精品解析：江苏省常州高级中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题（解析版）

江苏省常州高级中学2021-2022学年高二下学期期中质量检查数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，

1. 已知，则t的值为（　　）

A.  B. 3 C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】由空间向量垂直的坐标表示求解即可.

【详解】因为

所以，则，解得：.

故选：B.

2. 为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）与身高y（单位：厘米）的关系，从该班级随机抽取120名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归方程为该班学生的脚长为22，据此估计其身高为（　　）

A. 165 B. 167 C. 170 D. 175

【答案】A

【解析】

【分析】结合线性回归方程的性质，求出线性回归方程，再将代入上，即可求解．

【详解】，，，回归直线过样本中心点

，

回归方程为，

当时，．故估计其身高为.

故选：A．

3. 医院为了研究某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清与500名未使用血清的人一个月的感冒记录进行比较，提出假设：“这种血清不能起到预防的作用”，利用列联表计算得，经查对临界值表知.则下列说法正确的是（　　）

A. 若某人未使用过该血清，则他在一个月中有可能性生病

B. 这种血清预防感冒的有效率为

C. 有的把握认为这种血清不能起到预防感冒的作用

D. 有的把握认为这种血清能起到预防感冒的作用

【答案】D

【解析】

【分析】根据题设条件和独立性检验原理，逐一对各个选项分析判断即可得出结果.

【详解】选项A和B，因为独立性检验只是预测使用血清与否与是否感冒的相关程度，故选项A和B均错误；

选项C和D，因为，又，，

根据独立性检验原理知，有的把握认为这种血清能起到预防感冒的作用，故选项C错误，选项D正确.

故选：D.

4. 对于平面内直线方程的一般式为，我们可以这样理解：若直线l过定点，向量为直线l的法向量，设直线l上任意一点，则，得直线l的方程为，即可转化为直线方程的一般式.类似地，在空间中，若平面α过定点，向量为平面α的法向量，则平面α的方程为（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设平面α上一点坐标为，根据求出答案.

【详解】设平面α上一点坐标为，

则，即，

变形得到.

故选：D

5. 的展开式的各项系数和为0，则该展开式中含x9项的系数是（　　）

A. -15 B. -75 C. 15 D. 75

【答案】A

【解析】

【分析】的展开式的各项系数和为0，令得到，再由，然后利用通项公式求解.

【详解】解：因为的展开式的各项系数和为0，

令得，解得，

则，

所以展开式中含x9项为，

所以该展开式中含x9项的系数是-15，

故选：A

6. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻的概率是

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分别计算所有“重卦”和恰有个阳爻的“重卦”种数，根据古典概型概率计算公式求得结果.

【详解】所有“重卦”共有：种；恰有个阳爻的情况有：种

恰有个阳爻的概率为：

本题正确选项：

【点睛】本题考查古典概型中的概率求解问题，属于基础题.

7. 若随机变量，若，，则（　　）

A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8

【答案】B

【解析】

【分析】结合二项分布的概率公式，以及对立事件的概率和为1，求出，再由正态分布的对称性求解即可.

【详解】因为，所以，

所以，所以，

所以.

故选：B.

8. 已知且，且，且，则（　　）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】对三个已知等式变形，构造成同一形式，构造函数，利用导数研究函数的单调性即可﹒

【详解】因为，，，

所以，

令，，

令，得；，得，

可得在上单调递增，在上单调递减，

因为，，，

图象如下图：

根据，

可得：.

故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知是等差数列，其前n项和为，则下列结论一定正确的有（　　）

A.  B. 最小

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件得到和的关系，然后对选项逐一分析即可.

【详解】根据题意，数列是等差数列，若

即变形可得

对于A，，则故A正确；

对于B，不能确定和的符号，不能确定最小，故B不正确；

对于C，由，

由二次函数图像的性质可知，故C正确；

对于D，

当公差不为2时，, 则 D 不正确.

故选：AC

10. 已知，，，，，则下列结论中一定成立的有（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，则

D. 若，则

【答案】AC

【解析】

【分析】根据正太曲线的性质即可作出判断.

【详解】当时，分布更加集中，故在相同范围内，的相对累积概率越大，

∴，即A正确；

当时，正太曲线形状只与相关，只影响正太曲线的位置，

根据对称性可知，

∴，即C正确，

故选：AC

【点睛】方法点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法

①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．

②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.

③参数影响曲线的高矮，参数影响曲线的位置.

