辽宁省辽南协作校2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题

这是一份辽宁省辽南协作校2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

辽宁省辽南协作校2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知命题“存在，使等式成立”是假命题，则实数的取值范围（    ）
A． B．
C． D．
2．设全集，或，，则（    ）
A． B． C． D．
3．函数的大致图象为（    ）
A． B．
C． D．
4．若二次函数的解集为，则有(    )
A．最小值4 B．最小值－4 C．最大值4 D．最大值－4
5．等额分付资本回收是指起初投资P，在利率i，回收周期数n为定值的情况下，每期期末取出的资金A为多少时，才能在第n期期末把全部本利取出，即全部本利回收，其计算公式为：.某农业种植公司投资33万元购买一大型农机设备，期望投资收益年利率为10%，若每年年底回笼资金8.25万元，则该公司将至少在（    ）年内能全部收回本利和.（，，）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项不正确的是（    ）
A．为递减数列 B．
C．是数列中的最大项 D．
7．设是函数的极值点，若满足不等式的实数有且只有一个，则实数m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
8．已知函数有唯一的极值点，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．下列说法正确的是（    ）
A．函数的最小值为6
B．若不等式的解集为或，则
C．幂函数 在上为减函数，则的值为1
D．若函数的定义域为，则函数的定义域为
10．（多选）已知为奇函数，且，当时，，则（    ）
A．的图象关于对称
B．的图象关于对称
C．
D．
11．已知，，且，则（    ）
A． B．
C． D．
12．已知函数．以下说法正确的是（    ）
A．若在处取得极值，则函数在上单调递增
B．若恒成立，则
C．若仅有两个零点，则
D．若仅有1个零点，则

三、填空题
13．已知等差数列的前n项和为，若，则 ．
14．设函数，则使得成立的实数x的取值范围是 .
15．已知函数，若存在实数，满足，则的最大值是 ．
16．若函数在上递增，则的取值范围 .

四、解答题
17．已知函数.
（1）判断的奇偶性，并用单调性定义证明在上单调递增；
（2）若，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
18．从①;②;③三个条件中，任选一个补充在下面问题中，并求解.
已知集合_____，集合.
(1)当时，求；
(2)设命题，命题，是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
19．习总书记指出：“绿水青山就是金山银山．”某市一乡镇响应号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：kg）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他成本投入（如培育管理等人工费）为（单位：元）．已知这种水果的市场售价大约为10元/kg，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为（单位：元）．
(1)求的函数关系式；
(2)当投入的肥料费用为多少元时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少元？
20．数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为.若对于任意正整数n，均有恒成立，求m的最小值.
21．已知函数，，其中，若.
(1)当时，求的单调区间；
(2)曲线与直线有且仅有两个交点，求的取值范围.
22．已知函数．
(1)若存在使得成立，求a的取值范围；
(2)设函数有两个极值点，且，求证：．

