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08解答题（基础&中档题） 2022年中考数学冲刺复习分题型分层专练（通用版）
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这是一份08解答题（基础&中档题） 2022年中考数学冲刺复习分题型分层专练（通用版），共27页。试卷主要包含了﹣1，计算，﹣2，0+4cs45°﹣|1﹣|，2﹣，0+2cs30°等内容，欢迎下载使用。
08解答题（基础&中档题）
一．实数的运算（共6小题）
1．（2022•宝山区二模）计算：（）2+（﹣）0﹣12+2（tan60°﹣1）﹣1
2．（2022•长宁区二模）计算：﹣12022+2cot260°﹣|π﹣3|+9．
3．（2022•黄浦区校级二模）计算：．
4．（2022•虹口区二模）计算：．
5．（2022•黄浦区二模）计算：+|﹣2|+﹣（）﹣2．
6．（2022•普陀区模拟）计算：（）﹣2+（π﹣3.14）0+4cos45°﹣|1﹣|．
二．分数指数幂（共3小题）
7．（2022•宝山区模拟）计算：﹣|2﹣|+（2sin60°﹣1）2﹣．
8．（2022•嘉定区二模）计算：．
9．（2022•普陀区二模）计算：27+|2﹣|﹣（）0+2cos30°．
三．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题）
10．（2022•徐汇区校级模拟）计算：
（1）分解因式：3x2y﹣12xy2+12y3；
（2）解不等式组：．
四．分式的化简求值（共3小题）
11．（2022•镇平县一模）先化简，再求值：（）÷，其中a＝+3．
12．（2022•青浦区二模）先化简代数式，然后在下列数值、3、﹣3、2、0中，挑选一个作为x的值代入求值．
13．先化简，再求值：，其中．
五．二次根式的混合运算（共1小题）
14．（2022•徐汇区二模）计算：．
六．高次方程（共2小题）
15．（2022•宝山区模拟）解方程组：．
16．（2022•浦东新区二模）解方程组：
七．解一元一次不等式组（共1小题）
17．（2022•徐汇区二模）解不等式组，并把它的解集在数轴（如图）上表示出来．
八．一元一次不等式组的整数解（共2小题）
18．（2022•松江区校级模拟）解不等式组：．将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解．
19．（2022•青浦区二模）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来，并写出其自然数解．
九．一次函数的应用（共2小题）
20．（2022•宝山区二模）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时），关于已行驶路程x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已经行驶的路程为 千米．当0≤x≤150时，消耗1千瓦时的电量，汽车能行驶的路程为 千米．
（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量．
21．（2022•普陀区二模）某山山脚到山顶有一条登山路，登山爱好者小李沿此路上山走到山顶，休息了一会儿后再原路返回．在下山途中，小李收到消息，需及时回到山脚，于是加速下山．小李下山过程中收到消息前所行的路程与收到消息后所行的路程之比为2：3．其间小李离开山脚的路程y（米）与离开山脚的时间x（分）（x＞0）之间的函数关系如图中折线OABCD所示．根据图象提供的信息，回答下列问题：
（1）这条登山路的全长为 米；小李在山顶休息了 分钟；
（2）如果小李在下山途中没有收到消息，下山的速度一直保持不变，求小李实际提前了多少时间回到山脚．
一十．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
22．（2022•松江区校级模拟）如图，已知反比例函数的图象经过A（1，6）、B两点，直线AB与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若，求点C点坐标．
一十一．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
23．（2022•宝山区模拟）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于A，B，与双曲线y＝交于C（2，m），D（n，﹣2）．
（1）求直线AB的表达式；
（2）将点B向右平移到点M，点M恰好在双曲线y＝上．如果N（4，a）是第四象限内的点，且满足DN＝DM，求点N的坐标．
24．（2022•普陀区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象的交点A在第一象限，点A的纵坐标比横坐标大1．
（1）求点A的坐标和反比例函数的解析式；
（2）点P在射线OA上，过点P作x轴的垂线交双曲线于点B．如果点B的纵坐标为1，求△PAB的面积．
一十二．反比例函数的应用（共1小题）
25．（2022•嘉定区二模）某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道．木板对地面的压强P（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求出P与S之间的函数表达式；
（2）如果要求压强不超过3000Pa，木板的面积至少要多大？
一十三．二次函数图象与几何变换（共1小题）
26．（2022•普陀区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣bx+c经过A（﹣1，2）、B（0，﹣1）两点．
（1）求抛物线的表达式及顶点P的坐标；
（2）将抛物线y＝x2﹣bx+c向左平移（+1）个单位，设平移后的抛物线顶点为点P′．
①求∠BP′P的度数；
②将线段P′B绕点B按逆时针方向旋转150后，点P′落在点M处，点N是平移后的抛物线上的一点，当△MNB的面积为1时，求点N的坐标．
一十四．二次函数的应用（共2小题）
27．（2022•庐江县二模）某店旺季销售一种海鲜产品，为了寻求合适的销售量，试营销了4天，经市场调研发现，试营销日销量情况如下表：
时间x（天）
第1天
第2天
第3天
第4天
…
日销售量y（千克）
380
400
420
440
…
（1）根据表中数据的变化规律，选择一次函数、二次函数、反比例函数中的一种函数模型来确定y与x的函数关系式，并说明选择的理由．
（2）试营销后，公司对这种海产品每天进行定量销售，首批6000千克海产品很块销售一空，对于第二批次6000千克海产品，公司决定在第一批销售量的基础上每天增加100千克定量销售，结果还是比第一批次提前2天售完，求公司对第一批次每天的销售定量是多少千克？
28．（2022•宝山区模拟）在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形ABC，它的底边AB长20厘米．要截得的矩形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上．设EF的长为x厘米，矩形EFGD的面积为y平方厘米，试写出y关于x的函数解析式及定义域，并求当EF的长为4厘米时所截得的矩形的面积．
