2022年上海市黄浦区高考二模数学试题（含答案）

黄浦区2022年高考模拟考

数 学 试 卷

（完成试卷时间：120分钟   总分：150分）

考生注意：

1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；

2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；

3．本试卷共21道试题．

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应在答题卷的相应位置直接填写结果．

1．行列式的值为            ．

2．若全集，集合，则            ．

3．在长方体中，设，，，若用向量、、表示向量，则            ．

4．某高中为了了解学生收看空中课堂的具体情况，利用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中随机抽取了名进行问卷调查，其中从高一年级的学生中抽取了名，从高二年级的学生中抽取了名，若高三年级共有学生名，则该高中共有学生            名．

5．若复数满足，则的最大值为            ．

6．设，直线（为参数）的倾斜角的大小为            ．

7．已知．若幂函数在区间上单调递增，且其图像不过坐标原点，则            ．

8．已知向量、，若，，向量在方向上的投影的取值范围为            ．

9．已知等比数列，其前项和为．若，公比为，则            ．

10．设、，．若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为            ．

11．一个袋子中装有大小与质地均相同的个红球和个白球（），现从中任取两球，若取出的两球颜色相同的概率等于取出两球颜色不同的概率，则满足的所有有序数对为            ．

12．对于给定的正整数()，定义在区间上的函数满足：当时，，且对任意的，都成立．若与有关的实数使得方程在区间上有且仅有一个实数解，则关于的方程的实数解的个数为            ．

二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题卷的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．若、均为非零实数，则不等式成立的一个充要条件为（    ）．

（A）   （B）   （C）   （D）

14．如图，已知、、分别是正方体的棱、和的中点，由点、、确定的平面截该正方体所得截面为（    ）．

（A）三角形 

（B）四边形 

（C）五边形 

（D）六边形

15．记方程①：，方程②：，方程③：，其中，，是正实数．当，，成等比数列时，下列选项中，能推出方程③有两个不相等的实根的是（    ）．

（A）方程①有实根，且②有实根 

（B）方程①有实根，且②无实根

（C）方程①无实根，且②有实根 

（D）方程①无实根，且②无实根

16．将曲线()与曲线()合成的曲线记作．设为实数，斜率为的直线与交于、两点，为线段的中点，有下列两个结论：①存在，使得点的轨迹总落在某个椭圆上；②存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，那么（    ）．

（A）①②均正确      （B）①②均错误 

（C）①正确，②错误     （D）①错误，②正确

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤．

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，直角边长为的等腰直角三角形及其内部绕边旋转一周，形成一个圆锥．

（1）求该圆锥的侧面积；

（2）三角形绕逆时针旋转到，为线段中点，求与平面所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

设为常数，函数．

（1）若，求函数的反函数；

（2）若，根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

某公园要建造如图所示的绿地，、为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏与的总长度为米，且．设（）．

（1）当，时，求的长；（结果精确到米）

（2）当时，求面积的最大值及此时的值．

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

已知双曲线：，为左焦点，为直线上一动点，为线段与的交点．定义：．

（1）若点的纵坐标为，求的值；

（2）设，点的纵坐标为，试将表示成的函数并求其定义域；

（3）证明：存在常数、，使得．

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知数列满足以下两个条件：①，当时，；②若存在某一项，则存在，使得（且）．

（1）若，求，，；

（2）若对一切正整数，均成立的的最小值为，求该数列的前项之和；

（3）在所有的数列中，求满足的的最小值．

黄浦区2022年高考模拟考

数学试卷参考答案

说明：

1．本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．

 2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．

 一、填空题

 1． 2． 3．   4．

 5． 6． 7．   8．

 9． 10． 11．， 12．

 二、选择题

 13．A 14．D 15．C   16．C

 三、解答题

 17．[解] （1）圆锥的母线，底面半径，侧面积．

 （2）联结，因为平面，所以为在平面上的射影，于是为与平面所成的角．

 在直角△中，，，．

 因此，与平面所成角的大小为．

 18．[解] （1）由，得，于是，且．

因此，所求反函数为，．

 （2） 当时，，定义域为．

，故函数是奇函数；

 当且时，函数的定义域为，函数既不是奇函数，也不是偶函数．

 19．[解]（1）在△中，，，，由余弦定理，得，故．

 因此的长约为米．

 （2）联结．由题意，．

 在△中，由正弦定理，得．

 于是，．

 当，即时，取到最大值，最大值为．

 因此，养殖场最大的面积为平方米．

 20．[解] （1）由题意，点的坐标为，点的坐标为，于是直线的方程为．

 将代入直线的方程，得点的坐标为．

 因此，．

 （2）由题意，点的坐标为，点的坐标为．

 设点的坐标为，由，得，，代入双曲线方程，得，整理，得．

 由，即，结合，解得或．

 又，即，结合，解得．

 因此，，．

 [证明] （3）点的坐标为．

 当点不在轴上时，过作轴的垂线，垂足为．

 设直线与轴的交点为，点的坐标为．

 ，即．

 ．

 由为线段与的交点，得点的坐标满足方程，即．

 于是，又，故．

 于是．

 故存在常数、，使得．

 当点在轴上时，上述结论亦成立．

 21．[解] 条件①即：当时，或．

 （1）由，得，于是或．

 当时，由条件②，得，不满足条件①，舍去，故．

 同理可得．

 因此，，，．

 （2）由题意，，由条件①，得，于是或．

 当时，由条件①，得，此时该数列的前项为，，，，，，不合题意，舍去．

当时，由条件①，得或，结合条件②，得、中必有一项为，因为，所以只有，此时，．

 故数列的前项为，，，，，，这前项的和为．

 因此，该数列的前项之和为．

 （3）由及条件②，可得，，，…，，必为数列中的项，记该数列为，有（）．

以下考虑在数列中依次是哪些项，不妨令．

由条件①，或，均不为；

此时或或或，均不为．

 上述情况中，当，时，，结合，有．

 由，得即为所求．