专题06三角函数与解三角形选择填空题-大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（全国文科）

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1．【2022年全国甲卷文科05】将函数f(x)=sinωx+π3(ω>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（ ）
A．16B．14C．13D．12
【答案】C
【解析】
由题意知：曲线C为y=sinωx+π2+π3=sin(ωx+ωπ2+π3)，又C关于y轴对称，则ωπ2+π3=π2+kπ,k∈Z，
解得ω=13+2k,k∈Z，又ω>0，故当k=0时，ω的最小值为13.
故选：C.
2．【2022年全国乙卷文科11】函数fx=csx+x+1sinx+1在区间0,2π的最小值、最大值分别为（ ）
A．−π2，π2B．−3π2，π2C．−π2，π2+2D．−3π2，π2+2
【答案】D
【解析】
f'x=−sinx+sinx+x+1csx=x+1csx，
所以fx在区间0,π2和3π2,2π上f'x>0，即fx单调递增；
在区间π2,3π2上f'x0，
则在△ABD中，AB2=BD2+AD2−2BD⋅ADcs∠ADB=m2+4+2m，
在△ACD中，AC2=CD2+AD2−2CD⋅ADcs∠ADC=4m2+4−4m，
所以AC2AB2=4m2+4−4mm2+4+2m=4(m2+4+2m)−12(1+m)m2+4+2m=4−12(m+1)+3m+1
≥4−122(m+1)⋅3m+1=4−23，
当且仅当m+1=3m+1即m=3−1时，等号成立，
所以当ACAB取最小值时，m=3−1.
故答案为：3−1.
40．【2021年全国甲卷文科15】已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)的部分图像如图所示，则f(π2)=_______________.
【答案】−3
由题意可得：34T=13π12−π3=3π4,∴T=π,ω=2πT=2，
当x=13π12时，ωx+φ=2×13π12+φ=2kπ,∴φ=2kπ−136π(k∈Z)，
令k=1可得：φ=−π6，
据此有：f(x)=2cs(2x−π6),f(π2)=2cs(2×π2−π6)=2cs5π6=−3.
故答案为：−3.
41．【2021年全国乙卷文科15】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B=60°，a2+c2=3ac，则b=________．
【答案】22
由题意，S△ABC=12acsinB=34ac=3，
所以ac=4,a2+c2=12，
所以b2=a2+c2−2accsB=12−2×4×12=8，解得b=22（负值舍去）.
故答案为：22.
42．【2020年全国2卷文科13】若sinx=−23，则cs2x=__________．
【答案】19
【解析】
cs2x=1−2sin2x=1−2×(−23)2=1−89=19.
故答案为：19.
43．【2019年新课标2文科15】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acsB＝0，则B＝ ．
【答案】解：∵bsinA+acsB＝0，
∴由正弦定理可得：sinAsinB+sinAcsB＝0，
∵A∈（0，π），sinA＞0，
∴可得：sinB+csB＝0，可得：tanB＝﹣1，
∵B∈（0，π），
∴B=3π4．
故答案为：3π4．
44．【2019年新课标1文科15】函数f（x）＝sin（2x+3π2）﹣3csx的最小值为 ．
【答案】解：∵f（x）＝sin（2x+3π2）﹣3csx，
＝﹣cs2x﹣3csx＝﹣2cs2x﹣3csx+1，
令t＝csx，则﹣1≤t≤1，
∵f（t）＝﹣2t2﹣3t+1的开口向上，对称轴t=−34，在[﹣1，1]上先增后减，
故当t＝1即csx＝1时，函数有最小值﹣4．
故答案为：﹣4
45．【2018年新课标1文科16】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB＝4asinBsinC，b2+c2﹣a2＝8，则△ABC的面积为 ．
【答案】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
bsinC+csinB＝4asinBsinC，
利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB＝4sinAsinBsinC，
由于0＜B＜π，0＜C＜π，
所以sinBsinC≠0，
所以sinA=12，
则A=π6或5π6
由于b2+c2﹣a2＝8，
则：csA=b2+c2−a22bc，
①当A=π6时，32=82bc，
解得bc=833，
所以S△ABC=12bcsinA=233．
②当A=5π6时，−32=82bc，
解得bc=−833（不合题意），舍去．
故：S△ABC=233．
故答案为：233．
46．【2018年新课标2文科15】已知tan（α−5π4）=15，则tanα＝ ．
【答案】解：∵tan（α−5π4）=15，
∴tan（α−π4）=15，
则tanα＝tan（α−π4+π4）=tan(α−π4)+tanπ41−tan(α−π4)tanπ4=15+11−15×1=1+55−1=64=32，
故答案为：32．
47．【2017年新课标1文科15】已知α∈（0，π2），tanα＝2，则cs（α−π4）＝ ．
【答案】解：∵α∈（0，π2），tanα＝2，
∴sinα＝2csα，
∵sin2α+cs2α＝1，
解得sinα=255，csα=55，
