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沪科版（2024）八年级上册第15章 轴对称图形和等腰三角形15.2 线段的垂直平分线达标测试
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这是一份沪科版（2024）八年级上册第15章 轴对称图形和等腰三角形15.2 线段的垂直平分线达标测试，共53页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32378" 【题型1 利用线段垂直平分线的性质求长度】 PAGEREF _Tc32378 \h 1
\l "_Tc7832" 【题型2 利用线段垂直平分线的性质求最值】 PAGEREF _Tc7832 \h 2
\l "_Tc9321" 【题型3 利用线段垂直平分线的性质求角度】 PAGEREF _Tc9321 \h 3
\l "_Tc3497" 【题型4 利用线段垂直平分线的性质探究角度之间的关系】 PAGEREF _Tc3497 \h 4
\l "_Tc6718" 【题型5 利用线段垂直平分线的性质证明】 PAGEREF _Tc6718 \h 6
\l "_Tc12846" 【题型6 线段垂直平分线的判定】 PAGEREF _Tc12846 \h 7
\l "_Tc11587" 【题型7 尺规作线段垂直平分线】 PAGEREF _Tc11587 \h 8
\l "_Tc16260" 【题型8 线段垂直平分线的判定与性质的综合运用】 PAGEREF _Tc16260 \h 9
\l "_Tc22963" 【题型9 线段垂直平分线的实际应用】 PAGEREF _Tc22963 \h 10
【知识点1 线段垂直平分线的性质】
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
【题型1 利用线段垂直平分线的性质求长度】
【例1】（2023春·辽宁阜新·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若△ABC的周长是20，AB=4，AC=7，则△AEF的周长为（ ）
A．4B．7C．9D．11
【变式1-1】（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和AC边的中垂线DE交于点D，DM⊥BA的延长线于点M，DN⊥BC于点N．若AB=3，BC=7，则AM的长为 ．
【变式1-2】（2023春·福建福州·八年级校考期中）如图，ΔABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．如果AB=5，AC=3，则AE= ．
【变式1-3】（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为23cm，则OA的长为 ．
【题型2 利用线段垂直平分线的性质求最值】
【例2】（2023春·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=10，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则△ABP周长的最小值是 ．
【变式2-1】（2023春·江西九江·八年级统考开学考试）如图，在△ABC中，AC=4，BC边上的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周长是11，则直线DE上任意一点到A、C距离和最小为（ ）
A．28B．18C．10D．7
【变式2-2】（2023春·山东济南·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC=2，△ABC面积为3，则BM+MD长度的最小值等于 ．
【变式2-3】（2023春·山东青岛·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D为AB中点，点P在AC上从C向A运动；同时，点Q在BC上从B向C运动，当∠PDQ＝ 时，△PDQ的周长最小．
【题型3 利用线段垂直平分线的性质求角度】
【例3】（2023春·福建宁德·八年级统考期中）如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM=NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM=ND，若∠A=α，则∠C=（ ）
A．32αB．90°−12αC．120°−αD．2α−90°
【变式3-1】（2023春·安徽池州·八年级统考开学考试）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ACF=48°，则∠ABC的度数为 ．
【变式3-2】（2023春·四川甘孜·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠B=32°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，求∠C的度数．
【变式3-3】（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AOB=α，则∠AIB的大小为（ ）
A．αB．14α+90°C．12α+90°D．180°−12α
【题型4 利用线段垂直平分线的性质探究角度、线段之间的关系】
【例4】（2023春·福建三明·八年级统考期末）如图，四边形ABCD是长方形，E是边CD的中点，连接AE并延长交边BC的延长线于F，过点E作AF的垂线交边BC于M，连接AM．
（1）请说明 ΔADE ≌ ΔFCE；
（2）试说明AM = BC + MC；
（3）设S△AEM= S1，S△ECM= S2，S△ABM= S3，试探究S1，S2，S3三者之间的等量关系，并说明理由．
【变式4-1】（2023春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）△ABC的两边AB、AC的中垂线交于边BC上的P点，则线段PA和BC的关系正确的是（ ）
A．PA<12BCB．PA=12BCC．PA>12BCD．PA≥12BC
【变式4-2】（2023春·河南平顶山·八年级统考期末）如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB．
(1)如图1，请指出AB与PB的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由．
【变式4-3】（2023春·山东日照·八年级统考期末）如图1，在直角△ABC中，∠C=90°，分别作∠CAB的平分线AP和AB的垂直平分线DP，交点为P．
（1）如图2，若点P正好落在BC边上．
①求∠B的度数；
②求证：BC=3PC．
（2）如图3，若点C、P、D恰好在一条直线上，线段AD、PD、BC之间的数量关系是否满足AD+PD=BC？若满足，请给出证明；若不满足，请说明理由．
【题型5 利用线段垂直平分线的性质证明】
【例5】（2023春·陕西榆林·八年级校考期末）如图，在四边形ABDC中，AD所在直线垂直平分线段BC，过点C作CF∥BD交AB于点F，延长AB，CD交于点E．求证：
(1)CB平分∠ECF；
(2)∠ACF=∠E．
【变式5-1】（2023春·重庆綦江·八年级校联考期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D， DM丄AB与M， DN丄AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现．
【变式5-2】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E、F在AB上，连接CE，CF， 且CF=BF．已知∠A=50°，∠ACE=30°，试证明∠CFE=∠CEF．
【变式5-3】（2023春·福建龙岩·八年级校考开学考试）已知（如图），在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，交AB于点E，连结EF．
(1)求证：BG=CF．
(2)试判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
【知识点2 线段垂直平分线的判定】
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，（这样的点需要找两个）
【题型6 线段垂直平分线的判定】
【例6】（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．
(1)求证：AD垂直平分EF；
(2)若AB=3，AC=2，△ABC的面积是4，则DE= ．
【变式6-1】（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图所示，已知AD⊥BC于点D，BD=DC，AB+BD=DE，求证：点C在AE的垂直平分线上．
【变式6-2】（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，交CD于点F，过点E作EG∥CD，交AB于点G，连接CG．
(1)求证：∠A+∠AEG=90°；
(2)求证：EC=EG；
(3)若CG=4，BE=5，求四边形BCEG的面积．
【变式6-3】（2023春·陕西汉中·八年级统考期末）如图，AD与BC相交于点O，AB=CD，∠ABC=∠CDA，EB=ED，连接OE，BD，求证；OE垂直平分BD．
【题型7 尺规作线段垂直平分线】
【例7】（2023春·山东威海·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，请用尺规作图法在AC上求作一点M，使MC+MB=AC，并连接MB．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式7-1】（2023春·湖南郴州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．
(1)尺规作图：作边AC的垂直平分线交BC于点D，连接AD（要求：保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
(2)在（1）作出的图形中，求△ABD的周长．
【变式7-2】（2023春·广东深圳·八年级深圳市福田区上步中学校考期中）如图，已知△ABC，AB
B．
C． D．
【变式7-3】（2023春·上海闵行·八年级校考期中）如图，点P在∠AOB外，点Q在边OA上，按要求画图，写出作图结论，并填空．
(1)过点P分别画PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别是E、F．
(2)连接PQ，用尺规作线段PQ的垂直平分线MN．
(3)过P、Q两点分别作OA、OB的平行线交于点G；若∠AOB=120°，则∠G=______________．
【题型8 线段垂直平分线的判定与性质的综合运用】
【例8】（2023春·广东河源·八年级校考期中）如图：在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在AB，AC边上，且DE⊥DF．
(1)猜想：EF BE+CF（填上“<”、“=”或“>”）；
(2)证明你的猜想．
【变式8-1】（2023春·福建福州·八年级统考期末）如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．
(1)求证：∠ACB＝∠ACD；
(2)过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P．
①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE；
②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合．
【变式8-2】（2023春·河北唐山·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①∠FCD=45°；②AE=EC；③S△ABF:S△AFC=AD:FD；④若BF=2EC，则BC=AB．
正确的结论序号是（ ）
A．①②B．①②④C．②③④D．①③④
【题型9 线段垂直平分线的实际应用】
【例9】（2023春·河南平顶山·八年级统考期末）（1）图1是小正方形的边长均为1的方格纸，请你涂出一个图形（所有顶点都在格点上），使其满足如下条件：①图形的面积为7；②图形是轴对称图形．
（2）如图2，一条笔直的公路MN同一侧有两个村庄A和B，现准备在公路MN上修一个公共汽车站点P，使站点P到两个村庄A和B的距离相等．请你用尺规作图找出点P的位置，不写作法，保留作图痕迹．
【变式9-1】（2023春·河北秦皇岛·八年级校考开学考试）元旦联欢会上，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边中线的交点D．三边上高的交点
【变式9-2】（2023春·广西北海·八年级统考期中）如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站P，分别向A、B两个开发区运货．若要求货站到A、B两个开发区的距离相等，那么货站应建在那里？不写作法，保留作图痕迹．
【变式9-3】（2023春·贵州毕节·八年级统考期末）作图题：
金沙县新城区黄河大道l的一侧有A、B两个商住小区，为了方便居民出行，公交公司准备在黄河大道l上修建一个公交车站．请问公交车站P建在什么位置从商住小区A乘坐公交车到小区B的路程最近，请在图中做出点P的位置．
专题15.4 线段的垂直平分线的判定与性质【九大题型】
【沪科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32378" 【题型1 利用线段垂直平分线的性质求长度】 PAGEREF _Tc32378 \h 1
\l "_Tc7832" 【题型2 利用线段垂直平分线的性质求最值】 PAGEREF _Tc7832 \h 5
\l "_Tc9321" 【题型3 利用线段垂直平分线的性质求角度】 PAGEREF _Tc9321 \h 9
\l "_Tc3497" 【题型4 利用线段垂直平分线的性质探究角度之间的关系】 PAGEREF _Tc3497 \h 13
\l "_Tc6718" 【题型5 利用线段垂直平分线的性质证明】 PAGEREF _Tc6718 \h 19
\l "_Tc12846" 【题型6 线段垂直平分线的判定】 PAGEREF _Tc12846 \h 24
\l "_Tc11587" 【题型7 尺规作线段垂直平分线】 PAGEREF _Tc11587 \h 27
\l "_Tc16260" 【题型8 线段垂直平分线的判定与性质的综合运用】 PAGEREF _Tc16260 \h 31
\l "_Tc22963" 【题型9 线段垂直平分线的实际应用】 PAGEREF _Tc22963 \h 38
【知识点1 线段垂直平分线的性质】
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
【题型1 利用线段垂直平分线的性质求长度】
【例1】（2023春·辽宁阜新·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若△ABC的周长是20，AB=4，AC=7，则△AEF的周长为（ ）
A．4B．7C．9D．11
【答案】C
【分析】先根据△ABC的周长公式求得BC=9，再根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，FA=FC，根据△AEF的周长公式计算，即可得到答案．
【详解】解：∵△ABC的周长是20，
∴AB+AC+BC=20
∵AB=4，AC=7，
∴BC=9，