一十五．二次函数综合题（共3小题）
29．（2022•长宁区二模）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象交x轴于A、B两点，点A在B左边，交y轴于点C．
（1）将函数y＝﹣x2+6x﹣5的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）点D在该抛物线上，它是点C关于抛物线对称轴的对称点，求△ABD的面积．
30．（2022•浦东新区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝﹣x+3分别交于x轴、y轴上的B、C两点，抛物线的顶点为点D，联结CD交x轴于点E．
（1）求抛物线的解析式以及点D的坐标；
（2）求tan∠BCD；
（3）点P在直线BC上，若∠PEB＝∠BCD，求点P的坐标．
31．（2022•青浦区二模）已知直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，抛物线y＝ax2﹣4ax+b与已知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），顶点为P．
（1）求直线y＝kx+b的表达式；
（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求a的取值范围；
（3）若直线DP与直线AB所成夹角的余切值等于3，求抛物线y＝ax2﹣4ax+b的表达式．
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共6小题）
1．（2022•宝山区二模）计算：（）2+（﹣）0﹣12+2（tan60°﹣1）﹣1
【解答】解：原式＝2+1﹣2+2×（﹣1）﹣1
＝2+1﹣2+2×
＝2+1﹣2++1
＝．
2．（2022•长宁区二模）计算：﹣12022+2cot260°﹣|π﹣3|+9．
【解答】解：原式＝﹣1+2×﹣（π﹣3）+
＝﹣1+﹣π+3+
＝3﹣π．
3．（2022•黄浦区校级二模）计算：．
【解答】解：
＝2﹣﹣4+2×+1
＝2﹣﹣4++1
＝﹣1．
4．（2022•虹口区二模）计算：．
【解答】解：
＝2﹣﹣6++4
＝﹣．
5．（2022•黄浦区二模）计算：+|﹣2|+﹣（）﹣2．
【解答】解：原式＝+2﹣﹣2﹣﹣9
＝9+2﹣﹣2﹣﹣9
＝﹣﹣．
6．（2022•普陀区模拟）计算：（）﹣2+（π﹣3.14）0+4cos45°﹣|1﹣|．
【解答】解：原式＝4+1+4×+1﹣
＝4+1+2+1﹣
＝+6．
二．分数指数幂（共3小题）
7．（2022•宝山区模拟）计算：﹣|2﹣|+（2sin60°﹣1）2﹣．
【解答】解：原式＝﹣（2﹣）+（2×﹣1）2﹣
＝﹣2++（﹣1）2﹣
＝﹣2++4﹣2﹣（2﹣）
＝﹣2++4﹣2﹣2+
＝．
8．（2022•嘉定区二模）计算：．
【解答】解：原式＝1+2+3﹣2+3+2
＝9．
9．（2022•普陀区二模）计算：27+|2﹣|﹣（）0+2cos30°．
【解答】解：原式＝3+2﹣
＝5﹣﹣1
＝4．
三．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题）
10．（2022•徐汇区校级模拟）计算：
（1）分解因式：3x2y﹣12xy2+12y3；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）原式＝3y（x2﹣4xy+4y2）
＝3y（x﹣2y）2；
（2）由①移项得：3x﹣x＞﹣5+1，
合并得：2x＞﹣4，
解得：x＞﹣2，
由②去分母得：x+2﹣3x≥3，
移项合并得：﹣2x≥1，
解得：x≤﹣，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤﹣．
四．分式的化简求值（共3小题）
11．（2022•镇平县一模）先化简，再求值：（）÷，其中a＝+3．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝•
＝﹣，
当a＝+3时，
原式＝﹣＝﹣1﹣．
12．（2022•青浦区二模）先化简代数式，然后在下列数值、3、﹣3、2、0中，挑选一个作为x的值代入求值．
【解答】解：
＝•
＝，
要使分式有意义，必须x≠0且x+3≠0且x﹣3≠0且x﹣2≠0，
即x不能为0，3，﹣3，2，
取x＝+4，
当x＝+4时，原式＝
＝
＝
＝
＝
＝．
13．先化简，再求值：，其中．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当时，
原式＝＝﹣7﹣4．
五．二次根式的混合运算（共1小题）
14．（2022•徐汇区二模）计算：．
【解答】解：原式＝2﹣﹣（﹣）+1+﹣+
＝2﹣﹣++1+﹣+
＝+．
六．高次方程（共2小题）
15．（2022•宝山区模拟）解方程组：．
【解答】解：，
由②，得（x﹣3y）（x+2y）＝0，
∴x﹣3y＝0③或x+2y＝0④．
由①③、①④可得新方程组，．
解方程组，
得，．
解方程组，
得，．
所以原方程组的解为：，，，．
16．（2022•浦东新区二模）解方程组：
【解答】解：由①得，x﹣2y＝2或x﹣2y＝﹣2
将它们与方程②分别组成方程组，得：
解，得；
解得．
所以原方程组的解为：，．
七．解一元一次不等式组（共1小题）
17．（2022•徐汇区二模）解不等式组，并把它的解集在数轴（如图）上表示出来．
【解答】解：由3x＞4x﹣6，得：x＜6，
由≥，得：x≥4，
则不等式组的解集为4≤x＜6，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
八．一元一次不等式组的整数解（共2小题）
18．（2022•松江区校级模拟）解不等式组：．将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解．
【解答】解：由第一个不等式，得5x≥5，
解得x≥1，
由第二个不等式，得2（x﹣1）﹣（x+2）＞3x﹣12，
整理，得2x＜8，
解得x＜4，
∴不等式的解集为1≤x＜4，
数轴图表示解集：
所以整数解为1，2，3．
19．（2022•青浦区二模）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来，并写出其自然数解．
【解答】解：
由①得，x≥0，
由②得，x＜3，
所以不等式的解集为：0≤x＜3．
在数轴上表示为：
故其自然数解为：0，1、2．
九．一次函数的应用（共2小题）
20．（2022•宝山区二模）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时），关于已行驶路程x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已经行驶的路程为 150 千米．当0≤x≤150时，消耗1千瓦时的电量，汽车能行驶的路程为 6 千米．
（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量．
