09解答题（基础&中档题） 2022年中考数学冲刺复习分题型分层专练（通用版）

这是一份09解答题（基础&中档题） 2022年中考数学冲刺复习分题型分层专练（通用版），共39页。试卷主要包含了，延长AC交射线OB于点D，已知等内容，欢迎下载使用。

09解答题（基础&中档题）
一十六．全等三角形的判定与性质（共1小题）
32．（2022•青浦区二模）如图，已知AB是⊙O的直径，P是AO上一点，点C、D在直径两侧的圆周上，若PB平分∠CPD，求证：劣弧BC与劣弧BD相等．

一十七．平行四边形的性质（共1小题）
33．（2022•嘉定区二模）如图，已知平行四边形ABCD中，E是边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接AC．
（1）求证：AD＝CF；
（2）若AB⊥AF，且AB＝8，BC＝5，求sin∠ACE的值．

一十八．平行四边形的判定与性质（共1小题）
34．（2022•黄浦区校级二模）如图，已知等边△ABC中，D、F分别是边BC、AB上的点，且CD＝BF，以AD为边向左作等边△ADE，联结CF、EF．
（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；
（2）当∠DEF＝45°时，求的值．

一十九．菱形的性质（共1小题）
35．（2022•嘉定区二模）如图，已知在菱形ABCD中，E为边AD的中点，CE与BD交于点G，过点G作GF⊥CD于点F，∠1＝∠2．
（1）若DF＝3，求AD的长；
（2）求证：BG＝GF+CE．

二十．矩形的判定（共1小题）
36．（2022•松江区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，以AD、AE为腰做等腰△ADE，且∠ADE＝∠ABC，连接CE，过E作EF∥BC交CA延长线于F，连接BF．
（1）求证：∠ECA＝∠ABC；
（2）如果AF＝AB，求证：四边形FBDE是矩形．

二十一．梯形（共1小题）
37．（2022•宝山区二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC＝5，AD＝2，
（1）求CD的长；
（2）若∠ABC的平分线交CD于点E，连接AE，求∠AEB的正切值．

二十二．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）
38．（2022•宝山区模拟）已知△ABC中，∠B＝45°，AB＝，tanC＝2，⊙O过点A、C，交BC边于点D．且，求CD的长．

二十三．圆周角定理（共1小题）
39．（2022•普陀区二模）如图，已知⊙O的直径AB＝10，点P是弦BC上一点，联结OP，∠OPB＝45°，PC＝1，求弦BC的长．

二十四．圆的综合题（共1小题）
40．（2022•宝山区模拟）如图，在半径为3的圆O中，OA、OB都是圆O的半径，且∠AOB＝90°，点C是劣弧上的一个动点（点C不与点A、B重合），延长AC交射线OB于点D．
（1）当点C为线段AD中点时，求∠ADB的大小；
（2）如果设AC＝x，BD＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当时，点E在线段OD上，且OE＝1，点F是射线OA上一点，射线EF与射线DA交于点G，如果以点A、G、F为顶点的三角形与△DGE相似，求的值．

二十五．相似三角形的判定与性质（共8小题）
41．（2022•宝山区模拟）已知：如图，正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，AE⊥BF．
（1）求证：AE＝BF；
（2）联结BE、EF，如果∠DEF＝∠ABE，求证：DF2＝AF•AD．

42．（2022•青浦区二模）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于E，BD平分∠ABC，点G在底边BC上，联结DG交对角线AC于F，∠DGB＝∠DAB．
（1）求证：四边形ABGD是菱形．
（2）联结EG，求证：BG•EG＝BC•EF．

43．（2022•长宁区二模）已知：如图，AO是⊙O的半径，AC为⊙O的弦，点F为AC的中点，OF交AC于点E，AC＝10，EF＝3．
（1）求AO的长；
（2）过点C作CD⊥AO，交AO延长线于点D，求OD的长．

44．（2022•长宁区二模）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE．
求证：（1）△DEF∽△BDE；
（2）DG•DF＝DB•EF．

45．（2022•虹口区二模）如图，AH是△ABC的高，D是边AB上一点，CD与AH交于点E．已知AB＝AC，AD：DB＝3：5．
（1）求DE：EC；
（2）若以H为圆心、HB为半径的圆恰好经过点D，求cosB的值．

