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    江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高二数学上学期期中试题(Word版附解析)
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    江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高二数学上学期期中试题(Word版附解析)

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    这是一份江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高二数学上学期期中试题(Word版附解析),共19页。试卷主要包含了单项选择题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    南京师大附中2022-2023学年度第1学期

    高二年级期中数学试卷

    一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

    1. 双曲线的渐近线方程为(   

    A  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】根据双曲线方程直接写出渐近线方程即可.

    【详解】由双曲线方程知:,而渐近线方程为

    所以双曲线渐近线为.

    故选:B

    2. 若将直线沿轴正方向平移3个单位,再沿轴负方向平移2个单位,又回到了原来的位置,则的斜率是(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】分别写出平移前后的直线的方程,结合题意运算求解.

    【详解】由题意可知:直线的斜率存在,设直线的方程为,则平移后直线的方程为

    则可得:,即

    故选:C.

    3. 若数据的方差为7,则数据的方差为(   

    A. 7 B. 49 C. 8 D. 64

    【答案】A

    【解析】

    【分析】波动程度没有发生变化.

    【详解】数据,波动性并没有发生变化,所以方差还是7.

    故选:A

    4. 已知椭圆,若的顶点分别是椭圆的两个焦点,顶点在椭圆上,则的值为(   

    A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

    【答案】A

    【解析】

    【分析】利用椭圆方程得到,再利用正弦定理即可求解

    详解】由椭圆可得,所以

    所以在中,利用正弦定理可得

    故选:A

    5. 已知椭圆的两个焦点分别为,点在椭圆上,若,且,则椭圆的离心率为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】由题知,进而根据椭圆的定义得,再求离心律即可.

    【详解】:如图,因为点在椭圆上,若,且

    所以

    所以,

    因为由椭圆定义得

    所以,

    故选:B

    6. 已知矩形的长2,宽1,以为坐标原点,边分别为轴正半轴,轴正半轴,建立如图所示的平面直角坐标系.若将矩形折叠,使点落在线段上(包括端点),则折痕所在直线纵截距的最小值为(   

    A.  B.  C. 2 D. 3

    【答案】B

    【解析】

    【分析】根据对折的对称性可得,若点折叠后落在上点为,则斜率相乘得,从而得到点的坐标关于的表达式,求得截距即可得到答案.

    【详解】设折痕所在直线斜率,设点折叠后落在上点为,则与折痕垂直,即,即,所以中点,因此折痕所在直线方程为:,其纵截距为

    故选:B.

    7. 过坐标原点作直线的垂线,若垂足在圆上,则的取值范围是(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】由题设直线相切,利用点线距离公式得到关于的表达式,即可得范围.

    【详解】因为垂足在圆上,即直线与该圆相切,
     

    所以.

    故选:C

    8. 已知实数满足,则的最大值是(   

    A.  B. 6 C.  D. 12

    【答案】D

    【解析】

    【分析】分析所给出条件的几何意义,作图,根据几何意义运用点到直线的距离公式即可求出最大值.

    【详解】如图:

    ,则原题等价于点 是圆上两点,

    并且,所以

    所以所求最大值就是 两点到直线 的距离之和 倍,

    AB的中点为M,由上图可知: ,就是M点到直线 的距离的 倍,

    由于 是直角三角形,中点为,所以在圆上运动,

    所以本题等价于求到直线的距离倍的最大值,

    显然,最大值=原点O到直线 的距离与圆 的半径之和的

    故选:D.

    二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

    9. 若曲线,下列结论正确的是(   

    A. 若曲线是椭圆,则 B. 若曲线是双曲线,则

    C. 若曲线是椭圆,则焦距为 D. 若曲线是双曲线,则焦距为

    【答案】BCD

    【解析】

    【分析】根据方程表示椭圆、双曲线的条件对选项逐一分析,由此确定正确选项

    【详解】对于A时,系数为正数,系数为负数,曲线不是椭圆,故不正确;

    对于B,若曲线为双曲线,则,解得,故正确;

    对于C,若曲线为椭圆,则

    所以,故正确;

    对于D,若曲线为双曲线,则

    ,所以,故正确;

    故选:BCD

    10. 为迎接党的二十大胜利召开,某中学举行党史知识竞赛,对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计,把得分数据按照分成5组,绘制了如图所示的频率分布直方图,根据图中信息,下列说法正确的是(   

    A.

    B. 得分在区间内的学生人数为200

    C. 该校学生党史知识竞赛成绩中位数大于80

    D. 估计该校学生党史知识竞赛成绩的平均数落在区间

    【答案】ABD

    【解析】

    【分析】根据频率分布直方图的性质直接计算即可.