【解答】解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米．
1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：（千米），
故答案为：150；6．
（2）设y＝kx+b（k≠0），把点（150，35），（200，10）代入，
得，解得，
∴y＝﹣0.5x+110，
当x＝160时，y＝﹣0.5×160+110＝30，
答：当150≤x≤200时，函数表达式为y＝﹣0.5x+110，当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量为30千瓦时．
21．（2022•普陀区二模）某山山脚到山顶有一条登山路，登山爱好者小李沿此路上山走到山顶，休息了一会儿后再原路返回．在下山途中，小李收到消息，需及时回到山脚，于是加速下山．小李下山过程中收到消息前所行的路程与收到消息后所行的路程之比为2：3．其间小李离开山脚的路程y（米）与离开山脚的时间x（分）（x＞0）之间的函数关系如图中折线OABCD所示．根据图象提供的信息，回答下列问题：
（1）这条登山路的全长为 600 米；小李在山顶休息了 10 分钟；
（2）如果小李在下山途中没有收到消息，下山的速度一直保持不变，求小李实际提前了多少时间回到山脚．
【解答】解：（1）由图象可得：这条登山路的全长为600米，小李在山顶休息了30﹣20＝10（分钟），
故答案为：600，10；
（2）由题意可知：如果小李在下山途中没有收到消息，下山的速度一直保持不变，则下山所需时间为：×（2+3）＝45（分钟），
而由图象知，实际小李在下山所用时间为60﹣30＝30（分钟），
∴小李实际提前了45﹣30＝15（分钟）回到山脚．
一十．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
22．（2022•松江区校级模拟）如图，已知反比例函数的图象经过A（1，6）、B两点，直线AB与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若，求点C点坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过A（1，6）；
∴，
∴k＝6，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）作AD⊥x轴，垂足为点D，作BE⊥AD，垂足为点E，
∴BE∥CD，
∴＝＝，
又∵AD＝6，
∴AE＝4，ED＝2，
将y＝2代入，得B点坐标为（3，2），
∴BE＝2，
又∵BE∥CD，
∴，
∴CD＝3
∴C点坐标为（4，0）．
一十一．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
23．（2022•宝山区模拟）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于A，B，与双曲线y＝交于C（2，m），D（n，﹣2）．
（1）求直线AB的表达式；
（2）将点B向右平移到点M，点M恰好在双曲线y＝上．如果N（4，a）是第四象限内的点，且满足DN＝DM，求点N的坐标．
【解答】解：（1）由题意，m＝＝4，n＝＝﹣4，
∴C（2，4），D（﹣4，﹣2），
∴
∴解得，
∴直线解析为y＝x+2；
（2）由y＝x+2可知B（0，2），
由 ＝2，得x＝4，
∴M（4，2），
∵N（4，a），
∴MN∥y轴，
∵DN＝DM，
∴点D在MN的垂直平分线上，
设DH垂直MN于H，则DH∥x轴，
∴点H的纵坐标为为﹣2，
则H（4，﹣2），
∴点N的坐标为（4，﹣6）．
24．（2022•普陀区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象的交点A在第一象限，点A的纵坐标比横坐标大1．
（1）求点A的坐标和反比例函数的解析式；
（2）点P在射线OA上，过点P作x轴的垂线交双曲线于点B．如果点B的纵坐标为1，求△PAB的面积．
【解答】解：（1）设点A的横坐标为m，则点A的纵坐标为m+1，
∵点A在正比例函数y＝2x上，
∴2m＝m+1，
解得m＝1．
∴A（1，2）．
∵点A在反比例函数y＝上，
∴k＝1×2＝2．
∴反比例函数的解析式为：y＝．
（2）∵点B在反比例函数y＝的图象上，且点B的纵坐标为1
∴B（2，1），
∴P（2，4）．
∴PB＝3．
∴S△PAB＝×3×1＝．
一十二．反比例函数的应用（共1小题）
25．（2022•嘉定区二模）某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道．木板对地面的压强P（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求出P与S之间的函数表达式；
（2）如果要求压强不超过3000Pa，木板的面积至少要多大？
【解答】解：（1）设p＝．
把A（3，200）代入，得200＝，
k＝3×200＝600，
则p＝（S＞0）；
（2）由题意知≤3000，
解得S≥0.2，
即木板面积至少要有0.2m2．
一十三．二次函数图象与几何变换（共1小题）
26．（2022•普陀区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣bx+c经过A（﹣1，2）、B（0，﹣1）两点．
（1）求抛物线的表达式及顶点P的坐标；
（2）将抛物线y＝x2﹣bx+c向左平移（+1）个单位，设平移后的抛物线顶点为点P′．
①求∠BP′P的度数；
②将线段P′B绕点B按逆时针方向旋转150后，点P′落在点M处，点N是平移后的抛物线上的一点，当△MNB的面积为1时，求点N的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，2）、B（0，﹣1）代入y＝x2﹣bx+c得，
，
解得：，
∴y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣1，顶点P坐标为（1，﹣2）；
（2）①将抛物线向左平移（+1）个单位，则平移后的顶点P′的坐标为（1﹣﹣1，﹣2），即（﹣，﹣2），
∵PP′在一条平行于x轴的直线上，
∴PP′⊥y轴，
设PP′与y轴的交点为D，如图，连接BP′，
′
∴tan∠BP′P＝＝＝，
∴∠BP′P＝30°；
②∵∠BP′P＝30°，
∴∠P′BD＝90°﹣∠BP′P＝90°﹣30°＝60°，
∵BM是BP′绕B点逆时针方向旋转150°得到的，
即∠P′BM＝∠P′BD+90°＝60°+90°＝150°，
∴BM∥x轴，
BM＝BP′＝＝＝2，
设△MNB中BM边所对应的高为h，
则S△MNB＝BM•h＝×2h＝1，
∴h＝1，
∴点N的纵坐标为﹣1±1，即0或﹣2，
又∵平移后的抛物线表达式为y＝（x+）2﹣2，
∴当y＝﹣2时，（x+）2﹣2＝﹣2，
解得：x＝﹣，
当y＝0时，即（x+）2﹣2＝0，
解得：x＝﹣±，
∴点N的坐标为（﹣，﹣2）或（﹣+，0）或（﹣﹣，0）．
一十四．二次函数的应用（共2小题）
27．（2022•庐江县二模）某店旺季销售一种海鲜产品，为了寻求合适的销售量，试营销了4天，经市场调研发现，试营销日销量情况如下表：
时间x（天）
第1天
第2天
第3天