46．（2022•徐汇区二模）如图，四边形ABCE中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BF⊥CE于点F，点D为BF上一点，且∠BAD＝∠CAE．
（1）求证：AD＝AE；
（2）设BF交AC于点G，若BC2＝2BD•BG，判断四边形ADFE的形状，并证明．

47．（2022•普陀区二模）已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，点M是CD中点，联结EM并延长，交∠DCB的外角∠DCN的平分线于点F．
（1）求证：ME＝MF；
（2）联结DF，如果AB2＝EB•BD．求证：四边形DECF是正方形．

48．（2022•宝山区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，点E在线段DC上，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G．
求证：（1）；
（2）FD⊥DG．

二十六．特殊角的三角函数值（共2小题）
49．（2022•徐汇区校级模拟）计算：
（1）sin260°﹣tan30°•cos30°+tan45°；
（2）．
50．（2022•宝山区模拟）计算：|2sin45°﹣tan45°|+．
二十七．解直角三角形（共3小题）
51．（2022•黄浦区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC＝，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．
（1）求AD的长；
（2）求∠EBC的正切值．

52．（2022•徐汇区二模）如图，△ABC中，AB＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，且与外角∠ACD的平分线CE交于点E．
（1）求sinA的值；
（2）求EF的长．

53．（2022•浦东新区二模）如图，在△ABC中，sinB＝，点F在BC上，AB＝AF＝5，过点F作EF⊥CB交AC于点E，且AE：EC＝3：5，求BF的长与cotC的值．

二十八．解直角三角形的应用（共2小题）
54．（2022•黄浦区校级二模）如图所示为一个圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中四边形ABCD为等腰梯形，AB∥DC，支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D＝56°，求：U型槽的底部CD的长．（参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.5，结果保留整数）

55．（2022•长宁区二模）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°（参考数据：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55）
（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？
（2）若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）

二十九．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
56．（2022•宝山区模拟）为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，设备说明书中的部分内容如下所示．
设备名称
红外线体温检测仪
测温区域示意图
设备需安装在垂直于水平面的墙面上．

①水平面；
②竖直墙面；
③设备安装位置；
④OC的长是设备安装高度；
⑤AB的长是测温区域的宽度．
技术参数
设备测温过程中释放的红外线是直线传播，它与水平面的夹角称为探测角．
探测最小角：∠OAC＝31°
探测最大角：∠OBC＝72°
（1）如果该设备的安装高度为2m时，请求出图中线段AC的长度；（结果精确到0.1m）
（2）如果学校要求测温区域的宽度为3m时，请求出该设备的安装高度．（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.32，tan72°≈3.00，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

三十．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
57．（2022•普陀区模拟）如图，在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的南偏东20°方向200千米的海面P处，并以20千米/时的速度向P处的北偏西65°PQ的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/时速度不断扩张．
（1）当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到　 　千米：当台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到　 　千米；
（2）当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由．（参考数据≈1.41，≈1.73）

三十一．中位数（共1小题）
58．（2022•青浦区二模）为了解某区3200名学生放学后在校体育运动的情况，调研组选择了有600名学生的W校，抽取40名学生进行调查，调查情况具体如表．
表：感兴趣的运动项目
项目
乒乓球
篮球
足球
羽毛球
健美操
人数
4
16
10
4
6
（1）此次调查的总体是 　 　，样本容量是 　 　；
（2）若从9年级某学习加强班进行抽样调查，则这样的调查 　 　（“合适”，“不合适”），原因是样本不是 　 　样本；
（3）根据如表，估计该校对篮球感兴趣的学生的总人数为 　 　；
（4）根据如图，若从左至右依次是第一、二、三、四、五组，则中位数落在第 　 　组．
（5）若要从对篮球感兴趣的同学中选拔出一支篮球队来，现在有以下两名学生的投篮数据，记录的是每10次投篮命中的个数．
甲同学：10、5、7、9、4；乙同学：7、8、7、6、7．
若想要选择更稳定的同学，你会选择计算这两组数据的 　 　，因为这个量可以代表数据的 　 　．请计算出你所填写的统计量，并且根据计算的结果，选择合适的队员．

三十二．二元二次方程组（共2小题）
59．（2022•宝山区二模）解方程组：．
60．（2022•虹口区二模）解方程组：
参考答案与试题解析
一十六．全等三角形的判定与性质（共1小题）
32．（2022•青浦区二模）如图，已知AB是⊙O的直径，P是AO上一点，点C、D在直径两侧的圆周上，若PB平分∠CPD，求证：劣弧BC与劣弧BD相等．

