2021辽宁省协作校高二下学期期末考试数学试题含答案

辽宁省协作校2020-2021学年度下学期期末考试高二试题

数学

考试时间：120分钟       试卷满分：150分

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．已知集合，则（    ）

A．       B．       C．       D．

2．设函数，则等于（    ）

A．       B．3       C．       D．

3．设，命题“存在，使方程有实根”的否定是（    ）

A．对，方程无实根       B．对，方程有实根

C．对，方程无实根       D．对，方程有实根

4．设正数x，y满足，则的最小值为（    ）

A．       B．3       C．       D．

5．已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是（    ）

A．或       B．       C．       D．或

6．若函数在区间上单调减，则a的取值范围是（    ）

A．       B．       C．       D．

7．已知函数（n为正整数），有下列四种说法：

①函数始终为奇函数；

②当n为偶数时，函数的最小值为8；

③当n为奇数时，函数的极大值为；

④当时，函数的图像关于直线对称．

其中所有正确说法的序号是（    ）

A．①②       B．②③       C．②④       D．③④

8．已知函数，则不等式的解集为（    ）

A．       B．       C．       D．

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9．“关于x的不等式对任意恒成立”的一个必要不充分条件是（    ）

A．       B．       C．       D．

10．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．函数是奇函数

B．关于x的不等式的解集为

C．函数在R上是增函数

D．函数的图象的对称中心是

11．定义在R上的函数，满足，且当时，，则使得在上恒成立的m可以是（    ）

A．       B．       C．       D．

12．材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成，且能用一个式子表示的函数．如函数，我们可以作变形，所以可看作是由函数和复合而成的，即为初等函数．根据以上材料，对于初等函数的说法正确的是（    ）

A．无极小值       B．有极小值       C．无极大值       D．有极大值

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下列联表：

已知．

根据表中数据，得到，则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为__________．

14．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则________．

15．已知函数，方程有四个不同的实数根，则a的取值范围是_________．

16．设，当时，不等式恒成立，则a的取值范围是________．

四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17某公司为了提高利润，从2014年至2020年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如表：

（1）请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；

（2）如果2021年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长为多少？（结果保留两位小数）

参考公式：．

参考数据：．

18．已知集合

（1）若，求实数m的取值范围．

（2）命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围．

19．如图，是一条东西方向的公路，现准备在点B的正北方向的点A处建一仓库，设千米，并在公路旁边建造边长为x千米的正方形无顶中转站（其中边在公路上）．若从点A向公路和中转站分别修两条道路，已知，且．

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）如果中转站四周围墙的造价为10万元/千米，道路的造价为30万元/千米，问x取何值时，修建中转站和道路的总造价M最低？

20．已知等比数列的前n项和为，且当时，是与的等差中项（m为实数）．

（1）求m的值及数列的通项公式，

（2）令是否存在正整数k，使得对任意正整数n均成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，请说明理由．

21．已知函数．

（1）若对任意恒成立，求a的取值范围；

（2）设，若对任意，不等式恒成立，求m的取值范围．

22．设函数，其中，t为正实数．

（1）若不等式恒成立，求实数t的取值范围，

（2）当时，证明．

辽宁省协作校2020-2021学年度下学期期末考试高二试题

数学参考答案及评分标准

1．D  2．D  3．A  4．A  5．B  6．A  7．B  8．D  9．BD  10．BCD  11．AB  12．AD

13．5%  14．  15．或    16．

17．解：（1）由题意计算，得

，

又，

所以，              5分

所以,              7分

所以经验回归方程为，              8分

将代入方程，得，              9分

即该公司在该年的年利润增长大约为11.44万元．              10分

18．解：（1）①当B为空集时，成立．              2分

②当B不是空集时，∵，，∴       5分

综上①②，．              6分

（2），使得，∴B为非空集合且．       8分

当时，或，，              111分

∴．              12分

19．解：（1）由题意，，又，

在中，由余弦定理得，，              3分

所以，              4分

由得，

∵且，∴，∴．              6分

（2），其中，              8分

设，则，

所以．       10分

当且仅当时等号成立，此时，              11分

所以当时，修建中转站和道路的总造价M最低．              12分

20．解（1）∵时，是与的等差中项

∴，即

∴，

∴              3分

∵是等比数列，∴在时必成立，              4分

∴的通项公式为，              5分

∴．∴              6分

（2）由（1）知，∴，

设，

∴为递增数列              9分

时

，∴，              11分

∴              12分

21．解：令，则

（1）∵，∴．

对恒成立，等价于对任意恒成立

∴，∴或，∴a的取值范围为              4分

（2）∵，∴，

∵的图像的对称轴为，

∴在上单调递增，即在上单调递增．              6分

∵，∴，∵，∴

∵，∴              8分

即，              9分

∵

∴，∴，∴

∴              11分

又∵，∴m得取值范围是              12分

22．解：（1）由题意得，

设，则对应方程的根的判别式．

①当，即时，，

所以函数在上单调递增，，满足题意；

②当，即时，函数的图象的对称轴为直线

在上单调递减，

因为，所以在上存在唯一零点，设为，

则当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

此时，不符合题意．综上可得，实数t的取值范围是．       4分

（2）等价于，

因为，所以，所以原不等式等价于．       7分

由（1）知当时，在上恒成立，

整理得在上恒成立．              9分

令，则且不恒等于0，

所以函数在区间上单调递增，

所以，              11分

即在上恒成立．

所以当时，恒有．              12分

（其余解答方法，请酌情给分）