第4天
…
日销售量y（千克）
380
400
420
440
…
（1）根据表中数据的变化规律，选择一次函数、二次函数、反比例函数中的一种函数模型来确定y与x的函数关系式，并说明选择的理由．
（2）试营销后，公司对这种海产品每天进行定量销售，首批6000千克海产品很块销售一空，对于第二批次6000千克海产品，公司决定在第一批销售量的基础上每天增加100千克定量销售，结果还是比第一批次提前2天售完，求公司对第一批次每天的销售定量是多少千克？
【解答】解：（1）根据表中数据的变化规律可知：时间每增加1天，销售量就增加20千克，
∴选择一次函数模型来确定y与x的函数关系式．
故设函数的表达式为：y＝kx+b，
将（1，380）、（2，400）代入上式得：，
解得：，
故函数的表达式为：y＝20x+360．
（2）设公司对第一批次每天的销售定量是a千克，则公司对第二批次每天的销售定量是（100+a）千克，根据题意，
得＝+2，
整理，得，
a2+100a﹣300000＝0，
解方程，得，
a1＝500，a2＝﹣600，
经检验，a1、a2都是分式方程的解，但负值不合题意，应舍去，
∴a＝500．
即公司对第一批次每天的销售定量是500千克．
28．（2022•宝山区模拟）在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形ABC，它的底边AB长20厘米．要截得的矩形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上．设EF的长为x厘米，矩形EFGD的面积为y平方厘米，试写出y关于x的函数解析式及定义域，并求当EF的长为4厘米时所截得的矩形的面积．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形EFGD是矩形，
∴△AFE和△DGB都是等腰直角三角形，
∴AF＝EF＝x，GB＝DG＝x，
FG＝AB﹣AF﹣GB＝20﹣2x，
矩形EFGD的面积y＝x（20﹣2x）
＝﹣2x2+20x，
由0＜20﹣2x＜20，
解得0＜x＜10，
∴y关于x的函数关系式是y＝﹣2x2+20x，
定义域是0＜x＜10，
当x＝4时，y＝﹣2×42+20×4＝48，
即当EF的长为4厘米时，所截得的矩形的面积为48平方厘米．
一十五．二次函数综合题（共3小题）
29．（2022•长宁区二模）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象交x轴于A、B两点，点A在B左边，交y轴于点C．
（1）将函数y＝﹣x2+6x﹣5的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）点D在该抛物线上，它是点C关于抛物线对称轴的对称点，求△ABD的面积．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的开口方向向下，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，4）；
（2）如图，
针对于y＝﹣x2+6x﹣5，
令y＝0，则﹣x2+6x﹣5＝0，
∴x＝1或x＝5，
∵点A在B左边，
∴A（1，0），B（5，0），
令x＝0，则y＝﹣5，
∴C（0，﹣5），
∵点D与点C关于二次函数的对称轴对称，
∴D（6，﹣5），
∴S△ABD＝AB•|yD|＝（5﹣1）×5＝10．
30．（2022•浦东新区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝﹣x+3分别交于x轴、y轴上的B、C两点，抛物线的顶点为点D，联结CD交x轴于点E．
（1）求抛物线的解析式以及点D的坐标；
（2）求tan∠BCD；
（3）点P在直线BC上，若∠PEB＝∠BCD，求点P的坐标．
【解答】解：（1）由题意得B（6，0），C（0，3），
把B（6，0）C（0，3）代入y＝ax2﹣2x+c
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为：
y＝x2﹣2x+3
＝（x2﹣8x）+3
＝（x﹣4）2﹣1，
∴D（4，﹣1）；
（2）可得点E（3，0），
OE＝OC＝3，∠OEC＝45°，
过点B作BF⊥CD，垂足为点F
在Rt△OEC中，EC＝＝3，
在Rt△BEF中，BF＝BE•sin∠BEF＝，
同理，EF＝，
∴CF＝3+＝，
在Rt△CBF中，tan∠BCD＝＝；
（3）设点P（m，）
∵∠PEB＝∠BCD，
∴tan∠PEB＝tan∠BCD＝，
①点P在x轴上方
∴，
解得：，
∴点P（，），
②点P在x轴下方
∴，
解得：m＝12，
∴点P（12，﹣3），
综上所述，点P（，）或（12，﹣3）．
31．（2022•青浦区二模）已知直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，抛物线y＝ax2﹣4ax+b与已知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），顶点为P．
（1）求直线y＝kx+b的表达式；
（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求a的取值范围；
（3）若直线DP与直线AB所成夹角的余切值等于3，求抛物线y＝ax2﹣4ax+b的表达式．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3），
∴，
解得：，
∴该直线的函数表达式为：y＝x+2；
（2）由（1）知：b＝2，
∴y＝ax2﹣4ax+2＝a（x﹣2）2+2﹣4a，
∴该抛物线的顶点为P（2，2﹣4a），
由题意得：，
解得：a≥；
∴a的取值范围为a≥；
（3）①当a＜0时，如图1，过点P作PH∥y轴交直线AB于点H，交x轴于点F，作PE⊥AB于点E，
∵P（2，2﹣4a），
∴H（2，4），
∴PH＝2﹣4a﹣4＝﹣4a﹣2，
由ax2﹣4ax+2＝x+2，
得：x1＝0，x2＝4+，
∴D（0，2），
∵A（﹣2，0），
∴OA＝OD＝2，
∴∠ADO＝45°，
∵PH∥y轴，
∴∠AHF＝∠ADO＝45°，
∴∠PHE＝45°，
∴PE＝PH•sin∠PHE＝（﹣4a﹣2）×sin45°＝﹣2a﹣，
∴EH＝PE＝﹣2a﹣，
∵DH＝＝2，
∴DE＝DH+EH＝2+（﹣2a﹣）＝﹣2a+，
∵cot∠PDE＝＝3，
∴DE＝3PE，即﹣2a+＝3（﹣2a﹣），
解得：a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+2；
②当a＞0时，如图2，过点P作PH∥y轴交直线AB于点H，交x轴于点F，作PE⊥AB于点E，
∵P（2，2﹣4a），
∴H（2，4），
∴PH＝4﹣（2﹣4a）＝4a+2，
由ax2﹣4ax+2＝x+2，
得：x1＝0，x2＝4+，
∴D（0，2），
∵A（﹣2，0），
∴OA＝OD＝2，
∴∠ADO＝45°，
∵PH∥y轴，
∴∠AHF＝∠ADO＝45°，
∴∠PHE＝45°，
∴PE＝PH•sin∠PHE＝（4a+2）×sin45°＝2a+，
∴EH＝PE＝2a+，
∴DE＝DH﹣EH＝2﹣（2a+）＝﹣2a+，
∵cot∠PDE＝＝3，
