2021-2022学年江苏省扬州中学高二下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省扬州中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知从甲地到乙地有乘飞机或者坐轮渡两种交通方式，从乙地到丙地有乘大巴车、高铁或者乘飞机三种交通方式，则从甲地经乙地到丙地不同的交通方式的种数为（       ）

A．4 B．5 C．6 D．8

【答案】C

【分析】根据分步乘法原理求解即可.

【详解】解：由题意可知，从甲地经乙地到丙地所有可能的交通方式的种数为种.

故选：C

2．直三棱柱中，若，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据空间向量的线性运算直接可得解.

【详解】由已知得，

故选：A.

3．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】因为两个独立事件A和B，所以,结合,即可求出答案.

【详解】由题设条件可得, ,

又 ,

解得.

所以 .

故选：A.

4．设为正整数，的展开式中二项式系数的最大值为，的展开式中的二项式系数的最大值为.若，则的值为（       ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【分析】根据二项式系数的性质得到a，b的值，列出方程求出m.

【详解】的展开式中二项式系数的最大值为，故，的展开式中的二项式系数的最大值为或，两者相等，不妨令，则有，解得：.

故选：C

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】结合相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.

【详解】依题意，至少答对一个问题的概率是.

故选：A

6．椭圆的左、右焦点为、，P是椭圆上一点，O为坐标原点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用为等边三角形，构造焦点三角形，根据几何关系以及椭圆定义，得到的等量关系，即可求得离心率.

【详解】连接，根据题意，作图如下：

因为为等边三角形，即可得：，

则

则，

由椭圆定义可知：，

故可得：．

故选：A.

7．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，则直线与平面BDE所成角的正弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】以点D为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求平面BDE的一个法向量，进而可求直线与平面BDE所成角.

【详解】以点D为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，，

所以，，，

设平面BDE的一个法向量，则，即，令，则，，所以平面BDE的一个法向量，

设直线与平面BDE所成角为，所以．

故选：D.

8．，则a，b，c的大小顺序为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，应用导数研究其单调性，进而比较，，的大小，若有两个解，则，，构造，利用导数确定，进而得到，即可判断a、c的大小，即可知正确选项.

【详解】令，则，，，

而且，即时单调增，时单调减，又，

∴，.

若有两个解，则，，

即，，

令，则，即在上递增，

∴，即在上，，若即，故，有

∴当时，，故，

综上：.

故选：A

【点睛】关键点点睛：利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小.

二、多选题

9．已知空间向量，，则下列结论正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．与夹角的余弦值为

【答案】BCD

【分析】由空间向量平行的性质及空间向量模长，数量积，夹角的坐标运算进行判断即可.

【详解】对于A选项：，不存在，使得，故A错误；

对于B选项：，，故B正确；

对于C选项：，，

则，故C正确；

对于D选项：，，

所以，故D正确；

故选：BCD.

10．已知随机变量 满足.若,则下列结论正确的是(　　)

A．

B．

C．

D．

【答案】AC

【分析】由已知得，，由期望公式求出，再根据方差公式求出，作差比较大小，由此能求出结果．

【详解】∵随机变量满足，，

∴，

又， ，

∴,

又，

，

所以，

所以．

故选：AC.

11．已知，则（       ）

A． B．这7个数中只有3个有理数

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据二项式定理对选项逐一判断

【详解】由二项式定理知展开式的通项公式为

对于A，令，得，则，A正确．

对于B，这7个数中，当为偶数时，对应为有理数，B错误．

对于C，，C正确．

对于D，对两边同时求导，得，

令，得，D正确．

故选：ACD

12．如图，已知椭圆，过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，连、并延长分别交于、两点，连接，与的面积分别记为、．则下列说法正确的是（       ）

A．若记直线、的斜率分别为、，则的大小是定值

B．的面积是定值

C．线段、长度的平方和是定值

D．设，则

【答案】ABD

【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合斜率公式可判断A选项；利用三角形的面积公式可判断B选项；利用弦长公式可判断C选项；利用三角形的面积公式结合基本不等式可判断D选项.

【详解】对于A选项，抛物线的焦点为，

若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，

所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点、，

联立可得，，则，

，A对；

对于B选项，设，则，

联立可得，解得，

不妨设点在第三象限，则，

设点在第四象限，同理可得，

点到直线的距离为，，

所以，，B对；

对于C选项，

，C错；

对于D选项，

，

当且仅当时，等号成立，D对.

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

三、填空题

13．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则_________.

【答案】2.3

【分析】先由概率总和为1求出参数，再根据期望公式即可求得结果.

【详解】由题，由概率性质，，可解得，

故，

故答案为：2.3

14．在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为，且两两夹角为，则的长为________.

【答案】

【分析】由已知可得，且，利用空间向量数量积的运算求出的值，即可得解.

【详解】由已知可得，且，

由空间向量数量积的定义可得，

所以，，

因此，.

故答案为：.

15．若的展开式中各项的二项式系数之和为256，且仅有展开式的第5项的系数最大，则a的取值范围为___________.

【答案】

【分析】根据给定条件，求出幂指数n的值，再求出第r+1项的系数，列出不等式并求解作答.

【详解】因的展开式中各项的二项式系数之和为256，则，解得，

的展开式中第r+1项的系数为，，

而，则当r为奇数时，第r+1项的系数为负，当r为偶数时，第r+1项的系数为正，

由仅有展开式的第5项的系数最大得：，化简整理得：，解得，

所以a的取值范围为.

