江苏省南京师范大学附属中学2022-2023学年高二数学上学期期中试题（Word版附答案）

南京师大附中2022-2023学年度第1学期

高二年级期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 双曲线的渐近线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 若将直线沿轴正方向平移3个单位，再沿轴负方向平移2个单位，又回到了原来的位置，则的斜率是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 若数据，，，…，的方差为7，则数据，，，…，的方差为（    ）

A. 7 B. 49 C. 8 D. 64

4. 已知椭圆，若的顶点，分别是椭圆的两个焦点，顶点在椭圆上，则的值为（    ）

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

5. 已知椭圆的两个焦点分别为，，点在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知矩形的长为2，宽为1，以为坐标原点，，边分别为轴正半轴，轴正半轴，建立如图所示的平面直角坐标系.若将矩形折叠，使点落在线段上（包括端点），则折痕所在直线纵截距的最小值为（    ）

A.  B.  C. 2 D. 3

7. 过坐标原点作直线：的垂线，若垂足在圆上，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知实数，，，满足，，，则的最大值是（    ）

A.  B. 6 C.  D. 12

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

9. 若曲线：，下列结论正确的是（    ）

A. 若曲线是椭圆，则 B. 若曲线是双曲线，则

C. 若曲线是椭圆，则焦距为 D. 若曲线是双曲线，则焦距为

10. 为迎接党的二十大胜利召开，某中学举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分进行了统计，把得分数据按照，，，，分成5组，绘制了如图所示的频率直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（    ）

A.

B. 得分在区间内的学生人数为200

C. 该校学生党史知识竞赛成绩的中位数大于80

D. 估计该校学生党史知识竞赛成绩的平均数落在区间内

11. 在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上.若，则的可能取值有（    ）

A.  B.  C. 3 D. 4

12. 已知点为双曲线：右支上一点，，为双曲线的两条渐近线，过点分别作，，垂足依次为，，过点作交于点，过点作交于点.为坐标原点，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若直线过点，且在两坐标轴上截距互为相反数，则直线方程为_________.

14. 若，是椭圆：的两个焦点，点，为椭圆上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为_________.

15. 已知圆和直线相交于，两点，若射线，可由轴正方向绕着原点逆时针分别旋转，角得到，则的值为_________.

16. 已知，为椭圆左、右焦点，过椭圆的右顶点点作垂直于轴的直线，若直线上存在点满足，则椭圆离心率的取值范围为_________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.

17. 已知直线经过两直线：和：的交点.

（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；

（2）若点，到直线的距离相等，求直线的方程.

18. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种主流经济形式.某直播平台对平台内800个直播商家进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、果蔬、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图.

（1）该直播平台为了更好地服务买卖双方，打算随机抽取40个直播商家进行问询交流.如果按照分层抽样的方式抽取，则应抽取小吃类、玩具类商家各多少家？

（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的40个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），并将平均日利润超过300元的商家称为“优秀商家”，所得频率直方图如图所示.

（3）请根据频率直方图计算抽取的商家中“优秀商家”个数，并以此估计该直播平台“优秀商家”的个数；

（4）若从抽取的“优秀商家”中随机邀请两个商家分享经验，求邀请到的商家来自不同平均日利润组别的概率.

19. 已知椭圆：的离心率为，点，分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为，且的面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在直线，使得与椭圆相交于，两点，且点恰为的重心？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.

20. 如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线与圆：交于点（与不同），过原点且垂直于的直线与圆：交于，两点.

（1）记直线的倾斜角为，求的取值范围；

（2）若线段的中点为，求面积的取值范围.

21. 已知椭圆：，若点，，，中恰有三点在椭圆上.

（1）求的方程；

（2）点是的左焦点，过点且与轴不重合的直线与交于不同的两点，，求证：内切圆的圆心在定直线上.

南京师大附中2022-2023学年度第1学期

高二年级期中数学参考答案

一、单选题

1.【答案】B

【解析】，.