    【详解】对于A,由频率分布直方图性质得:,解得,故正确;

    对于B,由频率分布直方图得:成绩落在区间的频率为,所以人数为,故B正确;

    对于,由频率分布直方图得:的频率为的频率为,所以成绩的中位数位于区间内,故错误;

    对于D,估计成绩的平均数为:,所以成绩的平均数落在区间内,故D正确.

    故选:ABD.

    11. 在矩形中,,动点在以点为圆心且与相切的圆上.若,则的可能取值有(   

    A.  B.   C. 3 D. 4

    【答案】AC

    【解析】

    【分析】建立平面直角坐标系,写出各点的坐标,用坐标表示,用同角三角函数的平方关系换元,转化为三角函数的最值问题.

    【详解】为圆点,所在直线为轴,所在直线为轴建立平面直角坐标系,

    则由已知有:,即在圆上,

    所以有,则

    故选:AC

    12. 已知点为双曲线右支上一点,为双曲线的两条渐近线,过点分别作,垂足依次为,过点于点,过点于点为坐标原点,则下列结论正确的是(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】ABD

    【解析】

    【分析】设点,利用点到直线的距离公式可判断A选项;分析可知四点共圆,利用圆的几何性质可判断B选项;求出的面积,可判断C选项;利用余弦定理结合基本不等式可判断D选项.

    【详解】对于A选项,设点,则

    双曲线的渐近线方程为,即

    所以,A对;

    对于B选项,由题意可知,则四点共圆,

    为该圆的一条直径,为该圆的一条弦,故B对;

    对于C选项,因为双曲线两渐近线的斜率分别为

    所以,双曲线两渐近线的夹角为,由B选项可知,

    因为,则,因为,则,同理,

    所以,,则C错;

    对于D选项,由C选项可知,,且

    由余弦定理可得

    当且仅当时,等号成立,D.

    故选:ABD.

    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

    13. 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_______________.

    【答案】

    【解析】

    【分析】分类讨论直线是否过原点确定直线方程即可.

    【详解】当直线过原点时,设直线方程为,则

    直线方程为,即

    当直线不经过原点时,直线的斜率为,直线方程为,整理可得:.

    故答案为

    【点睛】本题主要考查直线方程的求解,分类讨论的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

    14. 是椭圆的两个焦点,点为椭圆上关于坐标原点对称的两点,且,则四边形的面积为_________

    【答案】8

    【解析】

    【分析】根据椭圆对称性及矩形的性质知四边形为矩形,进而有,再根据椭圆定义、勾股定理求即可.

    【详解】由已知及对称性得:四边形为矩形,即

    所以

    由椭圆定义与勾股定理知:,可得

    所以四边形的面积为8.

    故答案为:8

    15. 已知圆和直线相交于两点,若射线可由轴正方向绕着原点逆时针分别旋转角得到,则的值为_________

    【答案】

    【解析】

    【分析】先联立方程组求出两点,然后根据射线可由轴正方向绕着原点逆时针分别旋转得到,然后求出答案

    【详解】,即,所以

    设直线倾斜角为,其中,因为射线可由轴正方向绕着原点逆时针分别旋转角得到,故,即.

    故答案为:.

    16. 已知为椭圆左、右焦点,过椭圆的右顶点点作垂直于轴的直线,若直线上存在点满足,则椭圆离心率的取值范围为_________

    【答案】

    【解析】

    【分析】点作圆,使得,进而得在优弧上运动,再根据几何关系得圆的圆心为,半径为,再根据直线与优弧有交点得,进而求得离心率的范围.

    【详解】解:如图,过点作圆,使得

    所以,由同弧所对圆周角为定角可知,即在优弧上运动,

    所以,由可得,即

    所以,圆的圆心为,半径为

    又因在直线上,

    所以直线与优弧有交点,即

    所以,即椭圆离心率的取值范围为.

    根据对称性,同理,圆心可以在轴下方时,方法相同,答案相同.

    故答案为:

    四、解答题:本题共6小题,共70分.

    17. 已知直线l经过两直线的交点.

    1若直线与直线垂直,求直线的方程;

    2若点到直线的距离相等,求直线的方程.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)求得两直线的交点,结合直线的斜率,即可求得直线方程;

    2)讨论直线与点之间的位置关系,在不同情况下求对应直线的方程即可.

    【小问1详解】

    联立直线的方程:,解得

    设直线斜率为,则

    所以方程为:.

    【小问2详解】

    同侧,则//,即

    所以方程为:,即

    两侧,则中点上,

    所以,即

    综上所述,直线的方程为.

    18. 近年来,“直播带货”受到越来越多人的喜爱,目前已经成为推动消费的一种主流经济形式.某直播平台对平台内800个直播商家进行调查统计,发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品类等,各类直播商家所占比例如图.