参考答案：
1．D
【分析】由题可求存在，使等式成立的实数的取值集合，求其补集即可.
【详解】由得，函数在上为增函数，
∴，
故当命题“存在，使等式成立”是假命题时，实数的取值范围为.
故选：D.
2．D
【分析】根据集合的交并补运算即可求解.
【详解】由于或，,所以，因此，
故选：D
3．D
【分析】先分析的奇偶性，然后根据的取值正负即可判断出符合的图象.
【详解】因为，所以定义域为，关于原点对称，
因为，所以为奇函数，排除A、B，
又因为当时，，排除C.
故选：D.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
4．A
【分析】根据二次不等式解与二次函数图象性质的关系得到b与a的关系，对进行变形，利用基本不等式即可求解其最值，从而得到答案．
【详解】由题可知，，
∴，当且仅当，即时等号成立，
故有最小值4．
故选：A．
5．C
【分析】根据题意，将对应的数据代入计算公式，化简整理后两边同时取对数，计算即可求解.
【详解】由题意，知万元，万元，，
由公式可得，整理得，
等式两边取对数，得
故选：C.
6．B
【分析】根据已知条件求得的范围，再根据等比数列的性质，对选项逐一判断即可.
【详解】因为数列为等比数列，且，，所以，即数列为正项等比数列，
当时，则，不满足，舍去，
所以，即数列为单调递减数列，A说法正确；
由可得，，
所以，即，B说法错误；
因为数列单调递减，且，，所以是数列中的最大项，C说法正确；
由等比中项可知，D说法正确；
故选：B
7．B
【分析】把题意转化为导函数在区间有且只有一个变号零点，利用零点存在定理即可求解.
【详解】因为满足的实数有且只有一个，所以导函数在区间有且只有一个变号零点.
因为，所以由对勾函数的性质可知：在上单调递减，在上单调递增.
则解之得：.
故选：B.
8．A
【分析】由题，将问题转化为在上无解，进而研究函数性质可得，再求得.
【详解】解：求导有，
因为函数有唯一的极值点，
所以，有唯一正实数根，
因为，
所以在上无解，
所以，在上无解，
记，则有，
所以，当时，，在上递减，
当时，，在上递增．
此时时，有最小值，
所以， ，即，
所以，即的取值范围是
故选：A
9．BC
【分析】运用基本不等式和函数的性质逐项分析即可求解.
【详解】对于A，令，则 ， 是对勾函数，其极小值为 ，错误；
对于B，依题意，方程 的两个解是 或 ，并且 ，
由韦达定理：  ，  ，  ，正确；
对于C， ，且 ，解得 ，正确；
对于D， 的定义域为 ，对于 ， ，
即 的定义域为 ；
故选：BC.
10．ABD
【分析】，所以的图象关于对称．故选项B正确；
周期为4，所以的图象关于对称，故选项A正确；
，故选项D正确，选项C不正确.
【详解】因为为奇函数，所以
即，所以的图象关于对称．
故选项B正确，
由可得，
由可得，
所以，可得，
所以，所以周期为4，
所以的图象关于对称，故选项A正确，
.故选项D正确，选项C不正确.
故选: ABD．
11．ABD
【分析】设，则在上单调递增，可得可判断A；由不等式的性质可判断B；取可判断C；由指数函数的单调性结合可判断D.
【详解】因为，所以，所以．
设，则在上单调递增．
因为，所以，则A正确．
因为，，且，所以，所以，则B正确，
因为，取，则，所以C不正确.
因为，所以，所以，即，则D正确．
故选：ABD.
12．AB
【分析】求出函数的导数，求出a值，再探讨单调性判断A；变形给定不等式，利用同构思想等价转化，分离参数再构造函数，利用导数求出最大值判断B；利用选项B中构造的函数，探讨函数的值域，进而求出a值或范围判断CD作答.
【详解】函数的定义域为，
对于A，，因为在处取得极值，则，解得，
，因为函数在上都单调递增，则在上单调递增，
当时，，当时，，因此是函数的极小值点，且在上单调递增，A正确；
对于B，，
成立，令，显然函数在R上都是增函数，
于是在R上单调递增，即有，成立，
因此，成立，
令，求导得，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
则当时，，从而，解得，
所以当恒成立时，，B正确；
对于C，函数仅有两个零点，等价于方程有两个不等根，
由选项B知，方程有两个不等根，
由选项B知，函数的图象与直线有两个公共点，
而函数在上单调递增，在上单调递减，，
而当时，函数的取值集合是，函数的取值集合是，
因此函数在的取值集合是，
当时，令，，即函数在上单调递减，
，即当时，，因此，
而函数在上单调递减，其取值集合是，无最小值，
因此函数在上的取值集合是，
从而函数在的值域是，在上的值域是，
于是要有两个不等根，当且仅当，解得，C错误；
对于D，函数仅有1个零点，由选项C知，当且仅当，解得，D错误.
故选：AB
【点睛】思路点睛：不等式恒成立或存在型问题，可构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
13．
【分析】根据等差数列前项和公式，得，再根据等差中项得到，，整体代入即可得到答案.
【详解】等差数列的前项和为，
，
故答案为：.
14．
【分析】利用定义证明函数为偶函数，结合在上单调递增，解不等式，即可得出实数x的取值范围.
【详解】，则函数为偶函数
当时， ，在上单调递增

，
，
即，即
，

故答案为：
【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性以及单调性解不等式，属于中档题.
15．
【分析】作出的函数图象，得出，，将化简为，构造函数，，由得出单调递增，求出的最大值，即可求得答案．
【详解】解：作出的函数图象如图所示：
∵存在实数，满足，
，
，
由图可知，，
，
设，其中，
，显然在单调递增，
，
，，
在单调递增，
在的最大值为，
的最大值为，
故答案为：．

