高中人教A版 (2019)5.5 三角恒等变换第一课时教学设计

5.5.1两角和与差的正弦余弦正切公式（第一课时）

(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第五章)

一、教学目标

1.让学生经历用两点间的距离公式推导两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为学习其他和（差）公式打下基础

2.培养学生观察能力、逻辑推理能力

二、教学重难点

1.两角差的余弦公式的理解与灵活应用

2.两角差的余弦公式的推导过程

三、教学过程

1.1.预备知识：两点间距离公式的探究

在坐标平面内的任意两点P1(x1, y1), P2(x2, y2),如何求

【预设的答案】

【设计意图】引入平面上两点间的距离公式，为后面推导两角差的余弦公式打下基础.

问题1：我们之前学习过六组诱导公式，它们的共同点是，等号左侧都是一个终边落在坐标轴上的特殊角与一个任意角的和或差，现在，我们希望将它们一般化，得到新的公式．你认为新公式应具备怎样的特点？

【活动预设】引导学生猜想：新公式应该含有两个任意角的和或差.

1.2探究两角差的余弦公式

问题2：先前我们在单位圆中利用圆的对称性推导出诱导公式，下面我们继续借助单位圆，采用同样的思路研究含有两个任意角α，β的三角恒等变形公式．首先，我们考虑两个任意角终边不重合时的情形．在平面直角坐标系中，如果已知任意角α，β的正弦、余弦，那么cos（α-β）与它们有什么关系呢？

【活动预设】有的同学可能会写出这样的错误结果:.

【设计意图】加强新旧知识的联系；不同的同学猜测的结果不同，使学生明确常犯的直觉性错误为什么使错误的，激发同学们探索两角差的余弦公式的兴趣.

活动：

写出点的坐标，比较的大小关系，并用距离公式表示出来

【活动预设】P1（cosα，sinα），A1（cosβ，sinβ），P（cos（α－β），sin（α－β）），，.

教师讲授：此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角之间的关系，称为两角差的余弦公式（板书公式）.

【设计意图】让学生亲身经历知识的生成过程，提高学生的观察能力额和逻辑推理能力.

1.3感知公式

练习①cos 45°cos 45°＋sin 45°sin 45°＝           ＝           ；

②cos 60°cos 30°＋sin 60°sin 30°＝      ＝             ；

③cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝    ＝             ；

④cos 150°cos 210°＋sin 150°sin 210°＝    ＝           ．

小结：说明公式可以正用、逆用

逆用：cos αcos β＋sinαsinβ＝                       ；

正用：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β

【设计意图】让学生体会公式的逆用，进一步熟悉公示的特征

问题3： 此公式的有什么样形式和特征呢？

【活动预设】（1）.公式中的为任意角（2）.公示的结构特征：左边是两角差的正弦，右边是两角余弦积与正弦积的和（3）.公式两边符号相反

【设计意图】

2.初步应用，理解概念

值

【预设的答案】

【设计意图】由于是具体的角，拆分过程易于进行，为后面变换函数的种类的思考做出铺垫；培养学生多种途径解决问题的能力

例2

【预设的答案】

【设计意图】通过公式的简单应用，使学生初步理解公式的结构及其功能

3.归纳小结  

【设计意图】

（1）梳理本节课知识；

（2）梳理本节课的主要思想方法，进一步达到培养学生数形结合的意识 .