    1该直播平台为了更好地服务买卖双方,打算随机抽取40个直播商家进行问询交流.如果按照分层抽样的方式抽取,则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家?

    2在问询了解直播商家的利润状况时,工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计(单位:元),并将平均日利润超过300元的商家称为“优秀商家”,所得频率直方图如图所示.

    i)请根据频率直方图计算抽取的商家中“优秀商家”个数,并以此估计该直播平台“优秀商家”的个数;

    ii)若从抽取的“优秀商家”中随机邀请两个商家分享经验,求邀请到的商家来自不同平均日利润组别的概率.

    【答案】116家;4家;   

    2i6家;120家;(ii.

    【解析】

    【分析】1)由已知,可先计算小吃类、玩具类商家所占的比例,然后按照分层抽样的方法直接计算;

    2)由已知题意和图像可先求解出,然后再直接计算直播平台优秀商家个数;可根据条件,优秀商家中来自300-350元平均日利润组的有4家,来白350-400元平均日利润组的有2家,直接计算邀请到的商家来自不同平均日利润组别的事件的概率.

    【小问1详解】

    抽取小吃类商家(家),

    抽取玩具类商家(家);

    【小问2详解】

    由图可得

    i)该直播平台“优秀商家”个数约为(家);

    ii)由已知得:抽取的“优秀商家”中来自300-350元平均日利润组的有4家,

    来白350-400元平均日利润组的有2家.

    设邀请到的商家来自不同平均日利润组别的事件为,则

    19. 已知椭圆的离心率为,点分别为其下顶点和右焦点,坐标原点为,且的面积为

    1求椭圆的方程;

    2是否存在直线,使得与椭圆相交于两点,且点恰为的重心?若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由.

    【答案】1   

    2存在直线满足题意,其方程为:

    【解析】

    【分析】1)利用椭圆的几何性质可得,结合的面积和离心率求出即可;

    (2)设,直线方程,联立直线方程和椭圆方程得关于的解析式,若存在直线使得为重心,则,利用向量加法的坐标公式解的值即可,注意讨论直线斜率不存在的情况.

    【小问1详解】

    由已知可得

    所以,又因为,所以

    所以椭圆的方程为.

    【小问2详解】

    ①当直线斜率存在时,设

    联立

    所以

    若存在直线使得为重心,则,即

    解得,此时有

    所以存在直线.

    ②直线斜率不存在时,由重心可知中点应在直线上,而此时明显不成立,

    综上所述,存在直线满足题意,其方程为:

    20. 如图,在平面直角坐标系中,过原点的直线与圆交于点(与不同),过原点且垂直于的直线与圆交于两点.

    1记直线的倾斜角为,求的取值范围;

    2若线段的中点为,求面积的取值范围.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)由已知,可分两种情况,当直线斜率存在时,可通过计算直线、直线与圆心的位置关系来判断直线与圆相交,当直线斜率不存在时,此时得到直线、直线即可根据圆的方程直接做出判断;

    2)由已知,可分两种情况,当直线斜率存在时,可通过计算圆心到直线、直线的距离来计算三角形面积,当直线斜率不存在时,此时可直接计算三角形面积.

    【小问1详解】

    由题意即直线与圆相交,且直线与圆相交,

    直线斜率存在时,设直线斜率为,即

    由题意有,因为直线倾斜角的范围为

    直线斜率不存在时,易得

    满足题意,此时

    综上所述,

    【小问2详解】

    到直线的距离为到直线的距离为,则

    ①直线斜率存在时,有

    所以

    ②直线斜率不存在时,

    综上所述,面积的取值范围是

    21. 已知椭圆,若点中恰有三点在椭圆上.

    1的方程;

    2的左焦点,过点且与轴不重合的直线交于不同的两点,求证:内切圆的圆心在定直线上.

    【答案】1   

    2证明见解析.

    【解析】

    【分析】1)根据对称性定在椭圆上,然后分别讨论在椭圆上的情况,从而可求出椭圆方程,

    2)设,将问题转化为证明的角平分线为定直线,只要证,将直线方程代入椭圆方程消去,利用根与系数的关系,代入上式化简即可得结论.

    【小问1详解】

    根据对称性定在椭圆上,

    也在椭圆上,则,方程组无解,

    所以为椭圆上第三个点,

    所以,解得

    所以椭圆的方程为:

    【小问2详解】

    由(1)得,设

    要证明内切圆的圆心在定直线上,由对称性和内心的定义,即证明的角平分线为定直线,

    即证,即,即证

    只要证

    ,得

    ,得

    所以

    所以成立,

    得证,

    内切圆的圆心在定直线上.

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