2021-2022学年江苏省扬州市江都区高二下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省扬州市江都区高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．下列导数运算正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据初等函数的导数公式和导数的运算法则，准确运算，即可求解.

【详解】根据初等函数的导数公式和导数的运算法则，可得：

对于A中，，所以A不正确；

对于B中，，所以B正确；

对于C中，，所以C不正确；

对于D中，，所以D不正确.

故选：B.

2．随机变量的分布列为

则（     ）A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据分布列的性质求得a的值，即可求得答案.

【详解】由题意可得： ，

故，

故选：C

3．如图，在平行六面体中，为和的交点，若，，，则下列式子中与相等的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据空间向量的加减运算，表示出向量，即得答案.

【详解】

,

故选;A

4．已知函数，则图象为如图的函数可能是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用函数的奇偶性排除选项A、B，再利用导数排除选项D，确定选项C.

【详解】解：对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；

对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

对于C，为奇函数，则，

当时，，与图象相符；

对于D，，是奇函数，，

当时，，与图象不符，所以排除选项D.

故选：C.

5．已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由得，由此可求得.

【详解】，，.

故选：A.

6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“—”和阴爻“——”，如图就是一重卦.共有多少种重卦.（       ）

A．12 B．16 C．32 D．64

【答案】D

【分析】按照分步乘法计数原理，即可求出．

【详解】因为每一行都有2个爻供选择，根据分步乘法计数原理，所以六行共可组成种重卦．

故选：D．

【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理的应用，属于容易题．

7．的展开式中的系数是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用展开式的通项，分别写出各项的系数，然后求和.

【详解】展开式中，的系数为，于是本题中的系数是

.

故选：B.

8．如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，点为棱上一点，满足，下列结论错误的是（       ）

A．平面平面；

B．点到直线的距离；

C．若二面角的平面角的余弦值为，则；

D．点A到平面的距离为．

【答案】D

【分析】A选项，作出辅助线，证明出AC⊥BC，结合平面可得线线垂直，从而证明线面垂直，最后证明出面面垂直；B选项，求出点P到直线CD的距离即为PC的长度，利用勾股定理求出答案；C选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解；D选项，过点A作AH⊥PC于点H，证明AH的长即为点A到平面的距离，求出AH的长.

【详解】A选项，因为平面，平面，

所以CD，

故∠PBA即为与底面所成的角，，

因为，

所以PA=AB=1，

因为，

取AD中点F，连接CF，则AF=DF=AB=CF=BC，

则四边形ABCF为正方形，∠FCD=∠FCA=45°，

所以AC⊥CD，

又因为，

所以CD⊥平面PAC，

因为CD平面PCD，

所以平面平面PCD，A正确；

由A选项的证明过程可知：CD⊥平面PAC，

因为平面PAC

所以CD⊥PC，

故点P到直线CD的距离即为PC的长度，

其中

由勾股定理得：，B正确；

以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

其中平面ACD的法向量为，设平面ACE的法向量为，

则，令得：，

所以，

设二面角的平面角为，显然，

其中，

解得：或，

因为，所以，C正确；

过点A作AH⊥PC于点H，

由于CD⊥平面APC，平面APC，

所以AH⊥CD，

因为，

所以AH⊥平面PCD，

故AH即为点A到平面PCD的距离，

因为PA⊥AC，

所以，D选项错误

故选：D

二、多选题

9．下列各式正确的是　

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】A选项，由阶乘的定义可判断正确；B选项，由排列数的计算公式可判断错误；C选项，由公式可得错误；D选项，由组合数的计算公式可判断正确.

【详解】A选项，，A正确；

B选项，，B错误；

C选项，，C错误；

D选项，，D正确.

故选：AD

10．关于的二项展开式中，则下列说法正确的是　　

A．常数项为 B．各项系数之和为

C．奇数项的二项式系数和为 D．二项式系数最大的项为

【答案】AC

【分析】对A，根据二项式通项公式，令的指数为0计算即可；

对B，赋值法令计算即可；

对C，根据的奇数项二项式系数和为计算即可；

对D，由当为偶数时，二项式系数最大的项为第项计算即可

【详解】对A，由通项公式可得，当，即时取得常数项，为，故A正确；

对B，令有各项系数之和为，故B错误；

对C，奇数项的二项式系数和为，故C正确；

对D，二项式系数最大的项为第项，为，故D错误；

故选：AC

【点睛】本题主要考查了二次展开式中项的一些常见考点，属于中档题

11．下列命题中正确的是（       ）

A．已知向量，则存在向量可以与，构成空间的一个基底

B．若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，则

C．已知三棱锥，点为平面上的一点，且，则

D．已知，，，则向量在上的投影向量的模长是

【答案】BCD

【分析】根据基底的定义可判断A;计算，可判断B；根据空间共面向量的推论可判断C；计算向量在上的投影向量的模长，判断D.

