江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高二数学上学期期中试题（Word版附解析）

南京师大附中2022-2023学年度第1学期

高二年级期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 双曲线的渐近线方程为（    ）

A  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据双曲线方程直接写出渐近线方程即可.

【详解】由双曲线方程知：，，而渐近线方程为，

所以双曲线渐近线为.

故选：B

2. 若将直线沿轴正方向平移3个单位，再沿轴负方向平移2个单位，又回到了原来的位置，则的斜率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分别写出平移前后的直线的方程，结合题意运算求解.

【详解】由题意可知：直线的斜率存在，设直线的方程为，则平移后直线的方程为，

则可得：，即．

故选：C.

3. 若数据，，，…，的方差为7，则数据，，，…，的方差为（    ）

A. 7 B. 49 C. 8 D. 64

【答案】A

【解析】

【分析】波动程度没有发生变化.

【详解】数据，，，…，到，，，…，，波动性并没有发生变化，所以方差还是7.

故选：A

4. 已知椭圆，若的顶点，分别是椭圆的两个焦点，顶点在椭圆上，则的值为（    ）

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

【答案】A

【解析】

【分析】利用椭圆方程得到，，再利用正弦定理即可求解

详解】由椭圆可得，，所以，

则，，

所以在中，利用正弦定理可得，

故选：A

5. 已知椭圆的两个焦点分别为，，点在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题知，，进而根据椭圆的定义得，再求离心律即可.

【详解】：如图，因为点在椭圆上，若，且，

所以，，

所以，，，

因为由椭圆定义得

所以，．

故选：B

6. 已知矩形的长为2，宽为1，以为坐标原点，，边分别为轴正半轴，轴正半轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若将矩形折叠，使点落在线段上（包括端点），则折痕所在直线纵截距的最小值为（    ）

A.  B.  C. 2 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】根据对折的对称性可得，若点折叠后落在上点为，则斜率相乘得，从而得到点的坐标关于的表达式，求得截距即可得到答案.

【详解】设折痕所在直线斜率，设点折叠后落在上点为，则与折痕垂直，即，即，所以中点，因此折痕所在直线方程为：，其纵截距为．

故选：B.

7. 过坐标原点作直线：的垂线，若垂足在圆上，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题设直线与相切，利用点线距离公式得到关于的表达式，即可得范围.

【详解】因为垂足在圆上，即直线与该圆相切，
 

所以.

故选：C

8. 已知实数满足，，，则的最大值是（    ）

A.  B. 6 C.  D. 12

【答案】D

【解析】

【分析】分析所给出条件的几何意义，作图，根据几何意义运用点到直线的距离公式即可求出最大值.

【详解】如图：

设，，则原题等价于点 ， 是圆上两点，

并且，所以 ，

，

所以所求最大值就是 两点到直线 的距离之和 的 倍，

设AB的中点为M，由上图可知： ，就是M点到直线 的距离的 倍，

由于 是直角三角形， ，设的中点为，所以在圆上运动，

所以本题等价于求到直线的距离倍的最大值，

显然，最大值=原点O到直线 的距离与圆 的半径之和的 倍

；

故选：D.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

9. 若曲线：，下列结论正确的是（    ）

A. 若曲线是椭圆，则 B. 若曲线是双曲线，则

C. 若曲线是椭圆，则焦距为 D. 若曲线是双曲线，则焦距为

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据方程表示椭圆、双曲线的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项

【详解】对于A，时，系数为正数，系数为负数，曲线不是椭圆，故不正确；

对于B，若曲线为双曲线，则，解得，故正确；

对于C，若曲线为椭圆，则，

故即所以，故正确；

对于D，若曲线为双曲线，则，

故即，所以，故正确；

故选：BCD

10. 为迎接党的二十大胜利召开，某中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照､分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（    ）

A.

B. 得分在区间内的学生人数为200

C. 该校学生党史知识竞赛成绩中位数大于80

D. 估计该校学生党史知识竞赛成绩的平均数落在区间内

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据频率分布直方图的性质直接计算即可.

