2021-2022学年甘肃省会宁县第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题含解析

2021-2022学年甘肃省会宁县第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．设为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】利用复数的除法运算化简，再利用复数的几何意义得解.

【详解】，

由复数的几何意义知在复平面内的对应点为，该点位于第一象限.

故选：A．

【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的几何意义.

复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下：

(1)分子、分母同时乘分母的共轭复数；

(2)对分子、分母分别进行乘法运算；

(3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．

2．函数的单调递减区间是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先对函数求导,再利用导函数的正负推出原函数的单调区间即可.

【详解】,则,

令,

所以函数的单调递减区间是,

故选:B.

【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间,属于基础题,答题时注意先确定函数定义域.

3．已知是函数的导函数，若函数的图象在点处的切线方程是，则（       ）

A．1 B． C． D．0

【答案】A

【解析】根据导数的几何意义可知，当时，，故，所以两者相加即得答案.

【详解】∵的图象在点处的切线方程是，

∴，，

∴，

故选：A

【点睛】本题通过已知函数在某点处的切线方程，来求函数在该点处的函数值以及导函数值，考验学生对导数几何意义的理解程度，为容易题，小记：函数在其图像上某点处的切线方程为：.

4．（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】 由，故选D.

5．已知直线经过，两点，且与曲线切于点，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直线经过，两点，可以写出直线的方程，根据导数的几何意义进行求解.

【详解】解：直线经过，两点，

.

直线与曲线切于点，

可得曲线在处的导数为：，

所以.

故选：C.

【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.

6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（       ）

A．12种 B．18种 C．24种 D．36种

【答案】D

【详解】4项工作分成3组,可得：=6，

安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，

可得：种．

故选D.

7．设为曲线上的点，且曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】因为,又因为曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则切线的斜率，所以,解得，故选A.

8．已知，为的导函数，则的图像是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求出导函数，利用导函数的解析式，判断导函数的奇偶性，及特殊点的函数值，如即可得出答案.

【详解】解：由题意得，，∴，

∴函数为奇函数，即函数的图像关于原点对称，

当时，，当时，恒成立.

故选：A．

9．若在的展开式中存在常数项，则的值可以是（       ）..

A．8 B．9 C．10 D．12

【答案】C

【分析】由通项中x的指数等于0，可得n和r的关系，然后由，且可得.

【详解】通项，

因为展开式中存在常数项，所以，即

因为，且，所以当时，.

故选：C

10．若函数在上单调递增，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由函数在上单调递增，可知其导函数大于等于零在上恒成立，由此可求出的取值范围.

【详解】由题可得，即对恒成立，则，即.

故选：D

【点睛】此题考查利用导数判断函数的单调性，属于基础题.

11．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】构造新函数,，当时.

所以在上单减，又，即.

所以可得,此时，

又为奇函数，所以在上的解集为：.

故选A.

点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.

12．若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用作差法，再结合对数函数的单调性分别判断和的大小关系，即可判断出的大小关系.

【详解】，；又，，故.

故选：C.

二、填空题

13．在的展开式中含的项的系数为______．

【答案】40

【分析】利用二项展开式的通项公式求出第项，令的指数为2即可求解.

【详解】由知，

令，

故答案为：

14．已知函数的图像与直线相切，则______．

【答案】

【详解】由题意，设切点为，由导数的定义，可得,即．

又，∴.

【点睛】本题考查导数定义以及导数几何意义,考查基本求解能力,属基础题.

15．把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻， 且产品与产品不相邻，则不同的摆法有____________种.

【答案】36

【详解】试题分析：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有种摆法，故满足条件的摆法有种.

【解析】排列组合，容易题.

16．若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围________．

【答案】

【分析】求出函数的导数，问题转化为a，而g（x）在（，2）递增，求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

【详解】，在内恒成立，所以，

由于，所以，，所以．

故答案为

【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题．

三、解答题

17．已知函数在处取得极值.

(1)求的值；

(2)当时，求曲线在处的切线方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先求导，由解出，再检验此时刚好在处取得极值即可；

（2）代入，分别计算出，，再由点斜式写出切线方程即可.

【详解】(1)，

由题意知，所以，即.

当时，，

故在单增，单减，

故在处取得极值.故.

(2)由（1）可知.

当时，，，

所以，，

所以在处的切线方程为，即.

18．已知函数.