∴cs（α−π4）＝csαcsπ4+sinαsinπ4=55×22+255×22=31010，
故答案为：31010
48．【2017年新课标2文科13】函数f（x）＝2csx+sinx的最大值为 ．
【答案】解：函数f（x）＝2csx+sinx=5（255csx+55sinx）=5sin（x+θ），其中tanθ＝2，
可知函数的最大值为：5．
故答案为：5．
49．【2017年新课标2文科16】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcsB＝acsC+ccsA，则B＝ ．
【答案】解：∵2bcsB＝acsC+ccsA，由正弦定理可得，
2csBsinB＝sinAcsC+sinCcsA＝sin（A+C）＝sinB，
∵sinB≠0，
∴csB=12，
∵0＜B＜π，
∴B=π3，
故答案为：π3
50．【2017年新课标3文科15】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝60°，b=6，c＝3，则A＝ ．
【答案】解：根据正弦定理可得bsinB=csinC，C＝60°，b=6，c＝3，
∴sinB=6×323=22，
∵b＜c，
∴B＝45°，
∴A＝180°﹣B﹣C＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故答案为：75°．
51．【2016年新课标1文科14】已知θ是第四象限角，且sin（θ+π4）=35，则tan（θ−π4）＝ ．
【答案】解：∵θ是第四象限角，
∴−π2+2kπ＜θ＜2kπ，则−π4+2kπ＜θ+π4＜π4+2kπ，k∈Z，
又sin（θ+π4）=35，
∴cs（θ+π4）=1−sin2(θ+π4)=1−(35)2=45．
∴cs（π4−θ）＝sin（θ+π4）=35，sin（π4−θ）＝cs（θ+π4）=45．
则tan（θ−π4）＝﹣tan（π4−θ）=−sin(π4−θ)cs(π4−θ)=−4535=−43．
故答案为：−43．
52．【2016年新课标2文科15】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若csA=45，csC=513，a＝1，则b＝ ．
【答案】解：由csA=45，csC=513，可得
sinA=1−cs2A=1−1625=35，
sinC=1−cs2C=1−25169=1213，
sinB＝sin（A+C）＝sinAcsC+csAsinC=35×513+45×1213=6365，
由正弦定理可得b=asinBsinA
=1×636535=2113．
故答案为：2113．
53．【2016年新课标3文科14】函数y＝sinx−3csx的图象可由函数y＝2sinx的图象至少向右平移 个单位长度得到．
【答案】解：∵y＝sinx−3csx＝2sin（x−π3），
令f（x）＝2sinx，
则f（x﹣φ）＝2in（x﹣φ）（φ＞0），
依题意可得2sin（x﹣φ）＝2sin（x−π3），
故﹣φ＝2kπ−π3（k∈Z），
即φ＝﹣2kπ+π3（k∈Z），
当k＝0时，正数φmin=π3，
故答案为：π3．
54．【2014年新课标1文科16】如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN＝ m．
【答案】解：△ABC中，∵∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，BC＝100，
∴AC=100sin45°=1002．
△AMC中，∵∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，
∴∠AMC＝45°，由正弦定理可得AMsin60°=1002sin45°，解得AM＝1003．
Rt△AMN中，MN＝AM•sin∠MAN＝1003×sin60°＝150（m），
故答案为：150．
55．【2014年新课标2文科14】函数f（x）＝sin（x+φ）﹣2sinφcsx的最大值为 ．
【答案】解：函数f（x）＝sin（x+φ）﹣2sinφcsx
＝sinxcsφ+sinφcsx﹣2sinφcsx
＝sinxcsφ﹣sinφcsx
＝sin（x﹣φ）≤1．
所以函数的最大值为1．
故答案为：1．
56．【2013年新课标1文科16】设当x＝θ时，函数f（x）＝sinx﹣2csx取得最大值，则csθ＝ ．
【答案】解：f（x）＝sinx﹣2csx=5（55sinx−255csx）=5sin（x﹣α）（其中csα=55，sinα=255），
∵x＝θ时，函数f（x）取得最大值，
∴sin（θ﹣α）＝1，即sinθ﹣2csθ=5，
又sin2θ+cs2θ＝1，
联立得（2csθ+5）2+cs2θ＝1，解得csθ=−255．
故答案为：−255
57．【2013年新课标2文科16】函数y＝cs（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移π2个单位后，与函数y＝sin（2x+π3）的图象重合，则φ＝ ．
【答案】解：函数y＝cs（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移 π2个单位后，得平移后的图象的函数解析式为
y＝cs[2（x−π2）+φ]＝cs（2x+φ﹣π），
而函数y＝sin（2x+π3）=cs(2x+π3−π2)，
由函数y＝cs（2x+φ）（﹣π≤φ＜π）的图象向右平移 π2个单位后，与函数y＝sin（2x+π3）的图象重合，得
2x+φ﹣π=2x+π3−π2，解得：φ=5π6．
符合﹣π≤φ＜π．
故答案为5π6．
模拟好题
1．若函数fx=sinωx+φ(其中ω>0,|φ|