专题06三角函数与解三角形选择填空题-大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（全国文科）

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1．【2022年全国甲卷文科05】将函数f(x)=sinωx+π3(ω>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（ ）
A．16B．14C．13D．12
【答案】C
【解析】
由题意知：曲线C为y=sinωx+π2+π3=sin(ωx+ωπ2+π3)，又C关于y轴对称，则ωπ2+π3=π2+kπ,k∈Z，
解得ω=13+2k,k∈Z，又ω>0，故当k=0时，ω的最小值为13.
故选：C.
2．【2022年全国乙卷文科11】函数fx=csx+x+1sinx+1在区间0,2π的最小值、最大值分别为（ ）
A．−π2，π2B．−3π2，π2C．−π2，π2+2D．−3π2，π2+2
【答案】D
【解析】
f'x=−sinx+sinx+x+1csx=x+1csx，
所以fx在区间0,π2和3π2,2π上f'x>0，即fx单调递增；
在区间π2,3π2上f'x<0，即fx单调递减，
又f0=f2π=2，fπ2=π2+2，f3π2=−3π2+1+1=−3π2，
所以fx在区间0,2π上的最小值为−3π2，最大值为π2+2.
故选：D
3．【2021年全国甲卷文科8】在△ABC中，已知B=120°，AC=19，AB=2，则BC=（ ）
A．1B．2C．5D．3
【答案】D
设AB=c,AC=b,BC=a，
结合余弦定理：b2=a2+c2−2accsB可得：19=a2+4−2×a×cs120∘，
即：a2+2a−15=0，解得：a=3（a=−5舍去），
故BC=3.
故选：D.
4．【2021年全国甲卷文科11】若α∈(0,π2),tan2α=csα2−sinα，则tanα=（ ）
A．1515B．55C．53D．153
【答案】A
∵tan2α=csα2−sinα
∴tan2α=sin2αcs2α=2sinαcsα1−2sin2α=csα2−sinα，
∵α∈(0,π2)，∴csα≠0，∴2sinα1−2sin2α=12−sinα，解得sinα=14，
∴csα=1−sin2α=154，∴tanα=sinαcsα=1515.
故选：A.
5．【2021年全国乙卷文科4】函数f(x)=sinx3+csx3的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．3π和2B．3π和2C．6π和2D．6π和2
【答案】C
由题，f(x)=2sin(x3+π4)，所以f(x)的最小正周期为T=2π13=6π，最大值为2.
故选：C．
6．【2021年全国乙卷文科6】cs2π12−cs25π12=（ ）
A．12B．33C．22D．32
【答案】D
由题意，cs2π12−cs25π12=cs2π12−cs2(π2−π12)=cs2π12−sin2π12
=csπ6=32.
故选：D.
7．【2020年全国1卷文科07】设函数f(x)=cs(ωx+π6)在[−π,π]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A．10π9B．7π6
C．4π3D．3π2
【答案】C
【解析】
由图可得：函数图象过点−4π9,0，
将它代入函数fx可得：cs−4π9⋅ω+π6=0
又−4π9,0是函数fx图象与x轴负半轴的第一个交点，
所以−4π9⋅ω+π6=−π2，解得：ω=32
所以函数fx的最小正周期为T=2πω=2π32=4π3
故选：C
8．【2020年全国3卷文科05】已知sinθ+sinθ+π3=1，则sinθ+π6=（ ）
A．12B．33C．23D．22
【答案】B
【解析】
由题意可得：sinθ+12sinθ+32csθ=1，
则：32sinθ+32csθ=1，32sinθ+12csθ=33，
从而有：sinθcsπ6+csθsinπ6=33，
即sinθ+π6=33.
故选：B.
9．【2020年全国3卷文科11】在△ABC中，csC=23，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）
A．5B．25C．45D．85
【答案】C
【解析】
设AB=c,BC=a,CA=b
c2=a2+b2−2abcsC=9+16−2×3×4×23=9∴c=3
csB=a2+c2−b22ac=19∴sinB=1−(19)2=459∴tanB=45
故选：C
10．【2020年全国3卷文科12】已知函数f(x)=sinx+1sinx，则（ ）
A．f(x)的最小值为2B．f(x)的图像关于y轴对称
C．f(x)的图像关于直线x=π对称D．f(x)的图像关于直线x=π2对称
【答案】D
【解析】
∵sinx可以为负，所以A错；
∵sinx≠0∴x≠kπ(k∈Z)∵f(−x)=−sinx−1sinx=−f(x)∴f(x)关于原点对称；
∵f(2π−x)=−sinx−1sinx≠f(x),f(π−x)=sinx+1sinx=f(x),故B错；
∴f(x)关于直线x=π2对称，故C错，D对
故选：D
11．【2019年新课标3文科05】函数f（x）＝2sinx﹣sin2x在[0，2π]的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】解：函数f（x）＝2sinx﹣sin2x在[0，2π]的零点个数，
即：2sinx﹣sin2x＝0在区间[0，2π]的根个数，
即2sinx＝sin2x，令左右为新函数h（x）和g（x），
h（x）＝2sinx和g（x）＝sin2x，
作图求两函数在区间[0，2π]的图象可知：
h（x）＝2sinx和g（x）＝sin2x，在区间[0，2π]的图象的交点个数为3个．
故选：B．
12．【2019年新课标2文科08】若x1=π4，x2=3π4是函数f（x）＝sinωx（ω＞0）两个相邻的极值点，则ω＝（ ）
A．2B．32C．1D．12
【答案】解：∵x1=π4，x2=3π4是函数f（x）＝sinωx（ω＞0）两个相邻的极值点，
∴T＝2（3π4−π4）=π=2πω
∴ω＝2，
故选：A．
13．【2019年新课标2文科11】已知α∈（0，π2），2sin2α＝cs2α+1，则sinα＝（ ）
A．15B．55C．33D．255
【答案】解：∵2sin2α＝cs2α+1，
∴可得：4sinαcsα＝2cs2α，
∵α∈（0，π2），sinα＞0，csα＞0，
∴csα＝2sinα，
∵sin2α+cs2α＝sin2α+（2sinα）2＝5sin2α＝1，
∴解得：sinα=55．
故选：B．
14．【2019年新课标1文科07】tan255°＝（ ）
A．﹣2−3B．﹣2+3C．2−3D．2+3
【答案】解：tan255°＝tan（180°+75°）＝tan75°＝tan（45°+30°）
=tan45°+tan30°1−tan45°tan30°=1+331−1×33=3+33−3=(3+3)26=12+636=2+3．
故选：D．
15．【2019年新课标1文科11】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，csA=−14，则bc=（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
