高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数第1课时教学设计及反思

《4.1 指数》教学设计

第一课时   n次方根

一、教材分析

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第四章《指数函数与对数函数》的《4.1 指数》。以下是本节两个课时的安排：

二、学情分析

    针对本节知识内容和学生认知水平而言，初中已经学习了整数指数幂、平方根和立方根等知识，有了这些储备知识作为生长点，就可以再一次回顾由正整数指数幂到整数指数幂的扩充过程，非常自然地一个想法就是将整数指数幂推广到有理数指数幂，再进一步推广到实数指数幂，也将平方根、立方根推广到n次方根，并找到n次方根与分数指数幂的关系。

一、学习目标

1. 理解n次方根、n次根式的概念，达成数学抽象的核心素养.

2.能正确运用根式的性质化简求值，培养数学运算的核心素养.

二、教学重难点

重点：根式的概念和n次根式的性质。

难点：n次根式的性质。

三、教学过程

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数来表示，希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生.

希帕索斯

【想一想】根据初中所学知识，思考一下边长为1的正方形的对角线长是如何计算出来的呢？

【提示】根据勾股定理正方形的对角线长为.

2. 探索交流，解决问题

【问题1】 (1)若x2＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？若呢？

(2)若，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？若呢？

（3）若，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？若呢？

（4）若，这样的x有几个？它们叫做3的什么？怎么表示？若呢？

【提示】 (1)若，则这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作±；若，则这样的x不存在.

(2)若，则这样的x有1个，它叫做3的立方根，记作；若，则这样的x也只有1个，它也叫做3的立方根，记作.

（3）若，则这样的x有2个，它们都称为3的四次方根，记作；若，则这样的x不存在.

(4)若，则这样的x有1个，它叫做3的五次方根，记作；若，则这样的x也只有1个，它也叫做3的五次立方根，记作.

【设计意图】

通过这些小问题思考与回答，让学生充分体验从思考、分析到类比的过程，达成数学抽象的核心素养。  

（二）n次方根

1.a的n次方根的定义

一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.

2.a的n次方根的表示　求解a的n次方根时要注意对n的奇偶性讨论

【做一做】 1.10的平方根为________.

2.－243的5次方根为________.

3．（多选题）下列四个命题中正确的是（  ）

A．正数的偶次方根是一个正数　　　 B．正数的奇次方根是一个正数

C．负数的偶次方根是一个负数　 D．负数的奇次方根是一个负数

【答案】1.   2.－3  （3）BD

【设计意图】

通过问题的设置与探究，使学生深入理解n次方根的概念，培养数学抽象的核心素养。

（三）根式

【想一想】根据n次方根的定义，当n为奇数时，是否对任意实数a都存在n次方根？n为偶数呢？

【提示】当n为奇数时，对任意实数a，都存在n次方根，可表示为，但当n为偶数时不是，因为当a<0时，a没有n次方根；当a>0时，a才有n次方根，可表示为±.

1.根式的概念

式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.

2.根式的性质　根式的性质是化简根式的重要依据

(1)负数没有偶次方根.

(2)0的任何次方根都是0，记作＝0.

(3)()n＝a(n∈N*，且n>1).

(4)＝a(n为大于1的奇数).

(5)＝|a|＝(n为大于1的偶数).

【做一做】

化简－得________.

解析　原式＝|x＋3|－(x－3)，

当x≥－3时，原式＝6；当x<－3时，原式＝－2x.

答案　6或－2x

【设计意图】

通过化简该式，使学生掌握根式的性质，培养逻辑推理与数学运算的核心素养。

（四）典例透析

1.利用根式的性质化简或求值

【例1】　化简：

(1) ；

(2)；

(3)()2＋＋.

解　(1)＝－7.

(2)＝|π－4|＝4－π.

(3)由题意知a－1≥0，即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.

【类题通法】

　n为奇数时，()n＝＝a，a为任意实数均可；n为偶数时，a≥0，()n才有意义，且()n＝a；而a为任意实数均有意义，且＝|a|.

【巩固练习1】求下列各式的值：

(1)；

(2)(a≤1)；

(3)＋.

解　(1)＝ ＝－4.

(2)＝|3a－3|＝3|a－1|＝3－3a.

(3)＋＝a＋|1－a|＝

2.由根式的意义求范围

【例1】　若＝a－1，求实数a的取值范围.

解　∵＝|a－1|＝a－1，

∴a－1≥0，∴a≥1，∴实数a的取值范围是.

【变式探究】（变条件）若将本例中的“＝a－1”改为“”呢？

解 ，∴a－10，∴a1，∴实数a的取值范围是.

【类题通法】对于，当n为偶数时，要注意两点：(1)只有a≥0才有意义；(2)只要有意义，必不为负.

【巩固练习2】若＋(a－3)0有意义，则实数a的取值范围是(　　)

A．a≥2　 B．a≥2且a≠3

C．a≠2　 D．a≠3

【解析】选B.　由题意可知，a－2≥0且a－4≠0，所以a的取值范围是a≥2且a≠4.　

3.有限制条件的根式的化简

【例3】　设－3<x<1，化简－.

解　原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，

∴当－3<x<1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2.

【变式探究】（变条件）若将本例中“－3<x<1”变为“x≤－3”，则结果又是什么？

解　原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.

∵x≤－3，∴x－1<0，x＋3≤0，

∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.

【类题通法】当n为偶数时，先化为|a|，再根据a的正负去绝对值符号.

【巩固训练3】　已知x∈[1，2]，化简（）4＋＝________.

解析　∵x∈[1，2]，∴x－1≥0，x－2≤0，

∴()4＋

＝x－1＋|x－2|＝x－1－(x－2)＝1.

答案　1

（五）操作演练  素养提升

1.已知x5＝5，则x等于(　　)

A.         B.       C.         D.

2.运算的结果是(　　)

A.2            B.－2          C.±2            D.不确定

3.m是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　)

A.          B.        C.            D.

4.的值是________.

5.＋的值是________.

答案　（1）B  （2）A　（3）C  （4）－2　 （5）0或2(a－b)

【设计意图】

通过课堂达标练习，巩固本节学习的内容。

（六）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过课堂小结，有利于学生对本节内容形成知识网络，纳入自己的知识体系。

四、作业布置

完成教材：第109页  习题4.1  第1题

五、课堂记录

六、教学反思