∴DE＝3PE，即﹣2a+＝3（2a+），
解得：a＝﹣，与a＞0矛盾；
综上所述，抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+2．
08解答题（基础&中档题）
一．实数的运算（共6小题）
1．（2022•宝山区二模）计算：（）2+（﹣）0﹣12+2（tan60°﹣1）﹣1
2．（2022•长宁区二模）计算：﹣12022+2cot260°﹣|π﹣3|+9．
3．（2022•黄浦区校级二模）计算：．
4．（2022•虹口区二模）计算：．
5．（2022•黄浦区二模）计算：+|﹣2|+﹣（）﹣2．
6．（2022•普陀区模拟）计算：（）﹣2+（π﹣3.14）0+4cos45°﹣|1﹣|．
二．分数指数幂（共3小题）
7．（2022•宝山区模拟）计算：﹣|2﹣|+（2sin60°﹣1）2﹣．
8．（2022•嘉定区二模）计算：．
9．（2022•普陀区二模）计算：27+|2﹣|﹣（）0+2cos30°．
三．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题）
10．（2022•徐汇区校级模拟）计算：
（1）分解因式：3x2y﹣12xy2+12y3；
（2）解不等式组：．
四．分式的化简求值（共3小题）
11．（2022•镇平县一模）先化简，再求值：（）÷，其中a＝+3．
12．（2022•青浦区二模）先化简代数式，然后在下列数值、3、﹣3、2、0中，挑选一个作为x的值代入求值．
13．先化简，再求值：，其中．
五．二次根式的混合运算（共1小题）
14．（2022•徐汇区二模）计算：．
六．高次方程（共2小题）
15．（2022•宝山区模拟）解方程组：．
16．（2022•浦东新区二模）解方程组：
七．解一元一次不等式组（共1小题）
17．（2022•徐汇区二模）解不等式组，并把它的解集在数轴（如图）上表示出来．
八．一元一次不等式组的整数解（共2小题）
18．（2022•松江区校级模拟）解不等式组：．将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解．
19．（2022•青浦区二模）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来，并写出其自然数解．
九．一次函数的应用（共2小题）
20．（2022•宝山区二模）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时），关于已行驶路程x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已经行驶的路程为 千米．当0≤x≤150时，消耗1千瓦时的电量，汽车能行驶的路程为 千米．
（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量．
21．（2022•普陀区二模）某山山脚到山顶有一条登山路，登山爱好者小李沿此路上山走到山顶，休息了一会儿后再原路返回．在下山途中，小李收到消息，需及时回到山脚，于是加速下山．小李下山过程中收到消息前所行的路程与收到消息后所行的路程之比为2：3．其间小李离开山脚的路程y（米）与离开山脚的时间x（分）（x＞0）之间的函数关系如图中折线OABCD所示．根据图象提供的信息，回答下列问题：
（1）这条登山路的全长为 米；小李在山顶休息了 分钟；
（2）如果小李在下山途中没有收到消息，下山的速度一直保持不变，求小李实际提前了多少时间回到山脚．
一十．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
22．（2022•松江区校级模拟）如图，已知反比例函数的图象经过A（1，6）、B两点，直线AB与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若，求点C点坐标．
一十一．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
23．（2022•宝山区模拟）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于A，B，与双曲线y＝交于C（2，m），D（n，﹣2）．
（1）求直线AB的表达式；
（2）将点B向右平移到点M，点M恰好在双曲线y＝上．如果N（4，a）是第四象限内的点，且满足DN＝DM，求点N的坐标．
24．（2022•普陀区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象的交点A在第一象限，点A的纵坐标比横坐标大1．
（1）求点A的坐标和反比例函数的解析式；
（2）点P在射线OA上，过点P作x轴的垂线交双曲线于点B．如果点B的纵坐标为1，求△PAB的面积．
一十二．反比例函数的应用（共1小题）
25．（2022•嘉定区二模）某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道．木板对地面的压强P（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求出P与S之间的函数表达式；
（2）如果要求压强不超过3000Pa，木板的面积至少要多大？
一十三．二次函数图象与几何变换（共1小题）
26．（2022•普陀区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣bx+c经过A（﹣1，2）、B（0，﹣1）两点．
（1）求抛物线的表达式及顶点P的坐标；
（2）将抛物线y＝x2﹣bx+c向左平移（+1）个单位，设平移后的抛物线顶点为点P′．
①求∠BP′P的度数；
②将线段P′B绕点B按逆时针方向旋转150后，点P′落在点M处，点N是平移后的抛物线上的一点，当△MNB的面积为1时，求点N的坐标．
一十四．二次函数的应用（共2小题）
27．（2022•庐江县二模）某店旺季销售一种海鲜产品，为了寻求合适的销售量，试营销了4天，经市场调研发现，试营销日销量情况如下表：
时间x（天）
第1天
第2天
第3天
第4天
…
日销售量y（千克）
380
400
420
440
…
（1）根据表中数据的变化规律，选择一次函数、二次函数、反比例函数中的一种函数模型来确定y与x的函数关系式，并说明选择的理由．
（2）试营销后，公司对这种海产品每天进行定量销售，首批6000千克海产品很块销售一空，对于第二批次6000千克海产品，公司决定在第一批销售量的基础上每天增加100千克定量销售，结果还是比第一批次提前2天售完，求公司对第一批次每天的销售定量是多少千克？
28．（2022•宝山区模拟）在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形ABC，它的底边AB长20厘米．要截得的矩形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上．设EF的长为x厘米，矩形EFGD的面积为y平方厘米，试写出y关于x的函数解析式及定义域，并求当EF的长为4厘米时所截得的矩形的面积．
一十五．二次函数综合题（共3小题）
29．（2022•长宁区二模）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象交x轴于A、B两点，点A在B左边，交y轴于点C．