asinA﹣bsinB＝4csinC，csA=−14，
∴a2−b2=4c2csA=b2+c2−a22bc=−14，
解得3c2=12bc，
∴bc=6．
故选：A．
16．【2018年新课标1文科08】已知函数f（x）＝2cs2x﹣sin2x+2，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3
B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4
C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3
D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4
【答案】解：函数f（x）＝2cs2x﹣sin2x+2，
＝2cs2x﹣sin2x+2sin2x+2cs2x，
＝4cs2x+sin2x，
＝3cs2x+1，
=3⋅cs2x+12+1，
=3cs2x2+52，
故函数的最小正周期为π，
函数的最大值为32+52=4，
故选：B．
17．【2018年新课标1文科11】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cs2α=23，则|a﹣b|＝（ ）
A．15B．55C．255D．1
【答案】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，
终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cs2α=23，
∴cs2α＝2cs2α﹣1=23，解得cs2α=56，
∴|csα|=306，∴|sinα|=1−3036=66，
|tanα|＝|b−a2−1|＝|a﹣b|=|sinα||csα|=66306=55．
故选：B．
18．【2018年新课标2文科07】在△ABC中，csC2=55，BC＝1，AC＝5，则AB＝（ ）
A．42B．30C．29D．25
【答案】解：在△ABC中，csC2=55，csC＝2×(55)2−1=−35，
BC＝1，AC＝5，则AB=BC2+AC2−2BC⋅ACcsC=1+25+2×1×5×35=32=42．
故选：A．
19．【2018年新课标2文科10】若f（x）＝csx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（ ）
A．π4B．π2C．3π4D．π
【答案】解：f（x）＝csx﹣sinx＝﹣（sinx﹣csx）=−2sin（x−π4），
由−π2+2kπ≤x−π4≤π2+2kπ，k∈Z，
得−π4+2kπ≤x≤34π+2kπ，k∈Z，
取k＝0，得f（x）的一个减区间为[−π4，3π4]，
由f（x）在[0，a]是减函数，
得a≤3π4．
则a的最大值是3π4．
故选：C．
20．【2018年新课标3文科04】若sinα=13，则cs2α＝（ ）
A．89B．79C．−79D．−89
【答案】解：∵sinα=13，
∴cs2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×19=79．
故选：B．
21．【2018年新课标3文科06】函数f（x）=tanx1+tan2x的最小正周期为（ ）
A．π4B．π2C．πD．2π
【答案】解：函数f（x）=tanx1+tan2x=sinxcsxcs2x+sin2x=12sin2x的最小正周期为2π2=π，
故选：C．
22．【2018年新课标3文科11】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为a2+b2−c24，则C＝（ ）
A．π2B．π3C．π4D．π6
【答案】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
△ABC的面积为a2+b2−c24，
∴S△ABC=12absinC=a2+b2−c24，
∴sinC=a2+b2−c22ab=csC，
∵0＜C＜π，∴C=π4．
故选：C．
23．【2017年新课标1文科11】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣csC）＝0，a＝2，c=2，则C＝（ ）
A．π12B．π6C．π4D．π3
【答案】解：sinB＝sin（A+C）＝sinAcsC+csAsinC，
∵sinB+sinA（sinC﹣csC）＝0，
∴sinAcsC+csAsinC+sinAsinC﹣sinAcsC＝0，
∴csAsinC+sinAsinC＝0，
∵sinC≠0，
∴csA＝﹣sinA，
∴tanA＝﹣1，
∵π2＜A＜π，
∴A=3π4，
由正弦定理可得csinC=asinA，
∴sinC=csinAa，
∵a＝2，c=2，
∴sinC=csinAa=2×222=12，
∵a＞c，
∴C=π6，
故选：B．
24．【2017年新课标2文科03】函数f（x）＝sin（2x+π3）的最小正周期为（ ）
A．4πB．2πC．πD．π2
【答案】解：函数f（x）＝sin（2x+π3）的最小正周期为：2π2=π．
故选：C．
25．【2017年新课标3文科04】已知sinα﹣csα=43，则sin2α＝（ ）
A．−79B．−29C．29D．79
【答案】解：∵sinα﹣csα=43，
∴（sinα﹣csα）2＝1﹣2sinαcsα＝1﹣sin2α=169，
∴sin2α=−79，
故选：A．
26．【2017年新课标3文科06】函数f（x）=15sin（x+π3）+cs（x−π6）的最大值为（ ）
A．65B．1C．35D．15
【答案】解：函数f（x）=15sin（x+π3）+cs（x−π6）=15sin（x+π3）+cs（﹣x+π6）=15sin（x+π3）+sin（x+π3）
=65sin（x+π3）≤65．
故选：A．
27．【2016年新课标1文科04】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=5，c＝2，csA=23，则b＝（ ）
A．2B．3C．2D．3
【答案】解：∵a=5，c＝2，csA=23，
∴由余弦定理可得：csA=23=b2+c2−a22bc=b2+4−52×b×2，整理可得：3b2﹣8b﹣3＝0，
∴解得：b＝3或−13（舍去）．
故选：D．
28．【2016年新课标1文科06】将函数y＝2sin（2x+π6）的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ）
A．y＝2sin（2x+π4）B．y＝2sin（2x+π3）
C．y＝2sin（2x−π4）D．y＝2sin（2x−π3）
【答案】解：函数y＝2sin（2x+π6）的周期为T=2π2=π，
由题意即为函数y＝2sin（2x+π6）的图象向右平移π4个单位，
可得图象对应的函数为y＝2sin[2（x−π4）+π6]，
即有y＝2sin（2x−π3）．
故选：D．
29．【2016年新课标2文科03】函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（ ）
A．y＝2sin（2x−π6）B．y＝2sin（2x−π3）
