新人教A版高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语阶段小卷二1.4－1.5含解析

这是一份新人教A版高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语阶段小卷二1.4－1.5含解析，共6页。
阶段小卷(二) [时间：40分钟　满分：100分] 一、选择题(本大题共7个小题，每小题5分，共35分)　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为(　D　)A．对任意x∈R，都有x2＜0B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x∈R，使得x2≥0D．存在x∈R，使得x2＜0【解析】 因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为：“存在x∈R，使得x2＜0”．故选D.2．下列命题中是全称量词命题，且为假命题的是(　D　)A．存在一个三角形内角A，sin A<1B．任意偶数的3次方还是偶数C．∃m∈R，x2＋mx＋1＝0无解D．∀x∈N，x<x2【解析】 选项A，C中命题是存在量词命题，故排除．选项B为省略量词的全称量词命题，且为真命题．选项D为全称量词命题，当x＝0或1时，x＝x2，故选项D中命题是假命题．故选D.3．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(　A　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】 若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD；反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形，故选A.4．全称量词命题“∀x∈R，x2＋5x＝4”的否定是(　C　)A．∃x∈R，x2＋5x＝4B．∀x∈R，x2＋5x≠4C．∃x∈R，x2＋5x≠4D．以上都不正确【解析】 “∀x∈R，x2＋5x＝4”的否定是“∃x∈R，x2＋5x≠4”．故选C.5．设集合M＝，P＝，那么“x∈M，或x∈P”是“x∈(M∩P)”的(　A　)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】 若“x∈M，或x∈P”，则不一定有“x∈(M∩P)”；反之，若“x∈(M∩P)”，则一定有“x∈M，或x∈P”．所以“x∈M，或x∈P”是“x∈(M∩P)”的必要不充分条件．故选A.6．“a<0”是“方程ax2＋1＝0至少有一个负根”的(　C　)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7． 一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正数根的充分不必要条件是(　BCD　)A．n＝4B．n＝－5C．n＝－1D．n＝－12【解析】 设y＝x2＋4x＋n，则函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为直线x＝－2，要使得一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正数根，则满足n＜0，所以一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正数根的充分不必要条件可以为选项B，C，D.二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)8．“∃a∈Z，a＋3是偶数”的否定是__∀a∈Z，a＋3不是偶数__．【解析】 “∃a∈Z，a＋3是偶数”的否定是“∀a∈Z，a＋3不是偶数”．9．设命题p：“∀x∈R，x2＋2x＋a≥0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是__a≥1__．【解析】 因为x2＋2x＋a≥0恒成立，所以函数y＝x2＋2x＋a的图象与x轴没有交点或只有一个交点，据题意知，Δ＝4－4a≤0，解得a≥1.10．给出以下命题：①∀x∈R，有x4>x2；②有些平行四边形是矩形或正方形；③∃a∈R，∀x∈R，使得x2＋2x＋a<0.其中假命题为__①③__(填序号).【解析】 ①错，如x＝0时不成立；②显然正确；③错，因为函数y＝x2＋2x＋a的图象开口向上．11．若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是__{a|a<－1或a>3}__．12．已知p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，若p的必要不充分条件是q，则实数a的取值范围是____．【解析】 ∵p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，又∵p的必要不充分条件是q，则p⇒q，但q⇒/ p，∴a＋1≥1且a≤(等号不同时成立)，即0≤a≤.三、解答题(本大题共3小题，共40分)13．(12分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，判断真假，并写出它们的否定：(1)空集是任何一个非空集合的真子集．(2)∀x∈R，6x2＞2x－1＋5x2.(3)∃x∈{－2，－1，0，1，2}，|x－2|＜2.解：(1)该命题是全称量词命题，是真命题．该命题的否定：存在一个非空集合，空集不是该集合的真子集．(2)该命题是全称量词命题，是假命题．因为6x2－(2x－1＋5x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以当x＝1时，6x2＝2x－1＋5x2.该命题的否定：∃x∈R，6x2≤2x－1＋5x2.(3)该命题是存在量词命题，是真命题．因为当x＝1时，|x－2|＝1＜2.该命题的否定：∀x∈{－2，－1，0，1，2}，|x－2|≥2.14．(14分)已知y1＝2mx2－2(4－m)x＋1，y2＝mx.若同时满足：①命题“对任意x∈R，y1＞0和y2＞0中至少有一个成立”为真命题；②命题“对任意x∈{x|x＜－4}，都有y1y2≥0”的否定为真命题．求实数m的取值范围．解：①“对任意x∈R，y1＞0和y2＞0中至少有一个成立”为真命题，当m≤0时，显然不合题意；当m＞0时，因为当x＝0时，y1＝1＞0，y1的图象的对称轴为直线x＝，若≥0，即0＜m≤4，结论显然成立；若＜0，即m＞4，只要方程2mx2－2(4－m)x＋1＝0的判别式Δ＝4(4－m)2－8m＜0即可．又m＞4，可得4＜m＜8.所以0＜m＜8.②“对任意x∈{x|x＜－4}，都有y1y2≥0”的否定为真命题时，即“存在x∈{x|x＜－4}，使得y1y2＜0”为真命题．又当0＜m＜8，x∈{x|x＜－4}时，y2＜0恒成立，由条件①可知，必存在x∈{x|x＜－4}，使得y1＞0成立．综上，可得实数m的取值范围为0＜m＜8.15．(14分)设x，y∈R．(1)求证：＝＋2成立的充要条件是xy≥0.(2)直接写出＝成立的充要条件(不要求证明).证明：(1)(必要性)因为＝＋2⇒＝⇒4xy＝4⇒xy≥0；(充分性)因为xy≥0，当x≤0，y≤0时，＝－x－2y＝＋2，成立；当x≥0，y≥0时，＝x＋2y＝＋2，成立．(2)xy＝0.