上海市黄浦区2022届高三下学期5月模拟数学试题-

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上海市黄浦区2022届高三下学期5月模拟数学试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．已知向量，“”是“”的（       ）.

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

2．已知圆：（为参数），与圆关于直线对称的圆的普通方程是（       ）.

A． B．

C． D．

3．已知锐角，其外接圆半径为，，边上的高的取值范围为（       ）.

A． B． C． D．

4．若集合，其中和是不同的数字，则A中所有元素的和为（       ）.

A．44 B．110 C．132 D．143

第II卷（非选择题）

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5．函数的最小正周期是_____.

6．若，则___________.

7．不等式的解集为___________.

8．若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为________（结果用反三角函数值表示）.

9．已知函数为奇函数，当时，，若，则___________.

10．已知，若展开式中的系数为，则常数a的值为___________.

11．已知为球O的半径，过的中点M且垂直的平面截球得到圆M，若圆M的面积为，则球O的体积为___________.

12．有3个兴趣小组，甲､乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个兴趣小组是等可能的，则甲､乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为_______．

13．若为方程的一个虚根，则方程的一个虚根为___________.（用表示）.

14．已知椭圆的左焦点为F，若A､B是椭圆上两动点，且垂直于x轴，则周长的最大值为___________.

15．已知，满足约束条件，若的最小值为1，则   

16．已知，用非负整数､，表示，，若为其表示方法的数组的个数，则___________.

17．已知正方体.

(1)G是的重心，求证：直线平面；

(2)若，动点E､F在线段､上，且，M为的中点，异面直线与所成的角为，求a的值.

18．已知函数.

(1)设的反函数为，求的最值.

(2)函数满足，求证：当时，.

19．一质点A从原点出发沿x轴的正向以定速度v前进，质点B从与A同时出发，且与质点A以大小相同的速度向某方向前进，A与B之间的最短距离为1.

(1)求B的前进方向与x轴正向间的夹角；

(2)当A､B间距离最短时，求A､B的坐标.

20．有以下真命题：已知等差数列，公差为d，设是数列中的任意m个项，若①，则有②.

(1)当时，试写出与上述命题中的①，②两式相对应的等式；

(2)若为等差数列，，且，求的通项公式.

(3)试将上述真命题推广到各项为正实数的等比数列中，写出相应的真命题，并加以证明.

21．已知函数.

(1)写出函数的单调递增区间；

(2)求证：函数的图像关于直线对称；

(3)某同学经研究发现，函数的图像为双曲线，和为其两条渐进线，试求出其顶点､焦点的坐标，并利用双曲线的定义加以验证.

参考答案：

1．C

【解析】

【分析】

根据向量的平方即模长的平方，结合充要条件的概念即可得结果.

【详解】

，故“”是“”的充要条件，

故选：C.

2．A

【解析】

【分析】

根据题意得圆的普通方程为，与圆对称的圆的圆心和圆的圆心关于直线对称，半径和圆相同，求解计算即可.

【详解】

圆：（为参数）转化为普通方程为，

圆心为，半径为，设圆关于直线对称的圆的圆心为，半径为，

所以点与点关于对称，所以，解得，

所以对称的圆的圆心为，半径为，

故对称的圆的普通方程是.

故选：A.

3．C

【解析】

【分析】

设边上的高为，根据题意得，再结合条件得，再分析求值域即可.

【详解】

因为为锐角三角形，，设边上的高为，

所以，解得

由正弦定理可得，，

所以，，，因为，

所以

因为，所以，所以，

所以，所以高的取值范围为.

故选：C.

4．D

【解析】

【分析】

由题意得，从而表示出，再由，得的可能取值，从而得和的值，可确定的值.

【详解】

因为，

所以，所以，

所以可以为1，3，9，11，33，99，

所以可以为

因为和是不同的数字，所以可以为，

此时，所以A中所有元素的和为，

故选：D

【点睛】

求解本题的关键是理解是循环节长度为两位的循环纯小数，从而得，进而代入集合A化简计算.

5．

【解析】

【详解】

由题意，

【考点】三角函数的周期.

6．##-0.25

【解析】

【分析】

由诱导公式六化简，即可求解.

【详解】

因为，所以，

故答案为：.

7．

【解析】

【分析】

先将分式不等式转化为，再解一元二次不等式即可.

【详解】

，解得，故解集为，

故答案为.

8．

【解析】

【详解】

因为是直线的一个方向向量，所以，所以的倾斜角的大小为.

9．##

【解析】

【分析】

由奇函数的性质求解得，代入解析式求解.

【详解】

因为函数为奇函数，，所以，

又，所以，

解得

故答案为：.

10．4

【解析】

【分析】

根据二项式展开式的通项即可求解.

【详解】

展开式通项公式

令，得，所以的系数为，解得.

故答案为:4.

11．

【解析】

【分析】

根据圆M的面积求得圆的半径，再根据勾股定理即可得解.