（1）求函数的单调递减区间；

（2）求函数在上的最大值和最小值.

【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为

【解析】（1）求出，令，得到函数的单调递减区间；

（2）求出函数在的单调性，根据极值和端点值，求得最值.

【详解】（1），

令，得，所以的减区间为.

（2）由（1），令，得或知：，为增函数，

，为减函数，，为增函数.

，，，.

所以在区间上的最大值为，最小值为.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题.

19．已知复数（，是虚数单位）.

(1)若是纯虚数，求的值和；

(2)设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）将化简成复数的一般形式，根据为纯虚数列式求得的值，进而求；

（2）因为复数在复平面上对应的点位于第二象限，则其实部小于，虚部大于，列式即可求得的取值范围.

【详解】(1)（1）由题复数（，是虚数单位），

若是纯虚数，则，解得，

此时，所以.

(2)由（1）可知，

所以，

，

又因为复数在复平面上对应的点位于第二象限，

所以，解之得.

20．2022年4月，新型冠状病毒疫情牵动着全国人民的心，某市根据上级要求，在本市某人民医院要选出护理外科、心理治疗方面的专家4人与省专家组一起赶赴上海参加救助工作，该医院现有3名护理专家，，，5名外科专家，，，，，2名心理治疗专家，.

(1)求4人中有1位外科专家，1位心理治疗师的选法有多少种?

(2)求至少含有2位外科专家，且外科专家和护理专家不能同时被选的选法有多少种?

【答案】(1)30

(2)133

【分析】（1）根据组合的定义及组合数公式，结合分步乘法计数原理即可求解；

（2）根据组合的定义及组合数公式，再利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可求解.

【详解】(1)设选出的4个人参加救助工作中有1位外科专家，1位心理治疗师为事件，则满足事件的情况共有种；

(2)设选出的4人参加救助工作中至少含有2位外科专家，且外科专家和护理专家不能同时被选

为事件，则满足事件的情况为：①当选择时，

当有2位外科专家时，共有种情况；

当有3位外科专家时，共有种情况；

当有4位外科专家时，共有种情况；

②当不选择时，

当有2位外科专家时，共有种情况；

当有3位外科专家时，共有种情况；

当有4位外科专家时，共有种情况；

综上：满足事件的情况共有种情况；

21．若函数在定义域内的某个区间上是增函数，且在上也是增函数，则称是上的“完美增函数”.已知，.

（1）判断函数是否为区间上的“完美增函数”；

（2）若函数是区间上的“完美增函数”，求实数的最大值.

【答案】（1）不是；（2）

【解析】(1)可根据已知条件分别求出和在区间是不是单调递增函数，再根据给的定义来判断是否为“完美增函数”；

(2)利用函数是区间上的“完美增函数”，可得到和在区间均为增函数，从而可得到实数的最大值.

【详解】(1)由，则求导得，

所以在上是增函数；

又，则求导得，

当时，不恒成立，即在上不是增函数.

所以函数不是区间上的“完美增函数”.

（2）因为函数是区间上的“完美增函数”，

所以和在区间均为增函数，

由，则求导得，

即在区间上单调递增.

又，求导得，

若，则，解得，

即当时，恒成立，在上单调递增.

于是实数的最大值为.

【点睛】本题考查函数与导数的综合运用，考查学生的运算求解能力,属于一般题.

22．已知函数（）．

（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；

（2）若函数在处取得极值，（0，），恒成立，求实数的最大值．

【答案】（1）时，在（0，）上没有极值点；当时，在（0，）上有一个极值点.（2）

【解析】（1）首先求得函数的定义域和导函数，对分成和两种情况，讨论的极值点个数.

（2）利用求得的值，将不等式分离常数，转化为，构造函数利用导数求得的最小值，由此求得的取值范围，进而求得实数的最大值.

【详解】（1）的定义域为（0，），

.

当时，在（0，）上恒成立，函数在（0，）上单调递减.

∴在（0，）上没有极值点.

当时，由，得；

由，得，

∴在（0，）上递减，在（，）上递增，即在处有极小值.

综上，当时，在（0，）上没有极值点；

当时，在（0，）上有一个极值点.

（2）∵函数在处取得极值，

∴，则，从而.

因此，

令，则，

令，得，

则在（0，）上递减，在（，）上递增，

∴，即.

故实数的最大值是.

【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.