①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的有 （填序号）.
1.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共有　　　　种.
已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC =BC， AD=BD，AB与CD相交于点O. 求证：AO=BO.
证明： ∵ AC =BC，AD=BD，
∴ CD为线段AB的垂直平分线.
又 ∵AB与CD相交于点O，
如图，有A，B，C三个村庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.
学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处,即如图P点.
如图，已知点A、点B以及直线l.(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；(2)在(1)中所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP＝∠NPB.
(2)在△AMP和△BNP中，∵AM=PN，AP＝BP，PM＝BN， ∴△AMP≌△PNB(SSS)，∴∠MAP＝∠NPB.
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．
证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中点，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE(ASA)，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.
如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．
解：AD垂直平分EF.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°.又∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF，(AAS)∴AE＝AF，DE＝DF.∴A、D均在线段EF的垂直平分线上，即直线AD垂直平分线段EF.