【解答】证明：过点O作OM⊥CP于点M，作ON⊥PD于点N，连接OC、OD，

∵PB平分∠CPD，OM⊥CP，ON⊥PD，
∴OM＝ON，
在Rt△OMC和Rt△OND中，
，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴∠MCO＝∠NDO，
∵PB平分∠CPD，
∴∠CPO＝∠DPO，
∴∠MCO+∠CPO＝∠NDO+∠DPO，
∵∠BOC＝∠MCO+∠CPO，∠BOD＝∠NDO+∠DPO，
∴∠BOC＝∠BOD，
∴＝，
∴劣弧BC与劣弧BD相等．
一十七．平行四边形的性质（共1小题）
33．（2022•嘉定区二模）如图，已知平行四边形ABCD中，E是边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接AC．
（1）求证：AD＝CF；
（2）若AB⊥AF，且AB＝8，BC＝5，求sin∠ACE的值．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠D＝∠ECF，∠DAE＝∠F，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
∴△ADE≌△FCE（AAS）
∴AD＝CF；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝4，
∵△ADE≌△FCE，
∴AD＝CF＝BC＝5，
∵AB⊥AF
∴AC＝BF＝5，
∴AF＝＝＝6，
∴AE＝EF＝AF＝3，
∵AB∥CD，
∴CD⊥AF
∴sin∠ACE＝＝．
一十八．平行四边形的判定与性质（共1小题）
34．（2022•黄浦区校级二模）如图，已知等边△ABC中，D、F分别是边BC、AB上的点，且CD＝BF，以AD为边向左作等边△ADE，联结CF、EF．
（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；
（2）当∠DEF＝45°时，求的值．

【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝CB，∠ACD＝∠B，
又CD＝BF，
∴△ACD≌△CBF（SAS），
∴∠DAC＝∠FCB，
∴∠BAD＝∠ACF，
∵∠EDB＝180°﹣∠ADE﹣∠ADC＝120°﹣∠ADC，∠FCB＝180°﹣∠B﹣∠CFB＝120°﹣∠CFB，
∴∠EDB＝∠FCB，
∴CF∥DE，
∴四边形CDEF是平行四边形；
（2）解：过F作FG⊥BC于G，

∵四边形CDEF是平行四边形，∠DEF＝45°，
∴∠FCB＝∠DEF＝45°，
∴FG＝CG，
设BG＝x，则CG＝FG＝BG•tan60°＝x，
CD＝BF＝ ＝2x，
∴BC＝BG+CG＝（ 1+）x，
∴BD＝BC﹣CD＝（ 1+）x﹣2x＝（﹣1 ）x，
∴＝＝．
一十九．菱形的性质（共1小题）
35．（2022•嘉定区二模）如图，已知在菱形ABCD中，E为边AD的中点，CE与BD交于点G，过点G作GF⊥CD于点F，∠1＝∠2．
（1）若DF＝3，求AD的长；
（2）求证：BG＝GF+CE．

【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠2＝∠CDB，AD＝CD，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠CDB，
∴CG＝DG，即△CDG是等腰三角形，
∵GF⊥CD，
∴CF＝DF，
∵DF＝3，
∴CD＝6，
∴AD＝6；
（2）证明：如图，延长CE交BA的延长线于点M，则∠AEM＝∠DEC，
∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE＝DF，
∵AB∥CD，
∴∠M＝∠DCE，
∴△AEM≌△DEC（AAS），
∴EM＝CE，
∵DE＝FD，DG＝DG，∠2＝∠GDF，
∴△GDE≌△GDF（SAS），
∴EG＝GF，
∵BM∥CD，
∴∠M＝∠1，∠GBM＝∠GDC，
∵∠1＝∠GDC，
∴∠M＝∠GBM，
∴BG＝MG，
∵GM＝GE+EM，
∴BG＝FG+CE．

二十．矩形的判定（共1小题）
36．（2022•松江区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，以AD、AE为腰做等腰△ADE，且∠ADE＝∠ABC，连接CE，过E作EF∥BC交CA延长线于F，连接BF．
（1）求证：∠ECA＝∠ABC；
（2）如果AF＝AB，求证：四边形FBDE是矩形．

