2021-2022学年四川省师大附属实验中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年四川省师大附属实验中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年四川省师大附属实验中学八年级（下）期中数学试卷  一、选择题（本题共8小题，共32分）使分式有意义的的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 已知，那么下列不等式中一定成立的是(    )A.  B.  C.  D. 下列从左到右的变形，是分解因式的是(    )A.  B.
C.  D. 已知多项式分解因式后为，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，的周长是，则的长为(    )A.
B.
C.
D. 下列命题中正确的是(    )A. 同位角相等
B. 相等的角是对顶角
C. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等
D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行如图，在中，，是上一点，，，，则长为(    )A.
B.
C.
D. 如图，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为(    )
 A.  B.  C.  D. 二、填空题（本题共10小题，共40分）分解因式：______．若分式的值为零，则的值为______．已知关于的方程的解为正数，则实数的取值范围是______．如图，已知，，，若平分，平分外角，连接，则的度数为______．
当______时，是一个完全平方式．对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：则方程的解是______ ．从、、、、这五个数中随机抽取一个记为数，则关于的不等式组有三个整数解，且使得关于的方程的解为非负数的概率是______．已知：是三边都不相等的三角形，点是三个内角平分线的交点，点是三边垂直平分线的交点，当、同时在不等边的内部时，那么和的数量关系是： ______ ．
 如图，把绕顶点顺时针旋转得到，若直线垂直平分，垂足为点，连接，，且下面四个结论：
；
；
；
的面积为，
其中正确的结论有______． 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点，若，则的面积为______．三、解答题（本题共8小题，共78分）计算
分解因式：；
解方程：．
解不等式组并求出它所有的整数解的和．
先化简，再求值：，其中．关于，的二元一次方程组的解是正数．
用含的代数式表示方程组的解______，______．
求整数的值．A、两地相距千米，一辆公共汽车从地出发，开往地，小时后，又从地同方向开出一辆小汽车，小汽车的速度是公共汽车的倍，结果小汽车比公共汽车早到分钟到达地，求两种车的速度？如图，在中，平分，且平分于点，于点，交的延长线于点．
求证：；
求证：；
如果，，求的长．
阅读材料：我们已经学习了二次根式和乘法公式，可以发现；当，时，有，，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
当时，的最小值为______；当时，的最大值为______．
当时，求的最小值．
如图，四边形的对角线，相交于点，、的面积分别为和，求四边形面积的最小值．
某校服生产厂家计划在年底推出两款新校服和共套，预计前期投入资金不少于元，但不超过元，且所投入资金全部用于两种校服的研制，其成本和售价如表： 成本价元套售价元套该厂家有几种生产新校服的方案可供选择？
该厂家要想获得最大的利润，最大利润为多少？
经市场调查，年底前每套款校服售价不会改变，而每套款校服的售价将会提高元，且所生产的两种校服都可以售完，该厂家又该如何安排生产校服才能获得最大利润呢？图，在平面直角坐标系中，直线，都经过点，它们与轴的正半轴分别相交于点，，且
求直线，的函数表达式；
设是第一象限内直线上一点，连接，有，分别是直线，上的动点，连接，，，求的最小值；
如图，在的条件下，将沿射线方向平移，记平移后的三角形为，在平移过程中，若以，，为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
 
如图，在中，，，点为斜边的中点，点、点为直角边上的动点点在点的右侧，且．
如图，当点、点分别在边和上，且时，求的度数．
如图，若点、点都在边上，当时，说说与有什么数量关系？并加以证明．
如图，当、均在边上运动时，做点关于直线的对称点，若，为中点，求当最短时，线段的长度．
 

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由分式有意义，得
，
解得，
故选：．
根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案．
本题考查了分式有意义的条件，利用分式的分母不为零得出不等式是解题关键．
 2.【答案】 【解析】解：，
根据不等式的基本性质可得：
，
再根据不等式的基本性质可得：
，故B错误；
当时，，所、D错误．
根据不等式的基本性质可得：
．
故选：．
根据不等式的基本性质，不等式的两边都加上或减去同一个数，所得到的不等式仍成立．不等式的两边都乘以或除以同一个正数，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，必须把不等号的方向改变，所得的不等式成立；所以，二三四不符合不等式的基本性质，故错误．
不等式的性质：
不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；
不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；
不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 3.【答案】 【解析】解：是整式的乘法，故A错误；
B.没把一个多项式转化成几个整式的积，故B错误；
C.是整式的乘法，故C错误；
D.把一个多项式转化成几个整式的积，故D正确；
故选D．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积，可得答案．
本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积，注意因式分解与整式的乘法是相反方向的恒等变形．
 4.【答案】 【解析】解：，
又，
．
故选：．
利用多项式乘多项式法则计算，再利用因式分解和乘法的关系得结论．
本题主要考查了整式的因式分解，掌握因式分解与乘法的关系是解决本题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：是线段的垂直平分线，
，
的周长是，
，
，
，
，
又，
．
故选：．
首先根据是线段的垂直平分线，可得，然后根据的周长是，以及，求出的长即可．
此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．．
 6.【答案】 【解析】解：两直线平行，才有同位角相等，故A错误，不符合题意；
相等的角不一定是对顶角，故B错误，不符合题意；
如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故C错误，不符合题意；
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故D正确，符合题意；
故选：．
由平行线性质，对顶角概念等逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是平行线，相交线的相关定理和概念．
 7.【答案】 【解析】解：在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据含直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，根据等腰直角三角形的性质得到，进而求得．
此题考查本题主要考查了含直角三角形的性质、勾股定理和等腰直角三角形性质等知识，熟练掌握含直角三角形的性质是解决问题的关键．
 8.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查了轴对称--最短路线问题，难点主要是确定点的位置．注意充分运用正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．再根据对称性确定点的位置即可．要灵活运用对称性解决此类问题．
由于点与关于对称，所以连接，与交于，可得时的和最小，而是等边的边，，由正方形的面积为，可求出的长，从而得出结果．
【解答】
解：连接，与交于点．

