数学必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换第2课时教案

5.5.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第2课时）

(人教A高中数学必修第一册第五章)

一、教学目标

1.掌握两角和与差的正弦、正切公式的推导，并进行简单的化简求值

2.掌握两角和与差的正弦、正切公式的变形推导，及相关的应用

二、教学重难点

1.两角和与差的正弦、正切公式的推导、逆用、变形及其应用

2.两角和与差的正弦、正切公式的应用

三、教学过程

1.正弦公式正切公式的形成

问题1：两角和与差的正弦

根据两角和与差的余弦公式可推出两角和与差的正弦公式：

Sα＋β：sin(α＋β)＝                                         

Sα－β：sin(α－β)＝                                         

【预设的答案】证明：由诱导公式以及两角和与差的余弦公式可知：

=

而且：

=

例如,

=                                         

=                                         

【预设的答案】

例如,

【对点快练】

1．sin 75°＝____________.

2．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝____________.

【预设的答案】1.   2.

【设计意图】两角和与差的正弦公式是可以由余弦公式推导的，用实际案例让学生感受该公式的应用，用变式训练让学生快速掌握公式的应用。

2.具体感知，理性分析

例1.(1)sin 21°cos 39°＋cos 21°sin 39°等于(　　)

A．　　　 B．　　　

C．　　　 D．1

 (2)已知＜α＜，0＜β＜，cos＝－，sin＝，求sin(α＋β)的值．

【预设的答案】1.C   2.

【变式练习】

已知α∈，β∈且sin(α＋β)＝，cos β＝－，求sin α.

【预设的答案】

【设计意图】两角和与差的正弦公式的基本应用，字母转换为数据。

例2.已知向量，如图所示，将向量绕原点沿逆时针方向旋转到的位置，求点的坐标。

【预设的答案】

例3.求证：

例4.在求函数的最小值时，下面的说法正确吗？

“因为的最小值为-1，的最小值为-1，所以的最小值为-2“

如果不对，指出原因，并求的周期，最小值和最小值点.

【预设的答案】由此可知函数的周期为，最小值为，而最小值点满足，

因此最小值点为.

3.辅助角公式的形成

由例4可以看出，当都是不为零的常数时，为了求出函数

的周期、最值等，关键是要将函数化为的形式，也就是说，要找到合适的和，使得   ①   恒成立。

如果①式恒成立，则将①式的右边用展开可得

因此，从而可知

，

因此，如果取 则有

                      （2）

由（2）式和任意角的余弦、正弦的定义可知，若记平面直角坐标系中坐标为的点为P，而是以射线OP为终边的角，如图所示，则一定满足（2）式。

这就是说，满足（1）式的和一定存在，因此

，其中满足（2）式。

【设计意图】辅助角公式的推导证明。

例5.已知函数，求的周期，最小值及最小值点。

【预设的答案】解：因为 所以

由此可知函数的周期为，最小值为，

而且最小值点满足，因此最小值点为。

【变式练习1】

将下列各式写成Asin(ωx＋φ)的形式：

(1)sin x－cos x；

(2)sin＋cos.

【预设的答案】解　(1)sin x－cos x＝2＝2＝2sin.

(2)sin＋cos＝

＝＝cos

＝cos＝sin.

【变式练习2】

sin＝，则cos x＋cos的值为(　　)

A．－　　 B．　　　

C．－　　 D．

【预设的答案】

【设计意图】辅助角公式的应用。

4.正切公式的形成

问题2：两角和与差的正切

一般地，可以证明如下地两角和与差地正切公式：

其中的取值应使各项有意义。

事实上，因为

==                                         

==                              

【对点快练】

1．若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)等于(　　)

A．　　　 B．－　　

C．3　　　 D．－3

2．tan 75°＝____________.

【预设的答案】（1）   （2）2+

【设计意图】两角和与差的正切公式是可以由正弦与余弦公式推导的，用实际案例让学生感受该公式的应用，用变式训练让学生快速掌握公式的应用。

例6.求下列各式的值。

（1） ；    （2） ；   （3）

【预设的答案】

解：（1）

（2）

（3）因为，所以

【变式练习1】

已知sin α＝，α是第二象限的角，且tan(α＋β)＝－，则tan β的值为(　　)

A．－　　 B．　　　

C．－　　 D．

【变式练习2】

若α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)等于(　　)

A．1　　　 B．－1　　

C．2　　　 D．－2

【预设的答案】C；C

【设计意图】两角和与差的正切公式的基本应用，字母转换为数据。

   5.综合应用

例7. 已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x.

(1)求f(x)的最大值，以及取得最大值时x的取值集合；

(2)求f(x)的单调递增区间．

【预设的答案】解　f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，

(1)当2x＋＝2kπ＋，k∈Z时，函数取到最大值是2，此时x＝kπ＋，k∈Z，

所以x的取值集合是.

(2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

所以函数的单调递增区间是k∈Z.

【变式练习1】　本例中，若加条件“x∈”，再求函数f(x)的最小值．

【变式练习2】函数f(x)＝sin x－cos的值域为(　　)

A．[－2,2]　　 B．[－， ]　　

C．[－1,1]　　 D．

【预设的答案】（1）-1  （2）B 

【设计意图】两角和与差的正弦，余弦，正切公式的综合应用。

四、课外作业