C．y＝2sin（x+π6）D．y＝2sin（x+π3）
【答案】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A＝2，
T2=π3+π6，故T＝π，ω＝2，
故y＝2sin（2x+φ），
将（π3，2）代入可得：2sin（2π3+φ）＝2，
则φ=−π6满足要求，
故y＝2sin（2x−π6），
故选：A．
30．【2016年新课标2文科11】函数f（x）＝cs2x+6cs（π2−x）的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】解：函数f（x）＝cs2x+6cs（π2−x）
＝1﹣2sin2x+6sinx，
令t＝sinx（﹣1≤t≤1），
可得函数y＝﹣2t2+6t+1
＝﹣2（t−32）2+112，
由32∉[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，
即有t＝1即x＝2kπ+π2，k∈Z时，函数取得最大值5．
故选：B．
31．【2016年新课标3文科06】若tanθ=13，则cs2θ＝（ ）
A．−45B．−15C．15D．45
【答案】解：∵tanθ=13，
∴cs2θ＝2cs2θ﹣1=21+tan2θ−1=21+19−1=45．
故选：D．
32．【2016年新课标3文科09】在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则sinA＝（ ）
A．310B．1010C．55D．31010
【答案】解：∵在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，
∴AB=23BC，
由余弦定理得：AC=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅csB=29BC2+BC2−23BC2=53BC，
故12BC•13BC=12AB•AC•sinA=12•23BC•53BC•sinA，
∴sinA=31010，
故选：D．
33．【2015年新课标1文科08】函数f（x）＝cs（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（ ）
A．（kπ−14，kπ+34），k∈zB．（2kπ−14，2kπ+34），k∈z
C．（k−14，k+34），k∈zD．（2k−14，2k+34），k∈z
【答案】解：由函数f（x）＝cs（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为2πω=2（54−14）＝2，∴ω＝π，f（x）＝cs（πx+ϕ）．
再根据函数的图象以及五点法作图，可得π4+ϕ=π2，k∈z，即ϕ=π4，f（x）＝cs（πx+π4）．
由2kπ≤πx+π4≤2kπ+π，求得 2k−14≤x≤2k+34，故f（x）的单调递减区间为（2k−14，2k+34），k∈z，
故选：D．
34．【2014年新课标1文科02】若tanα＞0，则（ ）
A．sinα＞0B．csα＞0C．sin2α＞0D．cs2α＞0
【答案】解：∵tanα＞0，
∴sinαcsα＞0，
则sin2α＝2sinαcsα＞0．
故选：C．
35．【2014年新课标1文科07】在函数①y＝cs|2x|，②y＝|csx|，③y＝cs（2x+π6），④y＝tan（2x−π4）中，最小正周期为π的所有函数为（ ）
A．①②③B．①③④C．②④D．①③
【答案】解：∵函数①y＝cs丨2x丨＝cs2x，它的最小正周期为 2π2=π，
②y＝丨csx丨的最小正周期为12⋅2π1=π，
③y＝cs（2x+π6）的最小正周期为 2π2=π，
④y＝tan（2x−π4）的最小正周期为 π2，
故选：A．
36．【2013年新课标1文科10】已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cs2A+cs2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝（ ）
A．10B．9C．8D．5
【答案】解：∵23cs2A+cs2A＝23cs2A+2cs2A﹣1＝0，即cs2A=125，A为锐角，
∴csA=15，
又a＝7，c＝6，
根据余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc•csA，即49＝b2+36−125b，
解得：b＝5或b=−135（舍去），
则b＝5．
故选：D．
37．【2013年新课标2文科04】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B=π6，C=π4，则△ABC的面积为（ ）
A．23+2B．3+1C．23−2D．3−1
【答案】解：∵b＝2，B=π6，C=π4，
∴由正弦定理bsinB=csinC得：c=bsinCsinB=2×2212=22，A=7π12，
∴sinA＝sin（π2+π12）＝csπ12=2+64，
则S△ABC=12bcsinA=12×2×22×2+64=3+1．
故选：B．
38．【2013年新课标2文科06】已知sin2α=23，则cs2（α+π4）＝（ ）
A．16B．13C．12D．23
【答案】解：∵sin2α=23，
∴cs2（α+π4）=12[1+cs（2α+π2）]=12（1﹣sin2α）=12×（1−23）=16．
故选：A．
39．【2022年全国甲卷文科16】已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD．当ACAB取得最小值时，BD=________．
【答案】3−1##−1+3
【解析】
设CD=2BD=2m>0，
则在△ABD中，AB2=BD2+AD2−2BD⋅ADcs∠ADB=m2+4+2m，
在△ACD中，AC2=CD2+AD2−2CD⋅ADcs∠ADC=4m2+4−4m，
所以AC2AB2=4m2+4−4mm2+4+2m=4(m2+4+2m)−12(1+m)m2+4+2m=4−12(m+1)+3m+1
≥4−122(m+1)⋅3m+1=4−23，
当且仅当m+1=3m+1即m=3−1时，等号成立，
所以当ACAB取最小值时，m=3−1.
故答案为：3−1.
40．【2021年全国甲卷文科15】已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)的部分图像如图所示，则f(π2)=_______________.
【答案】−3
由题意可得：34T=13π12−π3=3π4,∴T=π,ω=2πT=2，
当x=13π12时，ωx+φ=2×13π12+φ=2kπ,∴φ=2kπ−136π(k∈Z)，
令k=1可得：φ=−π6，
据此有：f(x)=2cs(2x−π6),f(π2)=2cs(2×π2−π6)=2cs5π6=−3.
故答案为：−3.
41．【2021年全国乙卷文科15】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B=60°，a2+c2=3ac，则b=________．
【答案】22
由题意，S△ABC=12acsinB=34ac=3，
所以ac=4,a2+c2=12，
所以b2=a2+c2−2accsB=12−2×4×12=8，解得b=22（负值舍去）.