【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC，
同理∠DAE＝180°﹣2∠ADE，
∵∠ABC＝∠ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ECA＝∠ABC；
（2）∵∠ECA＝∠ABC，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ECF＝∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠EFC＝∠ACB，
∴∠EFC＝∠ECF，
∴EF＝EC，
∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝EC，
∴BD＝EF，
∴四边形FBDE是平行四边形，
∵AF＝AB＝AC，
∴∠AFB＝∠ABF，∠ABC＝∠ACB，
∵∠AFB+∠ABF+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABF+∠ABC＝90°，
即∠CBF＝90°，
∴平行四边形FBDE是矩形．
二十一．梯形（共1小题）
37．（2022•宝山区二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC＝5，AD＝2，
（1）求CD的长；
（2）若∠ABC的平分线交CD于点E，连接AE，求∠AEB的正切值．

【解答】（1）过点A作AF⊥BC垂足为F，
由题意得FC＝AD＝2，AF＝CD，（1分）
∵BC＝5，∴BF＝3，（1分）
在Rt△AFB中解得AF＝4，∴CD＝4．（1分）

（2）设EC＝x，由AB＝BC，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE，
得△ABE≌△CBE，
AE＝EC＝x，∠AEB＝∠CEB．（2分）
DE＝4﹣x，在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2x2＝（4﹣x）2+22，得x＝．（1分）
tan∠AEB＝tan∠CEB＝＝2．（2分）

二十二．圆心角、弧、弦的关系（共1小题）
38．（2022•宝山区模拟）已知△ABC中，∠B＝45°，AB＝，tanC＝2，⊙O过点A、C，交BC边于点D．且，求CD的长．

【解答】解：如图，连接AD，延长AO交BC于点E．
∵，
∴AD＝AC，
∵点O是等腰△ACD的外心，
∴AE⊥CD，且CD＝2CE．
∴在直角△ABE中，∠B＝45°，AB＝，则AE＝4．
∵tanC＝2，
∴＝2，即AE＝2CE，
∴CD＝AE＝4，即线段CD的长度是4．

二十三．圆周角定理（共1小题）
39．（2022•普陀区二模）如图，已知⊙O的直径AB＝10，点P是弦BC上一点，联结OP，∠OPB＝45°，PC＝1，求弦BC的长．

【解答】解：过点O作OD⊥BC，

∴∠CDO＝∠BDO＝90°，
∵∠OPB＝45°，
∴∠POD＝45°，
∴OD＝DP，
设OD＝x，则DP＝x，
∵PC＝1，
∴CD＝1+x，
∵BC是⊙O的弦，OD⊥BC，
∴CD＝BD＝1+x，
∵⊙O的直径AB＝10，
∴OB＝5，
在Rt△OBD中，OB2＝OD2+BD2，
即52＝x2+（1+x）2，
∴x＝3或x＝﹣4（舍去），
即OD＝3，
∴BD＝CD＝4，
∴BC＝8．
二十四．圆的综合题（共1小题）
40．（2022•宝山区模拟）如图，在半径为3的圆O中，OA、OB都是圆O的半径，且∠AOB＝90°，点C是劣弧上的一个动点（点C不与点A、B重合），延长AC交射线OB于点D．
（1）当点C为线段AD中点时，求∠ADB的大小；
（2）如果设AC＝x，BD＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当时，点E在线段OD上，且OE＝1，点F是射线OA上一点，射线EF与射线DA交于点G，如果以点A、G、F为顶点的三角形与△DGE相似，求的值．

【解答】解：（1）如图1，连接OC，

∵点C为线段AD中点，∠AOB＝90°，
∴OC＝CA＝CD，
∵OC＝OA，
∴OA＝OC＝AC，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠ADB＝90°﹣∠A＝90°﹣60°＝30°；
（2）如图2，连接OC，AB，过点O作OH⊥AC于点H，

∵OA＝OC，OH⊥AC，AC＝x，
∴AH＝AC＝x，OH＝＝＝，
∵∠A+∠AOH＝∠AOH+∠DOH＝90°，
∴∠A＝∠DOH，
∵∠AHO＝∠OHD＝90°，
∴△AOH∽△ODH，
∴，
∵BD＝y，
∴，
∴y＝，
∵点C是劣弧上的一个动点（点C不与点A、B重合），
∴0＜AC＜AB，
∵AB＝＝＝3，
∴0＜x＜3，
∴y关于x的函数解析式为y＝，定义域为0＜x＜3；
（3）如图3，