（1）将函数y＝﹣x2+6x﹣5的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）点D在该抛物线上，它是点C关于抛物线对称轴的对称点，求△ABD的面积．
30．（2022•浦东新区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝﹣x+3分别交于x轴、y轴上的B、C两点，抛物线的顶点为点D，联结CD交x轴于点E．
（1）求抛物线的解析式以及点D的坐标；
（2）求tan∠BCD；
（3）点P在直线BC上，若∠PEB＝∠BCD，求点P的坐标．
31．（2022•青浦区二模）已知直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，抛物线y＝ax2﹣4ax+b与已知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），顶点为P．
（1）求直线y＝kx+b的表达式；
（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求a的取值范围；
（3）若直线DP与直线AB所成夹角的余切值等于3，求抛物线y＝ax2﹣4ax+b的表达式．
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共6小题）
1．（2022•宝山区二模）计算：（）2+（﹣）0﹣12+2（tan60°﹣1）﹣1
【解答】解：原式＝2+1﹣2+2×（﹣1）﹣1
＝2+1﹣2+2×
＝2+1﹣2++1
＝．
2．（2022•长宁区二模）计算：﹣12022+2cot260°﹣|π﹣3|+9．
【解答】解：原式＝﹣1+2×﹣（π﹣3）+
＝﹣1+﹣π+3+
＝3﹣π．
3．（2022•黄浦区校级二模）计算：．
【解答】解：
＝2﹣﹣4+2×+1
＝2﹣﹣4++1
＝﹣1．
4．（2022•虹口区二模）计算：．
【解答】解：
＝2﹣﹣6++4
＝﹣．
5．（2022•黄浦区二模）计算：+|﹣2|+﹣（）﹣2．
【解答】解：原式＝+2﹣﹣2﹣﹣9
＝9+2﹣﹣2﹣﹣9
＝﹣﹣．
6．（2022•普陀区模拟）计算：（）﹣2+（π﹣3.14）0+4cos45°﹣|1﹣|．
【解答】解：原式＝4+1+4×+1﹣
＝4+1+2+1﹣
＝+6．
二．分数指数幂（共3小题）
7．（2022•宝山区模拟）计算：﹣|2﹣|+（2sin60°﹣1）2﹣．
【解答】解：原式＝﹣（2﹣）+（2×﹣1）2﹣
＝﹣2++（﹣1）2﹣
＝﹣2++4﹣2﹣（2﹣）
＝﹣2++4﹣2﹣2+
＝．
8．（2022•嘉定区二模）计算：．
【解答】解：原式＝1+2+3﹣2+3+2
＝9．
9．（2022•普陀区二模）计算：27+|2﹣|﹣（）0+2cos30°．
【解答】解：原式＝3+2﹣
＝5﹣﹣1
＝4．
三．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题）
10．（2022•徐汇区校级模拟）计算：
（1）分解因式：3x2y﹣12xy2+12y3；
（2）解不等式组：．
【解答】解：（1）原式＝3y（x2﹣4xy+4y2）
＝3y（x﹣2y）2；
（2）由①移项得：3x﹣x＞﹣5+1，
合并得：2x＞﹣4，
解得：x＞﹣2，
由②去分母得：x+2﹣3x≥3，
移项合并得：﹣2x≥1，
解得：x≤﹣，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤﹣．
四．分式的化简求值（共3小题）
11．（2022•镇平县一模）先化简，再求值：（）÷，其中a＝+3．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝•
＝﹣，
当a＝+3时，
原式＝﹣＝﹣1﹣．
12．（2022•青浦区二模）先化简代数式，然后在下列数值、3、﹣3、2、0中，挑选一个作为x的值代入求值．
【解答】解：
＝•
＝，
要使分式有意义，必须x≠0且x+3≠0且x﹣3≠0且x﹣2≠0，
即x不能为0，3，﹣3，2，
取x＝+4，
当x＝+4时，原式＝
＝
＝
＝
＝
＝．
13．先化简，再求值：，其中．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当时，
原式＝＝﹣7﹣4．
五．二次根式的混合运算（共1小题）
14．（2022•徐汇区二模）计算：．
【解答】解：原式＝2﹣﹣（﹣）+1+﹣+
＝2﹣﹣++1+﹣+
＝+．
六．高次方程（共2小题）
15．（2022•宝山区模拟）解方程组：．
【解答】解：，
由②，得（x﹣3y）（x+2y）＝0，
∴x﹣3y＝0③或x+2y＝0④．
由①③、①④可得新方程组，．
解方程组，
得，．
解方程组，
得，．
所以原方程组的解为：，，，．
16．（2022•浦东新区二模）解方程组：
【解答】解：由①得，x﹣2y＝2或x﹣2y＝﹣2
将它们与方程②分别组成方程组，得：
解，得；
解得．
所以原方程组的解为：，．
七．解一元一次不等式组（共1小题）
17．（2022•徐汇区二模）解不等式组，并把它的解集在数轴（如图）上表示出来．
【解答】解：由3x＞4x﹣6，得：x＜6，
由≥，得：x≥4，
则不等式组的解集为4≤x＜6，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
八．一元一次不等式组的整数解（共2小题）
18．（2022•松江区校级模拟）解不等式组：．将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解．
【解答】解：由第一个不等式，得5x≥5，
解得x≥1，
由第二个不等式，得2（x﹣1）﹣（x+2）＞3x﹣12，
整理，得2x＜8，
解得x＜4，
∴不等式的解集为1≤x＜4，
数轴图表示解集：
所以整数解为1，2，3．
19．（2022•青浦区二模）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来，并写出其自然数解．
【解答】解：
由①得，x≥0，
由②得，x＜3，
所以不等式的解集为：0≤x＜3．
在数轴上表示为：
故其自然数解为：0，1、2．
九．一次函数的应用（共2小题）
20．（2022•宝山区二模）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时），关于已行驶路程x（千米）的函数图象．
（1）根据图象，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已经行驶的路程为 150 千米．当0≤x≤150时，消耗1千瓦时的电量，汽车能行驶的路程为 6 千米．
（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量．
【解答】解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米．
1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：（千米），
故答案为：150；6．
（2）设y＝kx+b（k≠0），把点（150，35），（200，10）代入，
得，解得，