故答案为：22.
42．【2020年全国2卷文科13】若sinx=−23，则cs2x=__________．
【答案】19
【解析】
cs2x=1−2sin2x=1−2×(−23)2=1−89=19.
故答案为：19.
43．【2019年新课标2文科15】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acsB＝0，则B＝ ．
【答案】解：∵bsinA+acsB＝0，
∴由正弦定理可得：sinAsinB+sinAcsB＝0，
∵A∈（0，π），sinA＞0，
∴可得：sinB+csB＝0，可得：tanB＝﹣1，
∵B∈（0，π），
∴B=3π4．
故答案为：3π4．
44．【2019年新课标1文科15】函数f（x）＝sin（2x+3π2）﹣3csx的最小值为 ．
【答案】解：∵f（x）＝sin（2x+3π2）﹣3csx，
＝﹣cs2x﹣3csx＝﹣2cs2x﹣3csx+1，
令t＝csx，则﹣1≤t≤1，
∵f（t）＝﹣2t2﹣3t+1的开口向上，对称轴t=−34，在[﹣1，1]上先增后减，
故当t＝1即csx＝1时，函数有最小值﹣4．
故答案为：﹣4
45．【2018年新课标1文科16】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB＝4asinBsinC，b2+c2﹣a2＝8，则△ABC的面积为 ．
【答案】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
bsinC+csinB＝4asinBsinC，
利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB＝4sinAsinBsinC，
由于0＜B＜π，0＜C＜π，
所以sinBsinC≠0，
所以sinA=12，
则A=π6或5π6
由于b2+c2﹣a2＝8，
则：csA=b2+c2−a22bc，
①当A=π6时，32=82bc，
解得bc=833，
所以S△ABC=12bcsinA=233．
②当A=5π6时，−32=82bc，
解得bc=−833（不合题意），舍去．
故：S△ABC=233．
故答案为：233．
46．【2018年新课标2文科15】已知tan（α−5π4）=15，则tanα＝ ．
【答案】解：∵tan（α−5π4）=15，
∴tan（α−π4）=15，
则tanα＝tan（α−π4+π4）=tan(α−π4)+tanπ41−tan(α−π4)tanπ4=15+11−15×1=1+55−1=64=32，
故答案为：32．
47．【2017年新课标1文科15】已知α∈（0，π2），tanα＝2，则cs（α−π4）＝ ．
【答案】解：∵α∈（0，π2），tanα＝2，
∴sinα＝2csα，
∵sin2α+cs2α＝1，
解得sinα=255，csα=55，
∴cs（α−π4）＝csαcsπ4+sinαsinπ4=55×22+255×22=31010，
故答案为：31010
48．【2017年新课标2文科13】函数f（x）＝2csx+sinx的最大值为 ．
【答案】解：函数f（x）＝2csx+sinx=5（255csx+55sinx）=5sin（x+θ），其中tanθ＝2，
可知函数的最大值为：5．
故答案为：5．
49．【2017年新课标2文科16】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcsB＝acsC+ccsA，则B＝ ．
【答案】解：∵2bcsB＝acsC+ccsA，由正弦定理可得，
2csBsinB＝sinAcsC+sinCcsA＝sin（A+C）＝sinB，
∵sinB≠0，
∴csB=12，
∵0＜B＜π，
∴B=π3，
故答案为：π3
50．【2017年新课标3文科15】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝60°，b=6，c＝3，则A＝ ．
【答案】解：根据正弦定理可得bsinB=csinC，C＝60°，b=6，c＝3，
∴sinB=6×323=22，
∵b＜c，
∴B＝45°，
∴A＝180°﹣B﹣C＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故答案为：75°．
51．【2016年新课标1文科14】已知θ是第四象限角，且sin（θ+π4）=35，则tan（θ−π4）＝ ．
【答案】解：∵θ是第四象限角，
∴−π2+2kπ＜θ＜2kπ，则−π4+2kπ＜θ+π4＜π4+2kπ，k∈Z，
又sin（θ+π4）=35，
∴cs（θ+π4）=1−sin2(θ+π4)=1−(35)2=45．
∴cs（π4−θ）＝sin（θ+π4）=35，sin（π4−θ）＝cs（θ+π4）=45．
则tan（θ−π4）＝﹣tan（π4−θ）=−sin(π4−θ)cs(π4−θ)=−4535=−43．
故答案为：−43．
52．【2016年新课标2文科15】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若csA=45，csC=513，a＝1，则b＝ ．
【答案】解：由csA=45，csC=513，可得
sinA=1−cs2A=1−1625=35，
sinC=1−cs2C=1−25169=1213，
sinB＝sin（A+C）＝sinAcsC+csAsinC=35×513+45×1213=6365，
由正弦定理可得b=asinBsinA
=1×636535=2113．
故答案为：2113．
53．【2016年新课标3文科14】函数y＝sinx−3csx的图象可由函数y＝2sinx的图象至少向右平移 个单位长度得到．
【答案】解：∵y＝sinx−3csx＝2sin（x−π3），
令f（x）＝2sinx，
则f（x﹣φ）＝2in（x﹣φ）（φ＞0），
依题意可得2sin（x﹣φ）＝2sin（x−π3），
故﹣φ＝2kπ−π3（k∈Z），
即φ＝﹣2kπ+π3（k∈Z），
当k＝0时，正数φmin=π3，
故答案为：π3．
54．【2014年新课标1文科16】如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN＝ m．
【答案】解：△ABC中，∵∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，BC＝100，
∴AC=100sin45°=1002．
△AMC中，∵∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，
