2022-2023学年辽宁省抚顺市六校协作体高二下学期期末考试数学试题含答案

2022-2023学年辽宁省抚顺市六校协作体高二下学期期末考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据集合的交集概念运算即可.

【详解】因为，所以.

故选：D.

2．已知随机变量，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由正态分布的对称性求解即可.

【详解】由随机变量及正态分布的对称性，知，

所以，所以.

故选：C

3．已知数列，则“”是“为等比数列”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据等比数列的性质进行充分性与必要性判断即可.

【详解】若为等比数列，则一定成立；若，则不一定为等比数列，比如

所以“”是“为等比数列”的必要不充分条件.

故选：B.

4．某人设计的一个密码由2个英文字母（不分大小写）后接2个数字组成，且2个英文字母不相同，2个数字也互不相同，则该密码可能的个数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由分步计数原理，把选择26个不同英文字母的排列数与选择2个不同数字的排列数相乘即可.

【详解】因为英文字母有26个，所以2个不同英文字母的排列有种，

因为数字有10个，所以2个不同数字的排列有种，

由分步计数原理，所以该密码可能的个数是.

故选：C

5．函数的部分图象大致为（    ）

A．  B．

C．  D．

【答案】B

【分析】根据奇偶性排除C，D；根据当时，，排除A，从而可得答案.

【详解】因为的定义域为，关于原点对称，

且，

所以是偶函数，排除C，D；

当时，，排除A，

故选：B.

6．某种产品的加工需要经过6道工序，如果其中某2道工序必须相邻，另外有2道工序不能相邻，那么加工顺序的种数为（    ）

A．72 B．144 C．288 D．156

【答案】B

【分析】根据排列的相邻元素捆绑、不相邻元素插空的方式计算排列数即可得答案.

【详解】将2道必须相邻的工序捆绑在一起看作一个元素，

将其与没有特别要求的2道工序排成一排，再把2道不相邻的工序插入，

加工顺序的种数为.

故选：B.

7．的展开式中按的升幂排列的第4项为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据二项展开式的通项公式运算求解.

【详解】因为的通项，

所以按的升幂排列的第4项为.

故选：B.

8．已知，则必有（    ）

A． B．且

C． D．且

【答案】D

【分析】由，得，，再根据作差法变形两两判断即可.

【详解】因为，所以，

所以

，所以，

，所以，

符号不能确定，所以的大小不能确定

所以且.

故选：D.

二、多选题

9．已知两个随机变量满足，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据题意，由二项分布的期望与方差公式代入计算即可得到，再由期望与方差的性质即可得到.

【详解】由题意可得,，

且，则，

.

故选：ABD

10．已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ）

A．有个极大值点 B．在处取得极大值

C． D．

【答案】BCD

【分析】利用极值点的定义可判断AB选项；利用函数的单调性可判断CD选项.

【详解】对于A选项，函数在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增，在右侧附近单调递减，

所以，在及处取得极大值，A错误，B正确；

当时，，且不恒为零，则单调递增，且，

则，C正确；

当时，，单调递减，则，D正确.

故选：BCD.

11．已知，则（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ACD

【分析】对于A，令可求出，对于B，令，再结合可求进行判断，对于C，令，，再结合可求得结果，对于D，令，再结合可进行判断.

【详解】对于A，令，则，所以A正确，

对于B，令，则，

因为，所以，所以B错误，

对于C，令，则，

因为，

所以，

所以，所以C正确，

对于D，令，则，

因为 ，所以，所以D正确，

故选：ACD.

12．定义在上的偶函数满足，当时，，则（    ）

A．

B．的一个周期为4

C．的图象关于点对称

D．

【答案】AB

【分析】对于A，利用偶函数求得，即可判断；对于B，由题意可得，从而有，即可判断；对于C，由题意可得的图象关于直线对称，从而可判断；对于D，，再利用周期性即可计算，从而可判断.

【详解】对于A，因为为偶函数，且当时，，

所以，故A正确；

对于B，因为为偶函数，且，

所以，所以，

所以的周期为4，故B正确；

对于C，因为，所以的图象关于直线对称.

因为的周期为4，

所以的图象关于直线对称，故C错误；

对于D，因为，

所以，故D错误.

故选：AB

三、填空题

13．若，则          .

【答案】7

【分析】根据组合数性质得到关于的方程，解出即可.

【详解】因为，

所以，所以或（舍去）.

故答案为：7.

四、双空题

14．函数的定义域为          ，最小值为          .

【答案】         

【分析】根据函数的解析式可得定义域；利用基本不等式可得的最小值.

【详解】由，得，则的定义域为，

，

当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.

故答案为：，.

五、填空题

15．记为等差数列的前项和，公差为，若，则整数的一个值可以为          .

【答案】（答案不唯一）

【分析】利用等差数列前项和的基本量计算可求得.

【详解】因为，所以.

所以，故的整数解为.

故答案为：（答案不唯一）

16．利率的变动会对股价产生一定的影响，根据分析得出，在利率下调的情况下，某股票的股价上涨的概率为0.7，在利率不变的情况下，该股票的股价上涨的概率为0.2，在利率上调的情况下，该股票的股价上涨的概率为0.1.假设利率下调的概率为0.6，利率不变的概率为0.3，则该股票的股价上涨的概率为          .