∵EG是线段AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
同理，FA=FC，
∴△AEF的周长=EA+EF+FA=EB+EF+FC=BC=9，
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和AC边的中垂线DE交于点D，DM⊥BA的延长线于点M，DN⊥BC于点N．若AB=3，BC=7，则AM的长为 ．
【答案】2
【分析】连接AD，CD，由“AAS”可证△BDM≅△BDN，可得BM=BN，由“HL”可证Rt△ADM≅Rt△CDN，可得AM=CN，即可求解．
【详解】解：连接AD，CD，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
在△BDM和△BDN中，
∠DMB=∠DNB=90°∠ABD=∠DBCBD=BD，
∴△BDM≅△BDNAAS，
∴BM=BN，DM=DN，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
在Rt△ADM和Rt△CDN中，
AD=CDDM=DN，
∴Rt△ADM≅Rt△CDNHL，
∴AM=CN，
∵AB=3，BC=7，
∴BC−AB=BN+CN−BM−AM=2AM=4，
∴AM=2，
故答案为2．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
【变式1-2】（2023春·福建福州·八年级校考期中）如图，ΔABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．如果AB=5，AC=3，则AE= ．
【答案】4
【分析】连接BD，根据角平分线的性质可得DE=DF，根据线段垂直平分线的性质，可得BD=CD，继而可证得Rt△BED≅Rt△CFD，可得BE=CF，再证得△AED≅△AFD，得到AE=AF，设BE=x，由AB−BE=AC+CF，即可得方程5−x=3+x，解方程求出x，进而可求得AE．
【详解】解：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD=CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
BD=CDDE=DF，
∴Rt△BED≅Rt△CFD(HL)，
∴BE=CF，
在△AED和△AFD中，
∠AED=∠AFD=90°∠EAD=∠FADAD=AD，
∴△AED≅△AFD(AAS)，
∴AE=AF，
设BE=x，则CF=x，
∵AB=5，AC=3，AE=AB−BE，AF=AC+CF，
∴5−x=3+x，
解得：x=1，
∴BE=1，
∴AE=AB−BE=5−1=4，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解是解决问题的关键．
【变式1-3】（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为23cm，则OA的长为 ．
【答案】6cm
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得DA=DB，EA=EC，OA=OB=OC，从而可求出BC=11cm，然后根据△OBC的周长为23cm，即可求出OB的长，即可解答．
【详解】解：∵OM是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，OA=OB，
∵ON是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，OA=OC，
∴OB=OC，
∵△ADE的周长为11cm，
∴AD+DE+AE=11cm，
∴BD+DE+CE=11cm，
∴BC=11cm，
∵△OBC的周长为23cm，
∴OB+OC=23−11=12cm，
∴OB=OC=6cm，
∴OA=OC=6cm，
故答案为：6cm．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
【题型2 利用线段垂直平分线的性质求最值】
【例2】（2023春·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=10，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则△ABP周长的最小值是 ．
【答案】12
【分析】根据题意知PB=PC，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值等于AC的长，根据AB，AC的长度即可得到△ABP周长的最小值．
【详解】解：连接PC，设AC交EF于D，
∵EF垂直平分BC，
∴PB=PC，
∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，
∵AB=5，AC=7，
∴△ABP周长的最小值是AB+AC=5+7=12．
故答案为：12．
【点睛】此考查了垂直平分线的性质、最短路径等知识，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·江西九江·八年级统考开学考试）如图，在△ABC中，AC=4，BC边上的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周长是11，则直线DE上任意一点到A、C距离和最小为（ ）
A．28B．18C．10D．7
【答案】D
【分析】利用垂直平分线的性质和已知的三角形的周长计算．
【详解】解：∵DE是BC的中垂线，
∴BE=EC，
则AB=EB+AE=CE+EA，
又∵△AEC的周长为11，
故AB=11−4=7，
直线DE上任意一点到A、C距离和最小为7．
故选：D．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）有关知识．难度简单．
【变式2-2】（2023春·山东济南·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC=2，△ABC面积为3，则BM+MD长度的最小值等于 ．
【答案】3
【分析】连接AD,AM，利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形面积公式求出AD=3，利用基本作图得到EF垂直平分AB，则MA=MB，所以BM+MD=MA+MD≥AD，当且仅当A、M、D共线时取等号，从而得到BM+MD的最小值．
【详解】解：连接AD,AM，如图，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵△ABC的面积为3，
∴12×2AD=3，
解得AD=3，
由作法得EF垂直平分AB，
∴MA=MB，
∵BM+MD=MA+MD≥AD，
∴当且仅当A、M、D共线时，MA+MD的最小值为3，
∴BM+MD的最小值是3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了作图-基本作图-作已知线段的垂直平分线，等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和最短路径问题，确定出当且仅当A、M、D共线时，MA+MD取得最小值是解题的关键．
【变式2-3】（2023春·山东青岛·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D为AB中点，点P在AC上从C向A运动；同时，点Q在BC上从B向C运动，当∠PDQ＝ 时，△PDQ的周长最小．
【答案】28°/28度
【分析】根据两点之间线段最短，把三角形的周长转化为一条线段的长，利用三角形的内角和及平角的定义求解．
【详解】过点D作DF⊥BC于N，并截取NF＝DN，过点D作DE⊥AC于M，并截取ME＝DM，连接EF，则EF的长为△PDQ的最小值，
根据作图知：AC垂直平分DE，BC垂直平分DF，
∴DQ＝FQ，PD＝PE，
∴DQ+DP+PQ＝FQ+PE+PQ，
根据两点之间线段最短，所以EF的长是△PDQ的最小值，
此时有：∠FDQ=12∠DQP，∠MDP=12∠DPQ，
在△ABC中有∠A＝54°，∠C＝76°，
∴∠B＝180°－∠A－∠C ＝50°，
∴∠BDN＝40°，∠ADM＝36°，
∴∠PDQ＝180°﹣∠BDN﹣∠ADM﹣∠FDQ﹣∠MDP
＝180°﹣40°﹣36°−12（∠DQP+∠DPQ）
＝104°−12（180°﹣∠PDQ）
＝104°﹣90°+12∠PDQ，
解得：∠PDQ＝28°．
故当∠PDQ＝28°时，△PDQ的周长最小．
故答案为：28°
【点睛】本题考查了最短路径问题，通过轴对称把问题进行转化是解题的关键．
【题型3 利用线段垂直平分线的性质求角度】
【例3】（2023春·福建宁德·八年级统考期中）如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM=NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM=ND，若∠A=α，则∠C=（ ）
A．32αB．90°−12αC．120°−αD．2α−90°
【答案】D
【分析】根据看垂直平分线的性质可得∠ABM=∠NBM=90°−α，NM=ND和BM⊥AC，ND⊥BC可得BN平分∠NDM，进而得到∠ABM=∠DBN=∠NBM=90°−α，最后由三角形内角和求出∠C即可．
【详解】∵AM=NM，BM⊥AC，∠A=α，
∴∠ABM=∠NBM=90°−α，
∵NM=ND，BM⊥AC，ND⊥BC，
∴BN平分∠NDM，
∴∠ABM=∠DBN=∠NBM=90°−α，
∴∠ABC=∠ABM+∠DBN+∠NBM=270°−3α，
∴∠C=180°−∠A−∠ABC=180°−270°−3α−α=2α−90°，
故选：D．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式3-1】（2023春·安徽池州·八年级统考开学考试）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ACF=48°，则∠ABC的度数为 ．
【答案】48°
【分析】由角平分线的定义可得∠ABD=∠BCD，由垂直平分线的性质可得BF=CF，从而得到∠FBC=∠FCB，进而得到∠ABD=∠FBC=∠FCB，由三角形内角和定理进行计算即可得到答案．
【详解】解：∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠BCD，
∵ EF垂直平分BC，
∴BF=CF，
∴∠FBC=∠FCB，
∴∠ABD=∠FBC=∠FCB，
∵∠A+∠ACF+∠ABD+∠CBD+∠BCF=180°，∠A=60°，∠ACF=48°，
∴∠ABD=∠CBD=∠BCF=24°，
∴∠ABC=2∠ABD=48°，
故答案为：48°．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【变式3-2】（2023春·四川甘孜·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠B=32°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，求∠C的度数．
【答案】∠C=84°
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，∠DAB=∠B=32°，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=32°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAB=2∠DAB=64°，
∴∠C=180°−∠CAB−∠B=180°−64°−32°=84°，
∴∠C=84°．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义．掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【变式3-3】（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AOB=α，则∠AIB的大小为（ ）
A．αB．14α+90°C．12α+90°D．180°−12α
【答案】B
【分析】连接CO并延长，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OC，OB=OC，根据等腰三角形的性质得到∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，根据三角形的外角性质计算，得到∠AOB=12(∠OCA+∠OCB)=α．根据三角形内角和定理得到∠IAB+∠IBA=180°−∠AIB，根据角平分线的定义得到∠IAB+∠IBA=90°−α4，求出∠AIB．
【详解】解：连接CO并延长，
∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，
∴OA=OC，OB=OC，
∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，
∵∠AOD是△AOC的一个外角，
∴∠AOD=∠OCA+∠OAC=2∠OCA，
同理，∠BOD=2∠OCB，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠OCA+2∠OCB=α，
∴∠OCA+∠OCB=α2，
∴∠ACB=α2，
∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠IAB=12∠CAB，∠IBA=12∠CBA，
∴∠IAB+∠IBA=12(∠CAB+∠CBA)=12(180°−∠ACB)=90°−α4，
∴∠AIB=180°−(∠IAB+∠IBA)=90°+α4，
故选：B．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【题型4 利用线段垂直平分线的性质探究角度、线段之间的关系】
【例4】（2023春·福建三明·八年级统考期末）如图，四边形ABCD是长方形，E是边CD的中点，连接AE并延长交边BC的延长线于F，过点E作AF的垂线交边BC于M，连接AM．
（1）请说明 ΔADE ≌ ΔFCE；
（2）试说明AM = BC + MC；
（3）设S△AEM= S1，S△ECM= S2，S△ABM= S3，试探究S1，S2，S3三者之间的等量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）S3=2S1-4S2，理由见解析．
【分析】（1）根据ASA可证得 ΔADE ≌ ΔFCE；
（2）由（1）可得AE=EF，AD=CF，根据垂直平分线的性质可得再由线段等量关系即可说明AM = BC + MC；
（3）由AE=EF得出S△ECF=S1-S2，再由底和高的倍数关系得到S△ABF=4S△ECF=4S1-4S2，从而根据S3=S△ABF-S△MAF得到结果．
【详解】解：（1）∵E是边CD的中点，
∴DE=CE，
∵∠D=∠DCF=90°，∠DEA=∠ECF，
∴△ADE≌△FCE（ASA）；
（2）由（1）得AE=EF，AD=CF，
∴点E为AF中点，
∵ME⊥AF，
∴AM=MF，
∵MF=CF+MC，
∵AD=BC=CF，
∴MF=BC+MC，
即AM=BC+MC；
（3）S3=2S1-4S2，理由是：
由（2）可知：AE=EF，AD=BC=CF，
∴S1=S△MEF=S2+S△ECF，
∴S△ECF=S1-S2，
∵AB=2EC，BF=2CF，∠B=∠ECF=90°，
∴S△ABF=4S△ECF=4S1-4S2，
∴S3=S△ABF-S△MAF=S△ABF-2S1=2S1-4S2．
【点睛】本题考查了长方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理。熟记性质并找出三角形全等的条件是解题的关键．