∴∠AMC＝45°，由正弦定理可得AMsin60°=1002sin45°，解得AM＝1003．
Rt△AMN中，MN＝AM•sin∠MAN＝1003×sin60°＝150（m），
故答案为：150．
55．【2014年新课标2文科14】函数f（x）＝sin（x+φ）﹣2sinφcsx的最大值为 ．
【答案】解：函数f（x）＝sin（x+φ）﹣2sinφcsx
＝sinxcsφ+sinφcsx﹣2sinφcsx
＝sinxcsφ﹣sinφcsx
＝sin（x﹣φ）≤1．
所以函数的最大值为1．
故答案为：1．
56．【2013年新课标1文科16】设当x＝θ时，函数f（x）＝sinx﹣2csx取得最大值，则csθ＝ ．
【答案】解：f（x）＝sinx﹣2csx=5（55sinx−255csx）=5sin（x﹣α）（其中csα=55，sinα=255），
∵x＝θ时，函数f（x）取得最大值，
∴sin（θ﹣α）＝1，即sinθ﹣2csθ=5，
又sin2θ+cs2θ＝1，
联立得（2csθ+5）2+cs2θ＝1，解得csθ=−255．
故答案为：−255
57．【2013年新课标2文科16】函数y＝cs（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移π2个单位后，与函数y＝sin（2x+π3）的图象重合，则φ＝ ．
【答案】解：函数y＝cs（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移 π2个单位后，得平移后的图象的函数解析式为
y＝cs[2（x−π2）+φ]＝cs（2x+φ﹣π），
而函数y＝sin（2x+π3）=cs(2x+π3−π2)，
由函数y＝cs（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移 π2个单位后，与函数y＝sin（2x+π3）的图象重合，得
2x+φ﹣π=2x+π3−π2，解得：φ=5π6．
符合﹣π≤φ＜π．
故答案为5π6．
模拟好题
1．若函数fx=sinωx+φ(其中ω>0,|φ|<π2)图象的一个对称中心为π3,0，其相邻一条对称轴方程为x=7π12，且函数在该对称轴处取得最小值，为了得到gx=cs2x+π6的图象，则只要将f（x）的图象（ ）
A．向右平移π12个单位长度B．向左平移π12个单位长度
C．向右平移π6个单位长度D．向左平移π6个单位长度
【答案】D
【解析】
解：函数fx图象的一个对称中心为π3,0，其相邻一条对称轴方程为x=7π12，
所以14×2πω=7π12−π3，
所以ω=2.
因为函数fx在x=7π12时取得最小值，
所以2×7π12+φ=2kπ+3π2，k∈Z，
∴ φ=2kπ+π3，k∈Z
∵|φ|<π2∴φ=π3
∴f(x)=sin(2x+π3)=cs(2x+π3−π2)=cs(2x−π6)
根据平移变换规律可知，f(x)向左平移π6个单位，可得函数y=cs2x+π6−π6，
所以f(x)向左平移π6个单位可得gx=cs2x+π6的图象，
故选：D.
2．已知2csπ2−a+sinπ2+α=0，则tanπ−α=（ ）
A．2B．—2C．12D．−12
【答案】C
【解析】
由已知得2sinα+csα=0，
∴2sinα=−csα，∴tanα=−12，
∴tan(π−α)=−tanα=12.
故选：C
3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc，若sinBsinC=sin2A，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
△ABC中，b2+c2=a2+bc，则csA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12
又0由sinBsinC=sin2A，可得a2=bc，代入b2+c2=a2+bc
则有b2+c2=bc+bc=2bc，则b−c2=0，则b=c
又A=π3，则△ABC的形状是等边三角形
故选：C
4．已知函数fx=sin2x−2sin2x，则下列结论错误的是（ ）
A．函数fx的最小正周期是π
B．函数fx在区间π8,π2上单调递减
C．函数fx的图象可由函数y=2sin2x的图象向左平移π4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到
D．函数fx的图象关于7π8,−1对称
【答案】C
【解析】
fx=sin2x−2sin2x=sin2x−1−cs2x=sin2x+cs2x−1=2sin2x+π4−1，
所以函数fx的最小正周期是2π2=π，A正确；
当x∈π8,π2时，2x+π4∈π2,5π4，所以fx=2sin2x+π4−1单调递减，故B正确；
函数y=2sin2x的图象向左平移π4个单位长度，再向下平移1个单位长度得到gx=2sin2x+π2−1，故C错误；
当x=7π8时，2x+π4=2π，所以fx=2sin2x+π4−1=−1，
所以fx的图象关于7π8,−1中心对称，D正确.
故选：C
5．设函数f(x)=sin(ωx−π4)(ω>0)，若f(x1)−f(x2)=2时，x1−x2的最小值为π3，则（ ）
A．函数f(x)的周期为π3
B．将函数f(x)的图像向左平移π4个单位，得到的函数为奇函数
C．当x∈(π6,π3)，f(x)的值域为(22,1)
D．函数f(x)在区间[−π,π]上的零点个数共有6个
【答案】D
【解析】
由题意，得T2=π3，所以T=2π3，则ω=2πT=3，所以f(x)=sin(3x−π4)选项A不正确；
对于选项B：将函数f(x)的图像向左平移π4个单位，得到的函数是
f(x)=sin[3(x+π4)−π4]=cs3x为偶函数，所以选项B错误；
对于选项C：当时x∈(π6,π3)，则π4<3x−π4<3π4，所以f(x)的值域为(22,1]，选项C不正确；
对于选项D：令f(x)=0⇒x=π12+kπ3,k∈Z，所以当k=−3,−2,−1,0,1,2时，x∈[−π,π]，所以函数f(x)在区间[−π,π]上的零点个数共有6个，D正确，
故选：D.
6．已知正方形ABCD的边长为22，将△ABC沿对角线AC折起，使得二面角B−AC−D的大小为90°.若三棱锥B−ACD的四个顶点都在球O的球面上，G为AC边的中点，E，F分别为线段BG，DC上的动点（不包括端点），且BE=2CF，当三棱锥E−ACF的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A．22πB．2πC．32πD．89π
【答案】D
【解析】
因为正方形ABCD的边长为22，所以AC=4.