故答案为：

【点睛】关键点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解二项式问题先正确求出通项公式，再结合具体条件推理计算作答．

四、双空题

16．已知函数，．当a=1时，函数在点P（1，）处的切线方程为________；若，，则实数a的最大值为________．

【答案】         

【分析】求导，代入求出，用点斜式求出切线方程；（2）对函数变形，利用同构及函数单调性得到，参变分离构造新函数，通过其单调性求出极值，最值，进而求出实数a的最大值.

【详解】由题意当时，，，则，，

所以函数在点处的切线方程为．

因为，即，则，

令，故，在上恒成立，

故在上单调递减，故，得，即，记，

则，当时，，当时，，

故函数在单调递减，在单调递增，故的最小值是，

故，即实数a的最大值是．

故答案为：；.

五、解答题

17．（1）计算：；

（2）若，求正整数.

【答案】（1）1；（2）8.

【分析】（1）（2）按照排列数公式计算即可.

【详解】（1）；

（2）∵，∴，

又，化简得，解得.

18．已知.求：

(1)；

(2)；

(3).

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）分别令、可求得、的值，即可求得的值；

（2）分别令、，将所得两式作差可求得的值；

（3）分析可知当为偶数时，，当为奇数时，，然后令可得出所求代数式的值.

【详解】(1)解：令，则，令，则，①

因此，.

(2)解：令可得，②

①②可得.

(3)解：的展开式通项为，则，

其中且，

当为偶数时，；当为奇数时，.

所以，.

19．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与P，投中得1分，投不中得0分．乙投球两次均未命中的概率为．

(1)甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；

(2)甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和的数学期望．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用对立事件的概率去求解四次投球中至少一次命中的概率；

（2）先求得概率P的值，再去列两人得分之和的分布列求数学期望．

【详解】(1)记“这四次投球中至少一次命中”为事件C，

则“这四次投球均未命中”是事件C的对立事件，

则

(2)依题意，，则

记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则

甲、乙两人得分之和ξ的可能取值为0，1，2，

，

，

，

则ξ的分布列为：

20．如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点，分别是，的中点.

(1)证明：平面平面；

(2)若，点是线段上的动点，问：点运动到何处时，平面与平面所成的锐二面角最小.

【答案】(1)证明见解析；

(2)点G为BD的中点时.

【分析】（1）由面面垂直可得AE平面BCD，得出CDAE，再由CDEF可得CD平面AEF，即可得出平面平面；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出锐二面角的余弦值，当最大，最小，即可得出此时点G为BD的中点.

【详解】(1)(1)因为△ABC是正三角形，点E是BC中点，所以AEBC，

又因为平面ABC平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE平面ABC，

所以AE平面BCD，

又因为CD平面BCD，所以CDAE，

因为点E，F分别是BC，CD的中点，所以EF//BD，

又因为BDCD，所以CDEF，又因为CDAE，AE∩EF，

AE平面AEF，EF平面AEF，所以CD平面AEF，

又因为CD平面ACD，所以平面ACD平面AEF.

(2)在平面BCD中，过点E作EH⊥BD，垂足为H,

设BC=4，则，DF=FC=l，.

以为正交基底，建立如图空间直角坐标系E-xyz,

则,

设，则,，

设平面AEG的法向量为,

由，得，令，故，

设平面ACD的法向量为，

则,即，令，则,

设平面AEG与平面ACD所成的锐二面角为,

则，

当最大，此时锐二面角最小，

故当点G为BD的中点时，平面AEG与平面ACD所成的锐二面角最小.

21．已知椭圆的上顶点为B，左焦点为F，P为椭圆C上一点，，且，．

(1)求椭圆C的方程．

(2)若直线与椭圆C相切，过A作l的垂线，垂足为Q，试问是否为定值？若是定值，求的值；若不是，请说明理由．

【答案】(1)；

(2)是定值，.

【分析】（1）设出点P的坐标，进而根据求出它的坐标代入椭圆方程，再根据，结合斜率公式求得答案；

（2）联立并化简，根据判别式为0得到k,m的关系，再联立求出点Q的坐标，进而求出答案.

【详解】(1)设，易知，

因为，所以，

所以，．

因为P在椭圆C上，所以，所以．

因为，所以，所以．

因为，所以，，

故椭圆C的方程为．

(2)联立方程组，得，

则，得．

当时，直线l的方程为，．

当时，直线AQ的方程为，

联立方程组，得Q的坐标为，

所以．

因为，所以，所以，

故为定值，且．

【点睛】本题第（2）问运算量较大，但充分体现了“设而不求”的思想，本题可以作为范题进行归纳总结.

22．设函数，其中且，e是自然对数的底数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）依题意可得，即可得到，再求出函数的导函数，即可求出，最后利用点斜式求出切线方程；

（2）依题意即证，令、，，利用导数求出函数的单调区间，即可得到函数的最值，从而得证；

【详解】(1)解：当时，所以，

又，所以，即切点为，切线的斜率，

所以切线方程为，即

(2)解：函数的定义域为，当时，，

令，，所以，当时，，当时，，

即函数在上单调递减，在上单调递增，当时， ，

令，，所以，当时，，当时，，

即函数在上单调递增，在上单调递减，当时， ，

因此，，，而的最大值与的最小值不同时取得，

即上述不等式中不能同时取等号，于是得：，成立，即成立，

所以.