【变式4-1】（2023春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）△ABC的两边AB、AC的中垂线交于边BC上的P点，则线段PA和BC的关系正确的是（ ）
A．PA<12BCB．PA=12BCC．PA>12BCD．PA≥12BC
【答案】B
【分析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到AP＝BP＝CP，进而得出线段PA和BC的关系．
【详解】解：如图所示，△ABC的两边AB、AC的中垂线交于边BC上的P点，
∴AP＝BP，AP＝CP，
∴AP＝BP＝CP＝12BC，
故选：B．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
【变式4-2】（2023春·河南平顶山·八年级统考期末）如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB．
(1)如图1，请指出AB与PB的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)AB=PB，理由见解析
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）连接BQ，根据BC垂直平分OQ，可知BO=BQ，则∠BOQ=∠BQO，根据OF平分∠MON，则∠AOB=∠BOQ，即∠AOB=∠BQO，根据OA=QP，可知△AOB≌△PQB，则可知AB=PB；
（2）如图，连接BQ，根据BC垂直平分OQ，可知BQ=BO，CQ=CO结合条件可证△BQC≌△BOC，则∠BQO=∠BOQ，根据OF平分∠MON，∠BOQ=∠FON，可知∠AOF=∠FON=∠BOQ，则∠AOF=∠BQO，进而可知∠AOB=∠PQB，由此可证△AOB≌△PQB（SAS），则AB=PB．
【详解】（1）解：AB=PB
理由如下：
连接BQ
∵BC垂直平分OQ
∴BO=BQ
∴∠BOQ=∠BQO
∵OF平分∠MON
∴∠AOB=∠BOQ
∴∠AOB=∠BQO
∵OA=QP
∴△AOB≌△PQB
∴AB=PB；
（2）存在，
理由：如图，连接BQ，
∵BC垂直平分OQ，
∴BQ=BO，CQ=CO
在△BQC和△BOC中，BC=BCCQ=COBQ=BO
∴△BQC≌△BOC（SSS）
∴∠BQO=∠BOQ，
∵OF平分∠MON，
∠BOQ=∠FON，
∴∠AOF=∠FON=∠BOQ，
∴∠AOF=∠BQO，
∴∠AOB=∠PQB，
在△AOB和△PQB中，OA=PQ∠AOB=∠PQBBO=BQ
∴△AOB≌△PQB（SAS），
∴AB=PB．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，本题属于中考常考问题．
【变式4-3】（2023春·山东日照·八年级统考期末）如图1，在直角△ABC中，∠C=90°，分别作∠CAB的平分线AP和AB的垂直平分线DP，交点为P．
（1）如图2，若点P正好落在BC边上．
①求∠B的度数；
②求证：BC=3PC．
（2）如图3，若点C、P、D恰好在一条直线上，线段AD、PD、BC之间的数量关系是否满足AD+PD=BC？若满足，请给出证明；若不满足，请说明理由．
【答案】（1）①∠B的度数是30°；②见解析；（2）满足，理由见解析
【分析】（1）①由垂直平分线与角平分线的性质证明：∠PAD=∠PAC=∠B，再利用直角三角形的内角和定理即可得到答案；②先利用角平分线的性质证明PC=PD，再用∠B=30°证明BP=2PD，进而即可得到结论；
（2）过点P作PE⊥AC于点E，由垂直平分线的性质可知AC=BC，∠ACD=∠BCD=45°，进而证明PE=CE，由角平分线的性质可知PE=PD，即可证明Rt△AEP≌Rt△ADP（HL），可得AE=AD，再利用线段的和差性质即可证明AD+PD=BC．
【详解】（1）①∵DP是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
∴∠PAD=∠B，
又∵AP平分∠CAB，
∴∠PAD=∠PAC，
∴∠PAD=∠PAC=∠B，
设∠B=x°，则∠CAB=∠PAD+∠PAC=2x°，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
即3x=90，x=30，
∴∠B的度数是30°．
②∵AP平分∠CAB，∠C=90°，DP⊥AB，
∴PC=PD，
∵在Rt△BDP中，∠B=30°，
∴BP=2PD，
∴BC=BP+PC=3PC．
（2）如图，过点P作PE⊥AC于点E，
∵CD是AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=45°．
∵PE⊥AC，
∴∠CPE=90°−∠PCE=90°−45°=45°=∠PCE，
∴PE=CE，
又∵AP平分∠CAB，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴PE=PD，
∴在Rt△AEP和Rt△ADP中，
AP=AP,PE=PD,
∴Rt△AEP≌Rt△ADP（HL），
∴AE=AD，
∴AC=AE+EC=AD+PE=AD+PD，
又∵AC=BC，
∴AD+PD=BC．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、锐角三角函数、等腰直角三角形的性质、直角三角形全等的判定与性质、含30°的直角三角形的性质、线段的和差性质，解答本题的关键是掌握并熟练运用以上知识．
【题型5 利用线段垂直平分线的性质证明】
【例5】（2023春·陕西榆林·八年级校考期末）如图，在四边形ABDC中，AD所在直线垂直平分线段BC，过点C作CF∥BD交AB于点F，延长AB，CD交于点E．求证：
(1)CB平分∠ECF；
(2)∠ACF=∠E．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由AD所在直线垂直平分线段BC得到BD=CD，从而得到∠BCD=∠CBD，再利用平行线的性质可知∠CBD=∠FCB，再用等量代换即可证明；
（2）由AD所在直线垂直平分线段BC得到AC=AB，∠ACB=∠ABC，从而得到∠E+∠BCE=∠ACB=∠ACF+∠FCB，再根据∠FCB=∠BCE即可得证．
【详解】（1）证明：∵AD所在直线垂直平分线段BC，
∴BD=CD，
∴∠BCD=∠CBD．
∵BD∥CF，
∴∠CBD=∠FCB，
∴∠FCB=∠BCD，
即CB平分∠ECF；
（2）∵AD所在直线垂直平分线段BC，
∴AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC．
∵∠ABC是△BCE的一个外角，
∴∠ABC=∠E+∠BCE，
∴∠ABC=∠E+∠BCE=∠ACB=∠ACF+∠FCB．
又∵∠FCB=∠BCD，即∠FCB=∠BCE，
∴∠ACF=∠E．
【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形的外角的性质，垂直平分线的性质，平行线的性质等知识，掌握相关定理是解题的关键．
【变式5-1】（2023春·重庆綦江·八年级校联考期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D， DM丄AB与M， DN丄AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现．
【答案】BM=CN，证明见解析．
【分析】如图（见解析），先根据角平分线的性质可得DM=DN，再根据垂直平分线的性质可得BD=CD，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质即可得．
【详解】BM=CN，证明如下：
如图，连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵DE垂直平分BC，
∴BD=CD，
在Rt△BMD与Rt△CND中，DM=DNBD=CD，
∴Rt△BMD≅Rt△CND(HL)，
∴BM=CN．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、直角三角形全等的判定定理与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
【变式5-2】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E、F在AB上，连接CE，CF， 且CF=BF．已知∠A=50°，∠ACE=30°，试证明∠CFE=∠CEF．
【答案】证明见解析
【分析】如图所示，取BC中点G，连接FG，证明FG在线段BC的垂直平分线上，得到∠FGC=∠FGB=90°，进而证明△FGC≌△FGB得到∠FCG=∠FBG，利用三角形内角和定理求出∠FCB=∠B=40°，再利用三角形外角的性质分别求出∠CFE、∠CEF的度数即可证明结论．
【详解】证明：如图所示，取BC中点G，连接FG，
∵CF=BF，
∴FG在线段BC的垂直平分线上，
∴FG⊥BC，
∴∠FGC=∠FGB=90°，
又∵FG=FG，CG=BG，
∴△FGC≌△FGBSAS，
∴∠FCG=∠FBG，
在在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，
∴∠B=180°−∠ACB−∠A=40°，
∴∠FCB=∠B=40°，
∴∠CFE=∠FCB+∠B=80°，
又∵∠CEF=∠A=50°+∠ACE=80°，
∴∠CFE=∠CEF．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等等，证明∠FCG=∠FBG是解题的关键．
【变式5-3】（2023春·福建龙岩·八年级校考开学考试）已知（如图），在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，交AB于点E，连结EF．
(1)求证：BG=CF．
(2)试判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)BE+CF>EF，理由见解析
【分析】（1）先利用ASA判定△BGD≌△CFD，从而得出BG=CF；
（2）再利用全等的性质可得GD=FD，再有DE⊥GF，从而得出EG=EF，两边和大于第三边从而得出BE+CF>EF．
【详解】（1）证明：∵BG∥AC，
∴∠DBG=∠DCF．
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
在△BGD与△CFD中，
∠DBG=∠DCFBD=CD∠BDG=∠CDF，
∴△BGD≌△CFDASA．
∴BG=CF．
（2）解：BE+CF>EF．
理由如下：连接EG，
∵△BGD≌△CFDASA，
∴GD=FD，BG=CF．
又∵DE⊥FG，
∴DE垂直平分FG，
∴EG=EF．
∴在△EBG中，BE+BG>EG，
即BE+CF>EF．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质、线段垂直平分线的定义和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法并根据条件灵活选择是解题的关键．
【知识点2 线段垂直平分线的判定】
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，（这样的点需要找两个）
【题型6 线段垂直平分线的判定】
【例6】（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．
(1)求证：AD垂直平分EF；
(2)若AB=3，AC=2，△ABC的面积是4，则DE= ．
【答案】(1)见解析
(2)85
【分析】（1）由角平分线的性质得DE=DF，再由Rt△AED≌Rt△AFDHL，得AE=AF，从而证明结论；
（2）根据三角形的面积公式，代入计算即可．
【详解】（1）∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE=DF，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
AD=ADDE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△AFDHL，
∴AE=AF，
∵DE=DF，
∴AD垂直平分EF；
（2）∵DE=DF，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=12AB⋅ED+12AC⋅DF=12DEAB+AC=4，
∵AB=3，AC=2，
∴DE=85，
故答案为：85．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
【变式6-1】（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图所示，已知AD⊥BC于点D，BD=DC，AB+BD=DE，求证：点C在AE的垂直平分线上．
【答案】见解析
【分析】由AD⊥BC，BD=DC，得到AD是BC的垂直平分线，因此AB=AC．再根据AB+BD=DE，可推出AC=CE，因此得证点C在AE的垂直平分线上．
【详解】∵AD⊥BC，BD=DC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB=AC．
∵AB+BD=DE，
∴AB+BD=CD+CE=AC+CD，
∴AC=CE，
∴点C在AE的垂直平分线上．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质与判定是解题的关键．
【变式6-2】（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，交CD于点F，过点E作EG∥CD，交AB于点G，连接CG．
(1)求证：∠A+∠AEG=90°；
(2)求证：EC=EG；
(3)若CG=4，BE=5，求四边形BCEG的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)四边形BCEG的面积为10．
【分析】（1）证明EG⊥AB，即可证明结论成立；
（2）利用角平分线性质定理即可证明结论成立；
（3）证明Rt△EBG≌Rt△EBCHL，推出BE是线段CG的垂直平分线，利用四边形的面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：∵EG∥CD，CD⊥AB，
∴EG⊥AB，
∴∠A+∠AEG=90°；
（2）证明：∵BE平分∠ABC，EG⊥AB，∠ACB=90°，
∴EC=EG；
（3）解：∵EC=EG，EB=EB，
∴Rt△EBG≌Rt△EBCHL，
∴BC=BG，
∴BE是线段CG的垂直平分线，
∴四边形BCEG的面积=12BE×CG=12×5×4=10．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【变式6-3】（2023春·陕西汉中·八年级统考期末）如图，AD与BC相交于点O，AB=CD，∠ABC=∠CDA，EB=ED，连接OE，BD，求证；OE垂直平分BD．
【答案】见解析
【分析】先证明△ABO≌△CDO得到OB=OD，再由EB=ED即可证明OE垂直平分BD．
【详解】证明：在△ABO和△CDO中，
∠AOB=∠COD∠ABO=∠CDOAB=CD
∴△ABO≌△CDOAAS，
∴OB=OD，
又∵EB=ED，
∴OE垂直平分BD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，证明△ABO≌△CDO得到OB=OD是解题的关键．
【题型7 尺规作线段垂直平分线】