当时，由（2）可知，BD＝＝1，
∵OE＝1，OB＝3，
∴BE＝2，DE＝3，OD＝4，
∵△AGF∽△EGD，
∴∠GFA＝∠D，
∵∠GFA＝∠OFE，
∴∠OFE＝∠D，
∵∠O＝∠O，
∴△OFE∽△ODA，
∴，即，
∴OF＝，
∴AF＝OA﹣OF＝3﹣＝，
∵△AGF∽△EGD，
∴＝＝＝．
二十五．相似三角形的判定与性质（共8小题）
41．（2022•宝山区模拟）已知：如图，正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，AE⊥BF．
（1）求证：AE＝BF；
（2）联结BE、EF，如果∠DEF＝∠ABE，求证：DF2＝AF•AD．

【解答】证明：（1）设BF与AE交于O点，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAF＝∠D＝90°，
∵AE⊥BF．
∴∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，∠BAO+∠DAE＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（ASA），
∴AE＝BF；
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BEC，
∵∠DEF＝∠ABE，
∴∠DEF＝∠BEC，
∵∠D＝∠C，

∴△DEF∽△CEB，
∴，
由（1）得，△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE，
∴CE＝DF，
∴DF2＝AF•AD．
42．（2022•青浦区二模）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于E，BD平分∠ABC，点G在底边BC上，联结DG交对角线AC于F，∠DGB＝∠DAB．
（1）求证：四边形ABGD是菱形．
（2）联结EG，求证：BG•EG＝BC•EF．

【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABG＝180°，∠DGB+∠ADG＝180°，
∵∠DGB＝∠DAB，
∴∠ABG＝∠ADG，
∴四边形ABGD是平行四边形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ADB＝∠GDB，
∵AD∥BG，
∴∠ADB＝∠DBG＝∠BDG，
∴BG＝DG，
∴四边形ABGD是菱形；
（2）∵四边形ABGD是菱形，
∴AB＝BG＝AD，∠ABE＝∠GBE，
在△ABE和△GBE中，
，
∴△ABE≌△GBE（SAS），
∴EG＝AE，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△CBE，
∴，
∵DF∥AB，
∴，
∴，
∵AD＝BG，AE＝EG，
∴，
∴BG•EG＝BC•EF．
43．（2022•长宁区二模）已知：如图，AO是⊙O的半径，AC为⊙O的弦，点F为AC的中点，OF交AC于点E，AC＝10，EF＝3．
（1）求AO的长；
（2）过点C作CD⊥AO，交AO延长线于点D，求OD的长．

【解答】解：（1）∵点F为AC的中点，
∴OF垂直平分AC，
∴∠AEO＝90°，
∴OA2＝OE2+AE2，
∵AC＝10，EF＝3，
∴AE＝5，
∵OA＝OF，
∴OE＝OF﹣EF＝OA﹣3，
∴OA2＝（OA﹣3）2+52，
解得OA＝；
（2）∵OF⊥AC于点E，AD⊥CD与点D，
∴∠AEO＝∠ADC＝90°，
∵∠EAO＝∠DAC，
∴△AEO∽△ADC，
∴，
∵OA＝，AE＝5，AC＝10，
∴，
解得AD＝，
∴OD＝AD﹣OA＝﹣＝＝，
即OD的长为．

44．（2022•长宁区二模）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE．
求证：（1）△DEF∽△BDE；
（2）DG•DF＝DB•EF．

【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．（1分）
∵DE∥BC，
∴∠ABC+∠BDE＝180°，∠ACB+∠CED＝180°．（1分）
∴∠BDE＝∠CED．（1分）
∵∠EDF＝∠ABE，
∴△DEF∽△BDE．（2分）

（2）由△DEF∽△BDE，得．（1分）
∴DE2＝DB•EF．（1分）
由△DEF∽△BDE，得∠BED＝∠DFE．（1分）
∵∠GDE＝∠EDF，
∴△GDE∽△EDF．（1分）
∴．（1分）
∴DE2＝DG•DF．（1分）
∴DG•DF＝DB•EF．（1分）
45．（2022•虹口区二模）如图，AH是△ABC的高，D是边AB上一点，CD与AH交于点E．已知AB＝AC，AD：DB＝3：5．
（1）求DE：EC；
（2）若以H为圆心、HB为半径的圆恰好经过点D，求cosB的值．