点与关于对称，
，
时的和最小．
正方形的面积为，
．
又是等边三角形，
．
所求最小值为．
故选：．  9.【答案】 【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式进行因式分解即可．
本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．
 10.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查了分式值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．
根据分式的值为零的条件列式，，，则可以求出的值．
【解答】
解：由分式的值为零的条件得，，
由，解得或，
由，得，
综上所述，得，
故答案为：．  11.【答案】且 【解析】解：
方程两边同时乘以，
，
，
方程的解是正数，
，即，
又，
，即，
实数的取值范围是且．
故答案为：且．
先解方程求出，根据方程的解是正数求出的取值范围，同时需要注意不能是增根．
本题考查了分式方程的解．此题难度适中，注意要排除分式无解的情况，否则容易出错．
 12.【答案】 【解析】解：过点作于，于，于，如图，
平分，
，，
平分外角，
，
，
平分，
，
，
，
，
．
故答案为．
过点作于，于，于，如图，利用角平分线的性质得到，，，则，再根据角平分线的性质定理的逆定理可判断平分，则可计算出，然后根据三角形外角性质可计算出的度数．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形内角和定理．
 13.【答案】 【解析】解：如图，过点作于．

，，平分，
，
，
故答案为．
如图，过点作于利用角平分线的性质定理求出即可解决问题．
本题考查作图基本作图，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 14.【答案】解：

；
，
，
，
，
，
，
经检验：是原方程的解；
，
解不等式得：，
解不等式得：，
故不等式组的解集是：，
所有的整数解的和为：；



，
当时，
原式
． 【解析】先提公因式，再利用公式法进行分解即可；
利用解分式方程的方法进行求解即可；
求出每一个不等式的解集，再求出不等式组的解集，写出符合条件的整数解即可；
利用分式的相应的运算法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，分解因式，解一元一次不等式组，解分式方程，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
 15.【答案】   【解析】解：，
，得：，
解得，
将代入，得：，
，
故答案为：，；
根据题意，得：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
，
则整数的值为或．
将看做常数，利用加减消元法求解可得；
根据方程组的解为正数列出关于的不等式组，解之求出的取值范围，从而得出答案．
本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 16.【答案】解：分钟小时，
设公共汽车的速度为千米小时，则小汽车的速度为千米小时，
根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合实际意义，
千米小时，
答：公共汽车的速度是千米小时，小汽车的速度是千米小时． 【解析】设公共汽车的速度为千米小时，则小汽车的速度为千米小时，根据“、两地相距千米，一辆公共汽车从地出发，开往地，小时后，又从地同方向开出一辆小汽车，结果小汽车比公共汽车早到分钟到达地”，列出关于的分式方程，解之并验证即可得到答案．
本题考查分式方程的应用，正确找出等量关系，列出分式方程是解题的关键．
 17.【答案】证明：平分，，，
；
连接、，
平分，，，
，
且平分于点，
，
在和中，
，
≌，
；
由知，
且在和中

≌，
，
而，
，
，
． 【解析】根据角平分线的性质解答即可；
连接、，证明≌即可得出结论；
由可得出，且，而，代入可求得结果．
本题主要考查三角形全等的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
 18.【答案】   【解析】解：当时，；
当时，，
，
，即．
故答案为：；；
当时，
，
当时，的最小值；
设，
，，
由等高三角形可得：：：，
：：，
，
四边形面积．
当时，直接根据公式计算即可；当时，先将变形为，再根据公式计算即可；
将原式的分子分别除以分母，变形为可利用公式计算的形式，计算即可；
根据等高三角形的性质计算即可．
本题是四边形综合题，考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，读懂阅读材料中的方法并正确运用是解题的关键．
 19.【答案】 【解析】解：是一个完全平方式，
．
故答案为：．
利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 20.【答案】 【解析】解：根据题中的新定义化简得：，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故答案为：．
已知等式利用题中的新定义化简，求出解即可．
此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
 21.【答案】 【解析】解：关于的方程的解为非负数，
，
，
、、；
满足关于的不等式组有三个整数解，
即有三个整数解；
，
使得关于的方程的解为非负数，且满足关于的不等式组有三个整数解的有个，当时，有增根，
使关于的不等式组有三个整数解，且使得关于的方程的解为非负数的概率是：．
故答案为．
首先求得关于的方程的解为非负数时的值，满足关于的不等式组有三个整数解时的值，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用、分式方程解的情况以及不等式组的解集．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 22.【答案】 【解析】解：平分，平分，
，，