16．.
【分析】根据函数，求导，由函数在上递增，则在上恒成立，令，转化为在恒成立求解.
【详解】由函数，
所以，
因为函数在上递增，
所以在上恒成立，
令，
所以在恒成立，
令，
所以，
解得，
故答案为：
【点睛】本题主要考查导数与函数单调性的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
17．（1）偶函数，证明见解析；（2）.
【分析】(1)根据奇偶函数的定义判断即可；
(2)根据增减函数的定义证明在上单调递增，设(t≥2)，利用换元法将原命题转化为不等式(t≥2)恒成立，结合二次函数的性质即可得出结果.
【详解】解：（1）由题意可知的定义域为R，
，则，，
所以=，
所以函数为偶函数；
（2）任取，
则=-=，
因为==，
当，，，
所以在上单调递增.
设，则t≥2，
所以原命题等价于当t≥2时，不等式恒成立，
令=，即，
则或，解得或，
综上可知.
18．(1)
(2)

【分析】（1）根据对数函数，指数函数的性质或二次不等式解得，再求并集即可；
（2）结合（1）得，根据题意得，进而分和两种情况讨论求解即可.
【详解】（1）选①时：，解得：，即，
又因为，故，综上：.
选②时：，解得：，所以.
选③时：，
解得：，所以.
当时，
综上，.
（2）命题，命题，是的必要不充分条件，
所以，
由第一问可知：选①时，
当时，，解得：，满足题意；
当时，要满足，解得：，
综上：实数的取值范围为
选②③时，答案与①一致，均为实数的取值范围为.
19．(1)
(2)当肥料费用为30元时，该单株水果树获得的利润最大，利润最大值为270元.

【分析】(1)结合已知条件，表示出即可；(2)利用一元二次函数的单调性和基本不等式即可求解.
【详解】（1）因为，，
所以.
（2）当时，，
由一元二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
且
从而，
即在上的最大值为240；
当时，，
因为，
当且仅当，即时，不等式取等号，
从而，
即当时，有最大值270，
此时肥料费用.
综上所述，当肥料费用为30元时，该单株水果树获得的利润最大，利润最大值为270元.
20．(1)；
(2).

【分析】（1）当时，求出，当时，利用求出，检验后得到答案；
（2）利用错位相减法得到，不等式转化为，令，作差法得到的单调性，从而得到的最大值，得到m的最小值.
【详解】（1）取，由，得；
当时，由，得，
两式相减得，整理得；
当n＝1时，也适合上式.
综上，；
（2）由（1）知，得
，，
两式相减得，
整理得.
由题意对于任意正整数n，均有恒成立，则，即恒成立.
设，由，
则当时，，即；
当时，，即.
于是的最大值为，所以，即m的最小值是.
21．(1)的增区间为，减区间为,
(2)

【分析】（1），当时，，求导分析的符号，的单调性．
（2），即，则两边取对数可得，进而可得，设，只需与直线有两个交点，即可得出答案．
【详解】（1），
当时，，
，
令，得，即，
令，得，即，
所以的增区间为，减区间为,．
（2），
所以，
两边取对数可得，
所以，
设，
所以，
令得，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以，
又因为，且时，，
所以曲线与直线有且仅有两个交点，
即曲线与直线有两个交点的充分必要条件为，
所以，
所以的取值范围为．
22．(1)；
(2)证明见解析.

【分析】（1）分离参数可得，设，原题可转化为.求出，构造，可证得恒成立，进而得出单调递增，即可得出a的取值范围；
（2）求出.由已知可得，是方程的两个相异实根，且.求出，整理可得.换元令，，求出，即可得出.
【详解】（1）由于，故转化为．
设，则.
设，则.
由于，解，解得.
解可得，，所以在上单调递增；
解可得，，所以在上单调递减.
故在处有极小值，也是最小值.
所以故在上总成立，所以为单调增函数.
又存在使得成立，只需即可，
所以，即a的取值范围是．
（2）由已知可得，定义域为，且.
由已知有两个极值点，
所以方程有两个相异根，则，且，
，，所以，.
所以，，
所以
.
令，则，设.
则，
所以在为减函数，
所以.
即．
【点睛】方法点睛：小问1中，根据，分离参数得到.构造函数，通过求解函数的最值，即可得出的取值范围.