【解答】解：（1）过点H作HT∥CD交BD于点T．

∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH，
∵HT∥CD，
∴DT＝DB，
∴AD：DB＝3：5，
∴可以假设AD＝3k，BD＝5k，
∴BT＝DT＝2.5k，
∵DE∥HT，
∴＝＝＝，
设DE＝m，则TH＝m，
∵BH＝CH，BT＝DT，
∴CD＝2TH＝m，
∴EC＝CD﹣DE＝m﹣m＝m，
∴＝＝；

（2）∵以H为圆心、HB为半径的圆恰好经过点D，

∴∠BDC＝90°，
∵AD＝3k，DB＝5k，
∴AB＝AC＝8k，
∴CD＝＝＝k，
∴BC＝＝＝4k，
∴cosB＝＝＝．
46．（2022•徐汇区二模）如图，四边形ABCE中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BF⊥CE于点F，点D为BF上一点，且∠BAD＝∠CAE．
（1）求证：AD＝AE；
（2）设BF交AC于点G，若BC2＝2BD•BG，判断四边形ADFE的形状，并证明．

【解答】（1）证明：∵BF⊥CE，
∴∠BFC＝90°，
∴∠BFC＝∠BAC，
∵∠CGF＝∠AGB，
∴∠ABG＝∠ACF，
∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（ASA），
∴AD＝AE；
（2）解：四边形ADFE是正方形，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC2＝2AB2，
∵BC2＝2BD•BG，
∴AB2＝BD•BG，
∵∠ABD＝∠ABG，
∴△ABD∽△GBA，
∴∠BAG＝∠BDA＝90°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°，
∴∠ADF＝∠DAE＝∠E＝90°，
∴四边形ADFE是矩形，
∵AD＝AE，
∴四边形ADFE是正方形．
47．（2022•普陀区二模）已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，点M是CD中点，联结EM并延长，交∠DCB的外角∠DCN的平分线于点F．
（1）求证：ME＝MF；
（2）联结DF，如果AB2＝EB•BD．求证：四边形DECF是正方形．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ACD＝∠BCD，∠CED＝90°，
∵CF平分∠DCN，
∴∠DCF＝∠DCN，
∴∠ECF＝∠BCN＝90°，
∵点M为CD的中点，
∴EM＝CM，
∴∠MEC＝∠MCE，
∴∠MCF＝∠F，
∴MC＝MF，
∴ME＝MF；
（2）∵AB2＝EB•BD，
∴，
又∵∠ABE＝∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴∠AEB＝∠DAB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AE⊥BE，
∴∠DAB＝∠AEB＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴ED＝FC，
由（1）知，EM＝MD＝MF＝MC，
∴EF＝CD，
∴四边形DECF是矩形，
∵ED＝EC，
∴四边形DECF是正方形．
48．（2022•宝山区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，点E在线段DC上，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G．
求证：（1）；
（2）FD⊥DG．

【解答】（1）证明：在△ADC和△EGC中，
∵AD是BC边上的高，EF⊥AB，EG⊥AC，
∴∠ADC＝∠EGC＝90°，
又∵∠C为公共角，
∴△ADC∽△EGC，
∴．

（2）证明：在四边形AFEG中，
∵∠FAG＝∠AFE＝∠AGE＝90°，
∴四边形AFEG为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），
∴AF＝EG．
由（1）知，
∴，
∴，
∵△ABC为直角三角形，AD⊥BC，
∴∠FAD＝∠C，
∴△AFD∽△CGD，
又∠CDG+∠ADG＝90°，
∴∠ADF+∠ADG＝90°，
即∠FDG＝90°，
∴FD⊥DG．
二十六．特殊角的三角函数值（共2小题）
49．（2022•徐汇区校级模拟）计算：
（1）sin260°﹣tan30°•cos30°+tan45°；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝．
（2）原式＝
＝
＝﹣
＝﹣
50．（2022•宝山区模拟）计算：|2sin45°﹣tan45°|+．
【解答】解：原式＝|2×﹣1|+
＝﹣1+
＝．
二十七．解直角三角形（共3小题）
51．（2022•黄浦区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC＝，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．
（1）求AD的长；
（2）求∠EBC的正切值．

【解答】解：（1）过C点作CH⊥AD于H，如图，
∵CD＝CA，
∴AH＝DH，
∵∠ABC+∠BCH＝90°，∠ACH+∠BCH＝90°，
∴∠ACH＝∠ABC，
∴sin∠ACH＝sin∠ABC＝，
在Rt△ACH中，sin∠ACH＝＝，
∴AD＝2AH＝2；
（2）在Rt△ABC中，sin∠ABC＝＝，
∴AB＝3AC＝9，
∴BD＝AB﹣AD＝9﹣2＝7，
∵∠E＝90°，
而∠EDB＝∠HDC，
∴∠HCD＝∠EBD，
∴sin∠EBD＝＝，
∴DE＝BD＝，
∴BE＝＝，
在Rt△EBC中，tan∠EBC＝＝＝．