【详解】对于A，空间任意三个不共面的向量可以作为空间的一个基底，而，

故不存在向量可以与，构成空间的一个基底，故A错误；

对于B，由于，即，故，故B正确；

对于C，点为平面上的一点，且，

则 ，即，故C正确；

对于D，向量在上的投影向量的模长为 ,

故D正确，

故选：BCD

12．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则（       ）

A．

B．

C．事件与事件相互独立

D．是两两互斥的事件

【答案】ABD

【分析】根据每次取一球，易得，，是两两互斥的事件，求得，然后由条件概率求得，，再逐项判断.

【详解】解：因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，故D正确；

因为，

所以，故B正确；

同理，

所以，故A正确；

由于，故事件与事件不相互独立，故C错误.

故选：ABD

三、填空题

13．若，则________．

【答案】5

【分析】利用排列数和组合数公式直接计算可得.

【详解】因为，所以，解得.

故答案为：5.

14．2022年4月20日是星期三，经过天后是星期________．

【答案】四

【分析】由展开可求得除以7的余数，即可得出答案.

【详解】因为，

因为能被7整除，

所以除以7的余数为1，所以经过天后是星期四.

故答案为：四.

15．志愿服务是办好年北京冬奥会的重要基础与保障．年月日志愿者全面上岗服务，现有名志愿者要安排到个服务站点参加服务，每名志愿者只能安排到一个站点，每个站点至少安排一名志愿者，则不同的安排方案共有________种．

【答案】240

【分析】现将名志愿者分成4组，再将4组安排到4个站点即可.

【详解】现将名志愿者分成4组，再将4组安排到4个站点即可，则不同的安排方案共有种.

故答案为：240.

四、双空题

16．已知，若在不是单调函数，则实数的取值范围为_____．若任意都有，则实数的取值范围为________．

【答案】         

【分析】第一空：对求导，根据在不是单调函数，直接求出答案；

第二空：对进行分类讨论，利用导函数求函数的最值，最终求出答案.

【详解】第一空：对求导

若在不是单调函数，即，

∴

第二空：

当时，，此时函数单调递增，不满足条件，舍去；

当时，，此时满足条件；

当时，当，此时函数在区间上单调递减，当，，此时函数在区间上单调递增，

∴

化简得

设，，

当，此时函数在区间上单调递减，

当，，此时函数在区间上单调递增，图象如图所示，

∴

综上所述：实数的取值范围为.

故答案为：，.

五、解答题

17．已知的展开式满足            ．

①二项式系数之和为，②含项的系数为80，③第三项与第四项二项式系数相等．

从这三个条件中选择两个合适的条件补充到横线处，求解下列问题．

(1)求的值；

(2)求展开式中含项的系数．

【答案】(1)，；

(2)13

【分析】（1）由二项式系数的性质可知，由①或③可得n，再由②中指定项系数可得m；

（2）由二项式定理分别展开和，然后相乘后合并可得.

【详解】(1)若选①②

由题意，，则；

由通项知时得含项，所以，所以；

若选②③

由第三项与第四项二项式系数相等，得则，

由通项知时得含项，所以，所以

(2)即求展开式中含项的系数，

，

所以展开式中含项的系数为．

18．如图，在棱长为的正方体中，为的中点．

(1)求证：//平面；

(2)求与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由条件证明四边形是平行四边形，得到即可；

（2）以为正交基底建立空间直角坐标系，然后利用向量求解即可.

【详解】(1)因为是正方体，所以，，

所以四边形是平行四边形，

所以，又面，平面，

//平面；

(2)

以为正交基底建立空间直角坐标系，则，

轴面，故面的法向量为

又，        

设求与平面所成角为，则=，

所以与平面所成角的正弦值为．

19．在全国防控疫情阻击战关键阶段，校文艺团排练了个演唱节目，个舞蹈节目参加社区慰问演出．（结果用数字作答）

(1)若从个节目中选个参加市演出汇报，求3个节目中恰有1个舞蹈节目的选法种数；

(2)现对个节目安排演出顺序，求个演唱节目接在一起的概率；

(3)现对个节目安排演出顺序，求节目甲不在第一个且不在最后一个演出的概率．

【答案】(1)12

(2)

(3)

【分析】（1）从2个舞蹈节目选1个，再从4个演唱节目里选2个，可得答案.