【例7】（2023春·山东威海·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，请用尺规作图法在AC上求作一点M，使MC+MB=AC，并连接MB．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】根据题意，作AB的垂直平分线与AC的交点即为点M，即可解答．
【详解】∵在AC上求作一点M，
∴AM+MC=AC，
∵MC+MB=AC，
∴MB=AM，
即点M在线段AB的垂直平分线上．
如图，点M即为所求．
【点睛】本题考查了尺规作图-垂直平分线，垂直平分线的性质，熟知垂直平分线的性质是解题的关键．
【变式7-1】（2023春·湖南郴州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．
(1)尺规作图：作边AC的垂直平分线交BC于点D，连接AD（要求：保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
(2)在（1）作出的图形中，求△ABD的周长．
【答案】(1)见解析
(2)13
【分析】（1）根据垂直平分线的作法，作出AC的垂直平分线；
（2）根据垂直平分线的性质得出AD=CD，进而根据AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC，即可求解．
【详解】（1）如图，
（2）∵AC的垂直平分线交BC于点D
∴AD=CD
∴△ABD的周长为：AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13
【点睛】本题考查线段垂直平分线的作法和性质，解题的关键是正确画出图形．
【变式7-2】（2023春·广东深圳·八年级深圳市福田区上步中学校考期中）如图，已知△ABC，AB
B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用PB+PC=BC，PA+PB=BC，，则可判断PA=PC，根据线段垂直平分线的性质得到点P为AC的垂直平分线与BC的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．
【详解】解：∵PB+PC=BC，PA+PB=BC，
∴PA=PC，
∴点P在线段AC的垂直平分线上，即：点P为AC的垂直平分线与BC的交点．
故选：B．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的判定以及尺规作图，解题的关键是掌握尺规作图的方法，并通过题意确定点P的位置．
【变式7-3】（2023春·上海闵行·八年级校考期中）如图，点P在∠AOB外，点Q在边OA上，按要求画图，写出作图结论，并填空．
(1)过点P分别画PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别是E、F．
(2)连接PQ，用尺规作线段PQ的垂直平分线MN．
(3)过P、Q两点分别作OA、OB的平行线交于点G；若∠AOB=120°，则∠G=______________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析；60°
【分析】（1）先延长AO，然后再过点P作PE⊥OA于点E，过点P作PF⊥OB于点F即可；
（2）分别以点P和点Q为圆心，大于12PQ为半径画弧，两弧交于两点M、N，连接MN即可；
（3）根据要求作图，然后根据平行线的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，PE，PF为所画的垂线；
（2）解：如图，MN为所求作的直线；
（3）解：如图，PG、QG为所求作的平行线；
∵GQ∥OB，∠AOB=120°，
∴∠OQG=180°−∠AOB=60°，
∵PG∥OA，
∴∠PGH=∠OQG=60°．
故答案为：60°．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线作图，作垂线，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本的作图方法，平行线的性质．
【题型8 线段垂直平分线的判定与性质的综合运用】
【例8】（2023春·广东河源·八年级校考期中）如图：在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在AB，AC边上，且DE⊥DF．
(1)猜想：EF BE+CF（填上“<”、“=”或“>”）；
(2)证明你的猜想．
【答案】(1)<
(2)见解析
【分析】（1）根据图形直接作答即可；
（2）如图，延长FD至G，使FD=GD，连接BG，EG．证明△CDF≌△BDG，推出CF=BG，得出ED垂直平分FG，可得EF=EG，然后根据三角形的三边关系和线段间的代换即可证得结论．
【详解】（1）猜想：EF< BE+CF；
故答案为：<；
（2）证明：如图，延长FD至G，使FD=GD，连接BG，EG．
∵点D是BC的中点，
∴ BD=CD．
在△CDF和△BDG中，
CD=BD,∠CDF=∠BDG,FD=DG,
∴ △CDF≌△BDG．
∴ CF=BG．
∵ DE⊥DF，
∴ED垂直平分FG，
∴ EF=EG．
∵ EG，BE，BG组成了一个三角形，
∴ BE+BG>EG，
又EF=EG，CF=BG，
∴ BE+CF>EF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系以及线段垂直平分线的性质，正确添加辅助线，证明三角形全等是解题的关键．
【变式8-1】（2023春·福建福州·八年级统考期末）如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．
(1)求证：∠ACB＝∠ACD；
(2)过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P．
①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE；
②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）用HL证明Rt△ABC≌Rt△ADC，即可得到结论；
（2）①证明△NEC≌△NPC (SAS)即可；
②作P点关于AE的对称点P'，连接MP'交AE于点O，证明∠ MP'P=30°即可．
【详解】（1）证明：在Rt△ABC和Rt△ADC中，
BC＝CD，AC=AC，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC，
∴∠ACB=∠ACD；
（2）∵Rt△ABC≌Rt△ADC，
∴∠BAC=∠CAD，
∵CA=CE，
∴∠CAE=∠CED，
∵∠EBA=90°，
∴∠BEA=∠BAC=∠CAE=30°，
∵PD⊥AE，MP⊥PD，
∴AE∥MP，
∴∠PMC=∠MAE=30°，
∵ME∥AB，
∴∠MEB=90°，
∴∠MEA=120°，
∵∠MAE=30°，
∴∠EMA=30°，
∵CР⊥MP，CE⊥ME，
∴∠MCP=∠MCE=60°，
∴△NEC≌△NPC (SAS)，
∴EN=PN，
∴ N是EP的中点，NC⊥PE，
∴AM垂直平分PE；
②作P点关于AE的对称点P'，连接MP'交AE于点O，
∵AM垂直平分PE，
∴ME=MP，
∵∠EMP=60°，
∴∠MPE=60°，
∴∠EPD=30°，
∴∠P'=30°，
∴∠ MP'P=30°，
∵∠MЕP=60°，
∴O点与E点重合．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质定理，线段垂直平分线的判定及性质，轴对称的性质，正确掌握全等三角形的判定及性质定理是解题的关键．
【变式8-2】（2023春·河北唐山·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①∠FCD=45°；②AE=EC；③S△ABF:S△AFC=AD:FD；④若BF=2EC，则BC=AB．
正确的结论序号是（ ）
A．①②B．①②④C．②③④D．①③④
【答案】D
【分析】根据垂直定义可得∠ADB=∠ADC=90°，再利用∠ABC=45°，得到AD=BD，从而可证明△BDF≌△ADC，进而得到FD=CD，即可判断①；根据AB≠BC，BE⊥AC，即可判断②，根据三角形面积公式和它们有一条公共边可得S△ABFS△AFC=BDCD，即可判断③，若BF=2EC，根据△BDF≌△ADC可以得到BF=AC，从而可得E是AC的中点，然后可以推出EF是AC的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质即可判断④．
【详解】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAD=90°−∠ABD=45°，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠C=90°，
∵∠EBC+∠BFD=90°，
∴∠BFD=∠C，
∴△BDF≌△ADC(AAS)，
∴DF=CD，
∴∠FCD=∠DFC=45°，故①正确；
∵AB≠BC，BE⊥AC，
∴AE≠EC，故②不正确；
∵ S△ABFS△AFC=12AF⋅BD12AF⋅CD=BDCD，
∴S△ABF:S△AFC=AD:FD，故③正确；
∵△BDF≌△ADC，
∴BF=AC
∵BF=2EC，
∴AC=2EC，
∴E为AC的中点，
∵BE⊥AC，
∴BE为线段AC的垂直平分线，
∴BA=BC，故④正确，
所以，正确结论的序号是：①③④，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型−旋转型全等是解题的关键．
【变式8-3】（2023春·江苏·八年级期中）（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围是
（2）问题解决：如图②，在△ABC中D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）2＜AD＜6；（2）证明见解析；（3）BE+DF=EF，证明见解析
【分析】（1）如图1（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质得出BE=AC=4，再根据三角形的三边关系定理即可得；
（2）如图2（见解析），先同（1），根据三角形全等的判定定理与性质得出BM=CF，再根据垂直平分线的判定与性质得出EM=EF，然后根据三角形的三边关系定理、等量代换即可得证；
（3）如图3（见解析），先根据角的和差得出∠NBC=∠D，再根据三角形全等的判定定理与性质可得CN=CF，∠NCB=∠FCD，从而可得∠ECN=70°=∠ECF，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得EN=EF，最后根据线段的和差、等量代换即可得．
【详解】（1）如图1，延长AD至E，使DE=AD，连接BE
∵AD是BC边上的中线
∴BD=CD
在△BDE和△CDA中，BD=CD∠BDE=∠CDADE=DA
∴△BDE≅△CDA(SAS)
∴BE=AC=4
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB−BE∴8−4∴4∴2故答案为：2（2）如图2，延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM
同（1）得：△BMD≅△CFD(SAS)
∴BM=CF
∵DE⊥DF，DM=DF
∴DE是MF的垂直平分线
∴EM=EF
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM>EM
∴BE+CF>EF；
（3）BE+DF=EF；证明如下：
如图3，延长AB至点N，使BN=DF，连接CN
∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°
∴∠NBC=∠D
在△NBC和△FDC中，BN=DF∠NBC=∠DCB=CD
∴△NBC≅△FDC(SAS)
∴CN=CF，∠NCB=∠FCD
∵∠BCD=140°，∠ECF=70°
∴∠BCE+∠FCD=70°
∴∠BCE+∠NCB=70°
∴∠ECN=70°=∠ECF
在△NCE和△FCE中，CN=CF∠ECN=∠ECFCE=CE
∴△NCE≌△FCE(SAS)
∴EN=EF
∵BE+BN=EN
∴BE+DF=EF．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、垂直平分线的判定与性质等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，构造两个全等三角形是解题关键．
【题型9 线段垂直平分线的实际应用】
【例9】（2023春·河南平顶山·八年级统考期末）（1）图1是小正方形的边长均为1的方格纸，请你涂出一个图形（所有顶点都在格点上），使其满足如下条件：①图形的面积为7；②图形是轴对称图形．
（2）如图2，一条笔直的公路MN同一侧有两个村庄A和B，现准备在公路MN上修一个公共汽车站点P，使站点P到两个村庄A和B的距离相等．请你用尺规作图找出点P的位置，不写作法，保留作图痕迹．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据轴对称图形的定义即可；
（2）作AB的垂直平分线即可．
【详解】解：（1）画图规范，满足题意即可，
如图1所示，即为所求；
（2）作图规范，准确即可，如图2．
作法：1．分别以点A,B为圆心，大于12AB为半径画弧，两弧交于两点，
2．过这两点作直线交MN于点P，
如图，点P即为所求．
证明：如图，连接PA,PB,CA,CB,DA,DB，
由作图可知：AC=BC,AD=BD，
点C在AB的垂直平分线上，点D在AB的垂直平分线上，
∴CD垂直平分AB，
∴PA=PB，
故点P即为所求
【点睛】此题主要考查了作图与应用设计，关键是掌握轴对称图形的定义．
【变式9-1】（2023春·河北秦皇岛·八年级校考开学考试）元旦联欢会上，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边中线的交点D．三边上高的交点
【答案】A
【分析】根据到线段两端的距离的点在线段的垂直平分线上，即可求解．
【详解】解：根据题意得：凳子的位置到3名同学的距离相等，
∴凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟练掌握到线段两端的距离的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
【变式9-2】（2023春·广西北海·八年级统考期中）如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站P，分别向A、B两个开发区运货．若要求货站到A、B两个开发区的距离相等，那么货站应建在那里？不写作法，保留作图痕迹．
【答案】见解析
【分析】根据线段垂直平分线的性质，只需画线段AB垂直平分线，与公路MN的交点即为中转站P的位置．
【详解】解：如图，点P即为所求．
【点睛】本题考查尺规作图-作线段垂直平分线，熟知线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的性质，能将实际问题转化为作线段AB的垂直平分线是解答的关键．
【变式9-3】（2023春·贵州毕节·八年级统考期末）作图题：
金沙县新城区黄河大道l的一侧有A、B两个商住小区，为了方便居民出行，公交公司准备在黄河大道l上修建一个公交车站．请问公交车站P建在什么位置从商住小区A乘坐公交车到小区B的路程最近，请在图中做出点P的位置．
【答案】见解析
【分析】以A为圆心，适当长为半径画弧交直线l于C、D，分别以C、D为圆心，AD长为半径画弧，交点为A'，连接A'B，交直线l于P，连接AP，由线段垂直平分线的性质可得A'P=AP，则AP+BP=A'P+BP，点P即为所求．
【详解】解：如图，点P即为所求；