52．（2022•徐汇区二模）如图，△ABC中，AB＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，且与外角∠ACD的平分线CE交于点E．
（1）求sinA的值；
（2）求EF的长．

【解答】解：（1）∵AB＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，
∴∠ABF＝∠FBC，BF⊥AC，AF＝AC＝5．
在Rt△ABF中，
BF＝＝12．
∴sinA＝＝．
（2）过点E作EG⊥BD，垂足为G．
∵CE平分∠ACD，EF⊥AC，EG⊥BD，
∴EF＝EG．
在Rt△ABF中，
∵sin∠ABF＝＝，
在Rt△EBG中，
∵sin∠EBC＝sin∠ABF＝＝＝，
∴13EF＝5×12+5EF．
∴8EF＝60．
∴EF＝．

53．（2022•浦东新区二模）如图，在△ABC中，sinB＝，点F在BC上，AB＝AF＝5，过点F作EF⊥CB交AC于点E，且AE：EC＝3：5，求BF的长与cotC的值．

【解答】解：过点A作AD⊥CB，垂足为D．
∵AB＝AF＝5，
∴BD＝FD＝BF．
在Rt△ABD中，
∵sinB＝＝，AB＝5，
∴AD＝4．
∴BD＝＝3．
∴BF＝2BD＝6．
∵EF⊥CB，AD⊥CB，
∴EF∥AD．
∴＝，
∵AE：EC＝3：5，DF＝3，
∴＝＝，＝＝＝．
∴CF＝5，EF＝．
在Rt△CEF中，
cotC＝＝2．

二十八．解直角三角形的应用（共2小题）
54．（2022•黄浦区校级二模）如图所示为一个圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中四边形ABCD为等腰梯形，AB∥DC，支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D＝56°，求：U型槽的底部CD的长．（参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，tan56°≈1.5，结果保留整数）

【解答】解：连接OA，过点O作ON⊥DC，垂足为N，交AB于点F，交⊙O于点M，过点A作AE⊥DC，垂足为E，过点B作BG⊥CD，垂足为G，

则AF＝BF＝AB＝4（m），FN＝AE，MN＝1m，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴DE＝GC，AB＝EG＝8m，
在Rt△AOF中，OA＝5m，
∴OF＝＝＝3（m），
∵OM＝5m，
∴FM＝OM﹣OF＝2（m），
∴AE＝FN＝FM+MN＝2+1＝3（m），
在Rt△ADE中，∠D＝56°，
∴DE＝≈＝2（m），
∴DE＝GC＝2m，
∴DC＝DE+EG+GC＝2+8+2＝12（m），
∴U型槽的底部CD的长约为12m．
55．（2022•长宁区二模）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°（参考数据：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55）
（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？
（2）若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）

【解答】解：（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响，
理由：延长光线交CD于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，

则∠AFG＝29°，GF＝BC＝20米，GB＝FC，
在Rt△AGF中，AG＝FG•tan29°≈20×0.55＝11（米），
∵AB＝25米，
∴GB＝AB﹣AG＝25﹣11＝14（米），
∴FC＝GB＝14米，
∵14米＞6米，
∴冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响；
（2）延长光线交直线BC于点E，

则∠AEB＝29°，
在Rt△ABE中，AB＝25米，
∴BE＝≈≈45（米），
∴若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距45米．
二十九．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
56．（2022•宝山区模拟）为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，设备说明书中的部分内容如下所示．
设备名称
红外线体温检测仪
测温区域示意图
设备需安装在垂直于水平面的墙面上．

①水平面；
②竖直墙面；
③设备安装位置；
④OC的长是设备安装高度；
⑤AB的长是测温区域的宽度．
技术参数
设备测温过程中释放的红外线是直线传播，它与水平面的夹角称为探测角．
探测最小角：∠OAC＝31°
探测最大角：∠OBC＝72°
（1）如果该设备的安装高度为2m时，请求出图中线段AC的长度；（结果精确到0.1m）
（2）如果学校要求测温区域的宽度为3m时，请求出该设备的安装高度．（结果精确到0.1m）
（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.32，tan72°≈3.00，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）