如图，由于平面ABC⊥平面ACD，平面ABC∩平面ACD=AC，又G为AC边的中点，则有BG⊥AC，所以BG⊥平面ACD．设CF=x (013×12AC · CF · sin∠ACF · EG=13×12×4x · 22(2−2x)=23(2x−x2)，当x=22时，V取得最大值．由于GA=GB=GC=GD，则球O的球心即为G，且球O的半径R=2．又在△GCF中，由余弦定理，得GF=GC2+CF2−2GC · CFcs∠ACF =52，根据球的性质可知，当GF垂直于截面时，截面圆的面积最小，设其半径为r，所以r=R2−GF2=22−522 =32，则截面面积的最小值为32π.
故选：D．
7．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为 （ ）
A．206海里B．406海里C．20(1+3)海里D．40海里
【答案】A
【解析】
由题意可知CD=40,∠ADC=105°,∠BDC=45°,∠BCD=90°,∠ACD=30°，
所以∠CAD=45°,∠ADB=60°，
在△ACD中，由正弦定理得ADsin30°=40sin45°，得AD=202，
在Rt△BCD中，因为∠BDC=45°,∠BCD=90°，
所以BD=2CD=402，
在△ABD中，由余弦定理得
AB=AD2+BD2−2AD⋅BDcs∠ADB
=800+3200−2×202×402×12
=2400=206，
故选：A
8．若角α满足sinα⋅csα<0，csα−sinα<0，则α在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】
∵sinα⋅csα<0，∴α是第二或第四象限角；
当α是第二象限角时，csα<0，sinα>0，满足csα−sinα<0；
当α是第四象限角时，csα>0，sinα<0，则csα−sinα>0，不合题意；
综上所述：α是第二象限角.
故选：B.
9．已知函数fx=sin2x+φ0<φ<π2，若把fx的图像向左平移π12个单位后为偶函数，则φ=（ ）
A．−π6B．−π3C．5π12D．π3
【答案】D
【解析】
由题意得：gx=fx+π12=sin2x+π6+φ.
∵gx为偶函数，∴π6+φ=π2+kπk∈Z，解得：φ=π3+kπk∈Z.
∵0<φ<π2，
∴φ=π3.
故选：D.
10．已知函数fx=sinx+csx−2sin2x，以下结论错误的是( )
A．π是fx的一个周期B．fx在区间0,π3单调递减
C．fx−3π4是偶函数D．fx在区间−π2,π2恰有两个零点
【答案】B
【解析】
fx+π=sinx+π+csx+π−2sin2x+π=sinx+csx−2sin2x=fx，故A正确；
当x∈0,π2时，fx=sinx+csx−2sin2x，
f'x=csx−sinx−4cs2x=csx−sinx−4cs2x−sin2x
=csx−sinx1−4csx+sinx =2csx+π41−42sinx+π4，
则在0,π4上，csx+π4>0，1−42sinx+π4<0，f'x<0，f(x)递减，
在π4,π2上，csx+π4<0，1−42sinx+π4<0，f'x>0，f(x)递增，
故f(x)在0,π3上不单调，故B错误；
fx−3π4定义域为R，且：
fx−3π4= sinx−3π4+csx−3π4−2sin2x−3π4
=csx−π4+sinx−π4−2cs2x
=22sinx+csx+22sinx−csx−2cs2x，
f−x−3π4=sin−x−3π4+csx−3π4−2sin2−x−3π4
=csx+π4+sinx+π4−2cs2x
=22csx−sinx+22sinx+csx−2cs2x，
∴fx−3π4=f−x−3π4，故fx−3π4是偶函数，故C正确；
当x∈−π2,0，fx>0，则fx在区间−π2,0无零点，
∵fx在0,π4上单调递减，f0=1>0，fπ4=2−2<0，
由零点存在定理可知fx在0,π4上有且仅有一个零点，
同理可证fx在π4,π2上有且仅有一个零点，
综上，fx在区间−π2,π2恰有两个零点，故D正确．
故选：B.
11．已知函数fx=sinωx−3csωxω>0,x∈R的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，把函数fx的图象沿x轴向左平移π3个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数gx的图象，则下列关于函数gx的结论正确的是（ ）
A．函数gx是偶函数B．gx的图象关于点−π3,0对称
C．gx在−π3,π3上是增函数D．当x∈−π6,π6时，函数gx的值域是[1，2]
【答案】BD
【解析】
因为f(x)=sinωx−3csωx=2sinωx−π3，
又y=fx的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，
所以T2=π2=2π2ω，所以ω=2，所以fx=2sin2x−π3，
所以fx向左平移π3个单位得到y=2sin2x+π3，
y=2sin2x+π3横坐标伸长到原来2倍得到gx=2sinx+π3，
A，gx=2sinx+π3为非奇非偶函数，故错误；
B，g−π3=2sin−π3+π3=2sin0=0，所以gx的图象关于点−π3,0对称，故正确；
C，因为x∈−π3,π3，所以x+π3∈0,2π3，
又因为y=2sint在0,2π3上先增后减，所以g(x)在−π3,π3上不是增函数，故错误；
D，当x∈−π6,π6时，x+π3∈π6,π2，
所以gxmax=2sinπ2=2，此时x=π6；gxmin=2sinπ6=1，此时x=−π6，
所以gx的值域为1,2，故正确.
故选：BD
12．已知函数fx=csx+2sinx，则下列说法正确的是（ ）
A．直线x=π2为函数f(x)图像的一条对称轴
B．函数f(x)图像横坐标缩短为原来的一半，再向左平移π2后得到gx=cs2x+2sin2x
C．函数f(x)在[－π2，π2]上单调递增
D．函数fx的值域为[－2，5]
【答案】AD
【解析】
解：对于A：fπ−x=csπ−x+2sinπ−x=csx+2sinx=fx，选项A正确；
对于B：函数f(x)图像横坐标缩短为原来的一半，得到f2x=cs2x+2sin2x，再向左平移π2后得到gx=cs2x+π2+2sin2x+π2=cs2x−2sin2x，选项B错误；
对于C：当−π2≤x≤π2时，fx=csx+2sinx=csx+2sinx=5sinx+φ，其中tanφ=12，不妨令φ为锐角，−π2≤x≤π2⇒−π2+φ≤x+φ≤π2+φ
当−π2+φ≤x+φ≤π2即，x∈−π2,π2−φ时，f(x)单调递增，
当π2≤x+φ≤12+φ，即x∈π2−φ,π2时，f(x)单调递减，选项C错误；
对于D：2π是函数的周期，可取一个周期[－π2，3π2]探究f(x)值域．
而函数f(x)的对称轴为：x=π2．
因此：可取区间[－π2，π2]探究f(x)值域，
当−π2≤x≤π2时，fx=csx+2sinx=5sinx+φ，其中tanφ=12，
−π2≤x≤π2⇒−π2+φ≤x+φ≤π2+φ⇒sin−π2+φ=−csφ=−25≤sinx+φ≤1即：−2≤fx≤5，选项D正确．
故选：AD.