∴y＝﹣0.5x+110，
当x＝160时，y＝﹣0.5×160+110＝30，
答：当150≤x≤200时，函数表达式为y＝﹣0.5x+110，当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量为30千瓦时．
21．（2022•普陀区二模）某山山脚到山顶有一条登山路，登山爱好者小李沿此路上山走到山顶，休息了一会儿后再原路返回．在下山途中，小李收到消息，需及时回到山脚，于是加速下山．小李下山过程中收到消息前所行的路程与收到消息后所行的路程之比为2：3．其间小李离开山脚的路程y（米）与离开山脚的时间x（分）（x＞0）之间的函数关系如图中折线OABCD所示．根据图象提供的信息，回答下列问题：
（1）这条登山路的全长为 600 米；小李在山顶休息了 10 分钟；
（2）如果小李在下山途中没有收到消息，下山的速度一直保持不变，求小李实际提前了多少时间回到山脚．
【解答】解：（1）由图象可得：这条登山路的全长为600米，小李在山顶休息了30﹣20＝10（分钟），
故答案为：600，10；
（2）由题意可知：如果小李在下山途中没有收到消息，下山的速度一直保持不变，则下山所需时间为：×（2+3）＝45（分钟），
而由图象知，实际小李在下山所用时间为60﹣30＝30（分钟），
∴小李实际提前了45﹣30＝15（分钟）回到山脚．
一十．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
22．（2022•松江区校级模拟）如图，已知反比例函数的图象经过A（1，6）、B两点，直线AB与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若，求点C点坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过A（1，6）；
∴，
∴k＝6，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）作AD⊥x轴，垂足为点D，作BE⊥AD，垂足为点E，
∴BE∥CD，
∴＝＝，
又∵AD＝6，
∴AE＝4，ED＝2，
将y＝2代入，得B点坐标为（3，2），
∴BE＝2，
又∵BE∥CD，
∴，
∴CD＝3
∴C点坐标为（4，0）．
一十一．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
23．（2022•宝山区模拟）如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于A，B，与双曲线y＝交于C（2，m），D（n，﹣2）．
（1）求直线AB的表达式；
（2）将点B向右平移到点M，点M恰好在双曲线y＝上．如果N（4，a）是第四象限内的点，且满足DN＝DM，求点N的坐标．
【解答】解：（1）由题意，m＝＝4，n＝＝﹣4，
∴C（2，4），D（﹣4，﹣2），
∴
∴解得，
∴直线解析为y＝x+2；
（2）由y＝x+2可知B（0，2），
由 ＝2，得x＝4，
∴M（4，2），
∵N（4，a），
∴MN∥y轴，
∵DN＝DM，
∴点D在MN的垂直平分线上，
设DH垂直MN于H，则DH∥x轴，
∴点H的纵坐标为为﹣2，
则H（4，﹣2），
∴点N的坐标为（4，﹣6）．
24．（2022•普陀区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象与正比例函数y＝2x的图象的交点A在第一象限，点A的纵坐标比横坐标大1．
（1）求点A的坐标和反比例函数的解析式；
（2）点P在射线OA上，过点P作x轴的垂线交双曲线于点B．如果点B的纵坐标为1，求△PAB的面积．
【解答】解：（1）设点A的横坐标为m，则点A的纵坐标为m+1，
∵点A在正比例函数y＝2x上，
∴2m＝m+1，
解得m＝1．
∴A（1，2）．
∵点A在反比例函数y＝上，
∴k＝1×2＝2．
∴反比例函数的解析式为：y＝．
（2）∵点B在反比例函数y＝的图象上，且点B的纵坐标为1
∴B（2，1），
∴P（2，4）．
∴PB＝3．
∴S△PAB＝×3×1＝．
一十二．反比例函数的应用（共1小题）
25．（2022•嘉定区二模）某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时近道．木板对地面的压强P（Pa）是木板面积S（m2）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求出P与S之间的函数表达式；
（2）如果要求压强不超过3000Pa，木板的面积至少要多大？
【解答】解：（1）设p＝．
把A（3，200）代入，得200＝，
k＝3×200＝600，
则p＝（S＞0）；
（2）由题意知≤3000，
解得S≥0.2，
即木板面积至少要有0.2m2．
一十三．二次函数图象与几何变换（共1小题）
26．（2022•普陀区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣bx+c经过A（﹣1，2）、B（0，﹣1）两点．
（1）求抛物线的表达式及顶点P的坐标；
（2）将抛物线y＝x2﹣bx+c向左平移（+1）个单位，设平移后的抛物线顶点为点P′．
①求∠BP′P的度数；
②将线段P′B绕点B按逆时针方向旋转150后，点P′落在点M处，点N是平移后的抛物线上的一点，当△MNB的面积为1时，求点N的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，2）、B（0，﹣1）代入y＝x2﹣bx+c得，
，
解得：，
∴y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣1，顶点P坐标为（1，﹣2）；
（2）①将抛物线向左平移（+1）个单位，则平移后的顶点P′的坐标为（1﹣﹣1，﹣2），即（﹣，﹣2），
∵PP′在一条平行于x轴的直线上，
∴PP′⊥y轴，
设PP′与y轴的交点为D，如图，连接BP′，
′
∴tan∠BP′P＝＝＝，
∴∠BP′P＝30°；
②∵∠BP′P＝30°，
∴∠P′BD＝90°﹣∠BP′P＝90°﹣30°＝60°，
∵BM是BP′绕B点逆时针方向旋转150°得到的，
即∠P′BM＝∠P′BD+90°＝60°+90°＝150°，
∴BM∥x轴，
BM＝BP′＝＝＝2，
设△MNB中BM边所对应的高为h，
则S△MNB＝BM•h＝×2h＝1，
∴h＝1，
∴点N的纵坐标为﹣1±1，即0或﹣2，
又∵平移后的抛物线表达式为y＝（x+）2﹣2，
∴当y＝﹣2时，（x+）2﹣2＝﹣2，
解得：x＝﹣，
当y＝0时，即（x+）2﹣2＝0，
解得：x＝﹣±，
∴点N的坐标为（﹣，﹣2）或（﹣+，0）或（﹣﹣，0）．
一十四．二次函数的应用（共2小题）
27．（2022•庐江县二模）某店旺季销售一种海鲜产品，为了寻求合适的销售量，试营销了4天，经市场调研发现，试营销日销量情况如下表：
时间x（天）
第1天
第2天
第3天
第4天
…
日销售量y（千克）
380
400
420
440
…
（1）根据表中数据的变化规律，选择一次函数、二次函数、反比例函数中的一种函数模型来确定y与x的函数关系式，并说明选择的理由．