【详解】对于A，由频率分布直方图性质得：，解得，故正确；

对于B，由频率分布直方图得：成绩落在区间的频率为，所以人数为，故B正确；

对于，由频率分布直方图得：的频率为的频率为，所以成绩的中位数位于区间内，故错误；

对于D，估计成绩的平均数为：，所以成绩的平均数落在区间内，故D正确.

故选：ABD.

11. 在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的可能取值有（    ）

A.  B.   C. 3 D. 4

【答案】AC

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用坐标表示，用同角三角函数的平方关系换元，转化为三角函数的最值问题.

【详解】以为圆点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，

则由已知有：，，，，即在圆上，

所以有，则．

故选：AC

12. 已知点为双曲线右支上一点，、为双曲线的两条渐近线，过点分别作，，垂足依次为、，过点作交于点，过点作交于点，为坐标原点，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】设点，利用点到直线的距离公式可判断A选项；分析可知、、、四点共圆，利用圆的几何性质可判断B选项；求出、的面积，可判断C选项；利用余弦定理结合基本不等式可判断D选项.

【详解】对于A选项，设点，则，

双曲线的渐近线方程为，即，

所以，，A对；

对于B选项，由题意可知，，则、、、四点共圆，

且为该圆的一条直径，为该圆的一条弦，故，B对；

对于C选项，因为双曲线两渐近线的斜率分别为、，

所以，双曲线两渐近线的夹角为，由B选项可知，，

，

因为，则，因为，则，同理，，

所以，，则，C错；

对于D选项，由C选项可知，，且，

由余弦定理可得，

当且仅当时，等号成立，D对.

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_______________.

【答案】或

【解析】

【分析】分类讨论直线是否过原点确定直线方程即可.

【详解】当直线过原点时，设直线方程为，则，

直线方程为，即，

当直线不经过原点时，直线的斜率为，直线方程为，整理可得：.

故答案为或．

【点睛】本题主要考查直线方程的求解，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

14. 若，是椭圆：的两个焦点，点，为椭圆上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为_________．

【答案】8

【解析】

【分析】根据椭圆对称性及矩形的性质知四边形为矩形，进而有，再根据椭圆定义、勾股定理求即可.

【详解】由已知及对称性得：四边形为矩形，即，

所以，

由椭圆定义与勾股定理知：，可得．

所以四边形的面积为8.

故答案为：8

15. 已知圆和直线相交于，两点，若射线，可由轴正方向绕着原点逆时针分别旋转，角得到，则的值为_________．

【答案】

【解析】

【分析】先联立方程组求出，两点，然后根据射线，可由轴正方向绕着原点逆时针分别旋转得到，，然后求出答案

【详解】，即，，所以，

设直线倾斜角为，其中，因为射线，可由轴正方向绕着原点逆时针分别旋转，角得到，故，，即.

故答案为：.

16. 已知，为椭圆左、右焦点，过椭圆的右顶点点作垂直于轴的直线，若直线上存在点满足，则椭圆离心率的取值范围为_________．

【答案】

【解析】

【分析】过，点作圆，使得，进而得在优弧上运动，再根据几何关系得圆的圆心为，半径为，再根据直线与优弧有交点得，进而求得离心率的范围.

【详解】解：如图，过，点作圆，使得，

所以，由同弧所对圆周角为定角可知，即在优弧上运动，

所以，由可得，即，

所以，圆的圆心为，半径为，

又因在直线上，

所以直线与优弧有交点，即，

所以，即椭圆离心率的取值范围为.

根据对称性，同理，圆心可以在轴下方时，方法相同，答案相同.

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分．

17. 已知直线l经过两直线：和：的交点．

（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；

（2）若点，到直线的距离相等，求直线的方程．

【答案】（1）；   

（2）或．

【解析】

【分析】（1）求得两直线的交点，结合直线的斜率，即可求得直线方程；

（2）讨论直线与点之间的位置关系，在不同情况下求对应直线的方程即可.

【小问1详解】

联立直线的方程：，解得，

设直线斜率为，则，

所以方程为：.

【小问2详解】

当在同侧，则//，即，

所以方程为：，即；

当在两侧，则中点在上，

所以，即；

综上所述，直线的方程为或.

18. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种主流经济形式．某直播平台对平台内800个直播商家进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图．

（1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取40个直播商家进行问询交流．如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？

（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），并将平均日利润超过300元的商家称为“优秀商家”，所得频率直方图如图所示．

（i）请根据频率直方图计算抽取的商家中“优秀商家”个数，并以此估计该直播平台“优秀商家”的个数；

（ii）若从抽取的“优秀商家”中随机邀请两个商家分享经验，求邀请到的商家来自不同平均日利润组别的概率．

【答案】（1）16家；4家；   

（2）（i）6家；120家；（ii）.

【解析】

【分析】（1）由已知，可先计算小吃类、玩具类商家所占的比例，然后按照分层抽样的方法直接计算；

（2）由已知题意和图像可先求解出，然后再直接计算直播平台优秀商家个数；可根据条件，优秀商家中来自300-350元平均日利润组的有4家，来白350-400元平均日利润组的有2家，直接计算邀请到的商家来自不同平均日利润组别的事件的概率.

【小问1详解】

抽取小吃类商家（家），

抽取玩具类商家（家）；

【小问2详解】

由图可得，

（i）该直播平台“优秀商家”个数约为（家）；

（ii）由已知得：抽取的“优秀商家”中来自300-350元平均日利润组的有4家，

来白350-400元平均日利润组的有2家．

设邀请到的商家来自不同平均日利润组别的事件为，则．

19. 已知椭圆：的离心率为，点，分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为，且的面积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在直线，使得与椭圆相交于两点，且点恰为的重心？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；   

（2）存在直线满足题意，其方程为：．

【解析】

【分析】（1）利用椭圆的几何性质可得，，结合的面积和离心率求出即可；

（2）设，，直线方程，联立直线方程和椭圆方程得关于的解析式，若存在直线使得为重心，则，利用向量加法的坐标公式解的值即可，注意讨论直线斜率不存在的情况.

【小问1详解】

由已知可得，，

所以，又因为，所以，

所以椭圆的方程为.

【小问2详解】

①当直线斜率存在时，设，，，

联立，

令，

所以，，

若存在直线使得为重心，则，即，

由解得，此时有，

所以存在直线.

②直线斜率不存在时，由重心可知中点应在直线上，而此时明显不成立，

综上所述，存在直线满足题意，其方程为：．

20. 如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线与圆：交于点（与不同），过原点且垂直于的直线与圆：交于，两点．

（1）记直线的倾斜角为，求的取值范围；

（2）若线段的中点为，求面积的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由已知，可分两种情况，当直线斜率存在时，可通过计算直线、直线与圆心的位置关系来判断直线与圆相交，当直线斜率不存在时，此时得到直线、直线即可根据圆的方程直接做出判断；

（2）由已知，可分两种情况，当直线斜率存在时，可通过计算圆心到直线、直线的距离来计算三角形面积，当直线斜率不存在时，此时可直接计算三角形面积.

【小问1详解】

由题意即直线与圆相交，且直线与圆相交，

直线斜率存在时，设直线斜率为，即，

由题意有，因为直线倾斜角的范围为，

即；

直线斜率不存在时，易得：，：，

即，，满足题意，此时．

综上所述，；

【小问2详解】

设到直线的距离为，到直线的距离为，则

①直线斜率存在时，有，

所以，

②直线斜率不存在时，．

综上所述，面积的取值范围是．

21. 已知椭圆：，若点，，，中恰有三点在椭圆上．

（1）求的方程；

（2）点是的左焦点，过点且与轴不重合的直线与交于不同的两点，，求证：内切圆的圆心在定直线上．

【答案】（1）；   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据对称性，定在椭圆上，然后分别讨论，在椭圆上的情况，从而可求出椭圆方程，

（2）设，，：，将问题转化为证明的角平分线为定直线，只要证，将直线方程代入椭圆方程消去，利用根与系数的关系，代入上式化简即可得结论.

【小问1详解】

根据对称性，定在椭圆上，

若也在椭圆上，则，方程组无解，

所以为椭圆上第三个点，

所以，解得，

所以椭圆的方程为：；

【小问2详解】

由（1）得：，，设，，：．

要证明内切圆的圆心在定直线上，由对称性和内心的定义，即证明的角平分线为定直线，

即证，即，即证，

只要证，

由，得，

，得，

所以

所以成立，

即得证，

即内切圆的圆心在定直线上．