【详解】

解：设球O为R，则，

因为圆M的面积为，所以圆M的半径为，

根据勾股定理，

所以球O的体积为.

故答案为：.

12．

【解析】

【详解】

试题分析：由题意可知：.

考点：随机事件的概率.

13．

【解析】

【分析】

根据已知条件及方程根的特点，结合根式的运算即可求解.

【详解】

由题意可知，因为为方程的一个虚根，所以，

即，所以方程的一个虚根为.

故答案为:.

14．12

【解析】

【分析】

根据椭圆的定义以及三角形中两边之和大于第三边的关系即可求解.

【详解】

如图.设与x轴相交于点C，椭圆右焦点为，

连接，

所以周长为

故的周长的最大值为12，

故答案为：12.

15．

【解析】

【详解】

先根据约束条件画出可行域，

设z=2x+y，

将最大值转化为y轴上的截距，

当直线z=2x+y经过点B时，z最小，

由得：，代入直线y=a(x−3)得，．

点睛：由于约束条件中存在参数，所以可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值，来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而确定参数的值

16．##

【解析】

【分析】

根据题意得：，再结合题意即可求解.

【详解】

对任意正整数，有，所以.

故答案为：

17．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据空间向量，以为基底，用基底向量表示其他向量，根据向量的数量积为0判断线线垂直，进而证明线面垂直.

（2）以空间直角坐标系，写成点的坐标，根据向量的夹角与异面直线夹角间的关系，列出方程即可求解.

(1)

证明：设，

显然，，，

因为G是的重心，所以,故

；，得，

同理，得.

因为不平行于，所以直线平面.

(2)

以D为坐标原点，射线分别是x轴､y轴､z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，于是，则.

于是，解得，所以a的值为.

18．(1)最大值1，无最小值

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）先求出的反函数为，然后得到解析式，再求最值即可；

（2）当时，得到和的表达式，然后比较大小.

(1)

.

因为，且，所以当时，有最大值1，

此时；无最小值.

(2)

证明：.

当时，因为，其中，

又，所以.

（另用分析法也可证明.）

19．(1)

(2)，

【解析】

【分析】

（1）设出发后时，位移为，则的位移，利用距离公式求得，结合二次函数的性质，即可求解；

（2）由（1）求得，即可求得的坐标.

(1)

解：设出发后时，位移为，则的位移，

则

若时，即时，可得，不符合题意

则，所以当，

此时，解得，

又因为，所以.

(2)

解：由（1）知，可得，

所以位移的坐标为，则的位移的坐标为.

20．(1)答案见解析

(2)

(3)答案见解析

【解析】

【分析】

（1）当时，代入数据，可得当时，有

（2）根据所给数据，结合题意，可得，即可得p、r、m的值，进而可求得d值，根据，可得，代入等差数列通项公式，即可得答案.

（3）根据题意，类比可得已知等比数列，公比为q，设是数列中的任意m个项，若，则有.进行证明即可.

(1)

当时，由已知，对等差数列的任意两项，当时，有，

(2)

设的公差为d，由题意得：，

知，

所以，解得，

又，于是；

(3)

已知等比数列，公比为q，设是数列中的任意m个项，

若，则有.

证明如下：因为，

所以，

其中，

于是，命题得证.

21．(1)

(2)证明见解析

(3)，，，，验证答案见解析

【解析】

【分析】

（1）求得，令，即可求得函数的递增区间；

（2）设为函数的图像上一点，点关于直线对称的点Q的坐标为，根据直线垂直且平分线段，求得代入得到，即可求解；

（3）由（2）得直线为函数图像的一条对称轴，联立方程组求得，得到双曲线的两个顶点一定只能是，进而求得，根据的两个焦点，由，求得，，结合双曲线的定义，作出证明.

(1)

解：由题意，函数，可得，

令，即，解得或，

所以函数的单调递增区间为.

(2)

证明：设为函数的图像上一点，点关于直线对称的点Q的坐标为，

由直线垂直且平分线段，可得，

因为，所以，

将代入，可得，

即点Q也在函数的图像上，所以函数的图像关于直线对称.

(3)

解：由（2）得直线为函数图像的一条对称轴，

于是，解得，

因为的图像是双曲线（以下记作），

那么双曲线的两个顶点一定只能是，

于是半实轴a的值一定只能是，

双曲线的实轴所在直线与它的一条渐近线的夹角为，

以双曲线的一个顶为直角的顶点，以为一个锐角，以半实轴a的长为一条直角边的直角三角形的另一条直角边的长应当等于的半虚轴b之长，其斜边则等于的半焦距c之长.因此.

因为双曲线的两个焦点在双曲线的实轴所在的一条对称轴上，

所以的两个焦点，应在直线上，

由，得，利用对称性另一个焦点应为，

以下验证图像上的任意一点到､两点的距离之差的绝对值为定值，设为函数图像上的任意一点，

则

由，得，

故有

，

因为，

故得，

即为定值，且恰等于前面所得的的值，

由此验证函数的图像为双曲线.