（2）试营销后，公司对这种海产品每天进行定量销售，首批6000千克海产品很块销售一空，对于第二批次6000千克海产品，公司决定在第一批销售量的基础上每天增加100千克定量销售，结果还是比第一批次提前2天售完，求公司对第一批次每天的销售定量是多少千克？
【解答】解：（1）根据表中数据的变化规律可知：时间每增加1天，销售量就增加20千克，
∴选择一次函数模型来确定y与x的函数关系式．
故设函数的表达式为：y＝kx+b，
将（1，380）、（2，400）代入上式得：，
解得：，
故函数的表达式为：y＝20x+360．
（2）设公司对第一批次每天的销售定量是a千克，则公司对第二批次每天的销售定量是（100+a）千克，根据题意，
得＝+2，
整理，得，
a2+100a﹣300000＝0，
解方程，得，
a1＝500，a2＝﹣600，
经检验，a1、a2都是分式方程的解，但负值不合题意，应舍去，
∴a＝500．
即公司对第一批次每天的销售定量是500千克．
28．（2022•宝山区模拟）在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形ABC，它的底边AB长20厘米．要截得的矩形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上．设EF的长为x厘米，矩形EFGD的面积为y平方厘米，试写出y关于x的函数解析式及定义域，并求当EF的长为4厘米时所截得的矩形的面积．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形EFGD是矩形，
∴△AFE和△DGB都是等腰直角三角形，
∴AF＝EF＝x，GB＝DG＝x，
FG＝AB﹣AF﹣GB＝20﹣2x，
矩形EFGD的面积y＝x（20﹣2x）
＝﹣2x2+20x，
由0＜20﹣2x＜20，
解得0＜x＜10，
∴y关于x的函数关系式是y＝﹣2x2+20x，
定义域是0＜x＜10，
当x＝4时，y＝﹣2×42+20×4＝48，
即当EF的长为4厘米时，所截得的矩形的面积为48平方厘米．
一十五．二次函数综合题（共3小题）
29．（2022•长宁区二模）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的图象交x轴于A、B两点，点A在B左边，交y轴于点C．
（1）将函数y＝﹣x2+6x﹣5的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）点D在该抛物线上，它是点C关于抛物线对称轴的对称点，求△ABD的面积．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴二次函数y＝﹣x2+6x﹣5的开口方向向下，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，4）；
（2）如图，
针对于y＝﹣x2+6x﹣5，
令y＝0，则﹣x2+6x﹣5＝0，
∴x＝1或x＝5，
∵点A在B左边，
∴A（1，0），B（5，0），
令x＝0，则y＝﹣5，
∴C（0，﹣5），
∵点D与点C关于二次函数的对称轴对称，
∴D（6，﹣5），
∴S△ABD＝AB•|yD|＝（5﹣1）×5＝10．
30．（2022•浦东新区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝﹣x+3分别交于x轴、y轴上的B、C两点，抛物线的顶点为点D，联结CD交x轴于点E．
（1）求抛物线的解析式以及点D的坐标；
（2）求tan∠BCD；
（3）点P在直线BC上，若∠PEB＝∠BCD，求点P的坐标．
【解答】解：（1）由题意得B（6，0），C（0，3），
把B（6，0）C（0，3）代入y＝ax2﹣2x+c
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为：
y＝x2﹣2x+3
＝（x2﹣8x）+3
＝（x﹣4）2﹣1，
∴D（4，﹣1）；
（2）可得点E（3，0），
OE＝OC＝3，∠OEC＝45°，
过点B作BF⊥CD，垂足为点F
在Rt△OEC中，EC＝＝3，
在Rt△BEF中，BF＝BE•sin∠BEF＝，
同理，EF＝，
∴CF＝3+＝，
在Rt△CBF中，tan∠BCD＝＝；
（3）设点P（m，）
∵∠PEB＝∠BCD，
∴tan∠PEB＝tan∠BCD＝，
①点P在x轴上方
∴，
解得：，
∴点P（，），
②点P在x轴下方
∴，
解得：m＝12，
∴点P（12，﹣3），
综上所述，点P（，）或（12，﹣3）．
31．（2022•青浦区二模）已知直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3）两点，抛物线y＝ax2﹣4ax+b与已知直线交于C、D两点（点C在点D的右侧），顶点为P．
（1）求直线y＝kx+b的表达式；
（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求a的取值范围；
（3）若直线DP与直线AB所成夹角的余切值等于3，求抛物线y＝ax2﹣4ax+b的表达式．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b经过点A（﹣2，0），B（1，3），
∴，
解得：，
∴该直线的函数表达式为：y＝x+2；
（2）由（1）知：b＝2，
∴y＝ax2﹣4ax+2＝a（x﹣2）2+2﹣4a，
∴该抛物线的顶点为P（2，2﹣4a），
由题意得：，
解得：a≥；
∴a的取值范围为a≥；
（3）①当a＜0时，如图1，过点P作PH∥y轴交直线AB于点H，交x轴于点F，作PE⊥AB于点E，
∵P（2，2﹣4a），
∴H（2，4），
∴PH＝2﹣4a﹣4＝﹣4a﹣2，
由ax2﹣4ax+2＝x+2，
得：x1＝0，x2＝4+，
∴D（0，2），
∵A（﹣2，0），
∴OA＝OD＝2，
∴∠ADO＝45°，
∵PH∥y轴，
∴∠AHF＝∠ADO＝45°，
∴∠PHE＝45°，
∴PE＝PH•sin∠PHE＝（﹣4a﹣2）×sin45°＝﹣2a﹣，
∴EH＝PE＝﹣2a﹣，
∵DH＝＝2，
∴DE＝DH+EH＝2+（﹣2a﹣）＝﹣2a+，
∵cot∠PDE＝＝3，
∴DE＝3PE，即﹣2a+＝3（﹣2a﹣），
解得：a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+2；
②当a＞0时，如图2，过点P作PH∥y轴交直线AB于点H，交x轴于点F，作PE⊥AB于点E，
∵P（2，2﹣4a），
∴H（2，4），
∴PH＝4﹣（2﹣4a）＝4a+2，
由ax2﹣4ax+2＝x+2，
得：x1＝0，x2＝4+，
∴D（0，2），
∵A（﹣2，0），
∴OA＝OD＝2，
∴∠ADO＝45°，
∵PH∥y轴，
∴∠AHF＝∠ADO＝45°，
∴∠PHE＝45°，
∴PE＝PH•sin∠PHE＝（4a+2）×sin45°＝2a+，
∴EH＝PE＝2a+，
∴DE＝DH﹣EH＝2﹣（2a+）＝﹣2a+，
∵cot∠PDE＝＝3，
∴DE＝3PE，即﹣2a+＝3（2a+），
解得：a＝﹣，与a＞0矛盾；
综上所述，抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+2．
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