（2）求出6个节目全排列共有的排法，再计算将4个演唱节目看作一个整体，内部全排列，和2个舞蹈节目全排列的排法数，根据古典概型的概率公式求得答案;

（3）先排甲，再排其余节目，根据古典概型的概率公式求得答案;

【详解】(1)由题意可得3个节目中恰有1个舞蹈节目的选法种数有（种）；

(2)6个节目全排列共有 种排法，

将4个演唱节目看作一个整体，内部全排列，和2个舞蹈节目全排列，共有种排法，

因此记“4个演唱节目接在一起的概率”为事件，则，

所以4个演唱节目接在一起的概率；

(3)节目甲不在第一个且不在最后一个演出,

则中间四个位置上选一个排甲，剩余节目再其余位置全排列，有种排法，

记“节目甲不在第一个且不在最后一个演出”为事件，

故，

所以节目甲不在第一个且节目乙不在最后一个演出的概为 .

20．某校组织“创建文明城区”知识竞赛，有，两类问题，每位参加比赛的学生先在两类问题中选择一类，然后从所选类别的问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，比赛结束．类问题回答正确得30分，否则得0分；类问题回答正确得10分，否则得0分．已知小明同学能正确回答类中的每一个问题的概率均为0.5，能正确回答类中的每一个问题的概率均为0.8，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．

(1)若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列和数学期望；

(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．

【答案】(1)分布列见解析，数学期望

(2)小明应选择先回答类问题，理由见解析

【分析】（1）由题意得出由随机变量的可能取值，计算对应的不同随机变量的概率，即可求出分布列；

（2）计算小明先回答问题时随机变量的取值及对应概率，求出均值与（1）比较即可.

【详解】(1)得分情况有三种可能性，第一个问题错误，分，，

第一个问题正确，第二个错误，分，，两个问题都正确，分，，

的分布列为：

．

(2)由（1）知，若小明先回答问题，则，

若小明先回答问题，记为小明的累计得分，则的可能取值为0，10，40，

，，，

，

，

小明应选择先回答类问题．

21．如图，四边形与均为菱形，直线平面，点为与的交点，，且．

(1)求异面直线与所成角的余弦值；

(2)求二面角 的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，可得向量，，利用向量的夹角公式求得答案;

（2）根据（1）中坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式求得答案.

【详解】(1)∵平面，   平面，     ∴

∵四边形为菱形，且，∴为等边三角形，

∵为的中点，∴，所以，，两两垂直．

以为坐标原点，､､所在直线分别为､､轴建立空间直角坐标系，如图所示:

∵，四边形为菱形，，

∴，，

∵为等边三角形，∴，

则，，，，，，

∴， ,       

设异面直线所成角为，则 ,

 故,即异面直线与所成角的余弦值为.

(2)由（1）知，，，

设平面的法向量为，

则 ，令，则，，得．       

设平面的法向量为，则 ，

令，则，，得 ,

∴,

又由图知二面角为钝角，∴二面角的余弦值为．

22．设函数．

(1)当时，求在处的切线方程；

(2)讨论函数的单调性；

(3)若关于的方程有两个不等的实根，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)分类讨论，答案见解析；

(3)

【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可；

（2）对函数求导，需要对参数进行分类讨论，确定导函数正负，进一步确定原函数的增减；

（3）对关于的方程进行转化，运用同构函数的性质以及零点存在性定理来说明零点情况，从而得出的取值范围.

【详解】(1)

因为，所以                                                  

则，切线方程为：

(2)

当时，，，在上为单调减函数

当时，，，在上为单调减函数

，，在上为单调增函数

综上：当时，在上为单调减函数；

当时，在上为单调减函数，在上为单调增函数

(3)

即，

设，则在上是单调增函数，

故有两个不等的实根，设

由（2）知，，在上为单调减函数，在上为单调增函数

，得，   

，所以在上恰有一个零点

又，

，

所以在上恰有一个零点

综上：，有两个不等的实根．