【解答】解：（1）在Rt△OAC中，∠OAC＝31°，OC＝2m，
则AC＝≈≈3.3（m），
答：线段AC的长度约为3.3m；
（2）设OC的长为xm，
在Rt△OBC中，∠OBC＝72°，
则BC＝≈xm，
在Rt△OAC中，∠OAC＝31°，
则AC＝≈xm，
由题意得：x﹣x＝3，
解得：x≈2.3，
答：该设备的安装高度约为2.3m．
三十．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
57．（2022•普陀区模拟）如图，在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的南偏东20°方向200千米的海面P处，并以20千米/时的速度向P处的北偏西65°PQ的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/时速度不断扩张．
（1）当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到　100　千米：当台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到　（60+10t）　千米；
（2）当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由．（参考数据≈1.41，≈1.73）

【解答】解：（1）由题意可得，
当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到：60+10×4＝100（千米），
当台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到：（60+10t）（千米），
故答案为：100，（60+10t）；

（2）作OH⊥PQ于点H，

∴∠OHP＝90°，
∵∠OPH＝70°﹣25°＝45°，
在等腰直角三角形OPH中，OP＝200千米，
根据勾股定理可算得OH＝100 ≈141（千米），
设经过t小时时，台风中心从P移动到H，
则PH＝20t＝100 ，
解得t＝5 （小时），
此时，受台风侵袭地区的圆的半径为：
60+10×5 ≈130.5（千米）＜141（千米）．
∴城市O不会受到侵袭．
三十一．中位数（共1小题）
58．（2022•青浦区二模）为了解某区3200名学生放学后在校体育运动的情况，调研组选择了有600名学生的W校，抽取40名学生进行调查，调查情况具体如表．
表：感兴趣的运动项目
项目
乒乓球
篮球
足球
羽毛球
健美操
人数
4
16
10
4
6
（1）此次调查的总体是 　某区3200名学生放学后在校体育运动的情况　，样本容量是 　40　；
（2）若从9年级某学习加强班进行抽样调查，则这样的调查 　不合适　（“合适”，“不合适”），原因是样本不是 　随机　样本；
（3）根据如表，估计该校对篮球感兴趣的学生的总人数为 　240　；
（4）根据如图，若从左至右依次是第一、二、三、四、五组，则中位数落在第 　三　组．
（5）若要从对篮球感兴趣的同学中选拔出一支篮球队来，现在有以下两名学生的投篮数据，记录的是每10次投篮命中的个数．
甲同学：10、5、7、9、4；乙同学：7、8、7、6、7．
若想要选择更稳定的同学，你会选择计算这两组数据的 　方差　，因为这个量可以代表数据的 　稳定性　．请计算出你所填写的统计量，并且根据计算的结果，选择合适的队员．

【解答】解：（1）此次调查的总体是某区3200名学生放学后在校体育运动的情况，样本容量是40，
故答案为：某区3200名学生放学后在校体育运动的情况，40；
（2）从9年级某学习加强班进行抽样调查，则这样的调查不合适，原因是样本不是随机样本，
故答案为：不合适，随机；
（3）600×＝240（人），
故答案为：240；
（4）第20和第21个数是中位数，故中位数落在第三组，
故答案为：三；
（5）想要选择更稳定的同学，你会选择计算这两组数据的方差，因为这个量可以代表数据的稳定性，
甲同学命中的平均数为（10+5+7+9+4）÷5＝7，乙同学命中的平均数为（7+8+7+6+7）÷5＝7，
S2甲＝[（10﹣7）2+（5﹣7）2+（7﹣7）2+（9﹣7）2+（4﹣7）2]＝5.2，
S2乙＝[（7﹣7）2+（8﹣7）2+（7﹣7）2+（6﹣7）2+（7﹣7）2]＝0.4，
∵5.2＞0.4，
∴选乙队员．
故答案为：方差，稳定性．
三十二．二元二次方程组（共2小题）
59．（2022•宝山区二模）解方程组：．
【解答】解：，
由②得：（x+2y）（x﹣3y）＝0，
∴x+2y＝0或x﹣3y＝0，
则或，
解得 ，．
60．（2022•虹口区二模）解方程组：．
【解答】解：，
由②，得（x+y）（x﹣6y）＝0，
即x+y＝0或x﹣6y＝0，
故原方程组可化为或，
解得，．