2.【答案】C

【解析】不妨设原直线上点，即.

3.【答案】A

【解析】数据离散程度不变.

4.【答案】A

【解析】，，即.

5.【答案】B

【解析】由正弦定理得，，

由椭圆定义得，即.

6.【答案】B

【解析】设折痕所在真线斜率为，设点折叠后落在上点为，则与折痕垂直，即，即，所以中点，因此折痕所在直线方程为：，其纵截距为.

7.【答案】C

【解析】，即直线过定点，要满足题意则点不能在圆内，即.

8.【答案】D

【解析】设，，则原题等价于点，是圆上两点，且，

设中点，由垂径定理可得在圆上运动，

所以本题等价于求到直线的距离倍的最大值.

二、多选题

9.【答案】BCD

【解析】A. 时，系数为负数，故错.

B. 若为双曲线，则，故对.

C. 若为椭圆，则，故对.

D. 若为双曲线，则，故对.

10.【答案】ABD

【解析】A. ，故对.

B. ，故对.

C. 中位数，故错.

D. 平均数，故对.

11.【答案】AC

【解析】以为圆点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，

则由已知有：，，，，即在圆上，

所以有，则.

12.【答案】ABD

【解析】A. 设，则，故对.

B. 由垂直可知，，一定在以为直径的圆上，故对.

C. 由已知两渐近线夹角，则，

同理可得，故错.

D. ，故对.

【注】当为双曲线右顶点时，易得，即，且为等边三角形，边长为，可知，故C错.

三、填空题

13.【答案】或

【解析】（1）直线过原点时，即：；（2）直线不过原点时，直线斜率为1，即：.

14.【答案】8

【解析】由对称性可得四边形为矩形，即，即，

由椭圆定义与勾股定理得，即.

15.【答案】

【解析】，即，，所以，，

设直线倾斜角为，其中，因此由题意，，

即，或可利用三角函数的定义得.

16.【答案】

【解析】由“同弧所对圆周角为定角”可知即在两段优弧上运动，

由圆的垂径定理可得两段优弧所对的圆心为，半径为，

又因为在直线上，所以直线与圆弧有交点，即.

四、解答题

17.【解析】（1），设直线斜率为，则，

所以：；

（2）①，在同侧，则，即，所以：；

②，在两侧，则中点在上，所以，

综上所述，直线的方程为或.

18.【解析】（1）抽取小吃类商家（家），抽取玩具类商家（家）；

（2）由图可得，

（i）该直播平台优秀商家个数约为（家）；

（ii）由已知得：抽取的优秀商家中来自300-350元平均日利润组的有4家，

来白350-400元平均日利润组的有2家.

设邀请到的商家来自不同平均日利润组别的事件为，则.

19.【解析】（1）由已知得：；

（2）①直线斜率存在时，设，，：，

，

若存在直线使得为重心，则，即，

所以有，即：；

②直线斜率不存在时，由重心可知中点应在直线上，而此时明细不成立，

综上所述，存在直线满足题意，其方程为：.

20.【解析】（1）由题意即直线与圆相交，且直线与圆相交，

①直线斜率存在时，设直线斜率为，即，

由题意有，即；

②直线斜率不存在时，易得：，：，即，，满足题意，此时.

综上所述，；

（2）设到直线的距离为，到直线的距离为，则

①直线斜率存在时，有，

所以，

②直线斜率不存在时，.

综上所述，面积的取值范围是.

21.【解析】（1）根据对称性，定在椭圆上，若也在则方程组无解，所以为椭圆上第三个点，

即可知，所以椭圆的方程为：；

（2）由（1）得：，，设，，：.

要证明内切圆的圆心在定直线上，由对称性和内心的定义，即证明的角平分线为定直线，

即证，即，即证，只要证，

由已知得，

所以成立，即得证，

即内切圆的圆心在定直线上.