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，尺规作垂线．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32378" 【题型1 利用线段垂直平分线的性质求长度】 PAGEREF _Tc32378 \h 1
\l "_Tc7832" 【题型2 利用线段垂直平分线的性质求最值】 PAGEREF _Tc7832 \h 2
\l "_Tc9321" 【题型3 利用线段垂直平分线的性质求角度】 PAGEREF _Tc9321 \h 3
\l "_Tc3497" 【题型4 利用线段垂直平分线的性质探究角度之间的关系】 PAGEREF _Tc3497 \h 4
\l "_Tc6718" 【题型5 利用线段垂直平分线的性质证明】 PAGEREF _Tc6718 \h 6
\l "_Tc12846" 【题型6 线段垂直平分线的判定】 PAGEREF _Tc12846 \h 7
\l "_Tc11587" 【题型7 尺规作线段垂直平分线】 PAGEREF _Tc11587 \h 8
\l "_Tc16260" 【题型8 线段垂直平分线的判定与性质的综合运用】 PAGEREF _Tc16260 \h 9
\l "_Tc22963" 【题型9 线段垂直平分线的实际应用】 PAGEREF _Tc22963 \h 10
【知识点1 线段垂直平分线的性质】
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
【题型1 利用线段垂直平分线的性质求长度】
【例1】（2023春·辽宁阜新·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若△ABC的周长是20，AB=4，AC=7，则△AEF的周长为（ ）
A．4B．7C．9D．11
【变式1-1】（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和AC边的中垂线DE交于点D，DM⊥BA的延长线于点M，DN⊥BC于点N．若AB=3，BC=7，则AM的长为 ．
【变式1-2】（2023春·福建福州·八年级校考期中）如图，ΔABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．如果AB=5，AC=3，则AE= ．
【变式1-3】（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为23cm，则OA的长为 ．
【题型2 利用线段垂直平分线的性质求最值】
【例2】（2023春·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=10，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则△ABP周长的最小值是 ．
【变式2-1】（2023春·江西九江·八年级统考开学考试）如图，在△ABC中，AC=4，BC边上的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周长是11，则直线DE上任意一点到A、C距离和最小为（ ）
A．28B．18C．10D．7
【变式2-2】（2023春·山东济南·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC=2，△ABC面积为3，则BM+MD长度的最小值等于 ．
【变式2-3】（2023春·山东青岛·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D为AB中点，点P在AC上从C向A运动；同时，点Q在BC上从B向C运动，当∠PDQ＝ 时，△PDQ的周长最小．
【题型3 利用线段垂直平分线的性质求角度】
【例3】（2023春·福建宁德·八年级统考期中）如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM=NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM=ND，若∠A=α，则∠C=（ ）
A．32αB．90°−12αC．120°−αD．2α−90°
【变式3-1】（2023春·安徽池州·八年级统考开学考试）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ACF=48°，则∠ABC的度数为 ．
【变式3-2】（2023春·四川甘孜·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠B=32°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，求∠C的度数．
【变式3-3】（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AOB=α，则∠AIB的大小为（ ）
A．αB．14α+90°C．12α+90°D．180°−12α
【题型4 利用线段垂直平分线的性质探究角度、线段之间的关系】
【例4】（2023春·福建三明·八年级统考期末）如图，四边形ABCD是长方形，E是边CD的中点，连接AE并延长交边BC的延长线于F，过点E作AF的垂线交边BC于M，连接AM．
（1）请说明 ΔADE ≌ ΔFCE；
（2）试说明AM = BC + MC；
（3）设S△AEM= S1，S△ECM= S2，S△ABM= S3，试探究S1，S2，S3三者之间的等量关系，并说明理由．
【变式4-1】（2023春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）△ABC的两边AB、AC的中垂线交于边BC上的P点，则线段PA和BC的关系正确的是（ ）
A．PA<12BCB．PA=12BCC．PA>12BCD．PA≥12BC
【变式4-2】（2023春·河南平顶山·八年级统考期末）如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB．
(1)如图1，请指出AB与PB的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由．
【变式4-3】（2023春·山东日照·八年级统考期末）如图1，在直角△ABC中，∠C=90°，分别作∠CAB的平分线AP和AB的垂直平分线DP，交点为P．
（1）如图2，若点P正好落在BC边上．
①求∠B的度数；
②求证：BC=3PC．
（2）如图3，若点C、P、D恰好在一条直线上，线段AD、PD、BC之间的数量关系是否满足AD+PD=BC？若满足，请给出证明；若不满足，请说明理由．
【题型5 利用线段垂直平分线的性质证明】
【例5】（2023春·陕西榆林·八年级校考期末）如图，在四边形ABDC中，AD所在直线垂直平分线段BC，过点C作CF∥BD交AB于点F，延长AB，CD交于点E．求证：
(1)CB平分∠ECF；
(2)∠ACF=∠E．
【变式5-1】（2023春·重庆綦江·八年级校联考期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D， DM丄AB与M， DN丄AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现．
【变式5-2】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E、F在AB上，连接CE，CF， 且CF=BF．已知∠A=50°，∠ACE=30°，试证明∠CFE=∠CEF．
【变式5-3】（2023春·福建龙岩·八年级校考开学考试）已知（如图），在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，交AB于点E，连结EF．
(1)求证：BG=CF．
(2)试判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
【知识点2 线段垂直平分线的判定】
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，（这样的点需要找两个）
【题型6 线段垂直平分线的判定】
【例6】（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．
(1)求证：AD垂直平分EF；
(2)若AB=3，AC=2，△ABC的面积是4，则DE= ．
【变式6-1】（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图所示，已知AD⊥BC于点D，BD=DC，AB+BD=DE，求证：点C在AE的垂直平分线上．
【变式6-2】（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，交CD于点F，过点E作EG∥CD，交AB于点G，连接CG．
(1)求证：∠A+∠AEG=90°；
(2)求证：EC=EG；
(3)若CG=4，BE=5，求四边形BCEG的面积．
【变式6-3】（2023春·陕西汉中·八年级统考期末）如图，AD与BC相交于点O，AB=CD，∠ABC=∠CDA，EB=ED，连接OE，BD，求证；OE垂直平分BD．
【题型7 尺规作线段垂直平分线】
【例7】（2023春·山东威海·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，请用尺规作图法在AC上求作一点M，使MC+MB=AC，并连接MB．（保留作图痕迹，不写作法）
【变式7-1】（2023春·湖南郴州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．
(1)尺规作图：作边AC的垂直平分线交BC于点D，连接AD（要求：保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
(2)在（1）作出的图形中，求△ABD的周长．
【变式7-2】（2023春·广东深圳·八年级深圳市福田区上步中学校考期中）如图，已知△ABC，AB
B．
C． D．
【变式7-3】（2023春·上海闵行·八年级校考期中）如图，点P在∠AOB外，点Q在边OA上，按要求画图，写出作图结论，并填空．
(1)过点P分别画PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别是E、F．
(2)连接PQ，用尺规作线段PQ的垂直平分线MN．
(3)过P、Q两点分别作OA、OB的平行线交于点G；若∠AOB=120°，则∠G=______________．
【题型8 线段垂直平分线的判定与性质的综合运用】
【例8】（2023春·广东河源·八年级校考期中）如图：在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在AB，AC边上，且DE⊥DF．
(1)猜想：EF BE+CF（填上“<”、“=”或“>”）；
(2)证明你的猜想．
【变式8-1】（2023春·福建福州·八年级统考期末）如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．
(1)求证：∠ACB＝∠ACD；
(2)过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P．
①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE；
②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合．
【变式8-2】（2023春·河北唐山·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①∠FCD=45°；②AE=EC；③S△ABF:S△AFC=AD:FD；④若BF=2EC，则BC=AB．
正确的结论序号是（ ）
A．①②B．①②④C．②③④D．①③④
【题型9 线段垂直平分线的实际应用】
【例9】（2023春·河南平顶山·八年级统考期末）（1）图1是小正方形的边长均为1的方格纸，请你涂出一个图形（所有顶点都在格点上），使其满足如下条件：①图形的面积为7；②图形是轴对称图形．
（2）如图2，一条笔直的公路MN同一侧有两个村庄A和B，现准备在公路MN上修一个公共汽车站点P，使站点P到两个村庄A和B的距离相等．请你用尺规作图找出点P的位置，不写作法，保留作图痕迹．
【变式9-1】（2023春·河北秦皇岛·八年级校考开学考试）元旦联欢会上，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边中线的交点D．三边上高的交点
【变式9-2】（2023春·广西北海·八年级统考期中）如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站P，分别向A、B两个开发区运货．若要求货站到A、B两个开发区的距离相等，那么货站应建在那里？不写作法，保留作图痕迹．
【变式9-3】（2023春·贵州毕节·八年级统考期末）作图题：
金沙县新城区黄河大道l的一侧有A、B两个商住小区，为了方便居民出行，公交公司准备在黄河大道l上修建一个公交车站．请问公交车站P建在什么位置从商住小区A乘坐公交车到小区B的路程最近，请在图中做出点P的位置．
专题15.4 线段的垂直平分线的判定与性质【九大题型】
【沪科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32378" 【题型1 利用线段垂直平分线的性质求长度】 PAGEREF _Tc32378 \h 1
\l "_Tc7832" 【题型2 利用线段垂直平分线的性质求最值】 PAGEREF _Tc7832 \h 5
\l "_Tc9321" 【题型3 利用线段垂直平分线的性质求角度】 PAGEREF _Tc9321 \h 9
\l "_Tc3497" 【题型4 利用线段垂直平分线的性质探究角度之间的关系】 PAGEREF _Tc3497 \h 13
\l "_Tc6718" 【题型5 利用线段垂直平分线的性质证明】 PAGEREF _Tc6718 \h 19
\l "_Tc12846" 【题型6 线段垂直平分线的判定】 PAGEREF _Tc12846 \h 24
\l "_Tc11587" 【题型7 尺规作线段垂直平分线】 PAGEREF _Tc11587 \h 27
\l "_Tc16260" 【题型8 线段垂直平分线的判定与性质的综合运用】 PAGEREF _Tc16260 \h 31
\l "_Tc22963" 【题型9 线段垂直平分线的实际应用】 PAGEREF _Tc22963 \h 38
【知识点1 线段垂直平分线的性质】
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
【题型1 利用线段垂直平分线的性质求长度】
【例1】（2023春·辽宁阜新·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若△ABC的周长是20，AB=4，AC=7，则△AEF的周长为（ ）
A．4B．7C．9D．11
【答案】C
【分析】先根据△ABC的周长公式求得BC=9，再根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，FA=FC，根据△AEF的周长公式计算，即可得到答案．
【详解】解：∵△ABC的周长是20，
∴AB+AC+BC=20
∵AB=4，AC=7，
∴BC=9，
∵EG是线段AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
同理，FA=FC，
∴△AEF的周长=EA+EF+FA=EB+EF+FC=BC=9，
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·四川成都·八年级校考期中）如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和AC边的中垂线DE交于点D，DM⊥BA的延长线于点M，DN⊥BC于点N．若AB=3，BC=7，则AM的长为 ．