，
即；
如图，连接．
点是这个三角形三边垂直平分线的交点，
，
，，，
，，

，

，
故答案为：．
根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到；再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到，进而得出和的数量关系．
本题考查了三角形的垂直平分线与角平分线，熟练掌握三角形的垂直平分线与角平分线的性质是解题的关键．
 23.【答案】 【解析】解：把绕顶点顺时针旋转得到，
，，
为等腰直角三角形，
，，所以正确；
直线垂直平分，
，，
，
而，
，
为斜边上的中线，
，
，
，所以错误；
作于，如图，
把绕顶点顺时针旋转得到，
，
点为的中点，
，
的面积，所以正确．
故答案为．
利用旋转的性质得，，则可得为等腰直角三角形，于是可对进行判断；由于直线垂直平分，则，，于是根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出，然后根据三角形内角和可计算出，从而可对进行判断；作于，如图，根据三角形中位线性质得，利用旋转性质得，则利用三角形面积公式可计算出的面积，从而可对进行判断．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．求出点到的距离是判断的关键．
 24.【答案】解：设生产校服套，则生产校服套，根据题意得：
，
解得：，
为整数，
只能取、、，
厂家共有三种方案可供选择，分别是：
方案一、生产校服套，生产校服套；
方案二、生产校服套，生产校服套；
方案三、生产校服套，生产校服套；
答：厂家共有三种方案可供选择，分别是：方案一、生产校服套，生产校服套；方案二、生产校服套，生产校服套；方案三、生产校服套，生产校服套；
设总利润为，则，
，
随的增大而减小，
当取最小值时，最大，
当取时，取得最大值为元，
答：该厂家采用生产方案一可以获得最大的利润，最大利润为元；
总利润，
分为三种情况：当时，安排生产校服套，可获得最大利润，
当时，怎么安排生产利润总是定值元，
当时，安排生产校服套，可获得最大利润．
答：当时，安排生产校服套，可获得最大利润，当时，怎么安排生产利润总是定值元，当时，安排生产校服套，可获得最大利润． 【解析】设生产校服套，则生产校服套，根据题意得出不等式组求出不等式组的整数解，即可得出答案；
根据得出随的增大而减小，推出当取最小值时，最大，把代入求出即可；
设总利润为，根据题意得出总利润，分为三种情况：当时，安排生产校服套，可获得最大利润，当时，怎么安排生产利润总是定值元，当时，安排生产校服套，可获得最大利润．
本题考查了一次函数的应用，关键是能根据题意得出函数式，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，用的数学思想是转化思想．
 25.【答案】解：如图中，

，
，
，，
，，
，，
直线的解析式为，直线的解析式为．

设点，
，
，
，
解得，
，
如图中，作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接交于，交于，此时的值最小，最小值是线段的长．

，
点在轴上，，
，
，，
，
的最小值为．

如图中，

由题意，点的运动轨迹是直线，设
当时，，
解得，
或
当时，，
解得，

当时，，
解得，
或，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或或 【解析】求出，两点坐标利用待定系数法即可解决问题．
如图中，设点，利用三角形的面积公式求出点坐标，如图中，作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接交于，交于，此时的值最小，最小值是线段的长．
由题意，点的运动轨迹是直线，设分三种情形：当时．当时．当时，分别求解即可解决问题．
本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，轴对称变换，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用转化的思想思考问题，学会用分类讨论的思想解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．
 26.【答案】解：如图，

作平分，交于，
，
，点是的中点，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
即，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
；
如图，

，理由如下：
将三角形绕点顺时针旋转至，连接，
，，，，
，
，，
，
，
即，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
；
如图，

连接，
由知：≌，
，，
，
点在与成夹角是的射线上运动，
当时，最小，
在中，，，
，
，
作于，
同理可得：，，，
，
在中，由勾股定理得，
． 【解析】作平分，交于，证明≌，从而，从而得出，进而得出进一步求得；
将三角形绕点顺时针旋转至，连接，证明≌，从而求得，进而求得，，进一步求得和的数量关系；
结合的证明可得点在与夹角为的射线上运动，从而确定当射线时，最小，进而求得，，进而求得，，，进而在中求得结果．
本题考查了直角三角形和等腰三角形性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．