11. 一个口袋中有大小形状完全相同的4个红球和3个白球，每次抽取1个球，共抽取2次，下面几个命题中正确的是（　　）

A. 如果有放回地抽取，那么取出两个红球和取出两个白球是对立事件

B. 如果有放回地抽取，那么取出1个红球1个白球的概率是

C. 如果不放回地抽取，那么第2次取到红球的概率等于第1次取到红球的概率

D. 如果不放回地抽取，那么在至少取出1个红球的条件下，第2次取出红球的概率是

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据对立事件的定义即可判断A，根据已知条件，结合古典概型的概率公式，以及条件概率公式即可判断BCD.

【详解】对于A，如果有放回地抽取，

则取出的两个有两个红球，两个白球和一红一白三种，

故取出两个红球和取出两个白球不是对立事件，故A错误；

对于B，如果有放回地抽取，

那么取出1个红球1个白球的概率是，故B正确；

对于C，如果不放回地抽取，第1次取到红球的概率，

第2次取到红球的概率为，

即第2次取到红球的概率等于第1次取到红球的概率，故C正确；

对于D，如果不放回地抽取，至少取出1个红球的概率为，

则在至少取出1个红球的条件下，第2次取出红球的概率是，故D正确.

故选：BCD.

12. 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，点M，N分别为侧棱CC1，DA上的动点，AM⊥平面α.则下列正确的有（　　）

A. 异面直线AM与B1C可能垂直

B. ∠AMD1恒锐角

C. AB与平面α所成角的正弦值范围为

D. 点N到直线BD1距离的最小值为

【答案】ACD

【解析】

【分析】A.先证明平面，结合平面，可得；B.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法判断；C.连接，，等同于与所成角的余弦值的范围,进而可判断；设，0，，，，，，，，利用距离公式，结合二次函数性质判断.

【详解】在平面内作，交于点

在正四棱柱中，

因为平面，平面，

所以，

又平面，平面，，

所以平面，又平面，

所以．故说法正确；

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则,0,，,1,，,0,，

则,,，,,，，

当时，，故错误；

如图：连接，，等同于与所成角的余弦值的范围，在直角三角形中，，

当点由点向移动时，逐渐增大，在直角三角形中，，

在直角三角形中，，

，则,，则,，故正确，

设,0,0)，,,，,,，

，，

所以点到直线的距离为，当时，．故正确．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 设，是两个不共线的空间向量，若，，，且A，C，D三点共线，则实数k的值为______.

【答案】##0.4

【解析】

【分析】由向量加法得，由A，C，D三点共线得，即可求

【详解】∵，，，

∴，又∵A，C，D三点共线，∴，

∴，∴.

故答案为：.

14. 设X是一个离散型随机变量，其分布列为：

则X的数学期望为___________.

【答案】

【解析】

【分析】先利用分布列中概率和为求解出值，然后计算出数学期望.

【详解】由得，，

因为，，所以，

∴.

故答案为：.

15. 若，则除以7的余数是___________.

【答案】0

【解析】

【分析】利用二项式定理的展开式，即可解出．

【详解】，

，

故展开式中的每一项都能被7整除，故余数为0，

故答案为：0．

16. 对正方体的6个面进行涂色，有5种不同的颜色可供选择.要求每个面只涂一种颜色，且有公共棱的两个面不同色，则总的涂色方法个数为___________（填写数字）

【答案】780

【解析】

【分析】按上，前，右，后，下，左6个面的顺序涂色，先分前后同色和前后不同色两种情况，再分上下同色和上下不同色两种情况，分别计算即可.

【详解】按上，前，右，后，下，左6个面的顺序涂色，

（1）前后同色时，

①上下同色有种涂色方法，

②上下不同色有种涂色方法；

（2）前后不同色时，

①上下同色有种涂色方法，

②上下不同色有种涂色方法.

总的涂色方法个数为

故答案为；780 .

三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 已知的二项展开式中，第2项的系数与倒数第2项系数之比为

（1）求m的值；

（2）求展开式中有理项的系数和.

【答案】（1）   

（2）365

【解析】

【分析】（1）求出展开式的通项公式，根据通项公式分别求出第2项与倒数第2项的系数，然后建立方程即可求出的值；

（2）令的指数为整数，由此求出展开式的有理项，进而可以求解．

【小问1详解】

展开式的通项公式为

令，则展开式的第2项的系数为， 则展开式的倒数第2项的系数为

则，解得，

小问2详解】

展开式的通项公式为，令，且则

则有理项的系数和为

18. 某校高中数学兴趣小组的同学们计划建立“LG”模型来模拟某种疾病的发展过程，“LG”模型如下：（x的单位：天，x∈N*），其中a，b是常数.同学们统计了某阶段连续10天的数据（xi，yi）（i=1，2，⋯，10），令为了便于研究，对数据作了处理，得到下面的统计量.

附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），⋯，（un，vn），其回归直线

参考数据：ln9≈2.197，ln10≈2.303.