【答案】2
【分析】连接AD，CD，由“AAS”可证△BDM≅△BDN，可得BM=BN，由“HL”可证Rt△ADM≅Rt△CDN，可得AM=CN，即可求解．
【详解】解：连接AD，CD，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
在△BDM和△BDN中，
∠DMB=∠DNB=90°∠ABD=∠DBCBD=BD，
∴△BDM≅△BDNAAS，
∴BM=BN，DM=DN，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
在Rt△ADM和Rt△CDN中，
AD=CDDM=DN，
∴Rt△ADM≅Rt△CDNHL，
∴AM=CN，
∵AB=3，BC=7，
∴BC−AB=BN+CN−BM−AM=2AM=4，
∴AM=2，
故答案为2．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
【变式1-2】（2023春·福建福州·八年级校考期中）如图，ΔABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．如果AB=5，AC=3，则AE= ．
【答案】4
【分析】连接BD，根据角平分线的性质可得DE=DF，根据线段垂直平分线的性质，可得BD=CD，继而可证得Rt△BED≅Rt△CFD，可得BE=CF，再证得△AED≅△AFD，得到AE=AF，设BE=x，由AB−BE=AC+CF，即可得方程5−x=3+x，解方程求出x，进而可求得AE．
【详解】解：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD=CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
BD=CDDE=DF，
∴Rt△BED≅Rt△CFD(HL)，
∴BE=CF，
在△AED和△AFD中，
∠AED=∠AFD=90°∠EAD=∠FADAD=AD，
∴△AED≅△AFD(AAS)，
∴AE=AF，
设BE=x，则CF=x，
∵AB=5，AC=3，AE=AB−BE，AF=AC+CF，
∴5−x=3+x，
解得：x=1，
∴BE=1，
∴AE=AB−BE=5−1=4，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解是解决问题的关键．
【变式1-3】（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为23cm，则OA的长为 ．
【答案】6cm
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得DA=DB，EA=EC，OA=OB=OC，从而可求出BC=11cm，然后根据△OBC的周长为23cm，即可求出OB的长，即可解答．
【详解】解：∵OM是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，OA=OB，
∵ON是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，OA=OC，
∴OB=OC，
∵△ADE的周长为11cm，
∴AD+DE+AE=11cm，
∴BD+DE+CE=11cm，
∴BC=11cm，
∵△OBC的周长为23cm，
∴OB+OC=23−11=12cm，
∴OB=OC=6cm，
∴OA=OC=6cm，
故答案为：6cm．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
【题型2 利用线段垂直平分线的性质求最值】
【例2】（2023春·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=10，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则△ABP周长的最小值是 ．
【答案】12
【分析】根据题意知PB=PC，故当点P与点D重合时，AP+BP的最小值等于AC的长，根据AB，AC的长度即可得到△ABP周长的最小值．
【详解】解：连接PC，设AC交EF于D，
∵EF垂直平分BC，
∴PB=PC，
∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，
∵AB=5，AC=7，
∴△ABP周长的最小值是AB+AC=5+7=12．
故答案为：12．
【点睛】此考查了垂直平分线的性质、最短路径等知识，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·江西九江·八年级统考开学考试）如图，在△ABC中，AC=4，BC边上的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周长是11，则直线DE上任意一点到A、C距离和最小为（ ）
A．28B．18C．10D．7
【答案】D
【分析】利用垂直平分线的性质和已知的三角形的周长计算．
【详解】解：∵DE是BC的中垂线，
∴BE=EC，
则AB=EB+AE=CE+EA，
又∵△AEC的周长为11，
故AB=11−4=7，
直线DE上任意一点到A、C距离和最小为7．
故选：D．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）有关知识．难度简单．
【变式2-2】（2023春·山东济南·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC=2，△ABC面积为3，则BM+MD长度的最小值等于 ．
【答案】3
【分析】连接AD,AM，利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，根据三角形面积公式求出AD=3，利用基本作图得到EF垂直平分AB，则MA=MB，所以BM+MD=MA+MD≥AD，当且仅当A、M、D共线时取等号，从而得到BM+MD的最小值．
【详解】解：连接AD,AM，如图，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵△ABC的面积为3，
∴12×2AD=3，
解得AD=3，
由作法得EF垂直平分AB，
∴MA=MB，
∵BM+MD=MA+MD≥AD，
∴当且仅当A、M、D共线时，MA+MD的最小值为3，
∴BM+MD的最小值是3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了作图-基本作图-作已知线段的垂直平分线，等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和最短路径问题，确定出当且仅当A、M、D共线时，MA+MD取得最小值是解题的关键．
【变式2-3】（2023春·山东青岛·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D为AB中点，点P在AC上从C向A运动；同时，点Q在BC上从B向C运动，当∠PDQ＝ 时，△PDQ的周长最小．
【答案】28°/28度
【分析】根据两点之间线段最短，把三角形的周长转化为一条线段的长，利用三角形的内角和及平角的定义求解．
【详解】过点D作DF⊥BC于N，并截取NF＝DN，过点D作DE⊥AC于M，并截取ME＝DM，连接EF，则EF的长为△PDQ的最小值，
根据作图知：AC垂直平分DE，BC垂直平分DF，
∴DQ＝FQ，PD＝PE，
∴DQ+DP+PQ＝FQ+PE+PQ，
根据两点之间线段最短，所以EF的长是△PDQ的最小值，
此时有：∠FDQ=12∠DQP，∠MDP=12∠DPQ，
在△ABC中有∠A＝54°，∠C＝76°，
∴∠B＝180°－∠A－∠C ＝50°，
∴∠BDN＝40°，∠ADM＝36°，
∴∠PDQ＝180°﹣∠BDN﹣∠ADM﹣∠FDQ﹣∠MDP
＝180°﹣40°﹣36°−12（∠DQP+∠DPQ）
＝104°−12（180°﹣∠PDQ）
＝104°﹣90°+12∠PDQ，
解得：∠PDQ＝28°．
故当∠PDQ＝28°时，△PDQ的周长最小．
故答案为：28°
【点睛】本题考查了最短路径问题，通过轴对称把问题进行转化是解题的关键．
【题型3 利用线段垂直平分线的性质求角度】
【例3】（2023春·福建宁德·八年级统考期中）如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM=NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM=ND，若∠A=α，则∠C=（ ）
A．32αB．90°−12αC．120°−αD．2α−90°
【答案】D
【分析】根据看垂直平分线的性质可得∠ABM=∠NBM=90°−α，NM=ND和BM⊥AC，ND⊥BC可得BN平分∠NDM，进而得到∠ABM=∠DBN=∠NBM=90°−α，最后由三角形内角和求出∠C即可．
【详解】∵AM=NM，BM⊥AC，∠A=α，
∴∠ABM=∠NBM=90°−α，
∵NM=ND，BM⊥AC，ND⊥BC，
∴BN平分∠NDM，
∴∠ABM=∠DBN=∠NBM=90°−α，
∴∠ABC=∠ABM+∠DBN+∠NBM=270°−3α，
∴∠C=180°−∠A−∠ABC=180°−270°−3α−α=2α−90°，
故选：D．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【变式3-1】（2023春·安徽池州·八年级统考开学考试）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ACF=48°，则∠ABC的度数为 ．
【答案】48°
【分析】由角平分线的定义可得∠ABD=∠BCD，由垂直平分线的性质可得BF=CF，从而得到∠FBC=∠FCB，进而得到∠ABD=∠FBC=∠FCB，由三角形内角和定理进行计算即可得到答案．
【详解】解：∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠BCD，
∵ EF垂直平分BC，
∴BF=CF，
∴∠FBC=∠FCB，
∴∠ABD=∠FBC=∠FCB，
∵∠A+∠ACF+∠ABD+∠CBD+∠BCF=180°，∠A=60°，∠ACF=48°，
∴∠ABD=∠CBD=∠BCF=24°，
∴∠ABC=2∠ABD=48°，
故答案为：48°．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
【变式3-2】（2023春·四川甘孜·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠B=32°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，求∠C的度数．
【答案】∠C=84°
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，∠DAB=∠B=32°，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=32°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAB=2∠DAB=64°，
∴∠C=180°−∠CAB−∠B=180°−64°−32°=84°，
∴∠C=84°．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义．掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【变式3-3】（2023春·河北保定·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AOB=α，则∠AIB的大小为（ ）
A．αB．14α+90°C．12α+90°D．180°−12α
【答案】B
【分析】连接CO并延长，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OC，OB=OC，根据等腰三角形的性质得到∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，根据三角形的外角性质计算，得到∠AOB=12(∠OCA+∠OCB)=α．根据三角形内角和定理得到∠IAB+∠IBA=180°−∠AIB，根据角平分线的定义得到∠IAB+∠IBA=90°−α4，求出∠AIB．
【详解】解：连接CO并延长，
∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，
∴OA=OC，OB=OC，
∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，
∵∠AOD是△AOC的一个外角，
∴∠AOD=∠OCA+∠OAC=2∠OCA，
同理，∠BOD=2∠OCB，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠OCA+2∠OCB=α，
∴∠OCA+∠OCB=α2，
∴∠ACB=α2，
∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠IAB=12∠CAB，∠IBA=12∠CBA，
∴∠IAB+∠IBA=12(∠CAB+∠CBA)=12(180°−∠ACB)=90°−α4，
∴∠AIB=180°−(∠IAB+∠IBA)=90°+α4，
故选：B．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【题型4 利用线段垂直平分线的性质探究角度、线段之间的关系】
【例4】（2023春·福建三明·八年级统考期末）如图，四边形ABCD是长方形，E是边CD的中点，连接AE并延长交边BC的延长线于F，过点E作AF的垂线交边BC于M，连接AM．
（1）请说明 ΔADE ≌ ΔFCE；
（2）试说明AM = BC + MC；
（3）设S△AEM= S1，S△ECM= S2，S△ABM= S3，试探究S1，S2，S3三者之间的等量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）S3=2S1-4S2，理由见解析．
【分析】（1）根据ASA可证得 ΔADE ≌ ΔFCE；
（2）由（1）可得AE=EF，AD=CF，根据垂直平分线的性质可得再由线段等量关系即可说明AM = BC + MC；
（3）由AE=EF得出S△ECF=S1-S2，再由底和高的倍数关系得到S△ABF=4S△ECF=4S1-4S2，从而根据S3=S△ABF-S△MAF得到结果．
【详解】解：（1）∵E是边CD的中点，
∴DE=CE，
∵∠D=∠DCF=90°，∠DEA=∠ECF，
∴△ADE≌△FCE（ASA）；
（2）由（1）得AE=EF，AD=CF，
∴点E为AF中点，
∵ME⊥AF，
∴AM=MF，
∵MF=CF+MC，
∵AD=BC=CF，
∴MF=BC+MC，
即AM=BC+MC；
（3）S3=2S1-4S2，理由是：
由（2）可知：AE=EF，AD=BC=CF，
∴S1=S△MEF=S2+S△ECF，
∴S△ECF=S1-S2，
∵AB=2EC，BF=2CF，∠B=∠ECF=90°，
∴S△ABF=4S△ECF=4S1-4S2，
∴S3=S△ABF-S△MAF=S△ABF-2S1=2S1-4S2．
【点睛】本题考查了长方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理。熟记性质并找出三角形全等的条件是解题的关键．
【变式4-1】（2023春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）△ABC的两边AB、AC的中垂线交于边BC上的P点，则线段PA和BC的关系正确的是（ ）