13．已知函数fx=2sin2x−π3+1，则下列说法正确的是（ ）
A．fx+π=fx
B．fx+π6的图象关于原点对称
C．若0D．对∀x1，x2，x3∈π3,π2，有fx1+fx3>fx2成立
【答案】ACD
【解析】
∵函数f(x)=2sin2x−π3+1的周期T=2π2=π，所以fx+π=fx恒成立，
故A正确；
又fx+π6=2sin2x+1，所以fπ6+π6=2sinπ3+1=3+1，f−π6+π6=2sin−π3+1=−3+1，所以fπ6+π6≠−f−π6+π6，
所以fx+π6的图象不关于原点对称，故B错误；
当x∈0,5π12时，2x−π3∈−π3,π2，所以函数f(x)=2sin2x−π3+1在0,5π12上单调递增，故C正确；
因为x∈π3,π2 ，所以2x−π3∈π3,2π3，故32≤sin2x−π3≤1，
∴f(x)∈3+1,3，又23+1>3，即2f(x)min>f(x)max，
所以对∀x1,x2,x3∈[π3,π2],有f(x1)+f(x3)>f(x2)成立，故D正确.
故选：ACD.
14．已知函数fx=Asinωx+φ（A>0，ω>0，φ<π2）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．fx=2cs2x−π3
B．满足fx>1的x的取值范围为kπ,kπ+π3（k∈Z）
C．将函数fx的图象向右平移π12个单位长度，得到的图象的一条对称轴x=π3
D．函数fx与gx=−2cs2x的图象关于直线x=π3对称
【答案】ABD
【解析】
由图可得，fxmax=2,T=2×1112π−512π=π，
所以A=2,ω=2，因为f−π12=2sin−π12×2+φ=0，所以−π6+φ=2kπ,k∈Z，
所以φ=2kπ+π6,k∈Z，因为φ<π2，所以φ=π6,
fx=2sin2x+π6=2cs2x−π3，故A正确；
由fx=2sin2x+π6>1可得sin2x+π6>12，
所以2kπ+π6<2x+π6<2kπ+5π6,k∈Z，解得x∈kπ,kπ+π3，k∈Z，故B正确；
将函数fx的图象向右平移π12个单位长度，得到的是函数y=2sin2x−π12+π6=2sin2x的图象，直线x=π3不是其对称轴，故C错误；
因为f2π3−x=2sin−2x+3π2=−2cs2x=gx，
所以函数fx与gx=−2cs2x的图象关于直线x=π3对称，故D正确；
故选：ABD
15．已知函数fx=sinx−csx，下列关于此函数的论述正确的是（ ）
A．2π为函数fx的一个周期B．函数fx的值域为−2,2
C．函数fx在3π4,5π4上单调递减D．函数fx在−2π,2π内有4个零点
【答案】CD
【解析】
选项A：因为f−π4=0≠f2π−π4=−2，所以A错误；
选项B、D：函数fx定义域为R，并且f(−x)=f(x)，所以函数为偶函数；因为x∈[0,+∞),f(x)=f(x+2π)，为周期函数，
故仅需研究函数f(x)在区间[0,2π]上的值域及零点个数即可，因为x∈0,π2∪3π2,2π时，f(x)=sinx−csx=2sinx−π4；
x∈π2,3π2时，f(x)=sinx+csx=2sinx+π4；
当x∈0,π2∪3π2,2π时，令x−π4=t∈−π4,π4∪5π4,7π4，
则y=2sint,t∈−π4,π4∪5π4,7π4，可得y∈[−2,1]且仅一个零点；
当x∈π2,3π2时，令x+π4=t∈3π4,7π4，则y=2sint,t∈3π4,7π4，
可得y∈[−2,1]且仅一个零点；
所以函数f(x)的值域为[−2,1]且在[−2π,2π]上有4个零点．故选项B错误，选项D正确．
选项C：函数f(x)在3π4,5π4上，有f(x)=sinx+csx=2sinx+π4，所以x+π4∈π,3π2，则得函数f(x)在该区间上为单调减函数．故选项C正确．
故选：CD．
16．已知0<α<π2，sinπ4−α=26，则sinα1+tanα=________.
【答案】41751
【解析】
因为0<α<π2，−π4<π4−α<π4，
所以csπ4−α=1−262=346，
所以−sinα=sinπ4−α−π4=sinπ4−αcsπ4−csπ4−αsinπ4
=26×22−346×22=1−176，所以sinα=17−16，
csα=1−sinα2=17+16，所以tanα=sinαcsα=17−117+1，
则sinα1+tanα=17−161+17−117+1=41751.
故答案为：41751.
17．已知函数f(x)=1x+1，点O为坐标原点，点An(n,f(n))(n∈N∗)，向量i=(0,1)，θn是向量OAn与i的夹角，则csθ1sinθ1+csθ2sinθ2+⋯+csθ2022sinθ2022的值为______．
【答案】20222023
【解析】
由题意可得90°−θn是直线OAn的倾斜角，
∴csθnsinθn=sin(90°−θn)cs(90°−θn)=tan(90°−θn)=f(n)n=1n(n+1)=1n−1n+1，
∴csθ1sinθ1+csθ2sinθ2+⋯+csθ2022sinθ2022=(1−12)+(12−13)+⋯+(12022−12023)
=1−12023=20222023.
故答案为：20222023.