（1）根据表中数据，建立y关于x的回归方程；

（2）当y>0.9时，标志着已经初步遏制病情，估计x至少取多少天时，病情开始得到遏制.

【答案】（1）   

（2）71天

【解析】

【分析】（1）根据表中数据，套用线性回归方程公式求解即可；

（2）对该线性回归方程化简整理，根据题意结合不等式的性质以及指数对数的运算即可求解．

【小问1详解】

由题可知，z和x呈线性回归关系.

设线性回归方程为

则

.

故

又∵

∴y与x线性回归方程为

【小问2详解】

∵

∵，即

当9时.，即，

∴，即

又∵，

∴

故x至少取71天时，病情开始得到遏制.

19. 设数列{an}的首项n=1，2，3，⋯

（1）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；

（2）当a=1时，求数列{an}的前2n项和S2n.

【答案】（1），证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题设条件，可得，由等比数列的定义可得结论；

（2）先求出，再求出，两式相加即可得解．

【小问1详解】

数列{}出是以a为首项，为公比的等比数列，证明如下：

∵

又

∴数列{}是为首项，为公比的等比数列

【小问2详解】

20. 已知四棱锥，底面是菱形，，平面，，点满足.

（1）求二面角的平面角的余弦值；

（2）若棱上一点到平面的距离为，试确定点的位置.

【答案】（1）   

（2）M为PC的七等分点靠近P的分点.

【解析】

【分析】（1）连接交于，过作的平行线义于，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角的平面角的余弦值；

（2）设，利用向量示表示出点到平面的距离可求的值，从而确定的位置．

【小问1详解】

连接AC交BD于O，过O作PD的平行线交PB于M，

由题意可知AC，BD，OM两两垂直，

以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则

则，，

设平面BDT的一个法向量

则，则，

∴平面BDT的一个法向量为

又PD⊥平面是平面BDC的一个法向量

∴，又由图可知二面角为钝角，

∴二面角的平面角的余弦值为；

【小问2详解】

设，则

∴，

则点M到平面TBD的距离为，

解得

故点M的坐标为，即M为PC的七等分点靠近P的分点.

21. 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图1所示的高尔顿板有层小木块，小球从通道口落下，第一次与第层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过次与小木块碰撞，最后掉入编号为、、、的球槽内.例如小球要掉入号球槽，则在次碰撞中有次向右次向左滚下.

（1）如图1，进行一次高尔顿板试验，试比较小球落入号球槽、号球槽的概率大小；

（2）小明改进了高尔顿板（如图2），首先将小木块减少至层，且小球在下落的过程中与小木块碰撞一次时，有的概率向左，的概率向右滚下，小球共经过次碰撞后，最后掉入编号为、、、的球槽内.小明准备利用改进后的高尔顿板进行盈利性“抽奖”活动，只需付费元就可以玩一次游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中.你觉得小明能盈利吗？请说明理由.

【答案】（1）小球落入号球槽的概率小于小球落入号球槽的概率.   

（2）小明能盈利，理由见解析

【解析】

【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式分别求出小球落入号球槽、号球槽的概率，比较大小后可得出结论；

（2）设小球落入的球槽编号为，计算出在不同取值下的概率，根据可求出的值，将与进行大小比较可得出结论.

【小问1详解】

解：小球落入号球槽的概率，

小球落入号球槽的概率，则，

据此可得小球落入号球槽的概率小于小球落入号球槽的概率.

【小问2详解】

解：设小球落入的球槽编号为，则的可能取值为、、、、，

则，，

，，

，

因为，

所以，，

据此可知，小明能盈利.

22. 给定实数，函数，（其中，．

（1）求经过点的曲线的切线的条数；

（2）若对，有恒成立，求的最小值．

【答案】（1）1    （2）1

【解析】

【分析】（1）因为过，只需求的值，从而得知切线的条数；

（2）令，则有在上恒成立，求导，确定的单调性，由可解得．

【小问1详解】

因为

，

设切点为，，

所以切线方程为：，

又因为切线过，

所以，

所以，即，

令，

则，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以，

所以只有一个解为，即只有一个解为，

所以切点为，

所以，

故只有一条切线；

【小问2详解】

因为，

所以，

即当时，恒成立．

设，则．

令，则，△，

所以方程有两异号的根，，

设，，

当时，，当，时，，

所以在单调递增，在，单调递增减，且；

又因为在上恒成立，

即在上恒成立，

令，，

则，

令，即，单调增函数；

令，即，单调减函数；

所以的最小值为，

于是有：，

，

所以的最小值为1．

【点睛】本题考查了导数的几何意义及利用导数求参数的范围，属于难题．两次构造函数，并利用导数判断单调性与最值是解答（2）的关键.