【答案】0.49

【分析】利用全概率公式计算可得答案.

【详解】记事件为“利率下调”，事件为“利率不变”，事件为“利率上调”，事件为“股价上张”，则，所以.

故答案为：0.49.

六、解答题

17．已知在等差数列中，.

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等差数列的通项公式的性质求解首项和公差，即可得的通项公式；

（2）直接根据裂项相消法求前项和

【详解】（1）设的公差为.由，可得.

因为，所以.

因为，所以，故.

（2）因为，所以，

所以.

18．为了提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素对本校学生体育锻炼的喜好是否有影响，为此对学生是否喜欢体育锻炼的情况进行调查，得到下表：

在本次调查中，男生人数占总人数的，女生喜欢体育锻炼的人数占女生人数的.

(1)求的值；

(2)能否有的把握认为学生的性别与喜欢体育锻炼有关？

【答案】(1)

(2)没有的把握认为学生的性别与喜欢体育锻炼之间有关联.

【分析】（1）根据题中所给数据比和表中数据直接求解；

（2）补全上述列联表，利用独立性检验求解.

【详解】（1）由题可知

解得.

（2）根据列联表及（1）中数据补全列联表，

经计算得到.

所以没有的把握认为学生的性别与喜欢体育锻炼之间有关联.

19．已知函数的极小值点为1.

(1)求；

(2)若过点作直线与曲线相切，求切线方程.

【答案】(1)；

(2)，.

【分析】（1）求出函数的导数，由求出a值，再验证作答.

（2）设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，结合已知求出切点坐标作答.

【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，

由的极小值点为1，得，解得，

此时，当时，当时，即1为的极小值点，

所以.

（2）由（1）知，，

设切点为，则，

于是切线方程为，

而切线过点，因此，

整理得，即，解得，

当时，切线方程为；当时，切线方程为，即，

所以所求切线方程为，.

20．（1）若成对样本数据都落在直线上，求样本相关系数．

（2）现随机抽取10家航空公司，对其最近一年的航班正点率和乘客投诉次数进行调查．所得数据如下表所示：

根据表格的数据，试问乘客投诉次数与航班正点率之间是否呈现线性相关关系？它们之间的相关程度如何？

参考数据：相关系数，当时两个变量之间具有很强的线性相关关系．取．

【答案】（1）-1 ；（2）是；具有很强的线性相关关系 ．

【分析】（1）利用相关系数与线性相关程度的关系得结果；

（2）计算相关系数，由数据判断结论.

【详解】（1）因为样本数据都落在直线上，且直线的斜率为负数，所以相关系数为-1．

（2），

，

，

，

，

，

所以，

所以乘客投诉次数与航班正点率之间负相关，具有很强的线性相关关系．

21．广场舞､健步走已成为广大群众喜闻乐见的健身活动，但围绕其噪音､占道发生的“扰民”问题常让人感到头疼，也成为社会关注的热点.不少地区为此出台了相关政策，对违规行为进行处罚，某地为引导群众文明开展健身活动，促进全民养成文明健康､绿色环保的生活方式，规范广场舞､集体健步走等活动的开展，发布了《静音广场舞，规范健步走倡议书》.小明的妈妈为响应号召，在家里积极锻炼，等步长沿直线前后连续移步.已知她从点出发，每次向前移动1步的概率为，向后移动1步的概率为.

(1)求移动4步后回到点的概率；

(2)若移动5步后到达点，记两点之间的步数为随机变量，求的分布列和数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）求出每次向前移动一步的概率，再由独立重复试验概率公式即可求出结果；

（2）确定随机变量的可能取值，再求出取各个取值的概率，由此得到分布列，再由期望公式即可求出结果.

【详解】（1）设向前移动1步为事件，所以，

移动4步，回到点相当于4步中两步向前，两步向后，

所以.

（2）由题知，的可能取值为，

所以的分布列为

所以随机变量的期望.

22．已知函数.

(1)若在上单调递增，求实数的取值范围.

(2)已知方程有两个不相等的实数根，且.

①求的取值范围；

②若，证明：.

【答案】(1)

(2)①；②证明见解析

【分析】（1）根据函数单调可得在上恒成立，即可得，设，求导确定单调性及最值，即可得实数的取值范围；

（2）①根据方程有两个不相等的实数根，即转化为方程方程有两个不相等的实数根，由（1）可得的单调性，结合其取值，即可得实数的取值范围；②由零点得，利用比值代换，设令，，可设，求导确定其单调性，利用单调性即可证明结论.

【详解】（1）因为函数在上单调递增，

所以在上恒成立.

因为，所以，即.

令，则，令，得

所以在上单调递增，在上单调递减，所以.

由，得，即的取值范围是.

（2）①由题意知关于的方程，有两个不相等的实数根，

即关于的方程有两个不相等的实数根，

即关于的方程有两个不相等的实数根，等价于直线与曲线有两个不同的交点.

由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，又

则当时，，当时，，所以.

②因为所以，

所以

令，因为，所以，

所以.

令，则.

令，则，

所以在上单调递增，

所以，所以当时，，

所以在上单调递减.

因为，所以，

所以，所以

【点睛】方法点睛：

（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．；

（2）方程的根或函数零点有关的双变量不等式证明，常转化为单变量问题，结合导数确定函数最值，即可证明结论，设，是常见的方法.