A．PA<12BCB．PA=12BCC．PA>12BCD．PA≥12BC
【答案】B
【分析】依据线段垂直平分线的性质，即可得到AP＝BP＝CP，进而得出线段PA和BC的关系．
【详解】解：如图所示，△ABC的两边AB、AC的中垂线交于边BC上的P点，
∴AP＝BP，AP＝CP，
∴AP＝BP＝CP＝12BC，
故选：B．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
【变式4-2】（2023春·河南平顶山·八年级统考期末）如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB．
(1)如图1，请指出AB与PB的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)AB=PB，理由见解析
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）连接BQ，根据BC垂直平分OQ，可知BO=BQ，则∠BOQ=∠BQO，根据OF平分∠MON，则∠AOB=∠BOQ，即∠AOB=∠BQO，根据OA=QP，可知△AOB≌△PQB，则可知AB=PB；
（2）如图，连接BQ，根据BC垂直平分OQ，可知BQ=BO，CQ=CO结合条件可证△BQC≌△BOC，则∠BQO=∠BOQ，根据OF平分∠MON，∠BOQ=∠FON，可知∠AOF=∠FON=∠BOQ，则∠AOF=∠BQO，进而可知∠AOB=∠PQB，由此可证△AOB≌△PQB（SAS），则AB=PB．
【详解】（1）解：AB=PB
理由如下：
连接BQ
∵BC垂直平分OQ
∴BO=BQ
∴∠BOQ=∠BQO
∵OF平分∠MON
∴∠AOB=∠BOQ
∴∠AOB=∠BQO
∵OA=QP
∴△AOB≌△PQB
∴AB=PB；
（2）存在，
理由：如图，连接BQ，
∵BC垂直平分OQ，
∴BQ=BO，CQ=CO
在△BQC和△BOC中，BC=BCCQ=COBQ=BO
∴△BQC≌△BOC（SSS）
∴∠BQO=∠BOQ，
∵OF平分∠MON，
∠BOQ=∠FON，
∴∠AOF=∠FON=∠BOQ，
∴∠AOF=∠BQO，
∴∠AOB=∠PQB，
在△AOB和△PQB中，OA=PQ∠AOB=∠PQBBO=BQ
∴△AOB≌△PQB（SAS），
∴AB=PB．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，本题属于中考常考问题．
【变式4-3】（2023春·山东日照·八年级统考期末）如图1，在直角△ABC中，∠C=90°，分别作∠CAB的平分线AP和AB的垂直平分线DP，交点为P．
（1）如图2，若点P正好落在BC边上．
①求∠B的度数；
②求证：BC=3PC．
（2）如图3，若点C、P、D恰好在一条直线上，线段AD、PD、BC之间的数量关系是否满足AD+PD=BC？若满足，请给出证明；若不满足，请说明理由．
【答案】（1）①∠B的度数是30°；②见解析；（2）满足，理由见解析
【分析】（1）①由垂直平分线与角平分线的性质证明：∠PAD=∠PAC=∠B，再利用直角三角形的内角和定理即可得到答案；②先利用角平分线的性质证明PC=PD，再用∠B=30°证明BP=2PD，进而即可得到结论；
（2）过点P作PE⊥AC于点E，由垂直平分线的性质可知AC=BC，∠ACD=∠BCD=45°，进而证明PE=CE，由角平分线的性质可知PE=PD，即可证明Rt△AEP≌Rt△ADP（HL），可得AE=AD，再利用线段的和差性质即可证明AD+PD=BC．
【详解】（1）①∵DP是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
∴∠PAD=∠B，
又∵AP平分∠CAB，
∴∠PAD=∠PAC，
∴∠PAD=∠PAC=∠B，
设∠B=x°，则∠CAB=∠PAD+∠PAC=2x°，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
即3x=90，x=30，
∴∠B的度数是30°．
②∵AP平分∠CAB，∠C=90°，DP⊥AB，
∴PC=PD，
∵在Rt△BDP中，∠B=30°，
∴BP=2PD，
∴BC=BP+PC=3PC．
（2）如图，过点P作PE⊥AC于点E，
∵CD是AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=45°．
∵PE⊥AC，
∴∠CPE=90°−∠PCE=90°−45°=45°=∠PCE，
∴PE=CE，
又∵AP平分∠CAB，PD⊥AB，PE⊥AC，
∴PE=PD，
∴在Rt△AEP和Rt△ADP中，
AP=AP,PE=PD,
∴Rt△AEP≌Rt△ADP（HL），
∴AE=AD，
∴AC=AE+EC=AD+PE=AD+PD，
又∵AC=BC，
∴AD+PD=BC．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、锐角三角函数、等腰直角三角形的性质、直角三角形全等的判定与性质、含30°的直角三角形的性质、线段的和差性质，解答本题的关键是掌握并熟练运用以上知识．
【题型5 利用线段垂直平分线的性质证明】
【例5】（2023春·陕西榆林·八年级校考期末）如图，在四边形ABDC中，AD所在直线垂直平分线段BC，过点C作CF∥BD交AB于点F，延长AB，CD交于点E．求证：
(1)CB平分∠ECF；
(2)∠ACF=∠E．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由AD所在直线垂直平分线段BC得到BD=CD，从而得到∠BCD=∠CBD，再利用平行线的性质可知∠CBD=∠FCB，再用等量代换即可证明；
（2）由AD所在直线垂直平分线段BC得到AC=AB，∠ACB=∠ABC，从而得到∠E+∠BCE=∠ACB=∠ACF+∠FCB，再根据∠FCB=∠BCE即可得证．
【详解】（1）证明：∵AD所在直线垂直平分线段BC，
∴BD=CD，
∴∠BCD=∠CBD．
∵BD∥CF，
∴∠CBD=∠FCB，
∴∠FCB=∠BCD，
即CB平分∠ECF；
（2）∵AD所在直线垂直平分线段BC，
∴AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC．
∵∠ABC是△BCE的一个外角，
∴∠ABC=∠E+∠BCE，
∴∠ABC=∠E+∠BCE=∠ACB=∠ACF+∠FCB．
又∵∠FCB=∠BCD，即∠FCB=∠BCE，
∴∠ACF=∠E．
【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形的外角的性质，垂直平分线的性质，平行线的性质等知识，掌握相关定理是解题的关键．
【变式5-1】（2023春·重庆綦江·八年级校联考期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D， DM丄AB与M， DN丄AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现．
【答案】BM=CN，证明见解析．
【分析】如图（见解析），先根据角平分线的性质可得DM=DN，再根据垂直平分线的性质可得BD=CD，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质即可得．
【详解】BM=CN，证明如下：
如图，连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵DE垂直平分BC，
∴BD=CD，
在Rt△BMD与Rt△CND中，DM=DNBD=CD，
∴Rt△BMD≅Rt△CND(HL)，
∴BM=CN．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、直角三角形全等的判定定理与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
【变式5-2】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E、F在AB上，连接CE，CF， 且CF=BF．已知∠A=50°，∠ACE=30°，试证明∠CFE=∠CEF．
【答案】证明见解析
【分析】如图所示，取BC中点G，连接FG，证明FG在线段BC的垂直平分线上，得到∠FGC=∠FGB=90°，进而证明△FGC≌△FGB得到∠FCG=∠FBG，利用三角形内角和定理求出∠FCB=∠B=40°，再利用三角形外角的性质分别求出∠CFE、∠CEF的度数即可证明结论．
【详解】证明：如图所示，取BC中点G，连接FG，
∵CF=BF，
∴FG在线段BC的垂直平分线上，
∴FG⊥BC，
∴∠FGC=∠FGB=90°，
又∵FG=FG，CG=BG，
∴△FGC≌△FGBSAS，
∴∠FCG=∠FBG，
在在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，
∴∠B=180°−∠ACB−∠A=40°，
∴∠FCB=∠B=40°，
∴∠CFE=∠FCB+∠B=80°，
又∵∠CEF=∠A=50°+∠ACE=80°，
∴∠CFE=∠CEF．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等等，证明∠FCG=∠FBG是解题的关键．
【变式5-3】（2023春·福建龙岩·八年级校考开学考试）已知（如图），在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，交AB于点E，连结EF．
(1)求证：BG=CF．
(2)试判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)BE+CF>EF，理由见解析
【分析】（1）先利用ASA判定△BGD≌△CFD，从而得出BG=CF；
（2）再利用全等的性质可得GD=FD，再有DE⊥GF，从而得出EG=EF，两边和大于第三边从而得出BE+CF>EF．
【详解】（1）证明：∵BG∥AC，
∴∠DBG=∠DCF．
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
在△BGD与△CFD中，
∠DBG=∠DCFBD=CD∠BDG=∠CDF，
∴△BGD≌△CFDASA．
∴BG=CF．
（2）解：BE+CF>EF．
理由如下：连接EG，
∵△BGD≌△CFDASA，
∴GD=FD，BG=CF．
又∵DE⊥FG，
∴DE垂直平分FG，
∴EG=EF．
∴在△EBG中，BE+BG>EG，
即BE+CF>EF．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质、线段垂直平分线的定义和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法并根据条件灵活选择是解题的关键．
【知识点2 线段垂直平分线的判定】
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，（这样的点需要找两个）
【题型6 线段垂直平分线的判定】
【例6】（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．
(1)求证：AD垂直平分EF；
(2)若AB=3，AC=2，△ABC的面积是4，则DE= ．
【答案】(1)见解析
(2)85
【分析】（1）由角平分线的性质得DE=DF，再由Rt△AED≌Rt△AFDHL，得AE=AF，从而证明结论；
（2）根据三角形的面积公式，代入计算即可．
【详解】（1）∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，
∴DE=DF，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
AD=ADDE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△AFDHL，
∴AE=AF，
∵DE=DF，
∴AD垂直平分EF；
（2）∵DE=DF，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=12AB⋅ED+12AC⋅DF=12DEAB+AC=4，
∵AB=3，AC=2，
∴DE=85，
故答案为：85．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
【变式6-1】（2023春·陕西宝鸡·八年级统考期中）如图所示，已知AD⊥BC于点D，BD=DC，AB+BD=DE，求证：点C在AE的垂直平分线上．
【答案】见解析
【分析】由AD⊥BC，BD=DC，得到AD是BC的垂直平分线，因此AB=AC．再根据AB+BD=DE，可推出AC=CE，因此得证点C在AE的垂直平分线上．
【详解】∵AD⊥BC，BD=DC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AB=AC．
∵AB+BD=DE，
∴AB+BD=CD+CE=AC+CD，
∴AC=CE，
∴点C在AE的垂直平分线上．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质与判定是解题的关键．
【变式6-2】（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，交CD于点F，过点E作EG∥CD，交AB于点G，连接CG．
(1)求证：∠A+∠AEG=90°；
(2)求证：EC=EG；
(3)若CG=4，BE=5，求四边形BCEG的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)四边形BCEG的面积为10．
【分析】（1）证明EG⊥AB，即可证明结论成立；
（2）利用角平分线性质定理即可证明结论成立；
（3）证明Rt△EBG≌Rt△EBCHL，推出BE是线段CG的垂直平分线，利用四边形的面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：∵EG∥CD，CD⊥AB，
∴EG⊥AB，
∴∠A+∠AEG=90°；
（2）证明：∵BE平分∠ABC，EG⊥AB，∠ACB=90°，
∴EC=EG；
（3）解：∵EC=EG，EB=EB，
∴Rt△EBG≌Rt△EBCHL，
∴BC=BG，
∴BE是线段CG的垂直平分线，
∴四边形BCEG的面积=12BE×CG=12×5×4=10．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【变式6-3】（2023春·陕西汉中·八年级统考期末）如图，AD与BC相交于点O，AB=CD，∠ABC=∠CDA，EB=ED，连接OE，BD，求证；OE垂直平分BD．
【答案】见解析
【分析】先证明△ABO≌△CDO得到OB=OD，再由EB=ED即可证明OE垂直平分BD．
【详解】证明：在△ABO和△CDO中，
∠AOB=∠COD∠ABO=∠CDOAB=CD
∴△ABO≌△CDOAAS，
∴OB=OD，
又∵EB=ED，
∴OE垂直平分BD．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，证明△ABO≌△CDO得到OB=OD是解题的关键．
【题型7 尺规作线段垂直平分线】
【例7】（2023春·山东威海·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，请用尺规作图法在AC上求作一点M，使MC+MB=AC，并连接MB．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】根据题意，作AB的垂直平分线与AC的交点即为点M，即可解答．
【详解】∵在AC上求作一点M，
∴AM+MC=AC，
∵MC+MB=AC，
∴MB=AM，
即点M在线段AB的垂直平分线上．
如图，点M即为所求．
【点睛】本题考查了尺规作图-垂直平分线，垂直平分线的性质，熟知垂直平分线的性质是解题的关键．