18．函数fx=3sinx+csx，fα=85，α∈π6,5π6，则csα=______________．
【答案】4−3310
【解析】
∵fx=3sinx+csx=2sinx+π6，∴fα=2sinα+π6=85，
∴sinα+π6=45，又α∈π6,5π6，∴α+π6∈π3,π，
∵sinα+π6=45<32，∴α+π6∈2π3,π，∴csα+π6=−35，
∴csα=csα+π6−π6=csα+π6csπ6+sinα+π6sinπ6 =−35×32+45×12=4−3310.
故答案为：4−3310.
19．已知函数fx=2sinωx+π3ω>0，若fπ3=0，且fx在π3,5π12上有最大值，没有最小值，则ω的最大值为______．
【答案】17
【解析】
由fπ3=0，且f(x)在π3,5π12上有最大值，没有最小值，可得ωπ3+π3=2kπ(k∈Z)， 所以ω=6k−1(k∈Z).
由f(x)在π3,5π12上有最大值，没有最小值，可得14×2πω<5π12−π3≤34×2πω，解得6<ω≤18，又ω=6k−1(k∈Z)，当k=3时，ω=17，则ω的最大值为17，,
故答案为：17
20．已知sinα−π4=13(0<α<π)，则sinα+csα=_________.
【答案】43
【解析】
由题意得α−π4∈(−π4,3π4)，而sinα−π4=13<22，
故α−π4∈(0,π2)，csα−π4=223，
故sinα+csα=2sinα+π4=2csα−π4=43.
故答案为：43
21．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinAa=3csBb=22，则该三角形周长的最大值为___________.
【答案】362
【解析】
由正弦定理变形有：sinAa=sinBb，又因为sinAa=3csBb=22，所以3csB=sinB，则tanB=3,∴B=π3，又因为3csBb=22，所以b=23csB2=23×122=62，
又因为b2=a2+c2−2accsB=a+c2−3ac≥a+c2−3⋅a+c24=14a+c2，
所以a+c2≤4b2=4×64=6⇒a+c≤6，当且仅当 “a=c”时取等.
则该三角形周长的最大值为a+b+c=6+62=362.
故答案为：362.
22．若函数fx=sinωx+π6ω>0在0,π上有且仅有3个零点和2个极小值点，则ω的取值范围为______．
【答案】103,236
【解析】
如下图，作出简图，由题意知，π∈x4,x5，设函数fx的最小正周期为T，
因为x0=−π6ω，则x4=x0+74T=x0+74⋅2πω=10π3ω，x5=x0+2T=x0+2⋅2πω=23π6ω，
结合π∈x4,x5有π≥10π3ω且π<23π6ω，解得ω∈103,236．
故答案为：103,236
23．为了测量一个不规则公园C,D两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距1km的A,B两点，点B在点A的正东方向上，且A,B,C,D四点在同一水平面上．从点A处观测得点C在它的东北方向上，点D在它的西北方向上；从点B处观测得点C在它的北偏东15°方向上，点D在它的北偏西75∘方向上，则C,D之间的距离为______km.
【答案】2
【解析】
由题意可知，∠CAB=90∘−45∘=45∘,∠DAB=90∘+45∘=135∘,∠CBA=90∘+15∘=105∘,∠CDB=15∘+75∘=90∘,∠DBA=15∘ ,
故在△ABC中，∠ACB=180∘−45∘−105∘=30∘，
故BDsin∠DAB=ABsin∠ADB ，BC=1×sin45∘sin30∘=2，
在△ABD中，∠ADB=180∘−15∘−135∘=30∘，
故BCsin∠CAB=ABsin∠ACB ，BD=1×sin135∘sin30∘=2，
所以在△DBC中，∠CBD=90∘，则CD=BC2+DB2=2+2=2 ,
故答案为：2
24．已知函数fx=xcsα−αcsα+sinα−π2<α<0，x=π是fx的零点，则当−π2≤x≤3π2时，不等式fx−sinx≤0的解集为___________.
【答案】−π2,π##x|−π2≤x≤π
【解析】
由直线y=fx的方程得fα=αcsα−αcsα+sinα=sinα，
所以(α,sinα)是直线y=fx与曲线g(x)=sinx的一个公共点，
由g(x)=sinx得g'x=csx，g'α=csα，又因为直线y=fx的斜率为csα，
所以直线y=fx是曲线g(x)=sinx在x=α处取得的切线方程，
因为fπ=0，所以(π,0)是直线y=fx与曲线g(x)=sinx的一个交点，
由于(π,0)是曲线g(x)=sinx的一个对称中心，
所以直线y=fx与曲线g(x)=sinx的一个切点的横坐标大于2π，
因为−π2<α<0，所以直线y=fx是单调递增的，
所以当−π2≤x≤3π2时，不等式fx−sinx≤0的解集为−π2,π.
故答案为：−π2,π（或x|−π2≤x≤π）.
25．已知函数f(x)=sinωx+π6,ω>0，若fπ4=f5π12且f(x)在区间π4,5π12上有最小值无最大值，则ω=_______．
【答案】4或10##10或4
【解析】
∵f(x)满足fπ4=f5π12，∴x=π4+5π122=π3是f(x)的一条对称轴，
∴π3⋅ω+π6=π2+kπ，∴ω=1+3k，k∈Z，
∵ω＞0，∴ω=1,4,7,10,13,….
当x∈π4,5π12时，ωx+π6∈π4ω+π6,5π12ω+π6，
y＝sinx图像如图：
要使f(x)在区间π4,5π12上有最小值无最大值，则：
π2≤π4ω+π6<3π23π2<5π12ω+π6⩽5π2⇒4≤ω<163或5π2≤π4ω+π6<7π27π2<5π12ω+π6⩽9π2⇒283≤ω<525，
此时ω＝4或10满足条件；
区间π4,5π12的长度为：5π12−π4=5π12−3π12=π6，
当ω⩾13时，f(x)最小正周期T=2πω⩽2π13<π6，则f(x)在π4,5π12既有最大值也有最小值，故ω⩾13不满足条件.
综上，ω＝4或10.
故答案为：4或10.