【变式7-1】（2023春·湖南郴州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．
(1)尺规作图：作边AC的垂直平分线交BC于点D，连接AD（要求：保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
(2)在（1）作出的图形中，求△ABD的周长．
【答案】(1)见解析
(2)13
【分析】（1）根据垂直平分线的作法，作出AC的垂直平分线；
（2）根据垂直平分线的性质得出AD=CD，进而根据AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC，即可求解．
【详解】（1）如图，
（2）∵AC的垂直平分线交BC于点D
∴AD=CD
∴△ABD的周长为：AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13
【点睛】本题考查线段垂直平分线的作法和性质，解题的关键是正确画出图形．
【变式7-2】（2023春·广东深圳·八年级深圳市福田区上步中学校考期中）如图，已知△ABC，AB
B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用PB+PC=BC，PA+PB=BC，，则可判断PA=PC，根据线段垂直平分线的性质得到点P为AC的垂直平分线与BC的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．
【详解】解：∵PB+PC=BC，PA+PB=BC，
∴PA=PC，
∴点P在线段AC的垂直平分线上，即：点P为AC的垂直平分线与BC的交点．
故选：B．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的判定以及尺规作图，解题的关键是掌握尺规作图的方法，并通过题意确定点P的位置．
【变式7-3】（2023春·上海闵行·八年级校考期中）如图，点P在∠AOB外，点Q在边OA上，按要求画图，写出作图结论，并填空．
(1)过点P分别画PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别是E、F．
(2)连接PQ，用尺规作线段PQ的垂直平分线MN．
(3)过P、Q两点分别作OA、OB的平行线交于点G；若∠AOB=120°，则∠G=______________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析；60°
【分析】（1）先延长AO，然后再过点P作PE⊥OA于点E，过点P作PF⊥OB于点F即可；
（2）分别以点P和点Q为圆心，大于12PQ为半径画弧，两弧交于两点M、N，连接MN即可；
（3）根据要求作图，然后根据平行线的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，PE，PF为所画的垂线；
（2）解：如图，MN为所求作的直线；
（3）解：如图，PG、QG为所求作的平行线；
∵GQ∥OB，∠AOB=120°，
∴∠OQG=180°−∠AOB=60°，
∵PG∥OA，
∴∠PGH=∠OQG=60°．
故答案为：60°．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线作图，作垂线，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本的作图方法，平行线的性质．
【题型8 线段垂直平分线的判定与性质的综合运用】
【例8】（2023春·广东河源·八年级校考期中）如图：在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在AB，AC边上，且DE⊥DF．
(1)猜想：EF BE+CF（填上“<”、“=”或“>”）；
(2)证明你的猜想．
【答案】(1)<
(2)见解析
【分析】（1）根据图形直接作答即可；
（2）如图，延长FD至G，使FD=GD，连接BG，EG．证明△CDF≌△BDG，推出CF=BG，得出ED垂直平分FG，可得EF=EG，然后根据三角形的三边关系和线段间的代换即可证得结论．
【详解】（1）猜想：EF< BE+CF；
故答案为：<；
（2）证明：如图，延长FD至G，使FD=GD，连接BG，EG．
∵点D是BC的中点，
∴ BD=CD．
在△CDF和△BDG中，
CD=BD,∠CDF=∠BDG,FD=DG,
∴ △CDF≌△BDG．
∴ CF=BG．
∵ DE⊥DF，
∴ED垂直平分FG，
∴ EF=EG．
∵ EG，BE，BG组成了一个三角形，
∴ BE+BG>EG，
又EF=EG，CF=BG，
∴ BE+CF>EF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系以及线段垂直平分线的性质，正确添加辅助线，证明三角形全等是解题的关键．
【变式8-1】（2023春·福建福州·八年级统考期末）如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝CD，CA＝CE．
(1)求证：∠ACB＝∠ACD；
(2)过点E作ME∥AB，交AC的延长线于点M，过点M作MP⊥DC，交DC的延长线于点P．
①连接PE，交AM于点N，证明AM垂直平分PE；
②点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，证明点O与点E重合．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）用HL证明Rt△ABC≌Rt△ADC，即可得到结论；
（2）①证明△NEC≌△NPC (SAS)即可；
②作P点关于AE的对称点P'，连接MP'交AE于点O，证明∠ MP'P=30°即可．
【详解】（1）证明：在Rt△ABC和Rt△ADC中，
BC＝CD，AC=AC，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC，
∴∠ACB=∠ACD；
（2）∵Rt△ABC≌Rt△ADC，
∴∠BAC=∠CAD，
∵CA=CE，
∴∠CAE=∠CED，
∵∠EBA=90°，
∴∠BEA=∠BAC=∠CAE=30°，
∵PD⊥AE，MP⊥PD，
∴AE∥MP，
∴∠PMC=∠MAE=30°，
∵ME∥AB，
∴∠MEB=90°，
∴∠MEA=120°，
∵∠MAE=30°，
∴∠EMA=30°，
∵CР⊥MP，CE⊥ME，
∴∠MCP=∠MCE=60°，
∴△NEC≌△NPC (SAS)，
∴EN=PN，
∴ N是EP的中点，NC⊥PE，
∴AM垂直平分PE；
②作P点关于AE的对称点P'，连接MP'交AE于点O，
∵AM垂直平分PE，
∴ME=MP，
∵∠EMP=60°，
∴∠MPE=60°，
∴∠EPD=30°，
∴∠P'=30°，
∴∠ MP'P=30°，
∵∠MЕP=60°，
∴O点与E点重合．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质定理，线段垂直平分线的判定及性质，轴对称的性质，正确掌握全等三角形的判定及性质定理是解题的关键．
【变式8-2】（2023春·河北唐山·八年级统考期中）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①∠FCD=45°；②AE=EC；③S△ABF:S△AFC=AD:FD；④若BF=2EC，则BC=AB．
正确的结论序号是（ ）
A．①②B．①②④C．②③④D．①③④
【答案】D
【分析】根据垂直定义可得∠ADB=∠ADC=90°，再利用∠ABC=45°，得到AD=BD，从而可证明△BDF≌△ADC，进而得到FD=CD，即可判断①；根据AB≠BC，BE⊥AC，即可判断②，根据三角形面积公式和它们有一条公共边可得S△ABFS△AFC=BDCD，即可判断③，若BF=2EC，根据△BDF≌△ADC可以得到BF=AC，从而可得E是AC的中点，然后可以推出EF是AC的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质即可判断④．
【详解】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAD=90°−∠ABD=45°，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠C=90°，
∵∠EBC+∠BFD=90°，
∴∠BFD=∠C，
∴△BDF≌△ADC(AAS)，
∴DF=CD，
∴∠FCD=∠DFC=45°，故①正确；
∵AB≠BC，BE⊥AC，
∴AE≠EC，故②不正确；
∵ S△ABFS△AFC=12AF⋅BD12AF⋅CD=BDCD，
∴S△ABF:S△AFC=AD:FD，故③正确；
∵△BDF≌△ADC，
∴BF=AC
∵BF=2EC，
∴AC=2EC，
∴E为AC的中点，
∵BE⊥AC，
∴BE为线段AC的垂直平分线，
∴BA=BC，故④正确，
所以，正确结论的序号是：①③④，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型−旋转型全等是解题的关键．
【变式8-3】（2023春·江苏·八年级期中）（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围是
（2）问题解决：如图②，在△ABC中D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；
（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）2＜AD＜6；（2）证明见解析；（3）BE+DF=EF，证明见解析
【分析】（1）如图1（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质得出BE=AC=4，再根据三角形的三边关系定理即可得；
（2）如图2（见解析），先同（1），根据三角形全等的判定定理与性质得出BM=CF，再根据垂直平分线的判定与性质得出EM=EF，然后根据三角形的三边关系定理、等量代换即可得证；
（3）如图3（见解析），先根据角的和差得出∠NBC=∠D，再根据三角形全等的判定定理与性质可得CN=CF，∠NCB=∠FCD，从而可得∠ECN=70°=∠ECF，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得EN=EF，最后根据线段的和差、等量代换即可得．
【详解】（1）如图1，延长AD至E，使DE=AD，连接BE
∵AD是BC边上的中线
∴BD=CD
在△BDE和△CDA中，BD=CD∠BDE=∠CDADE=DA
∴△BDE≅△CDA(SAS)
∴BE=AC=4
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB−BE
同（1）得：△BMD≅△CFD(SAS)
∴BM=CF
∵DE⊥DF，DM=DF
∴DE是MF的垂直平分线
∴EM=EF
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM>EM
∴BE+CF>EF；
（3）BE+DF=EF；证明如下：
如图3，延长AB至点N，使BN=DF，连接CN
∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°
∴∠NBC=∠D
在△NBC和△FDC中，BN=DF∠NBC=∠DCB=CD
∴△NBC≅△FDC(SAS)
∴CN=CF，∠NCB=∠FCD
∵∠BCD=140°，∠ECF=70°
∴∠BCE+∠FCD=70°
∴∠BCE+∠NCB=70°
∴∠ECN=70°=∠ECF
在△NCE和△FCE中，CN=CF∠ECN=∠ECFCE=CE
∴△NCE≌△FCE(SAS)
∴EN=EF
∵BE+BN=EN
∴BE+DF=EF．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、垂直平分线的判定与性质等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，构造两个全等三角形是解题关键．
【题型9 线段垂直平分线的实际应用】
【例9】（2023春·河南平顶山·八年级统考期末）（1）图1是小正方形的边长均为1的方格纸，请你涂出一个图形（所有顶点都在格点上），使其满足如下条件：①图形的面积为7；②图形是轴对称图形．
（2）如图2，一条笔直的公路MN同一侧有两个村庄A和B，现准备在公路MN上修一个公共汽车站点P，使站点P到两个村庄A和B的距离相等．请你用尺规作图找出点P的位置，不写作法，保留作图痕迹．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据轴对称图形的定义即可；
（2）作AB的垂直平分线即可．
【详解】解：（1）画图规范，满足题意即可，
如图1所示，即为所求；
（2）作图规范，准确即可，如图2．
作法：1．分别以点A,B为圆心，大于12AB为半径画弧，两弧交于两点，
2．过这两点作直线交MN于点P，
如图，点P即为所求．
证明：如图，连接PA,PB,CA,CB,DA,DB，
由作图可知：AC=BC,AD=BD，
点C在AB的垂直平分线上，点D在AB的垂直平分线上，
∴CD垂直平分AB，
∴PA=PB，
故点P即为所求
【点睛】此题主要考查了作图与应用设计，关键是掌握轴对称图形的定义．
【变式9-1】（2023春·河北秦皇岛·八年级校考开学考试）元旦联欢会上，3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的（ ）
A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点
C．三边中线的交点D．三边上高的交点
【答案】A
【分析】根据到线段两端的距离的点在线段的垂直平分线上，即可求解．
【详解】解：根据题意得：凳子的位置到3名同学的距离相等，
∴凳子应放置的最适当的位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟练掌握到线段两端的距离的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．
【变式9-2】（2023春·广西北海·八年级统考期中）如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站P，分别向A、B两个开发区运货．若要求货站到A、B两个开发区的距离相等，那么货站应建在那里？不写作法，保留作图痕迹．
【答案】见解析
【分析】根据线段垂直平分线的性质，只需画线段AB垂直平分线，与公路MN的交点即为中转站P的位置．
【详解】解：如图，点P即为所求．
【点睛】本题考查尺规作图-作线段垂直平分线，熟知线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的性质，能将实际问题转化为作线段AB的垂直平分线是解答的关键．
【变式9-3】（2023春·贵州毕节·八年级统考期末）作图题：
金沙县新城区黄河大道l的一侧有A、B两个商住小区，为了方便居民出行，公交公司准备在黄河大道l上修建一个公交车站．请问公交车站P建在什么位置从商住小区A乘坐公交车到小区B的路程最近，请在图中做出点P的位置．
【答案】见解析
【分析】以A为圆心，适当长为半径画弧交直线l于C、D，分别以C、D为圆心，AD长为半径画弧，交点为A'，连接A'B，交直线l于P，连接AP，由线段垂直平分线的性质可得A'P=AP，则AP+BP=A'P+BP，点P即为所求．
【详解】解：如图，点P即为所求；
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，尺规作垂线．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
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